武汉市武钢实验学校选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且
13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）．
A ．14
B ．12
C ．34
D ．1
2．直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==，90ACB ∠=，则直线1A C 与平面11A BC 所成的角的大小为（ ）
A ．30
B ．60
C ．90
D ．120
3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且1,2AB BC ==，
60ABC ∠=,AP ⊥平面ABCD ，AE PC ⊥于E ，下列四个结论：①AB AC ⊥；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ;④BE PC ⊥ .其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足AB AC 0⋅=，AB AD 0⋅=，AC AD 0⋅=，则BCD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形 5．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．垂直
C ．相交但不垂直
D ．无法判定
6．给出下列两个命题：命题:p 空间任意三个向量都是共面向量；命题:q 若0a >，0b >，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．()p q ⌝∧ D ．()p q ⌝∨ 7．ABC 中，90ACB ∠=︒，22AB BC ==，将ABC 绕BC 旋转得PBC ，当直
线PC 与平面PAB 所成角正弦值为66时，P 、A 两点间的距离为（ ）
A ．2
B ．22
C ．42
D ．4
8．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =，PB ⊥平面ABC ，点M ，N 分别AC ，PB 的中点，6MN =，Q 为线段AB 上的点，使得异面直线PM 与CQ 所成的角的余弦值为34，则BQ BA
为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．34
9．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，且2AB BC ==，3AD =，PA ⊥平面ABCD 且2PA =，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（ ）
A ．427
B 3
C 7
D 6 10．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）
A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
11．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111A C B C ==，且11190A C B ∠=，D 点在棱1AA 上且12AD DA =，P 点在棱1C C 上，则1PD PB ⋅的最小值为（ ）
A ．52
B ．14-
C ．14
D ．52
- 12．点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ）
A ．1
[1,]4-- B ．1
1[,]24-- C ．[1,0]- D ．1
[,0]2
- 13．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.
A ．2
B ．3
C ．23
D ．4
二、填空题
14．如图，已知平面α⊥平面β，l αβ=，∈A l ，B l ∈，AC α⊂，BD β⊂，AC l ⊥，BD l ⊥，且4AB =，3AC =，12BD =，则CD =_________________.
15．写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．
16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D --的正切值_______
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是底边为1的菱形，60BAD ∠=，2PB =，PA PD =，当直线PB 与底面ABCD 所成角为30时，二面角P CD A --的正弦值为______.
18．如图，矩形ABCD 中，1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ DQ ⊥，则a 的值等于________.
19．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．
20．已知空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，2OM MA =，点N 在BC 上，3BN NC =，则MN 等于__________．（用a ，b ，c 表示）
21．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心E 是BD 上一点，3,BE ED =以,,AB AC AD 为基底，则GE =__________．
22．给出下列命题：
①直线l 的方向向量为a =（1，﹣1，2），直线m 的方向向量b =（2，1，﹣12
），则l 与m 垂直；
②直线l 的方向向量a =（0，1，﹣1），平面α的法向量n =（1，﹣1，﹣1），则l ⊥α； ③平面α、β的法向量分别为1n =（0，1，3），2n =（1，0，2），则α∥β； ④平面α经过三点A （1，0，﹣1），B （0，1，0），C （﹣1，2，0），向量n =（1，u ，t ）是平面α的法向量，则u+t=1.
其中真命题的是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
23．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为1，
113BAD A AD A AB π
∠=∠=∠=，E 为1CC 的中点，则AE 的长度是________.
24．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.
25．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，14,3,5AD AB AA ===，1AC =__．
26．点(1,A 2，1)，(3,B 3，2)，(1,C λ+4，3)，若,AB AC 的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．
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一、选择题
1．C 解析：C
【分析】
利用空间向量的基本定理可计算得出1111333
OG OA OB OC =++，由已知条件可得出134
OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果. 【详解】
如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，
1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =
， 而()()
111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+， ()
1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+
()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，
所以，133111111443334
44OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===
，因此，34
x y z ++=. 故选：C.
【点睛】 方法点睛：对于空间向量的基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.
2．A
解析：A
【分析】
以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1A C 与平面11A BC 所成的角.
