第二节 古典概型

2. 从1，2，，n中任取2个数，求两数之和为偶数的概率.
3. 口袋中有2个5分，3个2分，5个1分的硬币，现从中任取5个， 求钱额总数超过1角的概率.
课堂练习
1. 两封信随机地投入标号为1，2，3，4的4个信箱，求
(1) 前两个信箱各有一封信的概率；
(2) 第二个信箱恰好有一封信的概率；
(3) 第一个信箱没有信的概率.
解：(1) 所求概率
P
1 76
.
(2) 所求概率：
P
66 76
6 6 . 7
于是可得
54
1
P A
C52 C140
21 10 9 8 7
1. 21
4321
2
P
B
C54C21C21C21C21 C140
80 210
8. 21
3
PC
C51C22C42C21C21 C140
120 210
4. 7
例6. 袋中有a个红球，b个白球，现在把球随机地一个个摸 出来，求第k次摸出的是一个红球的概 率(1 k a b)
.
事实上，
又 P()
1，
n
{
k 1
所以
k } P(
P({1 })
n
)
k 1
P ({ 2
P({k })
})
nP({k })
P ({ n
})
1 n
.
而
A
m
{
k 1
ik
}， 故P( A)
m
P ({ ik
k 1
})
m n
.
例1. 口袋中有5个黑球，4个白球，从中任取两球，求 :
(1) 两球都为白球的概率； (2) 两球为一黑一白的概 率.
(2) 规范性： 对必然事件Ω，有P(Ω) 1；
(3) 有限可加性：若A1，A2，，An是两两互不相容事件，则
课堂练习
n
n
P( Ak ) P( Ak ).
k 1
k 1
1. 两封信随机地投入标号为1，2，3，4的4个信箱，求 (1) 前两个信箱各有一封信的概率； (2) 第二个信箱恰好有一封信的概率； (3) 第一个信箱没有信的概率.
i 每一个班级各分配到一名优秀生的概率 ;
ii 3 名优秀生分配在同一班级的概率 .
解 15名新生平均分到三个班级的分法总数为
C155C150C 55
15! 10! 10!5! 5!5!
15! . 5!5!5!
i 每一个班级各分到一名优秀生的分法为
3!C142C84C44
3! 12! . 4!4!4!
n1
P
2
2
C
2 n
n1. 2n
3. 口袋中有2个5分，3个2分，5个1分的硬币，现从中任取 5个，求钱额总数超过 1角的概率.
解：
所求概率为：
P
C 22C 83
C
21C
33C
1 5
C150
C
21C
32C
2 5
0.5.
4. 一学生宿舍有6名学生，求：
(1) 6人生日都在星期天的概率；
(2) 6人生日都不在星期天的概率.
事件 B 所含的样本点数为
C
n N
n!
故
PA
n! Nn
,
PB
C
n N
N
n!
n
.
例5 有 5 双不同型号的鞋子,从中任取4 只,求
下列各事件的概率 :
1 取出的 4 只鞋恰好为两双 ; 2 取出的 4 只鞋都是不同型号的; 3 取出的 4 只鞋恰好有两只配成一双 .
解 设 A 取出的 4 只鞋恰好为两双 ,
解：记事件A={第k次摸出的一个球是红球}.
把a个红球及b个白球都看作是不同的(设想它们都被编了号)， 把摸出的球依次放在排列成一直线的a b个位置上，则可能的
排列法相当于把a b个球进行全排列.将每一种排列法作为一个 样本点，那么各样本点的出现是等可能的，样本点总数为(a b)!
下面求事件A所包含的样本点个数。
于是所求概率为
3! 12!
p1
4!4!4! 15!
25 . 91
5!5!5!
ii 三名优秀生分到同一个班级的分法为

3
C122C150C55
3
12! 2!5!5!
.
于是所求概率为
p2
3 12! 2!5!5! 15!
6. 91
5!5!5!
例4 设有 n 个小球 ,每个都等可能地落入 N 个格子 ,
由于第k次摸得红球有a种取法，而另外(a b 1)次摸球 相当于a b 1个球进行全排列，有(a b 1)!种排法。
故 P( A) a (a b 1)! a
(a b)!
ab
这就是通常 的抓阄问题.
3.古典概率P( A)的性质：
(1) 非负性：对任一事件A，有 0 P( A) 1；
B 取出的 4 只鞋都是不同型号的, C 取出的 4 只鞋恰好有两只配成一双.
从 5 双鞋子 10只中任取 4 只 ,取法总数为 C140 .
A(恰好为两双)中所含有的基本事件数为 C52 .
B(4只不同型号)中所含有的基本事件数为 C54C21C21C21C21 .
C(恰有两只配成一双) 中所含有的基本事件数为 C51C22C42C21C21 .
每个格子的球数不限，其中 n N ,
试求下列事件的概率 :
1 A 某指定的 n 个格子中各有一球 ;
2 B 任意的 n 个格子中各有一球 .
解 n 个球都等可能地落入到 N 个格子中,应有 N n 种可能的方法, 所以样本点总数为 N n .
事件 A (不需要选格子)所含的样本点数为 n!
解：
所求概率为：
P
C110C
1 2
C
C1 1
21
C112C111
1. 6
另外，第一次抽出次品的概率
P
C 21 C112
1. 6
一般地，一批产品共有n个正品，m个次品，现从中随机地逐个
不放回抽取产品，则第k次(k m+n)抽到次品的概率为 P m .
nm
例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去 , 这 15 名新生中有 3 名是优秀生 . 求
解
：
(1)
样本点总数：
n
C
2 9
36，
所给事件A包含的样本点数： m C42 6，
故所求概率为：P( A) 6 1 .
(2) 所求概率为：
36 P(B)
6
C51C41 C92
5. 9
例2. 一批产品共有10个正品，2个次品，从中任意抽取两次，
每次抽一个，抽出后不放回，求第二次抽出次品的概率.
解：(1)
P1
C
1 2
42
1 8
.
(2)
P2
C21C31 42
3 8
.
(3)
P3
32 42
9 16
.
2. 从1，2，，n中任取2个数，求两数之和为偶数的概率.
解：
(1) 当n为偶数时，所求概率为：P
C2 n
C2 n
2
2
C
2 n
n2 . 2(n 1)
(2) 当n为奇数时，所求概率为：
C C 2
2
n1
第一章 概率论的基本概念
第二节 古典概率
1. 古典概型：指满足以下两个条件的随机试验：
(1) 样本空间只有有限个样本点，
(2) 每个样本点出现的可能 性相同(称为等可能 )，
2. 概率的古典定义： 在古典概型中，设 {1，2，，n }，
A {i1，i2，，im }，则
P( A)
m n
事件A包含的样本点数 样本点总数