高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第9节 第2课时

第2课时 定点、定值、范围、最值问题
(对应学生用书第151页)
(2018·郑州第二次质量预测)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；
(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．
[解] (1)由题意，得点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则
p
2＝1，p ＝2.
∴圆心M 的轨迹方程为x 2
＝4y .
(2)证明：由题知，直线l 的斜率存在， ∴设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则C (－x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＝4y ，y ＝kx －2，得x 2
－4kx ＋8＝0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.
k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 21
4－
x 2
24x 1＋x 2＝x 1－x 2
4
，
则直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 2
4
(x －x 1)，
即y ＝y 1＋
x 1－x 2
4
(x －x 1)
＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4
＋x 21
4
＝
x 1－x 24
x ＋x 1x 2
4
.
∵x 1x 2＝8，∴y ＝
x 1－x 24
x ＋x 1x 24
＝x 1－x 2
4
x ＋2，
故直线AC 恒过定点(0,2)．
＝bx ＋2与圆x 2
＋y 2
＝2相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E (1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.
【导学号：79140309】
[解] (1)∵直线l ：y ＝bx ＋2与圆x 2
＋y 2
＝2相切． ∴
2
b 2
＋1
＝2，∴b 2
＝1.
∵椭圆的离心率e ＝
63
， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－1a 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫632
，∴a 2
＝3，
∴所求椭圆的方程是x 2
3
＋y 2
＝1.
(2)将直线y ＝kx ＋2代入椭圆方程，消去y 可得 (1＋3k 2
)x 2
＋12kx ＋9＝0，
∴Δ＝36k 2－36＞0，∴k ＞1或k ＜－1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
则有x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝9
1＋3k 2.
若以CD 为直径的圆过点E ， 则EC ⊥ED ．
∵EC →＝(x 1－1，y 1)，ED →
＝(x 2－1，y 2)， ∴(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0.
∴(1＋k 2
)x 1x 2＋(2k －1)(x 1＋x 2)＋5＝0，
∴(1＋k 2
)×91＋3k 2
＋(2k －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 2＋5＝0. 解得k ＝－7
6
＜－1.
∴存在实数k ＝－7
6使得以CD 为直径的圆过定点E .
(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2
＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2
＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，
故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－1
2，
所以不能出现AC ⊥BC 的情况．
(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.
由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m
2
.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－m 2，y －12＝x 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －x 2
2，
又x 2
2
＋mx 2
－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－m
2
，y ＝－1
2.
所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2
，－12，半径r ＝m 2＋92.
故圆在y 轴上截得的弦长为2
r 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2
2
＝3， 即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
[跟踪训练] (2018·石家庄质检(二))设M ，N ，T 是椭圆16＋12
＝1上三个点，M ，N 在直线
x ＝8上的射影分别为M 1，N 1.
(1)若直线MN 过原点O ，直线MT ，NT 斜率分别为k 1，k 2.求证：k 1k 2为定值； (2)若M ，N 不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为(3,0)，△M 1N 1L 与△MNL 面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程．
[解] (1)证明：设M (p ，q )，N (－p ，－q )，T (x 0，y 0)，
则k 1k 2＝y 20－q
2
x 20－p 2
，
又⎩⎪⎨⎪⎧
p 216＋q 2
12＝1，x 2
16＋y 20
12＝1，
两式相减得
x 20－p 216
＋
y 20－q
2
12
＝0，
即y 20－q
2
x 20－p 2＝－34
， k 1k 2＝－3
4
.
(2)设直线MN 与x 轴相交于点R (r,0)，
S △MNL ＝1
2
|r －3|·|y M －y N |， S △M 1N 1L ＝12
×5·|yM 1－yN 1|.
由于S △M 1N 1L ＝5S △MNL 且|yM 1－yN 1|＝|y M －y N |， 得12×5×|yM 1－yN 1|＝5×1
2|r －3|·|y M －y N |， 解得r ＝4(舍去)或r ＝2. 即直线MN 经过点F (2,0)．
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，K (x 0，y 0)，
①当直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为K (2,0)； ②当直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y ＝k (x －2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 216＋y 2
12＝1，y ＝k (x －2)，
则(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2
－48＝0.
x 1＋x 2＝16k 2
3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2
－483＋4k 2.
x 0＝8k 2
3＋4k 2，y 0＝－6k
3＋4k
2.
消去k ，整理得(x 0－1)2
＋4y 2
3
＝1(y 0≠0)．
综上所述，点K 的轨迹方程为(x －1)2
＋4y
2
3
＝1(x ＞0)．
(2018·合肥一检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短
轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y
2
＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线x 4＋y
2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两不同点A ，B ，若
λ|PM |2
＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围． [解] (1)由题意得a ＝2c ，b ＝3c ，
则椭圆E 为x 24c 2＋y 2
3c
2＝1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3＝c 2
，x 4＋y 2＝1
得x 2－2x ＋4－3c 2
＝0.
∵直线x 4＋y
2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，
∴Δ＝4－4(4－3c 2
)＝0⇒c 2
＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32， ∵直线x 4＋y
2
＝1与y 轴交于P (0,2)，
∴|PM |2
＝54
，
当直线l 与x 轴垂直时，
|PA |·|PB |＝(2＋3)(2－3)＝1，
∴由λ|PM |2
＝|PA |·|PB |⇒λ＝45
，
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝kx ＋2，3x 2
＋4y 2
－12＝0
⇒(3＋4k 2
)x 2
＋16kx ＋4＝0，
依题意得x 1x 2＝
43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，∴k 2
＞14
， ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2
)·43＋4k 2
＝1＋
13＋4k 2＝5
4
λ， ∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，∵k 2
＞14，∴45
＜λ＜1，
综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫45，1.