【详解】
在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，
又90ACB ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设11AC BC AA ===，则()11
,0,1A 、()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,1C ， ()111,0,0A C =-，()10,1,1=-BC ，()1
1,0,1=--AC ，
设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，
由11100
n AC x n BC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得0x y z =⎧⎨=⎩，令1y =，可得0x =，1z =， 所以，平面11A BC 的一个法向量为()0,1,1n =，1111cos ,22n A C
n A C n A C ⋅<>==-⨯⋅， 所以，直线1A C 与平面11A BC 所成角的正弦值为
12，则直线1A C 与平面11A BC 所成角为30.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h l
θ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.
3．D
解析：D
【详解】
已知1
260AB BC ABC ==∠=︒，，， 由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒3=，
所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；
由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；
AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确； 由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，
故选D ．
4．B
解析：B
【分析】
由0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=，可得
()()2
0BC BD AC AB AD AB AB ⋅=--=>，B ∠是锐角，同理可得D ∠，C ∠都是锐角，从而可得结果．
因为0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=，
所以
()()22
0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+=>， cos 0BC BD
B B
C B
D ⋅∴=>⋅，故B ∠是锐角， 同理0CB CD ⋅>，0DC DB ⋅>，可得D ∠，C ∠都是锐角，
故BCD 是锐角三角形，故选B ．
【点睛】
本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法：①看三角形的角；②看三角形的边.
5．B
解析：B
【分析】
根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案.
【详解】
由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，
可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =，
又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=，
所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．D
解析：D
【分析】
判断命题p 和命题q 为假命题，再判断复合命题的真假得到答案.
【详解】
命题:p 空间任意三个向量都是共面向量，为假命题；
当0a b =>时，方程22
1ax by +=表示圆，故q 为假命题； 故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题.
故选：D .
本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.
7．B
解析：B
【分析】
取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由题意得到∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，利用直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为6，PC ＝3，求出CE ，再求出CD ，可得PD ，即可得出结论． 【详解】
取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，
由已知得BC ⊥CA ， BC ⊥CP ， CA CP C =，则BC ⊥平面PAC ， 得到BC ⊥PA ，CD BC C ⋂=，可得PA ⊥平面BCD ，
又PA ⊂平面PAC ∴平面BCD ⊥平面PBA ，
平面BCD 平面PBA =BD ，由两个平面互相垂直的性质可知：CE ⊥平面PBA ，
∴∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，
∵直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为
66，PC ＝AC =3， ∴CE ＝6262
PC =， 设CD ＝x ，则BD ＝21x +，21
1211222
x x ∴⋅⋅=⋅+⋅ ， ∴x ＝1，∵PC ＝3，∴PD ＝2，∴PA ＝2PD ＝22．
故选：B ．
【点睛】
本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和分析推理能力以及计算能力，属于中档题．
8．A
解析：A
【分析】
以B为原点，,,
BA BC BP
坐标轴建立空间直角坐标系，设
BQ
BA
λ
=,由异面直线PM与
CQ所成的角的余弦值为34
34
可列式
2
2234
3244
PM CQ
PM CQ
，求出λ即可.【详解】
如图，在三棱锥P ABC
-中，2
AB BC
==，22
AC =，BA BC
∴⊥, PB⊥平面ABC，以B为原点，,,
BA BC BP坐标轴建立空间直角坐标系，
可知()
0,0,0
B，()
0,2,0
C ，()
1,1,0
M，
2,6
BM MN，222
BN MN BM，
4
PB
∴=，则()
0,0,4
P，
设
BQ
BA
λ
=，且01
λ
<<，则2,0,0
Q，
可知1,1,4,2,2,0
PM CQ,
12124022
PM CQ，
2
22
11432
PM，2
44
CQ，
异面直线PM与CQ
34
，
2
2234
34
3244
PM CQ
PM CQ
，解得
1
4
λ=或4
λ=（舍去），
1
4
BQ
BA
∴=.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量法求空间线段的比例分点，属于中档题.
9．C
解析：C
【分析】
以A为坐标原点建立空间坐标系，进而求得PB和平面PCD的法向量，再由向量的数量积即可求得PB与平面PCD所成角的正弦值.
