人教版高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题难题专题强化试卷学能测试

人教版高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题难题专题强化试卷学能测
试
一、立体几何多选题
1．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2
3的等边三角形，侧棱长为43，则
（ ）
A ．直线1A C 与直线1B
B 之间距离的最大值为3
B ．若1A 在底面AB
C 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30
D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】
如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()
0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()
100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++
所以()()()
1
000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11
·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，
即()()
000000230
0x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则
2
2
011222200009||||
z A B n
d d x z n x z ===++
22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；
对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则()
11,3,211A 底面法向量()(
)
10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：
121133
sin |cos ,|6143
AA n θ==
=⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则
(
)()()
1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C
则()()1
3,3,0,0,23,43,AB AC ==-
设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则
1
1
1
5cos |cos ,|||||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；
对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径(
)
2
22324R =+=，所以2464S R ππ==.
故D 正确
故选：AD 【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.
2．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AC =11CC =，点D 为BC 中点，则以下结论正
确的是（ ） A ．1111
22
A D A
B A
C AA =
+-
B ．三棱锥11D AB
C -的体积为
36
C ．1AB BC ⊥且1//AB 平面11AC D
D ．ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分 【答案】ABD 【分析】
A ．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；
B ．根据1111D AB
C A DB C V V --=，然后计算出对应三棱锥的高A
D 和底面积11
DB C S
，由此求解出三棱锥的体积；C ．先假设1AB BC ⊥，
然后推出矛盾；取AB 中点E ，根据四点共面判断1AB //平面11AC D 是否成立；D ．将问题转化为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断. 【详解】
A ．()
11111111
222
A D A A AD AD AA A
B A
C AA AB AC AA =+=-=
+-=+-，故正确； B ．1111D AB C A DB C V V --=，因为D 为BC 中点且AB AC =，所以AD BC ⊥， 又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AD ⊥且1BB BC B =，所以AD ⊥平面11DB C ，
又因为363AD BD BC ==
=
，11
11112
22
DB C S BB B C =
⨯⨯=
， 所以1111
11
1
1623
3
3226
D AB C A DB C DB C V V AD S --==⨯⨯=⋅⋅=
，故正确；
C ．假设1AB BC ⊥成立，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB BC ⊥且111BB AB B =，
所以BC ⊥平面1ABB ，所以BC AB ⊥，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以1AB BC ⊥不成立；
取AB 中点E ，连接11,,ED EA AB ，如下图所示：
因为,D E 为,BC AB 中点，所以//DE AC ，且11//AC A C ，所以11//DE AC ，所以
11,,,D E A C 四点共面，
又因为1A E 与1AB 相交，所以1AB //平面11AC D 显然不成立，故错误；
D ．“ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点”即为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”，
根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确； 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：
（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；
（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.
3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点，1MB P 的顶点
P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题正确命题的序号是（ ）
A ．平面1M
B P 1ND ⊥ B ．平面1MB P ⊥平面11ND A
C ．1MB P 在底面ABC
D 上的射影图形的面积为定值 D ．1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】
取N 与P 重合，结合勾股定理可判断A 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误；分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误；取点P 与点1C 重合，判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状，可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，如下图所示：
当点P 与点N 重合时， 若1ND ⊥平面1MB P ，
1B N ⊂平面1MB P ，则11ND B N ⊥，
由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=，同理可得15B N =，1122B D =，
2221111B N D N B D ∴+≠，则1ND 与1B N 不垂直，假设不成立，A 选项错误；
对于B 选项，取1BB 的中点E ，连接1A E 、EN ，
在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点， 则11//B E C N 且11B E C N =，所以，四边形11B ENC 为平行四边形，则11//EN B C 且
11EN B C =，
1111//A D B C 且1111A D B C =，所以，11//A D EN 且11A D EN =，
所以，四边形11A END 为平行四边形，所以，11//A E D N ，
111A B BB =，1B E BM =，11190A B E B BM ∠=∠=，所以，111Rt A B E Rt B BM ≅△△，
所以，111B A E BB M ∠=∠，所以，111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=，
190B FE ∴∠=，所以，11B M A E ⊥，
11A D ⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，111B M A D ∴⊥， 11
11A D A E A =，11A D 、1A E ⊂平面11ND A ，1MB ∴⊥平面11ND A ，
1MB ⊂平面1MB P ，所以，平面1MB P ⊥平面11ND A ，B 选项正确；
对于C 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .
若点P 在棱1CC 上运动时，1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △， 此时，射影图形的面积为2
1224
MBC
a a S a =⋅=△； 若点P 在棱11C D 上运动时，设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ，则G CD ∈， 且点G 到AB 的距离为a ,
1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ，则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △，
且2
1224
MBG
a a S a =⋅⋅=
△.
综上所述，1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值，C 选项正确； 对于D 选项，当点P 与1C 重合时，P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合， 此时，1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形，D 选项错误. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理.
在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.
4．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒
B ．点A 到平面BCD 的距离为
3
C ．四面体ABCD
D ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】
在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】
取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；
在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重
心，因为所有棱长均为2,AF ==
即点A 到平面BCD ,故B 正确；
设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11
433
A BCD BCD BCD V S AF S OF -=
⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即
OF AO =
所以四面体ABCD 的外接球体积3344
33
V R OA ππ=
==,故C 正确；
建系如图：0,0,,0,,033A C ⎛⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设
(,,0)P x y ，则
,,AP x y AC →
→⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭
，
因为cos 60AP AC AP AC →→→→
⋅=241
92
y +=，
83y +，平方化简可得：22
40039
y x y ---，可知点P 的
轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．
【点睛】
方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.
5．在直角梯形ABCD 中，2
ABC BCD π
∠=∠=
，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中
点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为13
B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与B
C 所成的角恒为
4
π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒
D ．在四棱锥D ABC
E -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点
F 时，DB 与平面ABCE 所成的角的正切为155
【答案】ABD 【分析】
对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得11
33
D ABC
E ABCE V S DE -=
⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC
所成角，由翻折前可知4
DAE π
∠=
可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为
2
π
判断C ；对于D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，
15
tan
DF DBF BF ∠=
=，可判断D 正确；
【详解】
对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知
得1DE =，则111
111333
D ABC
E ABCE V S DE -=
⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即
为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4
DAE π
∠=
，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为
4
π
，故B 正确； 对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且EC
ED E =，则AE ⊥平面DEC ，
又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为
2
π
，故C 错误； 对于D ，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则
AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以
DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，
2
2
2222
113
12215
2tan 5511122DE CE DF
DBF BF
BC CE ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
∠=
====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以DB 与平面ABCE 15
D 正确； 故选：ABD 【点睛】
关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结
合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.
6．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）
A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11
B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线B
C 所成角可能为30︒
C ．平面1A BE 与平面11CD
D C 所成锐二面角的正切值为2
D ．设正方体棱长为1，则过点
E ，
F ，A 5 【答案】AC 【分析】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；
【详解】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，
1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．
取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；
设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=
1tan 3023
︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11
111tan B C B FC C F
∠=
=22C 正
确；
因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为
6
，故D 错误. 故选：AC.
【点睛】
本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．
7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）
A ．11//A D 平面EFGH
B ．1A
C ⊥平面EFGH
C ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°
D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】
如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否. 【详解】
如图，连接OA ，则2115OA AA =
+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.
同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.
因为正方体的棱长为2，而26<
球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .
因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.
由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF
因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，
190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.
由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥
在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EF
EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，
所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，
因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为
1
11212
⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8，
故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.
