勾股定理的逆定理(第2课时)-2020-2021学年八年级数学下册课时同步练(人教版)(解析版)

第十七章勾股定理
专题17.2 勾股定理第逆定理（第2课时）
基础巩固
一、单选题（共10小题）
1.下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（）
A．3，4，5B．5，12，13C．8，16，17D．7，24，25
【答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+122＝132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、82+162≠172，故不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、72+242＝252，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【知识点】勾股定理的逆定理
2.下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）
A．3，4，5B．，，
C．12，13，15D．0.03，0.04，0.06
【答案】A
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+32＝52，故能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、因为122+132≠152，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、0.032+0.042≠0.062，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【知识点】勾股定理的逆定理
3.在下列四个条件：①AB2+BC2＝AC2，②∠A＝90°﹣∠B，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A：∠B：∠C＝5：
3：2中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）
A．①③B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解答】解：①∵AB2+BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠C＝180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
∴∠A＝180°×＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：D．
【知识点】直角三角形的性质、勾股定理的逆定理
4.如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7m，如果梯子
的顶端B下滑0.4m至B'，那么梯子底端将滑动（）
A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m
【答案】C
【分析】利用勾股定理计算出BO长，进而可得B′O的长，然后再利用勾股定理计算出A′O的长，进而可得答案．
【解答】解：∵AB＝2.5m．AO＝0.7m，
∴BO＝＝＝2.4（m），
∵B′O＝BO﹣BB′＝2.4﹣0.4＝2（m）．
∴A′O＝＝1.5（m），
A′A＝A′O﹣AO＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．
故梯足将滑动的距离是0.8m．
故选：C．
【知识点】勾股定理的应用
5.如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段AB，BC，CD．现在取
出这三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形．下列判断正确的是（）
A．能拼成一个直角三角形B．能拼成一个锐角三角形
C．能拼成一个钝角三角形D．不能拼成三角形
【答案】A
【分析】利用勾股定理计算出三条线段的平方，然后再利用勾股定理逆定理可得答案．
【解答】解：由网格图可得：
AB2＝22+32＝4+9＝13，
CB2＝22+12＝4+1＝5，
CD2＝22+22＝4+4＝8，
∴CB2+CD2＝5+8＝13＝AB2，
∴线段AB，BC，CD首尾相连拼成的三角形是直角三角形，
故选：A．
【知识点】勾股定理、三角形三边关系、勾股定理的逆定理
6.如图，在Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC中，DG，AF，EH均为斜边中线，则以DG，AF，EH为边构成
的三角形是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【答案】B
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半，可得出DG＝AB，EH＝AC，AF＝BC，在Rt△ABC中
利用勾股定理可得出BC2＝AB2+AC2，进而可得出（BC）2＝（AB）2+（AC）2，即AF2＝
DG2+EH2，再利用勾股定理的逆定理可找出以DG，AF，EH为边构成的三角形是直角三角形．【解答】解：在Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC中，DG，AF，EH均为斜边中线，
∴DG＝AB，EH＝AC，AF＝BC．
∵△ABC为直角三角形，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴（BC）2＝（AB）2+（AC）2，即AF2＝DG2+EH2，
∴以DG，AF，EH为边构成的三角形是直角三角形．
故选：B．
【知识点】勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线
7.如图，已知△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，AB上取一点E，AC上取一点F使得∠EFC＝136°，
过点B作BD∥EF，则∠CBD等于（）
A．44°B．56°C．46°D．68°
【答案】C
【分析】在△ABC中，由三边的长度可得出AC2+BC2＝AB2，进而可得出△ABC为直角三角形（∠ACB＝90°），过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，利用平行的性质可得出∠MCF的度数，结合∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF可求出∠BCM的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠CBD的度数．
【解答】解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，
∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°．
过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示．
∵CM∥EF，∠EFC＝136°，
∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝44°，
∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝46°．
又∵CM∥BD，
∴∠CBD＝∠BCM＝46°．
故选：C．
【知识点】平行线的性质、勾股定理的逆定理
8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，如果AE＝4，EF＝3，AF＝5，那么正方形ABCD
的面积等于（）
A．B．C．16D．24
【答案】B
【分析】由AE＝4，EF＝3，AF＝5，利用勾股定理逆定理可证明∠AEF＝90°，再利用正方形性质可证明△ABE∽△ECF，即可得＝＝＝，设AB＝4a，在Rt△ADF中，应用勾股定理即可建
