一元二次方程求根背景下的探究活动—教学设计及点评

上海教育出版社九年义务教育数学课本八年级第一学期第十七章
“一元二次方程求根公式”背景下的探究活动设计说明
上海市静安区教育学院附属学校蔡元凯
一、教学内容及其解析
（一）教学内容
本课教学基于上教版八年级第一学期第十七章阅读材料《关于一元二次方程的求根公式》，主要内容为探索赵爽在《勾股圆方图注》中“已知两数和、两数积，求两数”的问题解决方法，并由特殊到一般逐步探究一元二次方程根与系数关系。

（二）内容解析
“一元二次方程根与系数关系”是建立在“一元二次方程求根公式”学习基础上得出的重要结论，它是八年级第十七章《一元二次方程》这一单元教学内容的拓展与延伸，分别出现于该章末尾的阅读材料《关于一元二次方程的求根公式》（见附页）及九年级教材“拓展Ⅱ”的第一章。

本节课选用阅读材料进行教学，是在初步具备“一元二次方程的概念及解法、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的应用”等单元专题的认知系统上实施的。

阅读材料中简述了古巴比伦人、古希腊人、我国古代数学家赵爽、阿拉伯数学家花剌子米、法国数学家韦达研究一元二次方程的历史及取得的成就。

阅读过程中学生会产生较多的疑问，比如：为什么古巴比伦人对负根略而不提？为什么古希腊人不承认无理根？赵爽利用两数和与积是怎样求得两数的？这个类似求根公式的结果是怎么得来的？为什么要引进代数符号？许多问题具有一定的探究价值。

其中，通过对“已知两数和、两数积，求两数”问题解决方法的探究过程，可以让学生充分体验用几何方法解决方程问题，体会某些直观结论所可能产生的局限性（比如负根问题），可以帮助学生解决其他的相关疑问。

再则，将上述实际问题“两数和与积”与一元二次方程“两根和与积”关联起来，加以整合，以此为起点展开探究活动是符合学生认知特点的。

通过对数字系数方程到二次项系数为1的字母系数方程，再到更为一般的方程中“根与系数关系”的观察、归纳与论证，从特殊推广到一般，同时，让学生感受到了在引进符号系统后，对这一问题进一步研究的严谨性与简捷性，这也是学科理性精神的价值所在。

本节课通过再现前人的研究方法，感悟前人的思维路径，在学生活动中，适时体现交流对话，合作学习的必要性和重要性。

基于以上内容解析，确定本节课课题为：“一元二次方程求根公式”背景下的探究活动。

此类探究活动的研究方法具有一定的典型性，将会引发学生在后续学习中的深入思考。

二、教学目标及其解析
（一）教学目标
1.通过阅读课本，引发思考、提出问题，了解人类认识和研究一元二次方程解法的历史；
2.经历由面积法解决方程问题方法的探究到一元二次方程根与系数关系的探究，体会数形结合、从特殊到一般、转化等数学思想，初步形成对话交流与自发合作的意识；
3.在问题探究的过程中，体会代数、几何方法之间的联系及各自的优势，感知前人解决问题的方法与代数符号系统建立的意义。

（二）目标解析
与一元二次方程相关的研究及结论有很多，通过阅读材料，学生可以了解人类认识和研究一
元二次方程的历史以及我国古代数学家在其中所作的贡献；从一元二次方程求根公式形成的过程中，体会数学演进的历史和建立代数符号系统的意义，感受数学文化。

在学生对阅读材料进行阅读并交流学习体会后，对赵爽的研究成果会产生一定的困惑，从而
激发探究兴趣，并且在了解了平方数与正方形面积的相关性之后，引发用几何方法解决方程问题
的深入探究。

