2020春高中人教版物理选修3-4课件：第十一章 第2节 简谐运动的描述

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解析
例 2 如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经过 a、b 两点时的速度 相同，若它从 a 经 O 到 b 历时 0.2 s，然后从 b 再回到 a 的最短时间为 0.4 s， 则该振子的振动频率为( )
A．1 Hz C．2 Hz
B．1.25 Hz D．2.5 Hz
2计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律 求路程。
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[变式训练1] (多选)一个物体做简谐运动时，周期是 T，振幅是 A，那 么物体( )
A．在任意T4内通过的路程一定等于 A B．在任意T2内通过的路程一定等于 2A C．在任意34T内通过的路程一定等于 3A D．在任意 T 内通过的路程一定等于 4A E．在任意 T 内通过的位移一定为零 答案 BDE
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2．周期性 (1)若 t2－t1＝nT(n 为正整数)，则 t1、t2 两时刻，振动物体在同一位置， 运动情况相同。
(2)若 t2－t1＝nT＋12T(n 为自然数)，则 t1、t2 两时刻，描述运动的物理量 (x，a，v)均大小相等，方向相反。
(3)若 t2－t1＝nT＋14T(n 为自然数)或 t2－t1＝nT＋34T(n 为自然数)，则当 t1 时刻物体在最大位移处时，t2 时刻物体到达平衡位置；当 t1 时刻物体在平衡 位置时，t2 时刻物体到达最大位移处；若 t1 时刻物体在其他位置，t2 时刻物体 到达何处就要视具体情况而定。
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振子在振动过程中的几段路程的运动时间有什么特点？
提示：振子从 b 到 c 与从 c 到 b 的时间相同，振子由 a 经 O 到 b 与由 b 经 O 再回到 a 的时间也相同。
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提示
[规范解答] 振子经过 a、b 两点时的速度相同，根据弹簧振子的运动特 点，可知 a、b 两点相对平衡位置 O 一定是对称的，振子由 b 经 O 到 a 所用 的时间也是 0.2 s，由于“从 b 再回到 a 的最短时间为 0.4 s”，即振子运动到 b 后第一次回到 a 点所用时间为 0.4 s，且 Ob 不是振子的振动过程中相对平 衡位置的最大位移。设图中的 c、d 点为振动过程中相对平衡位置的最大位移 处，则振子从 b 经 c 到 b 历时 0.2 s，同理，振子从 a 经 d 到 a 也历时 0.2 s， 故该振子的周期 T＝0.8 s，根据周期和频率互为倒数的关系，就可以确定该 振子的振动频率为 1.25 Hz，B 正确。
(× ) (5)简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt＋φ)中，ωt＋φ 的单位是弧度。( √ ) (6)简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt＋φ)中，ω 表示振动的快慢，ω 越大，
振动的周期越小。( √ )
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想一想 (1)简谐运动的表达式一定是正弦函数吗？
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[变式训练2] (多选)一弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过
O 点时开始计时，经过 0.3 s 第一次到达 M 点，再经过 0.2 s 第二次到达 M 点，
则弹簧振子的周期为( )
8 A.15 s
7 B.5 s
8 C.5 s
D．3 s
答案 AC
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(1)AB 间距与振幅有何关系？
提示：AB 间距等于 2 个振幅，即 A＝10 cm。
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提示
(2)“振子首次由 A 到 B 的时间”与周期有何关系？ 提示：振子首次由 A 到 B 的时间等于半个周期，即 T＝0.2 s。
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答案
1求振动物体在一段时间内通过路程的依据 ①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在 n 个周期内 通过的路程必为 4nAn 为正整数； ②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅；
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③振动物体在T4 内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一 倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时， T4 内通过的路程才一 定等于振幅。
[完美答案] B
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答案
此题利用振动的对称性解题。通过画草图讨论弹簧振子可能的运动情况， 对于不是从平衡位置或不是从最大位移处开始计时的振动问题，分析的突破 口是弄清从开始计时起的半个周期的轨迹或几个不规则的轨迹怎样组成一个 振幅或若干个振幅。
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或 □06 初相。
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2．相位差
如果两个简谐运动的频率 □07 相同 ，其初相分别是 φ1 和 φ2，当 φ2>φ1 时，它们的相位差是 □ Δφ＝ 08 φ2－φ1 。
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判一判 (1)简谐运动的振幅大，振动的周期一定大。( × ) (2)振幅就是振子的最大位移。( × ) (3) 振 子 从 离 开 某 位 置 到 重 新 回 到 该 位 置 的 过 程 为 一 次 全 振 动 过 程 。 (× ) (4)从任一个位置出发到又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期。
(4)周期和频率的关系：f＝ □09 T1
。
(5)周期和频率都是表示物体 □10 振动快慢 的物理量，周期越小，频率
越大，表示振动 □11 越快 。
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3．相位
在物理学中，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处
的 □12 不同状态 。
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例 1 如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离 Δx，释放后振子 在 A、B 间振动，且 AB＝20 cm，振子首次由 A 到 B 的时间为 0.1 s，求：
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(1)振子振动的振幅、周期和频率； (2)振子由 A 到 O 的时间； (3)振子在 5 s 内通过的路程及 5 s 末相对平衡位置的位移大小。
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答案
