高考物理物理解题方法：微元法压轴难题二轮复习及答案

高考物理物理解题方法：微元法压轴难题二轮复习及答案
一、高中物理解题方法：微元法
1．如图所示，水龙头开口处A 的直径d 1＝1cm ，A 离地面B 的高度h ＝75cm ，当水龙头打开时，从A 处流出的水流速度v 1＝1m/s ，在空中形成一完整的水流束，则该水流束在地面B 处的截面直径d 2约为(g 取10m/s 2)( )
A ．0.5cm
B ．1cm
C ．2cm
D ．应大于2cm ，但无法计算 【答案】A 【解析】 【详解】
设水在水龙头出口处速度大小为v 1，水流到B 处的速度v 2，则由2
2
212v v gh -=得
24m/s v =
设极短时间为△t ，在水龙头出口处流出的水的体积为
2
111π(
)2d V v t =∆⋅ 水流B 处的体积为
2
222π(
)2
d V v t =∆⋅ 由
12V V =
得
20.5cm d =
故A 正确。

2．如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是
A ．重力做功为mgL
B ．绳的拉力做功为0
C ．空气阻力做功0
D ．空气阻力做功为1
2
F L π-阻 【答案】ABD 【解析】
A 、如图所示，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A
B 在竖直方向上的投影L ，
所以W G =mgL ．故A 正确．B 、因为拉力F T 在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即W FT =0．故B 正确．C 、F 阻所做的总功等于每个小弧段上F 阻所做功的代数和，即
12F 1
=()2
W F x F x F L π-∆+∆+⋅⋅⋅=
阻阻阻阻，故C 错误，D 正确；故选ABD ． 【点睛】根据功的计算公式可以求出重力、拉力与空气阻力的功．
3．如图所示，摆球质量为m ，悬线长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力f 的大小不变，则摆球从A 摆到位置B 的过程中，下列说法正确的是
A ．重力做功为mgL
B ．悬线的拉力做功为0
C ．空气阻力f 做功为－mgL
D ．空气阻力f 做功为1
2
f L π- 【答案】ABD 【解析】 【详解】
A.重力在整个运动过程中始终不变，所以重力做功为 W G =mgL ，故A 正确；
B.因为拉力在运动过程中始终与运动方向垂直，故拉力对小球不做功，即W F =0，故B 正确；
CD.阻力所做的总功等于每个小弧段上f 所做功的代数和，即
1211
(...)ππ22
f W f x f x fs f L f L =-∆+∆+=-=-⋅=-，故C 错误，D 正确。