在这个问题分阶段一般化的探究过程中，体现了数形结合、问题转化、从特殊到一
般等数学思想方法。

在用几何方法解决代数问题的过程中，感受知识、方法之间的联系。

该探究
过程也便于发现一元二次方程根与系数关系，有利于学生合作意识的形成，与此同时增强民族自
豪感和文化自信。

三、学生学情分析
通过以往的学习，学生已初步掌握了建立方程模型的方法，对方程思想有了一定的认识，并
且积累了一定的阅读、分析、质疑等基本数学活动经验。

在无理数等知识的学习过程中，已感受
到平方数与正方形面积之间的联系。

八年级的学生已经具备了一定的图形组合、转化等空间想象
能力和逻辑推理能力，初步掌握了一些分析问题、解决问题的方法，这些都将为本节课探究活动
的开展提供一定的基础。

在用几何方法解决代数问题的过程中，如何建立平方数与正方形面积的联系，如何根据条件找到将长方形问题转化为正方形问题的方法，如何发现、归纳、推广结论等，这些都是学生在本节课的学习过程中可能会遇到的困难。

其中，根据学生的认知情况，我预判比较困难的可能是如何根据条件将长方形问题转化为正方形问题，而采用适切的拼图方法既可以有效突破这一难点，又符合学生的认知规律。

四、教学策略分析
教学策略1 问题驱动，阅读引发思考
通过问题1，引导学生阅读课本时关注人们研究一元二次方程的历程，交流各自的感受和疑惑，引发初步思考，提出或引出问题（赵爽在《勾股圆方图注》中“已知两数和、两数积，求两数”的问题解决方法）；通过后续的问题2至问题5等几个问题作为驱动，引发学生深层思考，解决阅读中的困惑，并进行深入探究。

教学策略2 特例起步，推广寻求规律
首先，以问题2：“已知长方形的周长是14，面积是5，求长方形相邻两条边的长.”作为研究的起点和突破口。

其次，再将特殊的数字推广成一般字母，深入研究问题4：“已知长方形面积为q 且相邻两边的和为p ，求长方形相邻两边的长.”并进一步研究字母p 、q 的取值要求。

既而推广到更为一般的问题5：“如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根是x 1、x 2，那么两根与系数之间具有怎样的关系？”在一般式的情形下，发现要得到结论，用图形面积难以解决，必须引入代数符号加以证明，这一过程既是将问题作了一般化的推演，同时又让学生感知到代数符号系统建立的意义。

教学策略3 自发合作，突破学习难点
在探究赵爽如何得到“已知两数和、两数积，求两数”的过程中，最困难的是如何根据条件用拼图的方法将长方形问题转化为正方形问题。

为解决这一困难，课前，我给每位学生准备了一张长方形纸片，让同学们尝试先将“平方数”与“正方形面积”建立起联系，然后，通过自由组合，合作拼图，交流探究解决问题的方法，让学生在实践过程中逐渐认识到充分运用条件的重要性。

教学策略4 以形析数，突显各自优势
为解决与“已知两数和、两数积”有关的问题，通过构建正方形，用图形面积来进行计算，进而求出相关的线段长度，以此来表述一元二次方程的解法，将较为复杂的问题变得简明、形象，突显了几何方法的直观性，体现了“形使数更直观”的优势，感悟前人解决问题的思维方法；在一般化的过程中，以字母p 、q 代替数，突显了几何方法同样具有一般性，但表示线段的字母p 和表示面积的字母q 必须是正实数，这表明了这一方法的局限性，而代数解法就能弥补这种局限，在更一般化的情况下解决问题，体现了“数使形更入微”的特点。

这一过程学生感悟到数形结合的魅力，提高了用图形描述和分析问题的能力。

教学策略5 动态呈示，挖掘隐含特征
在问题4以字母p 、q 代替数的一般化过程中，通过课件的动态化呈现与演示，建立起一元二次方程20x px q -+=的根的判别式与小正方形的面积p 2－4q 之间的联系；进一步依仗图形的动态变化，引导学生观察发现：当小正方形面积p 2－4q ＝0时(这时小正方形退化为一点)，进而联系到上述方程有两个相等的实数根且都等于大正方形边长的一半（即12
p ）这一结论。

