深圳市新华中学八年级数学上册第十五章《分式》经典练习(培优专题)

一、选择题
1．如图，在数轴上表示2224411424x x x x x x
-++÷-+的值的点是（ ）
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N C
解析：C
【分析】
先进行分式化简，再确定在数轴上表示的数即可．
【详解】 解：2224411424x x x x x x
-++÷-+ 2(2)14(2)(2)(2)
x x x x x x -=+⨯+-+， 2422x x x -=
+++， 242
x x -+=+， 22x x +=
+， =1， 在数轴是对应的点是M ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了分式化简和数轴上表示的数，熟练运用分式计算法则进行化简是解题关键． 2．若关于x 的方程
1044m x x x --=--无解，则m 的值是（ ） A ．2-
B ．2
C ．3-
D ．3D
解析：D
【分析】 根据方程
1044m x x x
--=--无解，得出方程有增根，利用增根的定义可求得x ＝4，并把x ＝4代入转化后的整式方程m ＋1−x ＝0，即可求出m 的值．
【详解】
解：去分母得：m ＋1−x ＝0，
∵方程
1044m x x x
--=--无解， ∴x ＝4是方程的增根，
∴m ＝3．
故选：D ．
【点睛】 本题考查了分式方程无解问题，解题的关键是理解增根的定义，并能准确求出增根． 3．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯
B ．-77.610⨯
C ．-87.610⨯
D ．-97.610⨯ C
解析：C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
0.000000076=87.610-⨯，
故选：C
【点睛】
此题考查了科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，n 等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解 4．若a ＝1，则2933
a a a -++的值为（ ） A ．2
B ．2-
C ．12
D ．12
- B 解析：B
【分析】
根据同分母分式减法法则计算，再将a=1代入即可求值．
【详解】 2933a a a -++=293
a a -+=a-3， 当a=1时，原式=1-3=-2，
故选：B ．
【点睛】
此题考查分式的化简求值，掌握因式分解及同分母分式的减法计算法则是解题的关键． 5．计算
233222()m n m n -⋅-的结果等于（ ） A ．2m n B ．2n m C ．2mn D ．72mn A 解析：A
【分析】
根据整数指数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】
解：原式=43431222m m m n n m n
n
---=⋅=⋅= 故选：A ．
【点睛】
本题考查了整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键
6．若a 与b 互为相反数，则22201920212020a b ab +=( ) A ．-2020
B ．-2
C ．1
D ．2B
解析：B
【分析】 a 与b 互为相反数，由相反数的定义与性质得22=,a b a b -=，将代数式中字母统一成b,合并约分即可．
【详解】
∵a 与b 互为相反数，
∴22=,a b a b -=，
2222
22019202120192021220202020a b b b ab b
++==--， 故选择：B ．
【点睛】
本题考查分式求值问题，掌握相反数的定义与性质，会利用相反数将代数式的字母统一为b 是解题关键．
7．若2x 11x x 1
+--的值小于3-，则x 的取值范围为（ ） A ．x 4>-
B ．x 4<-
C ．x 2>
D ．x 2< C
解析：C
【分析】 根据题意列得2x 131x x 1
+<---，求解即可得到答案. 【详解】 ∵2x 131x x 1
+<---， ∴2x 131x
-<--， ∴()()x 1x 131x
+-<--，即x 13--<-，
∴x 2-<-，
解得x 2>．
又x 1≠，
∴x 2>符合题意.
故选：C.
【点睛】
此题考查列式计算，掌握分式的加减法计算法则，整式的因式分解方法，解一元一次不等式是解题的关键.
8．3333
x a a y x y y x
+--+++等于（ ） A ．33
x y x y
-+ B ．x y - C ．22x xy y -+ D ．22x y + A
解析：A
【分析】 按同分母分式相减的法则计算即可.
【详解】
333333
x a a y x y x y y x x y
+---+=+++ 故选：A
【点睛】
本题考查同分母分式相加减法则：分母不变，分子相加减.