4．如图所示，一质量为m ＝2.0kg 的物体从半径为R ＝5.0m 的圆弧的A 端．在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）．拉力F 大小不变始终为15N ，方向始终与物体所在位置的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BD 边竖直，g 取10m/s 2．求这一过程中（cos37°＝0.8）：
(1)拉力F 做的功; (2)重力mg 做的功;
(3)圆弧面对物体的支持力F N 做的功; (4)圆弧面对物体的摩擦力F f 做的功.
【答案】（1）62.8J （2）-50J （3）0 （4）-12.8J 【解析】 【分析】 【详解】
(1)将圆弧分成很多小段l 1、l 2、…、l n ，拉力在每小段上做的功为W 1、W 2、…、W n ，因拉力F 大小不变，方向始终与物体所在位置的切线成37°角，所以：W 1＝Fl 1cos37°，W 2＝Fl 2cos37°，…，W n ＝Fl n cos37°， 所以拉力F 做的功为：
()1212cos37cos37?20J 62.8J 3
F n n W W W W F l l l F R π
π=++⋯+=︒++⋯+=︒==
(2)重力mg 做的功W G ＝-mgR （1-cos60°）＝-50J ．
(3)物体受到的支持力F N 始终与物体的运动方向垂直，所以W F ＝0．
(4)因物体在拉力F 作用下缓慢移动，则物体处于动态平衡状态，合外力做功为零， 所以W F ＋W G ＋W Ff ＝0，
则W Ff ＝－W F －W G ＝－62.8J ＋50J ＝－12.8J ．
【点睛】
本题考查动能定理及功的计算问题，在求解F做功时要明确虽然力是变力，但由于力和速度方向之间的夹角始终相同，故可以采用“分割求和”的方法求解．
5．光子具有能量，也具有动量．光照射到物体表面时，会对物体产生压强，这就是“光压”．光压的产生机理如同气体压强：大量气体分子与器壁的频繁碰撞产生了持续均匀的压力，器壁在单位面积上受到的压力就是气体的压强．设太阳光每个光子的平均能量为E，太阳光垂直照射地球表面时，在单位面积上的辐射功率为P0．已知光速为c，则光子的动量为E/c．求：
（1）若太阳光垂直照射在地球表面，则时间t内照射到地球表面上半径为r的圆形区域内太阳光的光子个数是多少？
（2）若太阳光垂直照射到地球表面，在半径为r的某圆形区域内被完全反射（即所有光子均被反射，且被反射前后的能量变化可忽略不计），则太阳光在该区域表面产生的光压（用I表示光压）是多少？
（3）有科学家建议利用光压对太阳帆的作用作为未来星际旅行的动力来源．一般情况下，太阳光照射到物体表面时，一部分会被反射，还有一部分被吸收．若物体表面的反射系数
为ρ，则在物体表面产生的光压是全反射时产生光压的1
2
ρ
+
倍．设太阳帆的反射系数
ρ=0.8，太阳帆为圆盘形，其半径r=15m，飞船的总质量m=100kg，太阳光垂直照射在太阳帆表面单位面积上的辐射功率P0=1.4kW，已知光速c=3.0×108m/s．利用上述数据并结合第（2）问中的结论，求太阳帆飞船仅在上述光压的作用下，能产生的加速度大小是多少?不考虑光子被反射前后的能量变化．（保留2位有效数字）
【答案】（1）
2
r P t
n
E
π
=（2）0
2P
I
c
=（3）52
5.910/
a m s
-
=⨯
【解析】
【分析】
【详解】
（1）时间t内太阳光照射到面积为S的圆形区域上的总能量E总= P0St 解得E总=πr2 P0t
照射到此圆形区域的光子数n=E E
总
解得
2
r P t n
E
π
=
（2）因光子的动量p=E c
则到达地球表面半径为r的圆形区域的光子总动量p总=np
因太阳光被完全反射，所以时间t内光子总动量的改变量
Δp=2p
设太阳光对此圆形区域表面的压力为F，依据动量定理Ft=Δp
太阳光在圆形区域表面产生的光压I =F /S 解得0
2P I c
=
（3）在太阳帆表面产生的光压I ′=12
ρ
+I 对太阳帆产生的压力F ′= I ′S
设飞船的加速度为a ，依据牛顿第二定律F ′=ma 解得a =5.9×10-5m/s 2
6．守恒定律是自然界中某种物理量的值恒定不变的规律，它为我们解决许多实际问题提供了依据．在物理学中这样的守恒定律有很多，例如：电荷守恒定律、质量守恒定律、能量守恒定律等等．
(1)根据电荷守恒定律可知：一段导体中通有恒定电流时，在相等时间内通过导体不同截面的电荷量都是相同的．
a ．己知带电粒子电荷量均为g ，粒子定向移动所形成的电流强度为，求在时间t 内通过某一截面的粒子数N ．
b ．直线加速器是一种通过高压电场使带电粒子加速的装置．带电粒子从粒子源处持续发出，假定带电粒子的初速度为零，加速过程中做的匀加速直线运动．如图l 所示，在距粒子源l 1、l 2两处分别取一小段长度相等的粒子流I ∆．已知l l :l 2=1:4，这两小段粒子流中所含的粒子数分别为n 1和n 2，求：n 1:n 2．
(2)在实际生活中经常看到这种现象：适当调整开关，可以看到从水龙头中流出的水柱越来越细，如图2所示，垂 直于水柱的横截面可视为圆．在水柱上取两个横截面A 、B ，经过A 、B 的水流速度大小分别为v I 、v 2；A 、B 直径分别为d 1、d 2，且d 1：d 2=2:1．求：水流的速度大小之 比v 1:v 2．
(3)如图3所示：一盛有水的大容器，其侧面有一个水平的短细管，水能够从细管中喷出；容器中水面的面积S l 远远大于细管内的横截面积S 2;重力加速度为g ．假设 水不可压缩，而且没有粘滞性．
a ．推理说明：容器中液面下降的速度比细管中的水流速度小很多，可以忽略不计：
b ．在上述基础上，求：当液面距离细管的高度为h 时， 细管中的水流速度v ．
【答案】（1）a. Q It N q q
=
= ；b. 21:2:1n n =；（2）2
21221::1:4v v d d ==；（3）a.设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v ．按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv =,由12S S >>，可得12v v <<．所以：液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计． b. 2v gh 【解析】 【分析】 【详解】 (1)a.电流Q I t
=
