南京外国语中学七年级数学上册期末压轴题汇编

南京外国语中学七年级数学上册期末压轴题汇编
一、七年级上册数学压轴题
1．如图，O 为直线AB 上的一点，过点O 作射线OC ，∠AOC=30°，将一直角三角板
（∠M=30°），的直角顶点放在O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方，将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）几秒后ON 与OC 重合？
（2）如图2，经过t 秒后，OM 恰好平分∠BOC ，求此时t 的值．
（3）若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC 平分∠MOB ？请画出图并说明理由．
2．如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q 与数轴上的原点重合（提示：圆的周长2C r π=）．
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数是________；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：
2,1,5,4,3,2+--++-
①第几次滚动后，Q 点距离原点最近？第几次滚动后，Q 点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有多少？此时点Q 所表示的数是多少？
3．如图，在数轴上点A 表示的数是－3，点B 在点A 的右侧，且到点A 的距离是18；点C 在点A 与点B 之间，且到点B 的距离是到点A 距离的2倍．
（1）点B 表示的数是；点C 表示的数是；
（2）若点P 从点A 出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，当P 运动到C 点时，点Q 与点B 的距离是多少？
（3）在（2）的条件下，若点P 与点C 之间的距离表示为PC ，点Q 与点B 之间的距离表示为QB ．在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB ＝4？若存在，请求出此时点P 表
示的数；若不存在，请说明理由．
4．如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，其中39a c ==、．若点A 与点B 之间的距离表示为AB a b ，点B 与点C 之间的距离表示为BC b c =-，点B 在点A C 、之间，且满足2BC AB = ．
（1）b = ； （2）若点M N 、分别从A 、C 同时出发，相向而行，点M 的速度是1个单位/秒，点N 的速度是2个单位秒，经过多久后M N 、相遇．
（3）动点M 从A 点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C 运动，设运动时间为t 秒，当点M 运动到B 点时，点N 从A 点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C 点运动，N 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A ，问：在点N 开始运动后，M N 、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出运动的时间t 的值以及此时对应的M 点所表示的数；如果不能，请说明理由．
5．已知实数a ，b ，c 在数轴上所对应的点分别为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，且a ，b ，c 满足()2520c a b -++=．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A 与点B 之间的距离可表示为AB ．
（1）a = ，b = ，c = ；
（2）点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C 以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t 秒，则AB = ，BC = ；（结果用含t 的代数式表示）这种情况下，BC AB -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）若A ，C 两点的运动和（2）中保持不变，点B 变为以每秒n （0n >）个单位长度的速度向右运动，当3t =时，2AC BC =，求n 的值．
6．在数轴上，点A 向右移动1个单位得到点B ，点B 向右移动()1n +（n 为正整数）个单位得到点C ，点A ，B ，C 分别表示有理数a ，b ，c ；
（1）当1n =时，
①点A ，B ，C 三点在数轴上的位置如图所示，a ，b ，c 三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能（ ）
A ．在点A 左侧或在A ，
B 两点之间 B ．在点
C 右侧或在A ，B 两点之间
C ．在点A 左侧或在B ，C 两点之间
D ．在点C 右侧或在B ，C 两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a 的值；