9．下列各式计算正确的是（ ）
A ．33x x y y
= B ．632m m m = C ．22a b a b a b +=++ D ．32
()()a b a b b a -=-- D 解析：D
【分析】 根据分式的基本性质进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A 、33x y 是最简分式，所以33x x y y
≠，故选项A 不符合题意； B 、6
24m m m
=，故选项B 不符合题意； C 、22a b a b
++是最简分式，所以22
a b a b a b +≠++，故选项C 不符合题意； D 、33
22
()()()()a b a b a b b a a b --==---，正确， 故选：D ．
【点睛】
此题考查了分式的约分，以及最简分式的判断，分式的约分关键是找公因式，约分时，分式分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，最简分式即为分式的分子分母没有公因式．
10．若22
0.3,3a b --=-=-，213c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c d <<<
B ．b a c d <<<
C ．b a d c <<<
D ．a b d c <<< D
解析：D
【分析】 直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】 解：2
1000.39a -=-=-，2193b -==--，2913c -⎛⎫=- ⎪⎭=⎝，0113d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵10011999
-
<-<<， ∴a b d c <<<， 故选D ．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
二、填空题
11．某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要224 000元，购买B 型计算机需要240 000元．求一台A 型计算机和一台B 型计算机的售价分别是多少元． 设一台B 型计算机的售价是x 元，依题意列方程为__．【分析】本题的等量关系是：224000元购买A 型计算机的数量=240000元购买B 型计算机数量依此列出方程即可【详解】解：设B 型计算机每台需x 元则A 型计算机每台需（x-400）元依题意有故填【点睛】 解析：240000224000400
x x =- 【分析】
本题的等量关系是：224 000元购买A 型计算机的数量=240 000元购买B 型计算机数量，依此列出方程即可．
【详解】
解：设B 型计算机每台需x 元，则A 型计算机每台需（x-400）元，依题意有
240000224000400
x x =- 故填，
240000224000400
x x =-． 【点睛】
考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系．
12．2
11a a a
-+=+_________．【分析】先通分再分母不变分子相减即可求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查了分式加减运算的法则熟记法则是解题的关键 解析：11
a + 【分析】
先通分，再分母不变，分子相减即可求解.
【详解】
222222211(1)11111111(1)(1)11a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--+=--=-=-==+++++++-++- 故答案为：
11a + 【点睛】
本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．
13．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可【详解】；【点睛】本 解析：6627a b 4
2a b
【分析】
（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；
（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可.
【详解】
()6322
66627327a a b a b b --==； 4
22
422()a a b a b b
----==. 【点睛】 本题考查了负整数指数幂，利用了积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
14．10
1
()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______．【分析】根据零指数幂和
负整数指数幂等知识点进行解答幂的负指数运算先把底数化成其倒数然后将负整指数幂当成正的进行计算任何非0数的0次幂等于1【详解】2+1=3；【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指 解析：12
【分析】
根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答，幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算．任何非0数的0次幂等于1．
【详解】
101()()2
π-+-=2+1=3； 011(3.14)2--++1112=-++
12= 【点睛】
本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算．根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答即可.
15．H 7N 9病毒直径为30纳米（1纳米＝10－9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小为________米．【分析】根据题意列得这个病毒直径为计算并用科学记数法表示即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查实数的乘法计算科学记数法正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键
解析：8310-⨯
【分析】
根据题意列得这个病毒直径为93010-⨯，计算并用科学记数法表示即可．
【详解】
983010310--⨯=⨯，
故答案为：8310-⨯ ．