， 电量Q Nq = 粒子数Q It N q q
=
= b.根据2v ax 可知在距粒子源1l 、2l 两处粒子的速度之比：12:1:2v v = 极短长度内可认为速度不变，根据x v t
∆=∆， 得12:2:1t t =
根据电荷守恒，这两段粒子流中所含粒子数之比：12:2:1n n = (2)根据能量守恒，相等时间通过任一截面的质量相等，即水的质量相等.
也即：2
··
4
v d π
处处相等 故这两个截面处的水流的流速之比：2
2
1221::1:4v v d d == (3)a .设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v .
按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv =
由12S S >>，可得:12v v <<.
所以液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计. b.根据能量守恒和机械能守恒定律分析可知：
液面上质量为m 的薄层水的机械能等于细管中质量为m 的小水柱的机械能． 又根据上述推理：液面薄层水下降的速度1v 忽略不计，即10v =. 设细管处为零势面，所以有：2
1002
mgh mv +=+ 解得:2v gh =
7．同一个物理问题，常常可以宏观和微观两个不同角度流行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地汇理解其物理本质.
(1)如图所示，正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为V ，且与器壁各面碰撞的机会均等，与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变．利用所学力学知识．
a.求一个粒子与器壁碰撞一次受到的冲量大小I ；
b.导出器壁单位面积所受的大量粒子的撞击压力f 与m 、n 和v 的关系．(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)
(2)热爱思考的小新同学阅读教科书《选修3-3》第八章，看到了“温度是分子平均动能的标志，即a T aE =，(注：其中，a 为物理常量，a E 为分子热运动的平均平动动能)”的内容，他进行了一番探究，查阅资料得知：
第一，理想气体的分子可视为质点，分子间除了相互碰撞外，无相互作用力； 第二，一定质量的理想气体，其压碰P 与热力学温度T 的关系为0P n kT =，式中0n 为单位体积内气体的分子数，k 为常数.
请根据上述信息并结合第(1)问的信息帮助小新证明，a T aE =，并求出a ；
(3)物理学中有些运动可以在三维空间进行，容器边长为L ；而在某些情况下，有些运动被限制在平面(二维空间)进行，有些运动被限制在直线(一维空间)进行．大量的粒子在二维空间和一维空间的运动，与大量的粒子在三维空间中的运动在力学性质上有很多相似性，但也有不同．物理学有时将高维度问题采用相应规划或方法转化为低纬度问题处理．有时也将低纬度问题的处理方法和结论推广到高维度．我们在曲线运动、力、动量等的学习中常见的利用注意分解解决平面力学问题的思维，本质上就是将二维问题变为一维问题处理的解题思路．
若大量的粒子被限制在一个正方形容器内，容器边长为L ，每个粒子的质量为m ，单位面积内的粒子的数量0n 为恒量，为简化问题，我们简化粒子大小可以忽略，粒子之间出碰撞外没有作用力，气速率均为v ，且与器壁各边碰撞的机会均等，与容器边缘碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与容器边垂直，且速率不变.
a.请写出这种情况下粒子对正方形容器边单位长度上的力0f (不必推导)； B ．这种情况下证还会有a T E ∝的关系吗?给出关系需要说明理由． 【答案】（1）a.2mv
b. 22f nmv =（2）证明过程见解析；4a k =（3）2
0012
f n mv ＝ ；关系不再成立． 【解析】 【分析】 【详解】
（1）a.一个粒子与器壁碰撞一次由动量定理：()2I mv mv mv =--=； b.在∆t 时间内打到器壁单位面积的粒子数：N nv t =∆ 由动量定理：f t NI ∆= 解得22f nmv =
（2）因单位面积上受到的分子的作用力即为气体的压强，则由（1）可知2
02p n mv = 根据P 与热力学温度T 的关系为P =n 0 kT ， 则2
002=n v n m kT ， 即224
=a a T mv E aE k k
=
= 其中4a k =
（3）考虑单位长度，∆t 时间内能达到容器壁的粒子数 1×v ∆tn 0， 其中粒子有均等的概率与容器各面相碰，即可能达到目标区域的粒子数为
01
4
v tn ∆ 由动量定理可得：()02
001
2142
n v t mv p f n mv t t ∆∆∆∆＝＝＝
此时因f 0是单位长度的受力，则f 0的大小不再是压强，则不会有a T E ∝关系.
8．如图所示,一个粗细均匀的U 形管内装有同种液体,在管口右端盖板A 密闭,两液面的高度差为h,U 形管内液柱的总长度为4h.现拿去盖板,液体开始运动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度是多大?
【答案】18
gh 【解析】 【分析】
拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，液体的机械能守恒，即可求出右侧液面下降的速度，当两液面高度相等时，右侧高为h 液柱重心下降了1 4
h ，液体重力势能的减小量全部转化为整体的动能； 【详解】
设管子的横截面积为S ，液体的密度为ρ，则右侧高出左侧的水银柱的体积为Sh ， 所以其质量为：m Sh ρ=，全部的水银柱的质量：4M S h ρ=⋅
拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，右侧高为h 液柱重心下降了1 4
h 根据机械能守恒定律得：211
42
mg h Mv ⋅= 即：211
442
hSg h hSv ρρ⋅=⋅ 解得：1
8
v gh =． 【点睛】
本题运用机械能守恒定律研究液体流动的速度问题，要注意液柱h 不能看成质点，要分析其重心下降的高度．
9．如图所示，在光滑的水平桌面上放置一根长为l 的链条，链条沿桌边挂在桌外的长度为a ，链条由静止开始释放，求链条全部离开桌面时的速度。