（2）将点C 向右移动()2+n 个单位得到点D ，点D 表示有理数d ，若a 、b 、c 、d 四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a 为整数，请写出n 与a 的关系式．
7．阅读理解：定义：A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是它到点B 的时距离的n （n 为大于1的常数）倍，则称点C 是（A ，B ）的n 倍点，且当C 是（A ，B ）的n 倍点或（B ，A ）的n 倍点时，我们也称C 是A 和B 两点的n 倍点．例如，在图1中，点C 是（A ，B ）的2倍点，但点C 不是（B ，A ）的2倍点．
（1）特值尝试．
①若2n =，图1中，点________是（D ，C ）的2倍点．（填A 或B ）
②若3n =，如图2，M ，N 为数轴上两个点，点M 表示的数是2-，点N 表示的数是4，数________表示的点是（M ，N ）的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点P 从N 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动t 秒，若P 恰好是M 和N 两点的n 倍点，求所有符合条件的t 的值．（用含n 的式子表示）
（3）拓展应用：
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的M 和N 两点的所有n 倍点P 均处于点N 的“可视距离”内，请直接写出n 的取值范围．（不必写出解答过程）
8．已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分COB ∠．
（1）如图1，若120,32AOB AOC ∠=︒∠=︒，则EOF ∠=__________度；
（2）若,AOB AOC αβ∠=∠=，
①如图2，若射线OC 在AOB ∠的内部绕点O 旋转，求EOF ∠的度数；
②若射线OC 在AOB ∠的外部绕点O 旋转（旋转中AOC ∠、BOC ∠均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF ∠的大小，直接写出EOF ∠的度数． 9．已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm 到达A 点，再从A 点向右移动10cm 到达B 点，点C 是线段AB 的中点．
（1）点C 表示的数是 ；
（2）若点A 以每秒2cm 的速度向左移动，同时C 、B 两点分别以每秒1cm 、4cm 的速度向右移动，设移动时间为t 秒，
①运动t 秒时，点C 表示的数是 （用含有t 的代数式表示）；
②当t ＝2秒时，CB •AC 的值为 ．
③试探索：点A 、B 、C 在运动的过程中，线段CB 与AC 总有怎样的数量关系？并说明理由．
10．如图，已知∠AOB =120°，射线OP 从OA 位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB 旋转；与此同时，射线OQ 以每秒6°的速度，从OB 位置出发逆时针向射线OA 旋转，到达射线OA 后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ 返回并与射线OP 重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t 秒．
（1）当t =2时，求∠POQ 的度数；
（2）当∠POQ =40°时，求t 的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t 的值，使得∠POQ =12∠AOQ ？若存在，求出t 的值；若不
存在，请说明理由．
11．已知∠AOB ，过顶点O 作射线OP ，若∠BOP ＝12∠AOP ，则称射线OP 为∠AOB 的“好
线”，因此∠AOB 的“好线”有两条，如图1，射线OP 1，OP 2都是∠AOB 的“好线”． （1）已知射线OP 是∠AOB 的“好线”，且∠BOP ＝30°，求∠AOB 的度数．
（2）如图2，O 是直线MN 上的一点，OB ，OA 分别是∠MOP 和∠PON 的平分线，已知∠MOB ＝30°，请通过计算说明射线OP 是∠AOB 的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON ＝120°，∠NOB ＝40°．射线OP 和OA 分别从OM 和OB 同时出发，绕点O 按顺时针方向旋转，OP 的速度为每秒12°，OA 的速度为每秒4°，当射线OP 旋转到ON 上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP 能否成为∠AOB 的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
12．如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如180∠=，220∠=，|12|60-=∠∠，则1∠和2∠互为“伙伴角”，即1∠是2∠的“伙伴角”，2∠也是1∠的“伙伴角”．
（1）如图1．O 为直线AB 上一点，90AOC EOD ∠=∠=，60∠AOE=，则AOE ∠的“伙伴角”是_______________．