【点睛】
此题考查实数的乘法计算，科学记数法，正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键．
16．2112111
a a a a +-+--＝___________.0【分析】先通分再分母不变分子相减即可求解【详解】故答案为：0【点睛】本题考查了分式加减运算的法则熟记法则是解题的关键
解析：0
【分析】
先通分，再分母不变，分子相减即可求解．
【详解】
2211211201111
a a a a a a a a -++-+-==+---． 故答案为：0．
【点睛】
本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．
17．计算：222213699211
-+-+⋅⋅=--++x x x x x x x x ___________．【分析】先将分子和分母分解因式再计算乘法并将结果化为最简分式【详解】【点睛】此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子分母相乘作积的分母 解析：31
x x -- 【分析】
先将分子和分母分解因式，再计算乘法，并将结果化为最简分式．
【详解】
2222221369(1)(1)3(3)39211(3)(3)(1)11
-+-++-+--⋅=⋅⋅=--+++--+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x ． 【点睛】
此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母．
18．已知215a a
+=，那么2421a a a =++________．【分析】将变形为=5a 根据完全平方公式将原式的分母变形后代入=5a 即可得到答案【详解】∵∴=5a ∴故答案为：【点睛】此题考查分式的化简求值完全平方公式根据已知等式变形为=5a 将所求代数式的分母变形为 解析：124
【分析】 将215a a
+=变形为21a +=5a ，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入21a +=5a ，即可得到答案．
【详解】 ∵215a a
+=， ∴21a +=5a ， ∴2421a a a =++()
()2222222221242451a a a a a a a a ===-+- 故答案为：124
．
【点睛】
此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为21a +=5a ，将所求代数式的分母变形为22(1)a a +-形式，再代入计算是解题的关键．
19．已知关于x 的分式方程211
a x +=+的解是负数，则a 的取值范围_____________．且【分析】先解分式方程得到x=a+1根据方程的解是负数列不等式a+1<0且a+20求解即可得到答案【详解】解：a+2=x+1x=a+1∵方程的解是负数x≠-1∴a+1<0且a+20解得a<-1且a-
解析：1a <-且2a ≠-
【分析】
先解分式方程得到x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+2≠0，求解即可得到答案．
【详解】 解：
211
a x +=+ a+2=x+1
x=a+1， ∵方程的解是负数，x≠-1
∴a+1<0，且a+2≠0，
解得a<-1，且a ≠-2，
故答案为：1a <-且2a ≠-．
【点睛】
此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等于0的情况．
20．方程111
x x x x -+=-的解是______．【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程求出的值然后再检验即可即可【详解】解：方程两边都乘以得：解得：检验：时所以分式方程的解为故答案为【点睛】本题主要考查解分式方程解分式方程的步骤如下：①去分母 解析：13
x = 【分析】
先通过去分母将分式方程化为整式方程求出x 的值，然后再检验即可即可．
【详解】
解：方程两边都乘以(1)x x -，得：2(1)(1)x x x -=+， 解得：13
x =，
检验：13x =时，2(1)09
x x -=-≠， 所以分式方程的解为13x =
． 故答案为13
x =
． 【点睛】 本题主要考查解分式方程，解分式方程的步骤如下：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
三、解答题
21．已知点()0,A y 在y 轴正半轴上，以OA 为边作等边OAB ，其中y 是方程31222y +-31
y =-的解． （1）求点A 的坐标；
（2）如图1，点P 在x 轴正半轴上，以AP 为边在第一象限内作等边APQ ，连QB 并延长交x 轴于点C ，求证：OC BC =；
（3）如图2，若点M 为y 轴正半轴上一动点，点M 在点A 的上边，连MB ，以MB 为边在第一象限内作等边MBN △，连NA 并延长交x 轴于点D ，当点M 运动时，DN AM -的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
解析：（1）()0,4A ；（2）见解析；（3）DN AM -的值不变，其值为12．
【分析】
(1)解分式方程求出y 即可知道A 点坐标；
(2)证明△AOP ≌△ABQ ，进而得到∠ABQ=∠AOP=90°，再由∠AOB=∠ABO=60°得到∠BOC=∠OCB=30°，由此可以证明CO=CB ；
(3)证明△ABN ≌△OBM ，得到OM AN =，60BAN BOM ∠=∠=︒，进而求出∠DAO=60°，在Rt △DAO 中求出DA=2AO=8，最后DN-AM=(DA+AN)-(MO-AO)= (DA+AN)-(AN-AO)=8+4=12．
【详解】
解：(1)∵y 是方程3132221
y y +=--的解， 方程两边同时乘以最简公分母2(1)-y ：解得4y =
经检验4y =是原方程的解
∴点()0,4A ．
(2)∵APQ 、ABO 都是等边三角形
∴AO AB =，AP AQ =，60BAO PAQ ∠=∠=︒，
∴PAO BAQ ∠=∠，
∴()≌
PAO QAB SAS △△，∴90QBA POA ∠=∠=︒， ∵ABO 是等边三角形，
∴60AOB ABO ∠=∠=︒，∴30COB CBO ∠=∠=︒
∴CO BC =．
(3)其值不会变化，且12DN AM -=，理由如下：
∵AOB ∆、MBN ∆都是等边三角形，
∴4BO AB AO ===，MB BN =，60BAO ABO MBN ∠=∠=∠=︒，