【答案】22()l a g
v l
-=【解析】 【分析】 【详解】
链条从图示位置到全部离开桌面的过程中，原来桌面上的那段链条下降的距离为
2
l a
-，挂在桌边的那段链条下降的距离为l a -，设链条单位长度的质量为m '，链条总的质量为
m lm '=，由机械能守恒定律得：
21
()()22
l a m l a g
m ag l a lm v -'''-+-= 解
22()l a g
v l
-=
点评：根据重力势能的减少量等于链条动能的增加量列方程，不需要选取参考平面。

10．电磁缓冲器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度。

某同学借助如下模型讨论电磁阻尼作用：如图，足够长的U 型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(090θ<<)，其中MN 与PQ 平行且间距为L ，导轨平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。

金属棒ab 质量为m ，接入电路部分的电阻为R ，与两导轨始终保持垂直且良好接触。

金属棒ab 由静止开始沿导轨下滑，到ab 棒速度刚达到最大的过程中，流过ab 棒某一横截面的电量为q ，（重力加速度g ）。

求：
(1)金属棒ab 达到的最大速度；
(2)金属棒ab 由静止到刚达到最大速度过程中产生的焦耳热。

【答案】(1)22sin mgR B L θ；(2)322244
sin sin 2θθ
-
mgqR m g R BL B L 【解析】 【分析】 【详解】
(1)金属棒ab 达到最大速度时，受力平衡，则有
sin mg F θ=安，F BIL =安
根据闭合电路欧姆定律则有
m
BLv I R
=
联立可得
m 22
sin mgR v B L θ
=
(2)假设全过程下滑位移为x ，对全过程应用动能定理则有
k sin mgx W E θ-=∆安
其中
=BLx E t t ∆Φ=∆∆ E q t R
=
∆ 联立可得 322244sin sin 2mgqR m g R Q W BL B L
θθ==-安。