（2）如图2，O 为直线AB 上一点，AOC 30∠=，将BOC ∠绕着点O 以每秒1°的速度逆时针旋转得DOE ∠，同时射线OP 从射线OA 的位置出发绕点O 以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线OP 与射线OB 重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t 秒，求当t 何值时，POD ∠与POE ∠互为“伙伴角”．
（3）如图3，160AOB ∠=，射线OI 从OA 的位置出发绕点O 顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t 秒170(0)3
t <<，射线OM 平分AOI ∠，射线ON 平分BOI ∠，射线OP 平分MON ∠．问：是否存在t 的值使得AOI ∠与POI ∠互为“伙伴角”？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．
13．如图 1，射线OC 在∠AOB 的内部，图中共有 3 个角：∠AOB 、∠AOC 和∠BOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是∠AOB 的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图 2，若∠MPN = 60︒ ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10︒ 的速度逆时针旋转， 当∠QPN 首次等于180︒ 时停止旋转，设旋转的时间为t (s ) ．
①当t 为何值时，射线 PM 是∠QPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6︒ 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转．请求出当射线 PQ 是∠MPN 的奇妙线时t 的值．
14．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:2的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:3的两个角的射线，叫做这个角的四分线……
显然，一个角的三分线、四分线都有两条．
例如：如图1，若2BOC AOB ∠=∠，则OB 是AOC ∠的一条三分线；若2AOD COD ∠=∠，则OD 是AOC ∠的另一条三分线．
（1）如图2，OB 是AOC ∠的三分线，BOC AOB ∠>∠，若60AOC ∠=︒，则AOB ∠= ； （2）如图3，120DOF ∠=︒，OE 是DOF ∠的四分线，DOE EOF ∠>∠，过点O 作射线OG ，当OG 刚好为DOE ∠三分线时，求GOF ∠的度数； （3）如图4，120AOD ∠=︒射线OB 、OC 是AOD ∠的两条四分线，将BOC ∠绕点O 沿顺时针方向旋转(0180)a α︒≤≤，在旋转的过程中，若射线OB 、OC 、OD 中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出α的值．
15．已知150AOB ∠=︒，OD 为∠AOB 内部的一条射线．
（1）如图（1），若60BOC ∠=︒，OD 为∠AOB 内部的一条射线，13
COD BOC ∠=∠，OE 平分∠AOB ，求∠DOE 的度数；
（2）如图（2），若OC 、OD 是∠AOB 内部的两条射线，OM 、ON 分别平分∠AOD ，∠BOC ，且MOC NOD ∠≠∠，求AOC BOD MOC NOD
∠-∠∠-∠的值； （3）如图（3），C 1为射线OB 的反向延长线上一点，将射线OB 绕点O 顺时针以6°
/s 的速度旋转，旋转后OB 对应射线为OB 1，旋转时间为t 秒（0＜t 35），OE 平分∠AOB 1，
OF 为∠C 1OB 1的三等分线，11113
C OF C OB ∠=∠，若130∠-∠=︒C OF AOE ，直接写出t 的值为_________．
16．（阅读理解）
射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠COA ＝1
2∠BOC ，则我们称射线OC 是射线OA 关
于∠AOB 的伴随线．例如，如图1，若∠AOC ＝12∠BOC ，则称射线OC 是射线OA 关于
∠AOB 的伴随线；若∠BOD ＝12∠COD ，则称射线OD 是射线OB 关于∠BOC 的伴随线．
（知识运用）如图2，∠AOB ＝120°．
（1）射线OM 是射线OA 关于∠AOB 的伴随线．则∠AOM ＝_________°
（2）射线ON 是射线OB 关于∠AOB 的伴随线，射线OQ 是∠AOB 的平分线，则∠NOQ 的度数是_________°．
（3）射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t （秒），使得∠COD 的度数是20°，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．
②当t 为多少秒时，射线OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．
17．如图①，O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．
（1）若30AOC ∠=︒，则BOD ∠=____________°，DOE ∠=____________°； （2）将图①中的COD ∠绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若AOC α∠=，求DOE ∠的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图①中的COD ∠绕顶点O 顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系：__________________．（不用证明）