几何画板的动态呈现，揭示了一元二次方程根的判别式的几何意义与图形元素的代数意义之间的联系，帮助学生把数与形结合起来研究问题，有利于培养学生多角度思考问题的习惯。

五、教学过程设计
（一） 阅读思考，提出问题
阅读课本第四十九页的阅读材料《关于一元二次方程的求根公式》 。

问题1：人们在研究一元二次方程的过程中，经历了怎样的历程？你有什么感受？还有什么疑问？
引出赵爽“已知两数和，两数积，求这两数”问题的方法。

（教学策略1 问题驱动，阅读引发思考）
【设计意图】通过阅读课本，初步了解人类认识和研究一元二次方程的历史，感受数学文化。

回望历史，感承先贤研风。

同伴交流阅读后的感受和疑问，引发学生发现并提出问题，从而引出赵爽“已知两数和，两数积，求这两数”的问题，作为探究的内容。

（二） 自发合作，探索方法
问题2：已知长方形的周长是14，面积是5，求长方形相邻两条边的长。

（教学策略2 特例起步，推广寻求规律）
学生会利用方程解决问题
问题3：赵爽是用这一方法解决这个问题的吗？他用的是什么方法？
阅读课本第四十九页的第四段内容和第三段内容。

利用纸片，通过拼图，解决问题. 学生代表交流探究的过程与结果。

（教学策略3 自发合作，突破学习难点）
【设计意图】用一个具体问题作为研究起点，先通过列方程方法解决，发现长方形相邻两边长与一元二次方程两根的关系。

再通过二次阅读让学生建立起平方数与正方形面积的联系，尝试用几何方法解决代数问题。

借助拼图将长方形问题转化为正方形问题，利用图形直观进行探索，找到问题解决的方法，体会数形结合的思想。

通过自发合作，形成合作意识，分享交流探究的过程与结果，构建民主平等的课堂氛围，提升交流表达能力。

（三） 推广归纳，发现规律
问题4：已知长方形面积为q ，且相邻两边的和为p ，求长方形相邻两边的长。

发现二次项系数是1的一元二次方程根与系数关系。

（教学策略4 以形析数，突显各自优势）
探究p 、q 满足的条件，将图形上小正方形面积p 2-4q 与一元二次方程x 2-px +q =0根的判别式建立联系。

（教学策略5 动态呈示，挖掘隐含特征）
再次阅读课本第四十九页的第四段内容，进一步理解“{x 1+x 2=2c x 1x 2=b
得x 1,2=2c±√(2c )2−4b 2”的含义。

【设计意图】在学生交流探究的结果并归纳方法之后，进行问题的一般化，类比发现规律，初步形成符号化的意识。

借助几何画板，通过观察图形以及动态演示，得到二次项系数是1的一元二次方程根与系数关系的结论以及p 、q 需要满足的条件，为在更一般的情况下用代数的方法进行证明的必要性埋下伏笔。

然后，通过几何画板的动态呈现，揭示一元二次方程根的判别式的几何意义与图形元素的代数意义之间的联系，帮助学生把数与形结合起来研究问题，有利于培养学生多角度思考问题的习惯。

最后，通过重读课本，深入理解赵爽用面积法解决“已知两数和，两数积求两数”的问题。

（四） 猜想论证，总结规律
问题5：如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根是x 1、x 2，那么两根与系数之间具有怎样的关系？
（1）怎么得到？
（2）结论正确吗？如何说明理由？
（3）a 、b 、c 需要满足怎样的条件？
【设计意图】将问题进一步一般化。

通过转化、猜想，归纳得出结论，并用代数法来证明结论，通过对一元二次方程字母系数a 、b 、c 的讨论，让学生体会到符号表示的重要性、代数符号系统的严谨性，它使人们的思路和书写更加紧凑有效。