【详解】
依题意，以A为坐标原点,分别以,,
AB AD AP为,,
x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz
-，2,3,2
AB BC AD PA
====,
则()()()()
0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,3,0
P B C D,
从而()()()
2,0,2,2,2,2,0,3,2
PB PC PD
=-=-=-
设平面PCD的法向量为()
,,
n a b c
=,
n PC
n PD
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
,即
2220
320
a b c
b c
+-=
⎧
⎨
-=
⎩
，
不妨取3
c=c=3,则1,2
a b
==,
所以平面PCD的一个法向量为()
1,2,3
n=，
所以PB与平面PCD所成角的正弦值
()2
2222
267
sin cos,
22123
PB n
θ
-
===
+-++
，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了线面所成的角, 其中求解平面的法向量是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.
10．C
解析：C 【分析】
设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得4
3
λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】 设(,,)Q x y z ，
由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,
所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,
则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43
λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
11．B
解析：B 【分析】
由题易知1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设
()03PC a a =≤≤，可知()0,0,P a ，进而可得1,PD PB 的坐标，然后求得1PD PB ⋅的表
达式，求出最小值即可. 【详解】
由题意可知，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()10,1,3B ，()1,0,2D ，设()03PC a a =≤≤，则()0,0,P a ， 所以()1,0,2P a D =-，()10,1,3a PB =-，
则()()2
151002324a a a PD PB ⎛⎫=++--=-- ⎪⎝⋅⎭，
当5
2a =
时，1PD PB ⋅取得最小值14-. 故选：B.
【点睛】
本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(,,)x y z ，其中
01,01,1x y z ≤≤≤≤=，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，
即得其取值范围． 【详解】
以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；
则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得 01,01,1x y z ≤≤≤≤=，
1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--
2
2
2
2
1111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛
⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 由二
次函数的性质可得，当1
2
x y ==
时1PA PC ⋅取得最小值为12-；
当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0， 则1PA PC ⋅的取值范围是1
,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
故选D ．
【点睛】
本题考查空间向量的数量积运算，解题方法量建立空间直角坐标系，引入坐标后，把向量的数量积用坐标表示出来，然后利用函数的性质求得最大值和最小值．
13．B
解析：B 【分析】
由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2
CD ，则CD 的长可求． 【详解】 解：
CD CA AB BD =++，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，
CA AB ⊥，BD AB ⊥，
∴0CA AB =，0BD AB =，
()1
||||cos 1801201212
CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=．
∴2124219CD =+++⨯=，
||3CD ∴=，
故选：B ． 【点睛】
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
14．13【分析】根据面面垂直得线面垂直进而得再根据向量模的平方求得结果【详解】因为平面平面所以因为所以故答案为：13【点睛】本题考查面面垂直性质定理利用空间向量求线段长考查基本分析论证与求解能力属中档题
解析：13 【分析】
根据面面垂直得线面垂直，进而得AC BD ⊥,再根据向量模的平方求得结果. 【详解】
因为平面α⊥平面β，l α
β=，AC α⊂,AC l ⊥，所以AC β⊥，
因为BD β⊂，所以AC BD ⊥， CD CA AB BD =++
2222
222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=+++⋅+⋅+⋅ 2222341200013||13CD =+++++=∴=
故答案为：13 【点睛】
本题考查面面垂直性质定理、利用空间向量求线段长，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
15．【分析】化直线方程为斜截式求出直线的斜率得到直线的一个方向向量进而可求得直线的一个法向量得到答案【详解】由题意化直线的方程为斜截式可得直线的斜率为-2所以直线的一个方向向量为所以直线的一个法向量为故
解析：()21
， 【分析】
化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案． 【详解】
由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，
所以直线的一个方向向量为12-（，）
，所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为21（，） 【点睛】
本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．
16．【分析】根据题意先得到平面所以向量为平面的一个法向量；分别以为轴轴以垂直于平面过点的直线为轴建立空间直角坐标系根据题意求出平面的一个法向量根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值进而可求出结果【详解】
【分析】
根据题意，先得到AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，根据题意求出平面1B ED 的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果. 【详解】
因为AC BC ⊥，1AC CC ⊥，1BC
CC C =，且1,BC CC ⊂平面11BCC B ，
所以AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量； 分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，
建立空间直角坐标系C xyz -，
因为2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，所以()2,0,0A ，()0,0,0C ，
()2,0,0B ，
则12,2D ⎛ ⎝⎭
，(E
，170,2B ⎛ ⎝⎭
，
所以12,,22ED ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，150,22EB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，()2,0,0AC =- 设平面1B ED 的一个法向量为(),,m x y z =，
则 1m ED m EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩
，即112022
50
22m ED x y z m EB y z
⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，
解3
55x z y z ⎧=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，令5z =，则(
)
3,m =
，
所以cos ,4AC m AC m AC m
⋅<
>=
=
=
，
由图像可得，二面角1B B E D --为锐角，记为θ，
所以co cos s ,AC m θ>=<=，
因此sin θ==
所以sin tan cos 3θθθ=
==
.