18．如图，已知120AOB ∠=︒，COD △是等边三角形（三条边都相等、三个角都等于60︒的三角形），OM 平分BOC ∠．
（1）如图1，当30AOC ∠=︒时，DOM ∠=_________；
（2）如图2，当100AOC ∠=︒时，DOM ∠=________；
（3）如图3，当()0180AOC αα∠=<︒<︒时，求DOM ∠的度数，请借助图3填空． 解：因为AOC α∠=，120AOB ∠=︒，
所以120BOC AOC AOB α∠=∠-∠=-︒，
因为OM 平分BOC ∠，
所以MOC ∠=________BOC ∠=_________（用α表示），
因为COD △为等边三角形，
所以60DOC ∠=︒，
所以DOM MOC DOC ∠=∠+∠=_______（用α表示）．
（4）由（1）（2）（3）问可知，当()0180AOC ββ∠=︒<<︒时，直接写出DOM ∠的度数（用β来表示，无需说明理由）
19．已知OC 是AOB ∠内部的一条射线，M N 、分别为,OA OC 上的点，线段, OM ON 同时分别以30/s, 10/s ︒︒的速度绕点O 逆时针旋转，设旋转时间为t 秒．
（1）如图①，若120AOB ∠=︒，当OM ON 、逆时针旋转到OM ON ''、处，
①若, OM ON 旋转时间t 为2时，则BON COM ''∠+∠=______；
②若OM '平分,AOC ON '∠平分,BOC M ON ''∠∠=_____；
（2）如图②，若4AOB BOC OM ON ∠=∠,,分别在,AOC BOC ∠∠内部旋转时，请猜想COM ∠与BON ∠的数量关系，并说明理由．
（3）若80AOC OM ON ∠=︒,,在旋转的过程中，当20MON ∠=︒时，求t 的值．
20．如图，两条直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC=∠AOD ，射线OM （与射线OB 重合）
绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°
/s ，射线ON （与射线OD 重合）绕O 点顺时值方向旋转，速度为12°
/s ，两射线，同时运动，运动时间为t 秒（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有______个直角；当t=2时，∠MON 的度数为_____，∠BON 的度数为_____，∠MOC 的度数为_____；
（2）当0＜t ＜12时，若∠AOM=3∠AON －60°，试求出t 的值．
（3）当0＜t ＜6时，探究
72COM BON MON
∠+∠∠的值，在t 满足怎样的条件是定值，在t 满足怎样的条件不是定值．
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一、七年级上册数学压轴题
1．（1）10秒；（2）5秒；（3）秒．
【分析】
（1）用角的度数除以转动速度即可得；
（2）根据∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；
解析：（1）10秒；（2）5秒；（3）70
3
秒．
【分析】
（1）用角的度数除以转动速度即可得；
（2）根据∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；
（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可．
【详解】
（1）∵30÷3＝10，
∴10秒后ON与OC重合；
（2）∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝2∠COM＝150°，
∴∠COM＝75°，
∴∠CON＝15°，
∴∠AON＝∠AOC−∠CON＝30°−15°＝15°，
解得：t＝15°÷3°＝5秒；
（3）如图
∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠BOC＝∠COM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°＋6t，
∴∠COM为1
2
（90°−3t），
∵∠BOM＋∠AON＝90°，
可得：180°−（30°＋6t）＝1
2
（90°−3t），
解得：t＝70
3
秒．
【点睛】
此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
2．（1）-2π；（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；；②34π；2π．
【分析】
（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即
解析：（1）-2π；（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；；②34π；2π．
【分析】
（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
【详解】
解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是-
