数学理卷·2012届浙江省温州中学高三上学期期末试题(2012.01)

温州中学2011学年第一学期期末考试
高三数学试卷（理科）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1．若()2a i i b i +=+，其中,∈a b R ，i 是虚数单位，则a b -= （ ▲ ） A ．-3
B ．-2
C ．2
D ．3
2．()5
1x -的展开式中，3
x 的系数为 （ ▲ ） A ．-10 B ．-5 C ．5 D ．10
3．使不等式2
30x x -<成立的充分不必要条件是 （ ▲ ） A 03x << B 04x << C 02x << D 0x <，或3x > 4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s 值为（ ▲ ） A ．102
B ．410
C ．614
D ．1638
5．设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是不重合的直线，下列判断正确的是 （ ▲ ）
A ．若,αββγ⊥⊥，则//αγ
B ．若,,m n αα⊥⊥则//m n
C ．若//,//,m n αα则//m n
D ．若,//,l αββ⊥则l α
⊥6．已知0m >，且cos sin 5sin()m αααϕ-=+，则tan ϕ为（ ▲ ） A.12-
B. 1
2
C. 2
D. 2- 7．已知双曲线：
22
143
x y -=，左右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，则22||||BF AF +u u u u r u u u u r
的最小值
为（ ▲ ） A .
19
2
B . 11
C .12
D .16 8．已知不等式2
2
2xy ax y ≤+对于[]1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成立，则实数a 的取值范围（ ▲ ）
A ．[)1,-+∞
B ．(],1-∞
C ．[]1,2-
D ．(]0,2
9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ ▲ ）
A.10
B.11
C.12
D. 13
10．在平面直角坐标系xOy 中，(1,0),(0,1),(1,0)A B C -，映射f 将xOy 平面上的点
),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点22'(4,22)P xy x y -，则当点P 沿着折
线A B C --运动时，在映射f 的作用下，动点'P 的轨迹是（ ▲ ）
二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是 ▲ .
12．已知点(2,1)M 是抛物线2
2x py =上的点，则以点M 为切点的抛物线的切线方程为 ▲ .
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ .
14．已知直线上n 个点最多将直线分成01
1n n C C n +=+段，平面
上n 条直线最多将平面分成20
122
2
n
n
n
n n C C C ++++=部分（规
定：若,k n >则0k
n C =），则类似地可以推算得到空间里n 个平面
最多将空间分成 ▲ 部分 15．若函数2012()2012
x
f x x -=
+在区间[]b a ,(,a b 为整数）上的值
域是[]0,1，则满足条件的数对()b a ,共有 ▲ 对；
16．【原创】已知AB AC ⊥u u u r u u u r ，||2AB AC -=u u u r u u u r
，点M 是线段BC 上的一点，且()1AM AB AC ⋅+=u u u u r u u u r u u u r ，则||AM u u u u r
的取值范围是 ▲ .
17．若ABC ∆沿三条中位线折起后能拼接成一个三棱锥，则称ABC ∆为“和谐三角形”。

设三个内角分别为A 、B 、C ，则下列条件中能够确定ABC ∆为“和谐三角形”的有 ▲ . （请将符合题意的条件序号都填上）
①::7:20:25A B C =； ②sin :sin :sin 7:20:25A B C =； ③cos :cos :cos 7:20:25A B C =； ④tan :tan :tan 7:20:25A B C =。

温州市2011学年高三期末考试
数学试卷（理科） 答题卷
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)
二、填空题：(本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在横线上．) 11． ， 12． ，
13． ， 14． ， 15． ， 16． ，
17． ．
三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分共14分）已知2()2sin cos 62
x f x x πα⎛
⎫=+
⋅ ⎪
⎝
⎭，()0,απ∈ 且()22
f π
=.
（1）求α；
（2）当,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()y f x α=+的值域.
学号 班级 姓名 ……………………………………密…………………………………………封………………………………………
19．（本题满分共14分）已知数列{}n a ，1a a =，且1*
122()n n n a a n N +++=∈，
（1）若123,,a a a 成等差数列，求实数a 的值；（2）数列{}n a 能为等比数列吗？若能， 试写出它的充要条件并加以证明；若不能，请说明理由。