∴OBM ABN ∠=∠，
∴()ABN OBM SAS ≌
△△， ∴OM AN =，60BAN BOM ∠=∠=︒，
∴4AN OM OA AM AM ==+=+，
∵18060OAD OAB BAN ∠=︒-∠-∠=︒，
∴
30ADO ∠=︒
∴28AD AO ==
∴4812DN AM AN AD AM AM AM -=+-=++-=
即DN AM -的值不变，其值为12． 【点睛】
本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
22．先化简，再求值：()()()()2
222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中12
a =，112
b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
． 解析：a b --，
32
【分析】
原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出
值．
【详解】
解：()()()()2
222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦
()22222444422a ab b a b a ab a ⎡⎤=-++---÷⎣⎦
()2224422a ab a ab a =--+÷
()2222a ab a =--÷
a b =--， ∵1122b -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
∴当12a =
，2b =-时，原式()13222
=---=． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．计算：
（1）202
()21)3--；
（2）22(1)(21)(21)3(4)m m m m ⎡⎤+-+--÷-⎣⎦；
（3）2221121
x x x x x x --+-+ 解析：（1）0；（2）
112m -；（3）x 【分析】
（1）根据实数的混合运算的法则计算即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式去括号、合并同类项后再计算除法即可； （3）根据分式乘法的法则进行计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝23212⎛⎫- ⎪⎝⎭
=
92314
--+ ＝0.25﹣3＋1
＝-1.75； （2）原式＝()
()222424134m m m m ++-+-÷- ＝()
()2244m m m -+÷-
＝22444m m m m
-+-- =112
m -； （3）原式＝()()()()
2111·11x x x x x x +--+- ＝x ．
【点睛】
本题考查实数的混合运算、整式的混合运算、完全平方公式，平方差公式，分式的乘法运算，正确计算负整数指数幂、零指数幂、多项式乘法公式和因式分解是解题关键． 24．如果n x y =，那么我们记为：(),x y n =.例如239=，则()3,92=．
（1）根据上述规定，填空：()2,8=___________，12,
4⎛⎫= ⎪⎝⎭__________； （2）若()4,2a =，(),83b =，求(),b a 的值．
解析：（1）3；-2；（2）4
【分析】
（1）理解题意，根据有理数乘方及负整数指数幂的计算求解；
（2）根据题意，由有理数的乘方计算求得a 与b 的值，然后求解
【详解】
解：（1）∵328=
∴()2,8=3 ∵-22112=24=
∴12,4⎛
⎫= ⎪⎝⎭
-2 故答案为：3；-2
（2）∵()4,2a =，2416=
∴a=16
∵(),83b =，328=
∴b=2
∴()(),=2,16b a
又∵4216=
∴(),b a 的值为4
【点睛】
此题主要考查了有理数的乘方及负整数指数幂的运算，正确将原式变形是解题关键． 25．2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品，爱民药店准备购
进95N 和普通医用两种类型的口罩，已知每个普通医用口罩的进价比每个95N 口罩的进价少8元，且用300元购进普通医用口罩的数量与用1500元购进95N 口罩的数量相同，设每个普通医用口罩进价为x 元．
（1）每个95N 口罩的进价为________元，1500元购进95N 口罩的数量为________个（用含x 的式子表示）；
（2）求每个普通医用口罩、每个95N 口罩的进价分别为多少元？
（3）若爱民药店本次购进这两种口罩共800个，并将两种口罩均按进价加价50%全部售出利润不少于1600元（不考虑其他因素），则这次至少购进95N 口罩多少个？
解析：（1）(8)x +，
15008
x +；（2）每个普通医用口罩、每个95N 口罩的进价分别为2元和10元；（3）200个
【分析】
（1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意列出方程30015008
x x =+，求解即可； （3）设购进N95口罩m 个，根据题意得出不等式2×50%（800-m ）+10×50%m≥1600，求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意得每个95N 口罩的进价为：(8)x +元，
1500元购进95N 口罩的数量为：
15008x +； （2）由题知：
30015008
x x =+ 解得2x =
检验：2x =是方程的解
∴810x +=
答：每个普通医用口罩、每个95N 口罩的进价分别为2元和10元；
（3）设购进N95口罩m 个，
根据题意得：2×50%（800-m ）+10×50%m≥1600
解得m≥200
答：至少购进95N 口罩200个．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式，根据题意列出式子是解题关键． 26．先化简，再求值． （1）22121244
x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x 是9的平方根； （2）2222221211
⎛⎫-+-÷ ⎪-+-⎝⎭a a a a a a a ，然后从－1，0，1，2中选一个合适的数作为a 的值代入
求值．
解析：（1）
3x ；±1；（2）1a a +，2a =，值为32
【分析】
(1)先化简，后把x=3或x=-3分别代入求值；
(2)先化简，根据分母不能为零的原则，选择数值代入计算即可.