2π；
故答案为：-2π；
（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；
②|﹢2|+|-1|+|-5|+|+4|+|+3|+|-2|=17，
Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；
（+2）+（-1）+（-5）+（+4 ）+（+3 ）+（-2）=1，
1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．
【点睛】
此题主要考查了数轴的应用以及绝对值的性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
3．（1）15，3；（2）3；（3）存在，1或 【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数；根据线段的倍分关系可求点表示的数；
（2）算出点P 运动到点C 的时间即可求解； （3）分点在点左侧时，点
解析：（1）15，3；（2）3；（3）存在，1或113
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点B 表示的数；根据线段的倍分关系可求点C 表示的数； （2）算出点P 运动到点C 的时间即可求解；
（3）分点P 在点C 左侧时，点P 在点C 右侧时两种情况讨论即可求解． 【详解】
解：（1）点B 表示的数是31815-+=；点C 表示的数是131833
-+⨯=． 故答案为：15，3；
（2）当P 运动到C 点时，3[3(3)]42
t =--÷=s ， 则，点Q 与点B 的距离是：3
232
⨯=；
（3）假设存在，
当点P 在点C 左侧时，64PC t =-，2QB t =，
4PC QB +=， 6424t t ∴-+=，
解得1t =．
此时点P 表示的数是1；
当点P 在点C 右侧时，46PC t =-，2QB t =，
4PC QB +=， 4624t t ∴-+=，
解得53
t =
． 此时点P 表示的数是
113
． 综上所述，在运动过程中存在4PC QB +=，此时点P 表示的数为1或113
． 【点睛】
考查了数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
4．（1）5；（2）2秒；（3）当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．
【分析】
（1）用b 表示BC 、AB 的长度，结合BC=2AB 可求出b 值； （2）根据相遇时间
解析：（1）5；（2）2秒；（3）当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9． 【分析】
（1）用b 表示BC 、AB 的长度，结合BC=2AB 可求出b 值； （2）根据相遇时间=相遇路程÷速度和，即可得出结论；
（3）用含t 的代数式表示出点M ，N 表示的数，结合MN=2，即可得出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】
（1）∵39a c ==、．
又∵点B 在点A 、C 之间，且满足BC=2AB ， ∴9-b=2（b-3）， ∴b=5． （2）AC=9-3=6
6÷（2+1）=2，即两秒后相遇．
（3）M 到达B 点时t=（5-3）÷1=2（秒）； M 到达C 点时t=（9-3）÷1=6（秒）； N 到达C 时t=（9-3）÷2+2=5（秒） N 回到A 点用时t=（9-3）÷2×2+2=8（秒） 当0≤t≤5时，N 没有到达C 点之前， 此时点N 表示的数为3+2（t-2）=2t-1； M 表示的数为3+t MN=21(3)4t t t --+=-=2 解得6t = （舍去）或2t = 此时M 表示的数为5
当5≤t≤6时，N 从C 点返回，M 还没有到达终点C 点N 表示的数为9-2（t-5）=-2t+19； M 表示的数为3+t
MN=219(3)316t t t -+-+=-=2 解得6t =或14
3
t =
（舍去） 此时M 表示的数为9
当6≤t≤8时，N 从C 点返回，M 到达终点C 此时M 表示的数是9
点N 表示的数为9-2（t-5）=-2t+19； MN=9(219)210t t --+=-=2 解得6t =
此时M 表示的数是9
综上所述：当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9． 【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
5．（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或 【分析】
（1）根据b 是最小的正整数，即可确定b 的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a ，b ，c 的值； （2）用关于
解析：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）136
或212 【分析】
（1）根据b 是最小的正整数，即可确定b 的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a ，b ，c 的值； （2）用关于t 的式子表示BC 和AB 即可求解；
（3）分别求出当t=3时，A 、B 、C 表示的数，得到AC 和BC ，根据AC=2BC 列出方长，解之即可． 【详解】