20．（本题满分共14分）如图，几何体P ABCD -为正四棱锥，几何体Q PCB -为正四面体. （1）求证：PC DQ ⊥；
（2）求QD 与平面PAD 所成角的正弦值.
Q
21．（本题满分共15分）已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 到直线10x y -+=的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过点F 作两条直线分别交抛物线于A 、B 和C 、D ，过点F 作垂直于x 轴的直线分别交AC 和BD 于点,M N . 求证：MF NF =．
22．（本题满分共15分）已知函数()2x
e f x x ax a
=-+
（1）当04a ≤≤时，试判断函数()f x 的单调性；
（2）当0a =时，对于任意的(]1,x t ∈，恒有()()()()tf x xf t f x f t -≥-，求t 的最大值．
参考答案： 一：选择题。

1.D
2.D
3.C
4.B
5.B
6.D
7.B
8.A
9.C 10.A 二：填空题。

11.
65 12. 10x y --= 13.52 14. 0123
n n n n C C C C +++ 15.4025 16. 1(,1]2
三：解答题。

18.解：
（1
）因为21()2sin tan cos tan 22263432f π
πππαα⎛⎫=+-⋅=⋅= ⎪⎝⎭
，
所以tan α=()0,απ∈，故3
π
α=
（2）由（1）得，
22
()2sin tan cos 2sin 4cos 63262x x f x x x ππα⎛⎫⎛
⎫=+-⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
cos 2(1cos )cos 22sin()26
x x x x x x π
=+-+=--=--
所以()()2sin()22sin()23
366
y f x f x x x π
π
ππ
α=+=+
=+
--=+-
因为
2x π
π≤≤，所以
27366x πππ≤+≤
即1sin()26x π-≤+≤
32sin()226x π-≤+-≤
因此，函数()y f x α=+
的值域为2⎡⎤-⎣⎦
19. 解.（Ⅰ）123,24,4a a a a a a ==-+=，
因为2132a a a =+，所以2(24)4a a a -+=+，得89
a =
（Ⅱ）方法一：因为1*
122()n n n a a n N +++=∈，所以
11
122
n n
n n a a +++=， 得：
1111()2222n n n n a a ++-=--，故122n n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
是以1112222a a -=-为首项， -1为公比的等比数列， 所以
111()(1)2222n n n
a a --=-⋅-，得：1112[()(1)]222
n n n a a -=+-⋅- 1111
11112[()(1)]()(1)222222211112[()(1)]()(1)222222
n n n
n n n n n
a a a a a a ++--+-⋅-+-⋅-==⋅+-⋅-+-⋅-
{}n a 为等比数列1n n a a +⇔
为常数，易得当且仅当1a =时，12n n
a
a +=为常数。

方法二：因为1*122()n n n a a n N +++=∈，所以1
122(2)n n n n a a -+-=--，
即11
222
n n n n a a +--=--，故{}12n n a --是以0121a a -=-为首项，-2为公比的成等比数列， 所以112(1)(2)n n n a a ---=--，得：11
(1)(2)2n n n a a --=--+（下同解法一）
方法三：由前三项成等比得1a =，进而猜测1a =，对于所有情况都成立，再证明。

20. （1）解法一:取BQ 的中点M ，连结
,PM CM ，由几何体Q PCB -为正四面体
得，,CM BQ PM BQ ⊥⊥，所以BQ ⊥平面PCM ，从而BQ PC ⊥.
连结,BD DC 交于点O ,连结PO 得
PO ⊥平面ABCD ,
,BD AC BD PO ⊥⊥，所以BD ⊥平面
POC ，从而BD PC ⊥.又BQ PC ⊥
所以PC ⊥平面BDQ ，从而PC DQ ⊥.
解法二: 因为几何体P ABCD -为正四棱锥，几何体Q PCB -为正四面体. 故可设PA PB PC PD PQ QC QB AB BC CD DA a =========== 取PC 的中点N ，连结,,DN BN QN ，由
题
意
知
,,,DN PC BN PC QN PC ⊥⊥⊥
故BND ∠是二面角B PC D --的平面角， BNQ ∠是二面角B PC Q --的平面角, 在
BND
∆中
，
,2
DN BN a BD ==
=， O
M
O
N
所以
)
22
2
1
cos 3
a BND ⎫⎫
+-⎪⎪∠=
=-⎝⎭⎝⎭
，
在BNQ ∆
中，,2
QN BN BQ a ==
=，
所以2
2
2221cos 3a a a BND ⎛⎫⎛⎫
+-
⎪ ⎪∠==⎝⎭⎝⎭
从而BND BNQ π∠+∠=，从而,,,P Q C D 四点共面， 故四边形PQCD 为菱形，从而PC DQ ⊥ （2）由解法二知四边形PQCD
为菱形，于是DQ =
，QC ∥PD ，
所以点Q 到平面PAD 的距离等于点C 到平面PAD 的距离， 设点C 到平面PAD 的距离为h ，由P ACD C APD V V --=得：11
33
PAD CAD S h S PO ∆∆⋅=
⋅
进而得h =，所以QD 与平面PAD
所成角的正弦值3a
h DQ ===
解法三：如图，以OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系。