221
.
【点睛】
本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.
17．1【分析】取中点过作于点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面从而得到；再根据线面垂直判定定理得到面由线面角定义可知通过勾股定理可求得由此可知在直线上从而得到面面垂直关系可知二面角为从
解析：1
【分析】
⊥于F点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理取AD中点E，过P作PF BE
⊥；再根据线面垂直判定定理得到PF⊥面可证得AD⊥平面PBE，从而得到AD PF
=，由此可知F ABCD，由线面角定义可知30
∠=，通过勾股定理可求得EF BE
PBF
在直线CD上，从而得到面面垂直关系，可知二面角为90，从而得到正弦值.
【详解】
⊥于F点
取AD中点E，连接BE并延长，过P作PF BE
PA PD =，E 为AD 中点 PE AD ⊥∴
四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= ABD ∴∆为等边三角形 BE AD ∴⊥ ,PE BE ⊂平面PBE ，PE BE E ⋂= AD ∴⊥平面PBE
PF ⊂平面PBE AD PF ∴⊥
又PF BF ⊥，,BF AD ⊂平面ABCD ，BF
AD E = PF ∴⊥面ABCD
∴直线PB 与底面ABCD 所成角为PBF ∠ sin 2sin301PF PB PBF ∴=⋅∠=⨯=
在PBE ∆中，由余弦定理得：
2223337
2cos 444222
PE PB BE PB BE PBE =+-⋅∠=+-⨯=
223
EF PE PF ∴=-=
，又3BE = F ∴在CD 延长线上 PF ∴⊂平面PCD ∴平面PCF ⊥平面ABCD
∴二面角P CD A --的大小为90，正弦值为1
故答案为：1 【点睛】
本题考查立体几何中二面角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定定理、直线与平面所成角、勾股定理等知识的应用；关键是能够通过线面垂直关系确定直线与平面所成角的位置.
18．【详解】连接AQ 取AD 的中点O 连接OQ ∵PA ⊥平面
ABCDPA ⊥DQPQ ⊥DQ ∴DQ ⊥平面PAQ 所以DQ ⊥AQ ∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ∴BC 与
解析：2
【详解】
连接AQ ，取AD 的中点O ，连接OQ ． ∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊥DQ ，PQ ⊥DQ ， ∴DQ ⊥平面PAQ ，所以DQ ⊥AQ ．
∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上， 又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ，
∴BC 与圆O 相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．） ∴OQ ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴OQ =AB =1，∴BC =AD =2， 即a =2． 故答案为：2．
考点：直线与平面垂直的性质．
19．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其
解析：168 【分析】
根据向量//a b ，设λa
b ，列出方程组，求得1
2
λ=
，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】
由题意，向量//a b ，设λa
b ，
又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-， 所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，
即2423(21)2(32)
m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩
，解得17
,,622m n λ===，
所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==， 所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=.
故答案为：168.
【点睛】
本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．【分析】利用向量加法和减法的三角形法则以及向量线性运算的运算律即可用表示【详解】因为所以【点睛】主要考查向量的线性运算法则以及运算律属于基础题 解析：213344
a b c -++ 【分析】
利用向量加法和减法的三角形法则，以及向量线性运算的运算律即可用,,a b c 表示MN
【详解】
因为
213344
MN a b c =-++ 所以//AC BC
【点睛】
主要考查向量的线性运算法则以及运算律，属于基础题.