解：（1）∵()2
520c a b -++=，b 是最小的正整数， ∴c-5=0，a+2b=0，b=1， ∴a=-2，b=1，c=5， 故答案为：-2，1，5；
（2）∵点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴t 秒后，A 表示的数为-t-2，B 表示的数为2t+1，C 表示的数为5t+5， ∴BC=5t+5-（2t+1）=3t+4，AB=2t+1-（-t-2）=3t+3， ∴BC-AB=3t+4-（3t+3）=1，
∴BC-AB 的值不会随着时间t 的变化而改变，BC-AB=1； （3）当t=3时，
点A 表示-2-3=-5，点B 表示1+3n ，点C 表示5+5×3=20， ∴AC=20-（-5）=25，BC=2013n --=193n -， ∵AC=2BC ， 则25=2193n -，
则25=2（19-3n ），或25=2（3n-19）， 解得：n=
136
或21
2．
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB ，BC 的变化情况是关键．
6．（1）①C ；②-2或或；（2）当为奇数时，，当为偶数时， 【分析】
（1）把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案； （2）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表
解析：（1）①C ；②-2或32-或12-；（2）当n 为奇数时，3
2n a +=-，当n 为偶数时，
2
2
n a +=-
【分析】
（1）把1n =代入即可得出1AB =，2BC =，再根据a 、b 、c 三个数的乘积为正数即可选择出答案；
（2）分两种情况讨论：当n 为奇数时；当n 为偶数时；用含n 的代数式表示a 即可． 【详解】
解：（1）①把1n =代入即可得出1AB =，2BC =， a 、b 、c 三个数的乘积为正数，
∴从而可得出在点A 左侧或在B 、C 两点之间．
故选C ；
②1b a =+，3c a =+， 当13a a a a ++++=时，2a =-， 当131a a a a ++++=+时，3
2
a =-，
当133a a a a ++++=+时，1
2
a =-；
（2）依据题意得，1b a =+，12c b n a n =++=++，224d c n a n =++=++． a 、b 、c 、d 四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，
0a c ∴+=或0b c +=．
2
2n a +∴=-
或32
n a +=-； a 为整数，
∴当n 为奇数时，32n a +=-
，当n 为偶数时，2
2
n a +=-． 【点睛】
本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
7．（1）①B ；②或7；（2）或或；（3） 【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可得出答案； ②根据新定义的概念列绝对值方程求解即可得出答案； （2）设点P 所表示的数为，再根据新定义的概念列方程求
解析：（1）①B ；②52或7；（2）31n +或31n n +或31n n -；（3）5
4
n ≥
【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可得出答案； ②根据新定义的概念列绝对值方程求解即可得出答案；
（2）设点P 所表示的数为42t -，再根据新定义的概念列方程求解即可； （3）分31t n =
+，31n t n =+，31
n
t n =-三种情况分别表示出PN 的值，再根据PN 的范围列不等式组求解即可． 【详解】
（1）①由数轴可知，
点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2， 点C 表示的数为1，点D 表示的数为0，
1AD ∴=，2AC =， 1
2
AD AC ∴=
， 数点A 不是【D ，C 】的2倍点，
2BD ∴=，1BC =，
2BD BC ∴=，
∴点B 是【D ，C 】的2倍点， 故答案为：B ．
②若点C 是点【M ，N 】的3倍点，
3CM CN ∴=，
设点C 表示的数为x ，
|2|CM x ∴=+，|4|CN x =-，
|2|3|4|x x ∴+=-，
即23(4)x x +=-或23(4)x x +=--， 解得7x =或5
2
x =， ∴数
5
2
或7表示的点是【M ，N 】的3倍点． （2）设点P 所表示的数为42t -， 点P 是M ，N 两点的n 倍点， ∴当点P 是【M ，N 】的n 倍点时，
PM nPN =， |422|2t n t ∴-+=⨯，
622t nt ∴-=或262t nt -=，
解得31t n =
+或31t n
=-， 1n >，
3
1t n
∴=
+， 当点P 是【N ，M 】的n 倍点时，，
PN nPM =，2|422|t n t =⨯-+，
2(62)t n t ∴=⨯-或2(26)t n t =-，解得31n t n =+或31
n
t n =-， ∴符合条件的t 的值为
31n +或31n n +或31
n
n -． （3）2PN t =， 当31t n =+时，61PN n =+， 当31n t n =+时，61n
PN n =+， 当31n t n =
-时，61
