高考数学复习《30分钟选填》 (理科版) 限时训练(10)答案

限时训练（十）参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
9.
811-；45 10.①0或2；②2± 11. 9
2
12. (,2-∞-+
13. 1 14.
15
解析部分
1. 解析 ()()1i 2i 2i 2i a a a ++=++-，由题意得20120a a -=⎧⎨+≠⎩，解得2
12
a a =⎧⎪
⎨≠-⎪⎩.故选A.
2. 解析 {
}11B x
x x =><-或，所以{}11U B x x =-剟ð.把U B ð与集合A 在数轴表
示出来，如图所示.由图可知，{}01
U A
B x x =<…ð.故选B.
3. 解析 由题意得直线的普通方程
为2y x =-.可得圆心
()1,2
到直线的距离
2
d =
=
.故选C. 4. 解析 由三棱锥的三视图，还原三棱锥的立体图形，如图所示.由图可知，有4个直角三角形.故选D.
5. 解析 在等比数列
{}n a 中，设公比为q .
由13a a <，可得211a a q <，由10a >，可得21q >.① 由3
6a a <，可得2511a q a q <，由10a >，可得31q >.②
综上可知，由①不一定能推出②.由②一定可以推出①.所以①是②的必要不充分条件.故选B.
6. 解析 解法一（特殊位置法）：由甲、乙二人均不能从事
A 工作，可知A 工作有1
3C 种
分配方法，则剩余的B ，C ，D 三项工作有3
4A 种分配方法.所以由分步乘法计数原理，可得不同的工作分配方案有1
3
34
C C 72⋅=（种）.
解法二（特殊元素法）：甲参加，乙不参加，有1
3
33C A 18⋅=（种）分配方案；
同理，乙参加，甲不参加，有18种分配方案； 甲、乙均参加，有2
1
3
323
C C A 36⋅⋅=（种）分配方案.由分类加法计数原理，可得共有
18183672++=（种）分配方案.
7. 解析 取BC 的中点M ，连接0P M ，PM ，如图所示.
由PB PM MB =+，PC PM MC =+， 可得()(
)
2
2
2BC PB PC PM MB
PM MC PM ⎛⎫⋅=++=- ⎪⎝⎭
.
同理可得2
2
0002BC P B P C P M ⎛⎫
⋅=-
⎪⎝⎭
. 由00PB PC P B PC ⋅⋅…，得22
0PM P M
….可知0P M AB ⊥.在Rt ABC △与0Rt MBP △中，
0B B
BCA MP B
∠=∠⎧⎨
∠=∠⎩，可得0ABC MBP △∽△， M
P 0
P
C
B
A
所以
AB BC
MB BP =，由题意可知01BP =，6AB =，可得6MB BC ⋅=，即226MB =
，得MB .
由勾股定理得0P M =由M 为BC 的中点，可得斜边AB
上的高为故
选C.
8. 解析 由题意作图，如图所示.
设()
2,A m m ，()
2,B n n ，其中0m >，0n <.
则()
2,OA m m =，()
2,OB n n =，222OA OB m n mn ⋅=+=，解得1mn =（舍）或2mn =-. 设直线AB l 的方程为()()()()22
2
m n y n m n x n --=--，即()()2m n y n x n +-=-，令
0y =，解得2x mn =-=，所以C 点坐标为()2,0C
.
()112222AOB AOC BOC S S S m n m n =+=
⨯⋅+⨯⋅-=-△△△，111
248
AOF S m m =⨯⋅=△，
则19923888AOB AOF S S m n m m n m m +=-+=-=+=△△…， 当且仅当928m m =，即4
3
m =时等号成立.故ABO △与AFO △面积之和的最小值为3.故选B.
9. 解析
π
tan tan
21π3tan π31tan tan 3
ααα--⎛⎫-====
⎪⎝⎭+⋅22222sin cos 2tan 224
sin 22sin cos sin cos tan 1215
ααααααααα⨯=====+++.
10. 解析 由两条直线互相垂直得到()10m m
m --=，即2
20m
m -=，所以0m =或2.
圆C 的方程化为()2
219x y +-=，
所以圆心为
()0,1，圆的半径3r =，所以圆心到直线l
的距离d =
==2m =±.
11. 解析 解法一：如图所示.
因为90C ∠=，22AB AC ==，所以30ABC ∠=
，BC
=.因为32
AD AB =，
所以1BD =.(
)
2
931cos302
CD CB CB BD CB CB BD CB ⋅=+⋅=+⋅=+=
解法二：以C 点为原点，CA 所在轴为x 轴，CB 所在轴为
y 轴建立平面直角坐标系.
则()0,0C ，()1,0A ，(B ，
可得1,22D ⎛- ⎝⎭，
则1,22CD ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
(CB =，可得9
2
CD CB ⋅=
. 12. 解析 根据
()f x 的解析式，画出它的图像，如图所示.
解法一：要想求()
()244f
x f x -…的解集，只需求出()
()24
4f x f x -<<的补集即可.
A C
B
D
要想求()
()244f x f x -<<，只需求2
4044x x x
>⎧⎨
>-⎩
，解得2x >-+所以()
()244f x f x -…
的解集为(
,2-∞-+.
解法二：当()()2
44f x f x ->时，则2
2
4044x x x
⎧->⎪⎨->⎪⎩
，解得22x -<<-+当(
)
()2
44f x
f x -==时，则2
44x x -=或240
40
x x ⎧-⎨
⎩……，解得2x -…
或2x =-+综上可得()
()244f x f x -…的x
的取值范围为(
,2-∞-+.
13. 解析 由()
222222a b m =-+=-n ，得222m n +=，又1⋅=m n ， 故2220+-⋅m n m n =，即()2
0-=m n ，得=m n ，则
1==m n .
14. 解析 由点P 到E ，F 两点的距离和不得小于6，可知点P 的轨迹为椭圆C 及椭圆
C 外的一点.由2
tan QR PR PR
θ=
=
，可知当PR 取最小值时，tan θ最大，则点P 一定在椭圆C 上.假设E ，F 为线段BC 上固定的两点，设EF 的中点O 为原点，作OH EF ⊥，以O 为原点，EF 所在轴为x 轴，OH 所在轴为
y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
由4EF =，可得椭圆C 的方程为
22
195
x y +=，点P 在椭圆C 上，设()00,P x y ，则2200
195
x y +=.由1RF =，得()1,0R . 则
)033PR x ===
-剟.
可得当029
44
29
x =
=
⨯时，PR 取得最小值
. min 2
PR ==.
所以tan θ
15=.。