21．【解析】由题意连接则故答案为 解析：1131234
AB AC AD -
-+ 【解析】 由题意，连接AE ，
则32 43GE AE AG AB BD AM =-=+- 321432AB AD AB AB AC =+--⨯+（）（）． 1131234
AB AC AD =--+ . 故答案为1131234
AB AC AD --+. 22．①④【解析】则则直线与垂直故①正确则则或故②错误与不共线不成立故③错误点向量是平面的法向量即解得故④正确综上所述其中真命题是①④点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用①求数量积利用数量积进
解析：①④
【解析】
()112a =-，，，1212b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，，，则11211202a b ⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪⎝⎭
则a b ⊥，∴直线l 与m 垂直，故①正确 ()011a =-，，，()111n =--，，，则()()()0111110a n =⨯+⨯-+-⨯-=
则a n ⊥，l α∴或l α⊂，故②错误
()1013n ，，=，()2102n =，
，，1n ∴与2n 不共线， αβ∴不成立，故③错误
点()1
01A -，，，()010B ，，，()120C -，， ()111AB ∴=-，，，()11
0BC =-，， 向量()1
n u t =，，是平面α的法向量 00
n AB n BC ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，即1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩，解得1u t +=，故④正确 综上所述，其中真命题是①，④
点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用．①求数量积a b ，利用数量积进行判断，②求数量积a n ，利用数量积进行判断，③求利用1n 与2n 的关系进行判断，④利用法向量的定义判断，即可得到答案．
23．【分析】根据向量的线性运算得出根据向量的数量积运算即可求出结果
【详解】解：由题可知所以得故答案为：【点睛】本题考查向量的运算涉及到线性运算和向量的数量积同时考查学生的化归和转化思想
【分析】 根据向量的线性运算，得出112AE AB BC CC =++
，根据向量的数量积运算，即可求出结果.
【详解】 解：由题可知，112AE AB BC CC =++
， 所以2211()2
AE AB BC CC =++ 222111124
AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅ 22211112cos60cos60cos604
AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++⋅+⋅+⋅
11111711242224
=+++⨯++= 得17AE =.
故答案为：
2
. 【点睛】 本题考查向量的运算，涉及到线性运算和向量的数量积，同时考查学生的化归和转化思想. 24．1【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果【详解】因为点分别是边的中点则又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2所以原式故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的运算解题过 解析：1
【分析】
结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.
【详解】
因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,
则111()()224
AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=
⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1
【点睛】
本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.
25．【分析】先由空间向量的基本定理将向量用一组基底表示再利用向量数量积的性质计算即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A1B1C1D1是平行六面体∵=++∴=（++）2=+++2+2+2又∵∠BAD=∠A1AB
【分析】
先由空间向量的基本定理，将向量1AC 用一组基底1
AA AD AB ，，表示，再利用向量数量积的性质22a a =，计算1AC 即可
【详解】
∵六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体，
∵1AC =1AA +AD +AB ∴21AC =（1AA +AD +AB ）2=21AA +2AB +2AD +21AA AD ⋅+21AA AB ⋅+2AB AD ⋅ 又∵∠BAD=∠A 1AB=∠A 1AD=60°，AD=4，AB=3，AA 1=5，
∴21AC =16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97 ∴197AC =
【点睛】
本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同 26．【分析】根据的夹角为锐角可得且不能同向共线解出即可得出【详解】12的夹角为锐角且不能同向共线解得则的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查了向量夹角公式向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：()()2,44,∞-⋃+
【分析】 根据,AB AC 的夹角为锐角，可得0AB AC ⋅>，且不能同向共线.解出即可得出．
【详解】
(2,AB =1，1)，(,AC λ=2，2)，
,AB AC 的夹角为锐角，2220AB AC λ∴⋅=++>，且不能同向共线．
解得2λ>-，4λ≠．则λ的取值范围为()()2,44,∞-⋃+．
故答案为()()2,44,∞-⋃+．
【点睛】
本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。