n
PN n =-， 点P 均在点N 的可视点距离之内，
30PN ∴≤
6
301630163011
n n n n
n n ⎧≤⎪+⎪⎪≤⎪∴+⎨⎪≤⎪-⎪⎪>⎩，解得54n ≥，
n ∴的取值范围是5
4
n ≥
． 【点睛】
本题考查了n 倍点的概念，解题的关键是掌握n 倍点的两种不同情况．
8．（1）60；（2）①∠EOF=α；②当射线OE ，OF 只有1条在∠AOB 外部时，∠EOF=α；当射线OE ，OF 都在∠AOB 外部时，∠EOF=180°-α． 【分析】
（1）先求出∠BOC 度数，根据角平
解析：（1）60；（2）①∠EOF=1
2α；②当射线OE ，OF 只有1条在∠AOB 外部时，∠EOF=1
2α；当射线OE ，OF 都在∠AOB 外部时，∠EOF=180°-1
2α． 【分析】
（1）先求出∠BOC 度数，根据角平分线定义求出∠EOC 和∠FOC 的度数，求和即可得出答案；
（2）①根据角平分线定义得出∠COE=1
2∠AOC，∠COF=1
2
∠BOC，求出
∠EOF=∠EOC+∠FOC=1
2
∠AOB，代入求出即可；
②分两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出
∠COE=1
2∠AOC，∠COF=1
2
∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=1
2
∠AOB；当射线OE，OF都
在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠EOF=1
2∠AOC，∠COF=1
2
∠BOC，求出
∠EOF=∠EOC+∠COF=1
2
（360°-∠AOB），代入求出即可．【详解】
解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=1
2∠AOC=16°，∠FOC=1
2
∠BOC=44°，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．
故答案为：60；
（2）①∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=1
2∠AOC，∠FOC=1
2
∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=1
2∠AOB=1
2
α；
②分以下两种情况：
当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，如图3①，
∠EOF=∠FOC-∠COE=1
2∠BOC-1
2
∠AOC=1
2
（∠BOC-∠AOC）=1
2
∠AOB=1
2
α．
当射线OE，OF都在∠AOB外部时，如图3②，
∠EOF=∠EOC+∠COF=1
2∠AOC+1
2
∠BOC=1
2
（∠AOC+∠BOC）=1
2
（360°-∠AOB）=180°-
1
2α．
综上所述，当射线OE ，OF 只有1条在∠AOB 外面时，∠EOF=1
2α；当射线OE ，OF 都在∠AOB 外部时，∠EOF=180°-1
2α． 【点睛】
本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
9．（1）-1；（2）①﹣1+t ；②121；③线段CB 与AC 相等，理由详见解析． 【分析】
（1）依据条件即可得到点A 表示﹣6，点B 表示﹣6+10＝4，再根据点C 是线段AB 的中点，即可得出点C 表示的数；
解析：（1）-1；（2）①﹣1+t ；②121；③线段CB 与AC 相等，理由详见解析． 【分析】
（1）依据条件即可得到点A 表示﹣6，点B 表示﹣6+10＝4，再根据点C 是线段AB 的中点，即可得出点C 表示的数；
（2）依据点C 表示的数为﹣1，点以每秒1cm 的速度向右移动，即可得到运动t 秒时，点C 表示的数是﹣1+t ；
②依据点A 表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B 表示的数为4+4×2＝12，点C 表示的数是﹣1+2＝1，即可得到CB •AC 的值；
③依据点A 表示的数为﹣6﹣2t ，点B 表示的数为4+4t ，点C 表示的数是﹣1+t ，即可得到点A 、B 、C 在运动的过程中，线段CB 与AC 相等． 【详解】
解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm 到达A 点，再从A 点向右移动10cm 到达B 点，
∴点A 表示﹣6，点B 表示﹣6+10＝4， 又∵点C 是线段AB 的中点， ∴点C 表示的数为64
2
-+＝﹣1， 故答案为：﹣1．
（2）①∵点C 表示的数为﹣1，点以每秒1cm 的速度向右移动， ∴运动t 秒时，点C 表示的数是﹣1+t ， 故答案为：﹣1+t ；
②由题可得，当t ＝2秒时，点A 表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B 表示的数为4+4×2＝12，点C 表示的数是﹣1+2＝1， ∴当t ＝2秒时，AC ＝11，BC ＝11， ∴CB •AC ＝121， 故答案为：121；
③点A 、B 、C 在运动的过程中，线段CB 与AC 相等．理由：
由题可得，点A 表示的数为﹣6﹣2t ，点B 表示的数为4+4t ，点C 表示的数是﹣1+t ， ∴BC ＝（4+4t ）﹣（﹣1+t ）＝5+3t ，AC ＝（﹣1+t ）﹣（﹣6﹣2t ）＝5+3t ，