（五） 概括小结，延伸问题
1.本节课我们经历了一个怎样的探究过程？
2.对于这一系列的探究过程，你有什么体会与感受？
3.作业：已知长方形面积为q ，且相邻两边的差为p ，如何用面积法求相邻两边的长？
建议：（1）小组合作完成；（2）从特例起步，类比本课中由问题2到问题4的研究方法；（3）记录研究过程，说明研究结果或疑惑。

【设计意图】通过回顾整个探究的过程，体会数形结合、从特殊到一般等数学思想方法，感受数学文化。

最后再回到阅读材料中的花剌子米问题，引发学生新的思考，为学生运用本节课所学的探究方法进行课外的再探究创造了条件，从而把探究活动从课内延伸到课外。

六、课堂教学目标检测
检测作业1：在学习完本节课后，请你进一步查找资料，针对阅读材料中提到的前人在不同历史时期对一元二次方程作出的研究成果和贡献进行梳理，然后采用小报或者PPT 方式呈现并交流。

评价建议：（1）基本能写出前人对一元二次方程的研究成果，可评价为合格；（2）能按照时间顺序梳理出不同历史时期，前人对一元二次方程的研究成果，可评价为良好；（3）不仅能梳理出不同历史时期前人对一元二次方程的研究成果，而且能有一定的补充和完善，或加入自己的理解和感悟，可评价为优秀。

检测作业2：已知长方形面积为q ，且相邻两边的差为p ，如何用面积法求相邻两边的长？
【建议：（1）小组合作完成；（2）从特例起步，类比本课中由问题2到问题4的研究方法；（3）记录研究过程，说明研究结果或疑惑。

】
评价建议：（1）通过小组合作，对字母p 、q 进行赋值，从一个具体问题入手开始研究的，可评价为合格；（2）在探究过程中，根据已知条件找到几种可能的解决方案并进行尝试的，可评价为良好；（3）在探究过程中，根据已知条件找到解决方案并得到结论的，可评价为优秀。

附页：
上海教育出版社九年义务教育数学课本八年级第一学期第十七章
“一元二次方程求根公式”背景下的探究活动点评稿
蔡元凯老师是上海市静安区教育学院附属学校的一位优秀青年教师。

他执教的本节课源于八年级第十七章的阅读材料，与所在章的中心内容有密切联系。

教师在带领学生初步阅读的过程中，提出主旨问题，引发学生深度思考，期盼学生能自主发现、提出疑惑，使本次阅读成为学生学会阅读进程中的一次重要经历。

在了解中外先贤研究一元二次方程的历史和所做出贡献的同时，为后续“一元二次方程根与系数关系”的探究活动奠定了良好基础。

本课内容呈现的基本模式是“问题——活动——归纳”，即问题驱动，导出主题；巧设活动，开展探索；适时归纳，推得结论。

课堂内，教师带领学生先后三次回归教材，从初步阅读到深入阅读，从建立数学模型、提出探究策略，到展开探究活动、判断分析结论、缜密推理论证，在问题的发现、分析、解决过程中，分别作为暗线与明线的数学思想与探究方法的运用，相辅相成，相得益彰。

本课教学环节的设计，以一个具体问题作为研究起点，利用拼图，还原了赵爽“已知两数和与积，求两数”的研究过程，解决了长方形相邻两边长问题，初步感知根与系数之间的关系，体现了自主合作学习的必要性，并有效突破了难点。

这种利用几何方法来解决代数问题的过程，体现了数与形的紧密结合。

同时，在将结论从特殊到一般化的推广过程中，教师通过问题设置，对照几何形态与代数形态的差异，让学生认识用几何方法解决代数问题具有一定的局限性。

通过猜想、转化、论证等必要步骤，体会“一元二次方程根与系数关系”这一结论的简捷性、严谨性，进一步深入理解代数符号系统建立的意义，展现了“以方法探究为基线、以训练思维为中心、以培育理性精神为根本”深度教学的数学课堂。

基础数学是研究“数”与“形”的学问，但纵观本课教学进程，在如何充分利用设问引发学生建立起“数”与“形”之间联系方面，呈现方式还不够清晰，内容组织还不够丰富。