不妨设|OB |=1，则B (1,0,0)，C (0,1,0)， D (-1,0,0)，A (0,-1,0) 因为Q PCB -为正四面体，所以PCB ∆为正三角形，所
以||||PC BC ==
，所以
||1OP =，因此P (0,0,1)。

设PCB ∆的重心为M ，则QM ⊥面PCB ，又
O PCB -也为正三棱锥，因此OM ⊥面
PCB ，因此O 、M 、Q 三点共线，所以OQ 垂
直面PCB ，即OQ uuu r
是平面PCB 的一个法向量，
y
x
由(1,0,1)PB =-u u u r ，(0,1,1)PC =-u u u r 易得平面PCB 的一个法向量可以取1(,,)n a a a =u r
，所以
不妨设Q (a ,a ,a )，则(,,1)PQ a a a =-u u u r ，因为222||(1)2PQ a a a =++-=u u u r
解得a=1，所
以Q(1,1,1)。

（1）(0,1,1)PC =-u u u r ，(2,1,1)DQ =u u u r ，0PC DQ ⋅=u u u r u u u r
，所以PC DQ ⊥；
（2）设面PAD 的一个法向量为2(,,)n x y z =u u r
，(1,0,1)PD =--u u u r ，(0,1,1)PA =--u u u r ，由 220
n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u
r u u u r 解得一个法向量2(1,1,1)n =--u u r ， 所以2222
cos ,||||32
n DQ n QD n DQ ⋅<>===-
u u r u u u r
u u r u u u r u u r u u u r ， 所以QD 与平面PAD 所成角的正弦值为
23。

21 解：（1）焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由已知得
1222p +=，且0p >，解得2p =， 故所求抛物线的方程为2
4y x =. （2）设直线AB 的方程为：11x m y =+，
直线CD 的方程为：21x m y =+，
令324222
2
11234(,),(,),(,),(,),4444
y y y y A y B y C y D y
将两条直线的方程代入抛物线方程得：
21440,y m y --=
于是有：1214y y m += ，124y y =- 同理得：3424y y m += ，344y y =-
故3132
21132213
4444
(,),(,
),(,),(,)44y y A y B C y D y y y y -- 13
4AC k y y =
+，同理131313
4
44BD y y k y y y y -==--++
所以直线AC 的方程为：211134
()4
y y y x y y -=-+， ①
直线BD 的方程为：1
13211344()y y y x y y y y ---
=-+， ② 将1x =代入①式得：213111313
44
(1)4M y y y y y y y y y +=+-=
++ 将1x =代入②式得：11313211313
444
(1)N y y y y y y y y y y y -+-=
+-=-
++ 所以M N y y =-，即MF NF =
22．解：（1）()()()
()()
()
2
2
2
2
2
222x x e x a x a e x a x f x x
ax a x
ax a ⎡⎤-++--⎣⎦
'=
=
-+-+
当0a =时，()2x
e f x x
=，()()3
2x e x f x x -'=，故()f x 在区间(),0-∞，()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减； 当4a =时，()()
2
2x
e f x x =
-，()()
()
3
42x e x f x x -'=
-，故()f x 在区间(),2-∞，()4,+∞上
单调递增，在()2,4上单调递减； 当04a <<时，恒有2
0x ax a -+<，
当02a <<时，()f x 在(),a -∞，()2,+∞上单调递增，在(),2a 上单调递减； 当2a =时，()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增
当24a <<时，()f x 在(),2-∞，(),a +∞上单调递增，在()2,a 上单调递减；
（2）()()()()tf x xf t f x f t -≥-()()()()()()
1111
f x f t t f x x f t x t ⇔-≥-⇔≥-- 解法一：设函数()()()
2
11x
f x e
g x x x x ==--，即()()g x g t ≥在(]1,t 上恒成立。

即()g t 为
()g x 的最小值。

()()()
22
3
421x e x x g x x x -+'=
-。

故()g x
在区间(1,2+
上单调递减，在区间()
2++∞单调递增。

故2t ≤+
max 2t =解法二：
()()
11
f x f t x t ≥--即()(),x f x 与点()1,0连线斜率的最小值在x t =时取到。

设max t t = 则()()1f t f t t '=-，即()()23
21t t
e t e t t t
-=-2420t t ⇔-+=
⇔2t = 又1t >
，故2t =。