∴点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
【点睛】
本题考查数轴上动点问题，整式的加减,与线段有关的动点问题．（1）理解数轴上线段的中点表示的数是两个端点所表示的数的和除以2；（2）掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键，数轴上两点之间对应的距离等于它们所表示的数差的绝对值．10．（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．
【分析】
当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=
解析：（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或
180 11或
180
7
，使得∠POQ=1
2
∠AOQ．
【分析】
当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30；
（1）当t=2时，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出结果即可；
（2）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可；
（3）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可．
【详解】
解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15；
当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20；
当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30；
（1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，
∴∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.
（2）当0≤t≤15时，2t +40+6t=120， t=10；
当15＜t≤20时，2t +6t=120+40， t=20；
当20＜t≤30时，2t=6t-120+40， t=20（舍去）；
答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20.
（3）当0≤t≤15时，120-8t=1
2
(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；
当15＜t≤20时，2t–(120-6t）=1
2(120 -6t），t=
180
11
.
当20＜t≤30时，2t–(6t -120）=1
2(6t -120），t=
180
7
.
答：存在t=12或180
11
或
180
7
，使得∠POQ=1
2
∠AOQ.
【分析】
本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．
11．（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒. 【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP 在∠AOB 内部时，在∠AOB 外部时，两种情况分别求值即可
解析：（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或152
秒. 【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP =60°，再分OP 在∠AOB 内部时，在∠AOB 外部时，两种情况分别求值即可；
（2）根据OB ，OA 别是∠MOP 和∠PON 的平分线，可得∠AOB=90°，∠BOP=30°，进而即可得到结论；
（3）设运动时间为t ，则∠MOP =12t ，∠BOA =4t ，分两种情况：当OP 在OB 上方时，当OP 在OB 下方时，分别列出方程即可求解. 【详解】
解：（1）∵射线OP 是∠AOB 的好线，且∠BOP =30° ∴∠AOP =2∠BOP =60°
∴当OP 在∠AOB 内部时， ∠AOB =∠BOP +∠AOP =90° , 当OP 在∠AOB 外部时，∠AOB = ∠AOP -∠BOP =30° ∴∠AOB =90°或30°；
(2) ∵OB ，OA 别是∠MOP 和∠PON 的平分线
∴∠AOB =∠BOP +∠AOP =1
2 (∠MOP +∠NOP )=90︒，∠BOP =∠BOM =30°， ∴∠AOP =90°-30°=60° ∴∠BOP =1
2∠AOP
∴OP 是∠AOB 的一条“好线” ；
(3) 设运动时间为t ，则∠MOP =12t ，∠BOA =4t ，
当OP 在OB 上方时，∠BOP =80°-12t ，∠AOP =80°+4t -12t =80°-8t ， ∴()80828012t t -=- 解得：t =5；
当OP 在OB 下方时，∠BOP = 12t -80°， ∠AOP =80°+4t -12t =80°-8t ， ∴()80821280t t -=-， 解得：t =
152
综上所述：运动时间为5秒或152
秒. 【点睛】
本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨论是解题。