利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围[跟踪训练] (2018·江西师大附中)已知椭圆E ：a 2＋b
2＝1的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶
点为A ，斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点C 在椭圆E 上，AB ⊥AC ，直线 AC 交y 轴于点D ．
(1)当点B 为椭圆的上顶点，△ABD 的面积为2ab 时，求椭圆的离心率； (2)当b ＝3，2|AB |＝|AC |时，求k 的取值范围.
【导学号：79140310】
[解] (1)直线AB 的方程为y ＝b a
x ＋b ， 直线AC 的方程为y ＝－a b
(x ＋a )，
令x ＝0，y ＝－a 2
b
.
S △ABD ＝12·⎝
⎛⎭⎪⎫
b ＋a 2
b ·a ＝2ab ，
于是a 2
＋b 2
＝4b 2
，a 2
＝3b 2，e ＝c
a
＝
1－b 2a 2＝63
. (2)直线AB 的方程为y ＝k (x ＋a )，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2a 2＋y 2
3
＝1，
y ＝k (x ＋a )，
整理得(3＋a 2k 2
)x 2
＋2a 3k 2x ＋a 4k 2－3a 2
＝0，
解得x ＝－a 或x ＝－a 3k 2－3a 3＋a 2k
2，
所以|AB |＝1＋k 2
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－a 3k 2
－
3a 3＋a 2k 2＋a
＝1＋k 2
·
6a
3＋a 2k
2， 同理|AC |＝1＋k 2
·
6a
3k ＋
a 2
k
，
因为2|AB |＝|AC |， 所以2·1＋k 2
·
6a 3＋a 2k 2＝
1＋k 2
·6a 3k ＋
a 2
k
， 整理得a 2
＝6k 2
－3k
k 3－2
.
因为椭圆E 的焦点在x 轴， 所以a 2
＞3，即6k 2
－3k
k 3－2
＞3，
整理得(k 2
＋1)(k －2)k 3－2
＜0，解得32＜k ＜2.
(2017·浙江高考)如图8­9­3，已知抛物线x 2
＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线
上的点P (x ，y )⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .
图8­9­3
(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．
[解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－
14x ＋12
＝x －1
2，
因为－12<x <32
，
所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧
kx －y ＋12k ＋1
4
＝0，x ＋ky －94k －3
2＝0，
解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2
＋4k ＋3
2(k 2
＋1). 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2
(k ＋1)，
|PQ |＝1＋k 2
(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)
2
k 2＋1
，
所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3
. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3
， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2
，
所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |
取得最大值27
16
.
代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值[跟踪训练] (2018·石家庄一模)如图8­9­4, 已知椭圆C ：2＋y 2
＝1的左顶点为A ，右焦
点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF ⊥NF ，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．
图8­9­4
(1)求△MFN 的面积的最小值； (2)证明：E ，O ，D 三点共线．
[解] (1)法一：设M (0，m )，N (0，n )， ∵MF ⊥NF ，∴△OFM ∽△ONF ， ∴OM OF ＝OF ON
，可得m ·n ＝－1.
∴S △MFN ＝1
2|MF ||FN |
＝12
1＋m 2·1＋n 2
＝12
1＋m 2＋n 2＋(mn )2
＝12
2＋m 2＋n 2
≥
1
2
2＋2|mn |＝1，
当且仅当|m |＝1，|n |＝1时，等号成立． ∴△MFN 的面积的最小值为1. 法二：设M (0，m )，N (0，n )， ∵MF ⊥NF ，∴△OFM ∽△ONF ， ∴OM OF ＝OF ON
，可得m ·n ＝－1.
S △MFN ＝12
|OF ||MN |＝12
|MN |，
∵|MN |2
＝|MF |2
＋|NF |2
≥2|MF |×|NF |，当且仅当|MF |＝|NF |时等号成立． 由椭圆的对称性可知，当D 与N 重合，M 与E 重合时， |MF |＝|NF |，∴|MN |min ＝2， ∴(S △MFN )min ＝1
2|MN |＝1.
∴△MFN 的面积的最小值为1.
(2)证明：∵A (－2，0)，M (0，m )， ∴直线AM 的方程为y ＝
m
2
x ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝m 2x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，
得(1＋m 2
)x 2
＋22m 2x ＋2(m 2
－1)＝0，
由－2·x E ＝2(m 2
－1)1＋m 2
，得x E ＝－2(m 2
－1)m 2＋1，① 同理可得x D ＝－2(n 2
－1)
n 2＋1，
∵m ·n ＝－1，
∴x D ＝
－2⎣⎢⎡⎦⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2
－1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m 2
＋1＝
－2(1－m 2)
m 2＋1
，②
故由①②可知x E ＝－x D ， 代入椭圆方程可得y 2
E ＝y 2
D .
∵MF ⊥NF ，故N ，M 分别在x 轴两侧，y E ＝－y D ，当x E ＝0时，x D ＝0，易得E ，O ，D 三点共线，
当x E ≠0时，x D ≠0，此时有y E x E ＝y D x D
，
∴E，O，D三点共线．
11。