【详解】
(1)原式=212(2)2(2)x x x x x x +-+-⎛⎫⨯ ⎪--⎝⎭ =2
3(2)2(2)
x x x x -⨯-- =
3x
， ∵x 是9的平方根， ∴3x =±，
∴原式＝±1.
（2）原式=2(1)(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a ⎛⎫-++-⨯ ⎪-+⎝⎭ 1a a
+=
， 由题意当1,1,0a =-时，原分式没有意义， ∴2a =，此时原分式32
=
． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，选值时，确保每一个分式有意义是解题的关键.
27．分式计算与解方程： （1）21211a a a a
----； （2）121221
x x x +=-+． 解析：（1）1a -；（2）13
x =
【分析】 （1）先对分式变形化成同分母的分式，然后利用同分母分式的运算法则运算即可； （2）利用分式的性质，将分式方程化成整式方程，然后再求解，最后验根得出结果．
【详解】
解：（1）21211a a a a ----21211a a a a -=+--2211a a a -+=-()2
11a a -=-1a =-；
（2）121221
x x x +=-+ 方程两边同乘()()221x x -+，得：
()()()()2122122x x x x x ++-+=- 解得：13
x =， 检验：当13
x =时，()()2210x x -+≠， 所以，原方程的解为13x =
． 【点睛】
本题考查分式的加减运算及解分式方程，熟练掌握分式运算的法则及解分式方程的方法是解题的关键．
28．某工程队用甲、乙两台隧道挖掘机从两个方向挖掘同一条隧道，因为地质条件不同，甲、乙的挖掘速度不同，已知甲、乙同时挖掘3天，可以挖216米，若甲挖2天，乙挖5天可以挖掘270米．
（1）请问甲、乙挖掘机每天可以挖掘多少米？
（2）若隧道的总长为2400米，甲、乙挖掘机工作20天后，因为甲挖掘机进行设备更新，乙挖掘机设备老化，甲比原来每天多挖m 米，同时乙比原来少挖m 米，最终，甲、乙两台挖掘机完成的时间相同，且各完成隧道总长的一半，请求出m ．
解析：（1）甲每天挖30米，乙每天挖42米；（2）m=15
【分析】
（1）设甲、乙每天分别挖x 、y 米．等量关系：3（甲+乙）216=米、2⨯甲5+⨯乙270=；
（2）由题意可知20天后甲完成（30×20）米，剩余1(24003020)2
⨯-⨯米，乙完成（4220⨯）米，剩余1(24004220)2
⨯-⨯米，根据关键描述语：甲、乙两台挖掘机在相同时间里各完成隧道总长的一半列出方程，解之即可．
【详解】
解：（1）设甲、乙每天分别挖x 、y 米．
依题意得：3()21625270x y x y +=⎧⎨+=⎩
． 解得3042x y =⎧⎨=⎩
． 答：甲每天挖30米，乙每天挖42米；
（2）由题意可知：20天后甲完成（30×20）米，剩余1(24003020)2
⨯-⨯米，乙完成
（4220⨯）米，剩余1(24004220)2
⨯-⨯米， 依题意得：112400302024004220223042m m
⨯-⨯⨯-⨯=+-， 解得：m=15，
经检验：m=15是原方程的解．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键，切记，分式方程一定要验根．。