解析 物体做简谐运动，是变加速直线运动，在任意T4内通过的路程不 一定等于 A，A 错误；物体做简谐运动，在任意T2内通过的路程一定等于 2A， B 正确；物体做简谐运动，在任意34T内通过的路程不一定等于 3A，C 错误； 物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为 4A，D、 E 正确。
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解析
如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向 B 运动，设 M′与 M 关于 O 点对称，则振子从 M′经 B 到 M′所用的时间与振子从 M 经 C 到 M 所需时 间相等，为 0.2 s，振子从 O 到 M′和从 M′到 O 及从 O 到 M 和从 M 到 O 所需时间相等，则振子从 M 到 O 所需时间为：(0.3 s－0.2 s)÷3＝310 s，故周 期为：T＝0.5＋310 s＝1360 s＝185 s。故 A、C 正确，B、D 错误。
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一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
振动物体离开平衡位置的 □01 最大距离 。振幅是表示振动幅度大小的
物理量，单位是米。振幅的 □02 两
倍表示的是做振动的物体运动范围
的大小。
2．周期和频率
(1)全振动：一个 □03 完整 的振动过程，称为一次全振动。做简谐运动
的物体完成一次全振动的时间总是 □04 相同的 。
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答案
5 s 内振子振动了 25 个周期，5 s 末振子仍处在 A 点，所以振子偏离平衡 位置的位移大小为 10 cm。
[完美答案] (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s (3)1000 cm 10 cm
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答案
解析 如图甲所示，OB(或 OC)代表振幅，若振子一开始从平衡位置向 C 点运动，振子从 O→C 所需时间为T4，因为简谐运动具有对称性，所以振子从 M→C 所用时间和从 C→M 所用时间相等，故T4＝0.3 s＋0.22 s＝0.4 s，解得： T＝58 s；
提示：不一定，还可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。
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提示
(2)两个简谐运动有相位差 Δφ，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相 位差为23π，意味着什么？
提示：两个简谐运动有相位差，说明其振动步调不相同。甲、乙两个简 谐运动的相位差为32π，意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后34个周期或34次全振动。
第2节 简谐运动的描述
1．知道振幅、周期、频率和相位的概念，知道全振动的含义，理解周期 和频率的关系。
2．知道简谐运动的表达式及其各量的物理意义。 3．了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义。 4．能依据简谐运动的表达式描绘图象，或根据简谐运动图象写出表达式。
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次全振动所用的时间 的次数
单位 物理含义
秒(s)
赫兹(Hz)
都是表示物体振动快慢的物理量
联系
T＝1f
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3．简谐运动中振幅和位移、路程、周期(频率)的关系 (1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与 振动物体的最大位移的大小相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位 移随时间做周期性的变化。 (2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。一个周期 内的路程为 4 倍振幅，半个周期内的路程为 2 倍振幅，41个周期内的路程不一 定等于振幅。 (3)振幅与周期(频率)：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频 率)是固定的，与振幅无关。
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提示
[规范解答] (1)从题图可知，振子振动的振幅为 10 cm，t＝0.1 s＝T2，所 以 T＝0.2 s。
由 f＝T1得 f＝5 Hz。 (2)根据简谐运动的对称性可知，振子由 A 到 O 的时间与振子由 O 到 B 的时间相等，均为 0.05 s。 (3)弹簧振子的振幅 A＝10 cm，振子在 1 个周期内通过的路程为 4A，故 在 t′＝5 s＝25T 内通过的路程为 s＝40×25 cm＝1000 cm。
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(2)周期：做简谐运动的物体完成一次□05 全振动 所需要的时间，叫做振
动的周期，用 T 表示。在国际单位制中，周期的单位是 □06 秒 (s)。 (3)频率：单位时间内完成□07 全振动 的次数，叫做振动的频率，用 f 表示。
在国际单位制中，频率的单位是 □08 赫兹 ，简称赫，符号是 Hz。
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提示
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提升训练
对点训练
课堂任务 描述简谐运动的物理量
一、描述简谐运动的物理量 1．全振动 (1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置，这样一个 完整的振动过程，叫做一次全振动。
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二、简谐运动的对称性和周期性 1．对称性 (1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例， 振子通过关于平衡位置对称的两点时，位移、速度、加速度的大小均相等。 (2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如 tBC ＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如 tBC＝tB′C′， 如图所示。
(2)全振动的特征 ①物理量特征：完成一次全振动时，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者同 时与初始状态相同。 ②时间特征：历时一个周期。 ③路程特征：为振幅的 4 倍。
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2．周期和频率
内容
周期
频率
做简谐运动的物体完成一 单位时间内完成全振动 定义
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二、简谐运动的表达式
1．简谐运动的一般表达式为 x＝ □01 Asin(ωt＋φ)。 (1)A 表示简谐运动的 □02 振幅 。 (2)ω 是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的 □03 圆频率。它也表示
简谐运动的快慢，ω＝2Tπ＝ □04 2πf 。 (3) □05 ωt＋φ 代表简谐运动的相位，φ 是 t＝0 时的相位，称做初相位，