立方程求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°
∵AE＝4，EF＝3，AF＝5，
∴AE2+EF2＝42+32＝25，AF2＝52＝25
∴AE2+EF2＝AF2
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°
∵∠AEB+∠BAE＝90°
∴∠CEF＝∠BAE
∴△ABE∽△ECF
∴＝＝＝，设AB＝4a，则EC＝3a，AD＝CD＝BC＝4a，
∴BE＝a，CF＝，DF＝a
∵AD2+DF2＝AF2
∴（4a）2+＝25，
∴a2＝
∴S正方形ABCD＝（4a）2＝16a2＝16×＝；
故选：B．
【知识点】勾股定理的逆定理、正方形的性质
9.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为
EF中点，则AM的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
【解答】解：连接AP，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴S△ABC＝，
∴，
∴AP最短时，AP＝，
∴当AM最短时，AM＝AP＝．
故选：A．
【知识点】勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短
10.如图，P为等边三角形ABC内的一点．且P到三个顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，则△P AB的
面积为（）
A．10B．8C．6D．3
【答案】D
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE ＝60°，则△BPE为等边三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延长BP，作AF⊥BP于点F AP＝3，PE＝4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF的长，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+P A2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝AP＝，
∴△P AB的面积＝PB•AF＝4×＝3，
故选：D．
【知识点】全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质
二、填空题（共6小题）
11.若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边2既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即2是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可得到结果．
【解答】解：设第三边为x，
（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：
12+22＝x2，所以x＝；
（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：
12+x2＝22，所以x＝；
综上所述：x的值为或，
故答案为：或．
【知识点】勾股定理的逆定理
12.已知△ABC的三边分别为a，b，c．且a，b满足b＝++12，c＝13．则S△ABC＝．
【答案】30
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：a＝5，
则b＝12，
∵52+122＝132，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝5×12×＝30，
故答案为：30．
【知识点】二次根式有意义的条件、勾股定理的逆定理
13.如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少飞
行米．
【答案】10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
则EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（m），
在Rt△AEC中，AC＝＝10（m），
答：小鸟至少飞行10米．
故答案为：10．
【知识点】勾股定理的应用
14.△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是．（填写
序号）
（1）a：b：c＝5：12：13，（2）a＝1.5，b＝2.5，c＝2，（3）（a﹣b）2+2ab＝c2，（4）∠A：∠B：∠C ＝3：4：5，（5）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n为大于1的正整数）
【答案】（1）（2）（3）（5）
【分析】直角三角形的判定方法，大约有以下几种：
①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；
②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根
据两种情况进行判断即可．
【解答】解：（1）（5x）2+（12x）2＝（13x）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（2）（1.5）2+（2）2＝（2.5）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符
合题意；
（3）由（a﹣b）2+2ab＝c2，可得：a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直
角三角形，符合题意；
（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，此时∠C＝100°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合
题意；
（5）（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，
符合题意；
故答案为：（1）（2）（3）（5）．
【知识点】三角形内角和定理、勾股定理的逆定理
15.学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，AD⊥
CD，那么需要绿化部分的面积为．
【答案】288
【分析】由AC2+BC2＝100+576＝676＝262＝AB2，则△ABC为直角三角形，即可求解．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2＝64+36＝100，
∵AC2+BC2＝100+576＝676＝262＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
需要绿化部分的面积＝S△ACB﹣S△ACD＝×AC•BC﹣AD×CD＝﹣×8×6＝
288，
故答案为288．
【知识点】勾股定理的应用
16.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝cm，∠BAC＝120°，点P在BC上从C向B运动，点Q在AB、
AC上沿B→A→C运动，点P、Q分别从点C、B同时出发，速度均为1cm/s，当其中一点到达终点时两点同时停止运动，则当运动时间t＝﹣﹣s时，△P AQ为直角三角形．
【分析】分三种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：①当P A⊥AB时，△P AQ是直角三角形．
∵∠B＝30°，AB＝，
∴P A＝1，PB＝2，
∵BC＝3，
∴PC＝1，
∴t＝1s时，△P AQ是直角三角形．
