初中数学最新版《相交直线所成的角》精品导学案(2022年版)

4.1 平面上两条直线的位置关系
4.1.2 相交直线所成的角 学习目标：
1.能正确识别同位角，内错角，同旁内角 ；
“三线八角〞中假设有一对同位角相等，那么其他各对同位角、内错角、同旁内角有何关系？假设有一对内错角相等呢？假设有一对同旁内角互补呢？
3.通过对顶角相等解决实际问题体会数学在生活中的应用. 重点：能正确识别同位角，内错角，同旁内角 难点：能正确识别同位角，内错角，同旁内角 预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P75-77的内容
填一填： 3( ) 1 1. 如图∠1与∠3有的 顶点O ，其中一个角的两边分别 2 是另一个角的两边的 ，这样的两个角叫做对顶角。

2. 学生从做一做中得出相应的结论：对顶角相等。

∠1与∠3都是∠2的补角，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。

M
【归纳总结】对顶角
说一说：生活中的对顶角 A B 做一做：画直线AB 、CD 与MN 相交，找出它们中的对顶角 C D N
同位角有;∠1和∠5还有：_____________________________________ 内错角有:∠3和∠5还有_____________________________________
同旁内角有：_________________________________
【归纳总结】〔1〕两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其它几对同位角也__________，并且内错角__________，同旁内角__________。

〔2〕两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么其它几对内错角也
__________，并且同位角_________，同旁内角__________。

〔3〕两条直线被第三条直线所截，如果一对同旁内角互补，那么另一对同旁内角也_________，并且同位角_________，内错角_________。

【课堂展示】
1.如右图三条直线相交于O 点，∠1=60°，
∠2=70°，那么∠3=___________.
2.如以下列图AB,CM 相交于O 点，试指出图中所有的同位角、内错角及
同旁内角，并说明它们是由哪两条直线被哪条直线所截成的？ 合作探究——不议不讲
互动探究一：如图中,∠１的同位角有〔 〕
Ａ.３个 Ｂ.４个
知识点一、对顶角的概念 知识点二、同位角、内错角、同旁内角的概念
)
o 21435
67685I 321l j k A D M E C F B O 1
D
互动探究二： A 5 ) 1 B 如图，直线AB ，AC 被DE 所截，那么∠1和 ∠2是同位角， 3( 4
那么∠2和 是内错角，∠2和 是同旁内角，
∠4和 是对顶角。

) 2
E C
【当堂检测】：P77练习2题，3题
垂径定理
1．进一步认识圆是轴对称图形；
2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，
并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点)
3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点)
一、情境导入
你知道赵州桥吗？它又名“安济桥〞，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱
桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是
我国古代人民勤劳和智慧的结晶．
它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当
今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少
吗？
二、合作探究
探究点一：垂径定理
【类型一】 利用垂径定理求边
如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，
连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．
解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求
的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．
解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，
∴EF ＝12AB ＝12
×10＝5(cm)．
方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯穿，在解决问题时才能得心应手． 【类型二】 动点问题
如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．
解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．
解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12
AB ∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA △AOD 中，由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP 的长度范围是3cm ≤OP ≤5cm.
方法总结：解题的关键是明确OP 最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．
探究点二：垂径定理的实际应用
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB
︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，那么这段弯路的半径是________m.
解析：此题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴ADR m ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
三、板书设计
教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用．。