人教版九年级数学下册同步练习：微专题十九__解直角三角形中的数学思想

微专题十九__解直角三角形中的数学思想__[学生用书A86]
一 方程思想
(教材P81活动2)
利用测角仪测量塔高：
(1)在塔前的平地上选择一点A ，用活动1中制作的测角仪测出你看塔顶的仰角α(如图1)；
(2)在A 点和塔之间选择一点B ，测出你由B 点看塔顶的仰角β；
(3)量出A ，B 两点间的距离；
(4)计算塔的高度．
图1
解：设AB ＝m ，测角仪的高度为h ，塔高为x ，
则x －h tan α－x －h tan β＝m ，解得x ＝m tan αtan βtan β－tan α
＋h ， ∴塔的高度为m tan αtan βtan β－tan α
＋h . 【思想方法】 运用锐角三角函数的概念，得到边角之间的关系，然后再利用锐角三角函数的知识构造方程求解，这是解直角三角形应用中的常见的方法．
[2018·宿迁]如图2，为了测量山坡上一棵树PQ 的高度，小明在点A 处利用测角仪测得树顶P 的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ 的方向前进10 m 到达点B 处，此时测得树顶P 和树底Q 的仰角分别是60°和30°，设PQ 垂直于
AB ，且垂足为C .
(1)求∠BPQ 的度数；
(2)求树PQ 的高度(结果精确到0.1 m ，3≈1.73)．
图2
解：(1)∠BPQ ＝90°－60°＝30°；
(2)设PC ＝x m.
在Rt △APC 中，∠P AC ＝45°，则AC ＝PC ＝x m.
∵∠PBC ＝60°，
∴∠BPC ＝30°.
在Rt △BPC 中，BC ＝33PC ＝33x m ，
∵AB ＝AC －BC ＝10，∴x －33x ＝10，
解得x ＝15＋53，则BC ＝(53＋5) m.
在Rt △BCQ 中，QC ＝33BC ＝33(53＋5)＝⎝
⎛⎭⎪⎫5＋533 m. ∴PQ ＝PC －QC ＝15＋53－⎝
⎛⎭⎪⎫5＋533≈15.8(m)． 答：树PQ 的高度约为15.8 m.
[2018·常州]京杭大运河是世界历史文化遗产，综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图3，在岸边分别选定了点A ，B 和点C ，D ，先用卷尺量得AB ＝160 m ，CD ＝40 m ．再用测角仪测得∠CAB ＝30°，∠DBA ＝60°，求该段运河的河宽(即CH 的长)．
图3 变形2答图
解：如答图，过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，
易知四边形CDEH 为矩形，CD ＝HE ＝40 m ，DE ＝CH ，
设河宽为x m ，则DE ＝CH ＝x m ，
在Rt △ACH 中，∠CAB ＝30°，可得AH ＝CH tan30°＝3x m ，
在Rt △DEB 中，∠DBA ＝60°，可得BE ＝DE tan60°＝33x m ，
∵AH ＋HE ＋EB ＝160 m ，
∴3x ＋40＋33x ＝160，解得x ＝30 3 m. 答：该段运河的河宽为30 3 m.
二 转化思想
(教材P75例4) 如图4，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m ，这栋楼有多高(结果取整数)?
图4
解：根据题意，得α＝30°，β＝60°，AD ＝120.
∵tanα＝BD
AD
，tanβ＝CD
AD
，
∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×
3
3
＝403(m)，
CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×3＝1203(m)，
∴BC＝BD＋CD＝403＋1203＝1603≈277(m)．
答：这栋楼高约为277 m.
【思想方法】转化与化归思想，就是研究和解决有关直角三角形的边角关系问题时，借助直角三角形的性质，将已知条件或问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的目的，这种等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单，未知转化为已知，通过变换迅速而合理地寻找和选择解决问题的途径和方法．
如图5，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60 m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向．
(1)求∠CBA的度数；
(2)求出这段河的宽(结果精确到1 m，备用数据：2≈1.41，3≈1.73)．
图5 变形1答图
解：(1)根据题意，得∠CAB＝135°，∠BCA＝30°，
∴∠CBA＝180°－(135°＋30°)＝15°；
(2)如答图，过B作BD⊥AC于D.设BD＝x m，
∵在Rt△CBD中，∠BCD＝30°，
∴CD＝3BD＝3x(m)，
同理，在Rt△ABD中，AD＝BD＝x m，
∴AC＝CD－AD＝(3－1)x＝60，
＝30(3＋1)≈82，
解得x＝60
3－1
答：河宽约为82 m.
[2018·绍兴]如图6①，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图③是图②中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，BD＝40 cm.
(1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；
(2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离(精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732，6≈2.449)
图6
变形2答图
解：(1)∵AC＝DE，AE＝CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，∴CA∥DE，
∴∠DFB＝∠CAB＝85°；
(2)如答图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠CAB＝60°，
∴AG＝20cos60°＝10，
CG＝20sin60°＝103，
∵BD＝40，CD＝10，∴BC＝30，在Rt△BCG中，BG＝106，
∴AB＝AG＋BG＝10＋106≈
34.5 cm.
[2018·无锡]如图7，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A
＝90°，cos B＝3
5，求AD的长．
图7 变形3答图
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，
∴∠C＝180°－∠A＝90°，∠ABC＋∠ADC＝180°.
如答图，作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则四边形CDFE是矩形，EF＝CD＝10.在Rt△AEB中，
∵∠AEB＝90°，AB＝17，cos∠ABC＝3 5，
∴BE＝AB·cos∠ABE＝51
5
，∴AE＝AB2－BE2＝68
5
，
∴AF＝AE－EF＝68
5
－10＝18
5.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDF＝90°，∴∠ABC＋∠ADF＝90°，
∵cos∠ABC＝3
5
，∴sin∠ADF＝cos∠ABC＝3
5
，
在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，sin∠ADF＝3
5
，
∴AD＝
AF
sin∠ADF
＝
18
5
3
5
＝6.。