②当PQ⊥AB时，△P AQ是直角三角形．
此时BQ＝PB，
∴t＝（3﹣t），
∴t＝6﹣9，
∴t＝（6﹣9）s时，△P AQ是直角三角形．
③当点Q在AC上时，PQ⊥AC时，△P AQ是直角三角形，
则CQ＝PQ，
∴t＝2﹣t，
解得t＝8﹣12．
④当点Q在AC上时，P A⊥AC时，△P AQ是直角三角形，
此时PC＝2，t＝2，
∴t＝2s时，△P AQ是直角三角形．
综上所述，t＝1或2或（8﹣12）或（6﹣9）s时，△P AQ是直角三角形．
故答案为1或2或（8﹣12）或（6﹣9）．
【知识点】勾股定理、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理
拓展提升
三、解答题（共6小题）
17.如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝
8，CD＝2．求证：AB∥DC．
【分析】根据勾股定理可求BD＝6，再根据勾股定理的逆定理可求∠BDC＝90°，再根据平行线的判定即可求解．
【解答】证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，
∴BD＝＝＝6，
∵BC＝8，CD＝2，
∴62+（2）2＝82，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥DC．
【知识点】平行线的判定、勾股定理的逆定理、勾股定理
18.为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测
量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【分析】（1）连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC 为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝AC•BC﹣AD•CD
＝×5×12﹣×4×3＝24（m2）．
（2）需费用24×200＝4800（元），
答：总共需投入4800元．
【知识点】勾股定理的应用
19.如图，在△ABC中，∠ADC＝90°，若CD＝12，AD＝16，BC＝15．
（1）求AC，BD的长．
（2）判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）在直角△ACD中利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，CD＝12，AD＝16，
∴AC2＝CD2+AD2＝122+162＝400，
∴AC＝20．
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，CD＝12，BC＝15，
∴BD2＝BC2﹣CD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9；
（2）△ABC是直角三角形．
理由：∵AD＝16，BD＝9，
∴AB2＝（AD+BD）2＝252＝625，
∵AC＝20，BC＝15，
∴AC2+BC2＝400+225＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
所以△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理、勾股定理
20.如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求线段AB的长；
（2）求∠ABC的度数．
【分析】（1）运用勾股定理即可求得AB；
（2）结合网格求出AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，运用勾股定理的逆定理可得到∠ABC＝90°．【解答】解：（1）AB＝＝2；
（2）∵AC2＝42+32＝25，AB2＝（2）2＝20，BC2＝22+12＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°．
【知识点】勾股定理的逆定理、勾股定理
21.定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角
三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分两种情形①当MN为最大线段时，依题意
MN2＝AM2+NB2；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2；分别列出方程即可解决问
题．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故答案为是．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
综上所述BN的长为或．
【知识点】勾股定理的逆定理
22.如果一个直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，（a＞d＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形．
（1）判定按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（）
A.1，2，3；
B.1，，2；
C.1，，3；
D.3，4，5．
（2）性质求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4．
（3）应用如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC中剪一个矩形，且矩形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC，AC上，已知AB＝50cm，BC＞AC，∠C＝90°，求剪出矩形面积的最大值．
【分析】（1）根据新定义“均匀直角三角形”判断即可；
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）根据勾股定理求得BC＝40，AC＝30，过C作CH⊥AB于H交EF于M，根据相似三角
形的性质和二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）A、∵1+2＝3，
∴1，2，3三条线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、当﹣d＝1，+d＝2，
得d＝1+，d＝2﹣，
∵1+≠2﹣，故B不符合题意；
C、∵1，
∴1，，3三条线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、当4﹣d＝3，4+d＝5，
得d＝1，
∵32+42＝52，
∴3，4，5能组成均匀直角三角形，故D符合题意；
故选D．
（2）∵直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，
∴（a﹣d）2+a2＝（a+d）2，
化简得a2﹣4ad＝0，
∴a（a﹣4d）＝0，
∵a＞d＞0，
∴a﹣4d＝0，
∴a＝4d，
∴较小直角边与较大直角边的比是（a﹣d）：a＝3d：4d＝3：4；
（3）∵Rt△ABC是均匀直角三角形，
∴设AC＝a﹣d，BC＝a，AB＝a+d，
∵AB＝50，
∴d＝50﹣a，
∴AC＝2a﹣50，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（2a﹣50）2+a2＝502，
∵a＞0，
∴a＝40，
∴BC＝40，AC＝30，
过C作CH⊥AB于H交EF于M，
∴CH＝＝＝24，
∵四边形DEFG是矩形，
∴设FG＝x，
∴CM＝24﹣x，
∵EF∥AB，
∴△CFE∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
∴S矩形DEFG＝FG•EF＝＝﹣（x﹣12）2+300，
∴剪出矩形面积的最大值是300cm2．
【知识点】勾股定理的应用。