正方形专题培优1,2

题4图
D
A
B C
F
E
正方形专题培优（1）
专题一 正方形的性质和判定 1、填空题：
2、如图，用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为_________ ．
3、如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为_________ 平方厘米．
4、如图，以△ABC 的各边向同侧做正△ABD 、正△BCF 、正△ACE
⑴求证：四边形AEFD 是平行四边形。

⑵当△ABC 是__________三角形时，四边形AEFD 是菱形。

⑶当∠BAC= _____度时，四边形AEFD 是矩形。

⑷当条件满足_____时，四边形AEFD 是正方形。

⑸当∠BAC= _____度时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在。

5、如图1，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连接EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．
（1）求证：OE=OF ；
（2）如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
专题二 教材习题及其变式
1、如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点，∠AEF=90°，EF 交正方形外角的平分线CF 于F ． 求证：AE=EF ；
变式题1（随州）如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由．
在下列特征中，
（1） 四条边都相等
（2） 对角线互相平分
（3） 对角线相等
（4） 对角线互相垂直
（5） 四个角都是直角
（6） 每一条对角线平分一组对角 （7） 对边相等且平行
平行四边形具有的是：
矩形具有的是：
菱形具有的是：
正方形具有的是：
变式题2（无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=_________ 时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
变式题3（乌鲁木齐）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点
E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外
角平分线AG交于点P．
（1）点E坐标为（t，0）（t＞0），结论CE=EP是否成立，
请说明理由；
（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在点M，使得四边形
BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存
在，说明理由．
变式题4 在正方形ABCD中，点E在直线CB上，连接AE，
过点E作EF⊥AE，交正方形ABCD外角平分线所在直线于F
(1)如图1，当点E在线段BC上时，求BD、CE、CF之间的数
量关系
(2)如图2，当点E在CB的延长线上时，求BD、CE、CF之间
的数量关系；
F
E
D
C
B
A
(3)如图3，当点E在BC的延长线上时，求BD、CE、CF之间
的数量关系
正方形专题培优（2）
专题三线段垂直在正方形证明中的作用
1、如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形；
2、已知正方形ABCD．
（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的
直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF
与GH相等吗？请写出你的结论；
（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条
互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）
截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正
方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，
BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交
于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．
3、如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，
DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
(1) 求证：DE－BF ＝ EF．
(2) 当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数
量关系，并说明理由．
(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图
②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不
需要证明）．
4、点P 是正方形ABCD 的边BC 上任意一点，过B 点作BG ⊥AP 于G ，过C 作CE ⊥AP 于E ，连接BE
（1）如图1，若P 是BC 的中点，BC=2，求CE 的长
P
G
E
D
C
B
A
（2）如图2.当点P 在BC 上运动时（ 不与B 、C 重合），求AG-CE
BE
的值
P
G
E
D
C
B
A
5、如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG AP ⊥于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG GE =，连接BE ，CE .
（1） 求证：BE BC =；
（2）CBE ∠的平分线交AE 于N 点，连接DN ，求证：
2BN DN AN +=；
（3）若正方形的边长为2，当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为 .。