8．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．CQ ⊥平面PAD
B ．P
C 与平面AQC 所成角的余弦值为22
3
C ．三棱锥B ACQ -的体积为62
D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】
取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】
解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，
所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ，
(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ，
因为点Q 是PD 的中点，所以632,0,)22
Q ，
平面PAD的一个法向量为(0,1,0)
m =，
6
(
22
QC=-，显然m与QC不共线，
所以CQ与平面PAD不垂直，所以A不正确；
3632
(6,23,32),(,0,),(26,
22
PC AQ AC
=-=
=，设平面AQC的法向量为(,,)
n x y z
=，则
36
22
260
n AQ x
z
n AC
⎧
⋅=+=
⎪
⎨
⎪⋅=+=
⎩
，
令=1
x ，则y z
==，
所以(1,2,
n=-，
设PC与平面AQC所成角为θ，
则
21
sin
3
6
n PC
n PC
θ
⋅
===，
所以cos
3
θ=，所以B正确；
三棱锥B ACQ
-
的体积为
11
32
B ACQ Q AB
C ABC
V V S OP
--
==⋅
111
6
322
=⨯⨯
⨯=，
所以C不正确；
设四棱锥Q ABCD
-
外接球的球心为)
M a，则MQ
MD
=，所以
22
222
2
22
a a
⎛⎫⎛⎫
++-=++
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
解得0
a=
，即M为矩形ABCD
对角线的交点，
所以四棱锥Q ABCD
-外接球的半径为3，
设四棱锥Q ABCD
-外接球的内接正四面体的棱长为x，
将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，
故正方体的棱长为
2
x
，所以
2
2
36
⎫
=
⎪⎪
⎝⎭
，得224
x=，
所以正四面体的表面积为2
4
4
x
⨯=，所以D正确.
故选：BD
【点睛】
此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是
11
,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥
D ．当1
13AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】
如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，
13
4
AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡∈⎣，()
2,23,Q b ，
[]0,2b ∈，
设11
A R AC λ=，得到()
22,23,22R λλλ--，[]
0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正
确；
()
122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取2
2b
λ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；
1AR A C ⊥，则
()()
12,23,222,23,2212440AR AC λλλλ
λλ⋅=--⋅--=-+-+=， 1
4λ=，此时11333313,,,,022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,33D R ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭，
设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10
0n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，解得(
)
3,1,3n =
-，
故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .
【点睛】
本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.
10．如图，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A －SBE 底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（ ）
A ．AS ⊥CD
B ．正四棱锥S －BCDE 的外接球半径为
2a C ．正四棱锥S －BCDE 的内切球半径为212a ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭ D ．由正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱 【答案】ABD 【分析】
取BE 中点H ，证明BE ⊥平面SAH 即可证AS CD ⊥；设底面中心为1O ，有
1122O B O S a ==
，可求得球半径为2
2
a ；用等体积法求内切球半径即可判断；由////SA DE BC 且==SA DE BC 可知多面体是一个三棱柱.
【详解】 如图所示：
A 选项：取BE 中点H 连接,AH SH ，正三棱锥A SBE -中，,AH BE SH BE ⊥⊥ 又AH
SH H =，所以BE ⊥平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD 所以AS CD ⊥ ，
故A 正确；
B 选项：设底面中心为1O ，球心为O 半径为R ，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在
1O S 上，所以OS OB R ==，因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a
所以112O B O S ==，由()2
22
11OB O B O S OS =+-
得22
222R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得2
R =
，故B 正确； C 选项：设内切球半径为r
，易求得侧面面积为221sin 23S a π=
⋅=，
由等体积法得2221
11432334
a a a r a r ⋅
=⋅+⋅⋅⋅
解得4
a r = ，故C 错；
D 选项：取S
E 中点
F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --
的二面角的平面角，由
)
2
2
2
222
2
1
cos 23
22BF DF BD BFD BF DF a ⎫⎫
+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫
⎪
⎝⎭
2
2
2
2222
1
cos 232a AF BF BA AFD AF BF ⎫⎫+-⎪⎪
+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎫
⎪⎝⎭
，故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD ===，则ASDE 为平行四边形，故
////AS ED BC 故正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱，所以D 正确 故选：ABD 【点睛】
求外接球半径的常用方法：
（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；
（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.。