高中数学第二章平2.3.22.3.4平面向量共线的坐标表示优化练习新人教A版必修0

2.3.2-2.3.4 平面向量共线的坐标表示
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．若AB →＝(3,4)，A 点的坐标为(－2，－1)，则B 点的坐标为( )
A ．(1,3)
B ．(5,5)
C ．(1,5)
D ．(5,4)
解析：设B (x ，y )，则有AB →＝(x －(－2)，y －(－1))＝(x ＋2，y ＋1)＝(3,4)，所以⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝3，y ＋1＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，所以B (1,3)．
答案：A
2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－2,1)
B ．e 1＝(4,6)，e 2＝(6,9)
C ．e 1＝(2，－5)，e 2＝(－6,4)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，－34 解析：因为零向量与任意向量共线，故A 错误．对于B ，e 1＝2(2,3)，e 2＝3(2,3)，所以e 1
＝23e 2，即e 1与e 2共线．对于D ，e 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，－34＝4e 2，所以e 1与e 2共线． 答案：C
3．已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )
A ．－13
B ．9
C ．－9
D ．13
解析：设C 点坐标为(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)，因为A ，B ，C 三点共线，所
以3－8＝y ＋68
，所以y ＝－9. 答案：C
4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )
A ．(1，－1)
B ． (－1,1)
C ．(－4,6)
D ．(4，－6)
解析：由题知4a ＝(4，－12)， 3b －2a ＝3(－2,4)－2(1，－3)＝(－8,18)，
4a ＋(3b －2a )＝－c ，
所以(4，－12)＋(－8,18)＝－c ，
所以c ＝(4，－6)．
答案：D
5．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( )
A ．a ＝(1，－2)
B ．a ＝(9,3)
C ．a ＝(－1,2)
D ．a ＝ (－4，－8)
解析：∵AB →＝(1,2)，∴a ＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4AB →，∴D 正确．
答案：D
6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1,7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________．
解析：设D (x ，y )，由AD →＝BC →，
所以(x －5，y ＋1)＝(2，－5)，
所以x ＝7，y ＝－6.
答案：(7，－6)
7．已知A (1,2)，B (4,5)，若AP →＝2 PB →，则点P 的坐标为________．
解析：设P (x ，y )，所以AP →＝(x －1，y －2)，PB →＝(4－x,5－y )，
又AP →＝2 PB →，所以(x －1，y －2)＝2(4－x,5－y )，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－x ，y －2＝－y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4.
答案：(3,4)
8．已知a ＝(1,1)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则x ＝________. 解析：∵a ＝(1,1)，b ＝(x,1)，∴u ＝(2x ＋1,3)，v ＝(2－x,1)．
u ∥v ⇒(2x ＋1)·1－3·(2－x )＝0⇒x ＝1.
答案：1
9．已知OA →＝(1,1)，OB →＝(3，－1)，OC →＝(a ，b )．
(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系；
(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．
解析：(1)由题意知，AB →＝OB →－OA →＝(2，－2)，AC →＝OC →－OA →＝(a －1，b －1)，若 A ，B ，C 三
点共线，则AB →∥AC →，即2(b －1)－(－2) (a －1)＝0，故a ＋b ＝2.
(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝(4，－4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝－3，即C (5，－3)．
10．已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．
(1)求线段BD 的中点M 的坐标．
(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 和λ的值．
解析：(1)设点B 的坐标为(x 1，y 1)，因为AB →＝(4,3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝
(4,3)．
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3，y 1＝1，
所以点B (3,1)，同理可得D (－4，－3)．
设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)，x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－1. (2)PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，
BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
因为PB →＝λBD →，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)．
即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝－7λ，1－y ＝－4λ，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－17，y ＝37.
[B 组 能力提升]
1．向量PA →＝(k,12)，PB →＝(4,5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为( )
A ．－2
B ．11
C ．－2或11
D ．2或－11
解析：BA →＝PA →－PB →＝(k,12)－(4,5)＝(k －4,7)，CA →＝PA →－PC →＝(k,12)－(10，k )＝(k －10,12－k )，
因为A ，B ，C 三点共线，所以BA →∥CA →，
所以(k －4)(12－k )－7(k －10)＝0，
整理得k 2
－9k －22＝0，
解得k ＝－2或11.
答案：C
2．已知向量集M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝( )
A ．{(1,1)}
B ．{(1,1)，(－2,2)}
C ．{(－2，－2)}
D ．∅
解析：由集合M ∩N ＝{a |a ＝(x ，y )，x ，y ∈R }，对于M 有
x －13＝y －24，对于N 有x ＋24＝y ＋25，
解得x ＝－2，y ＝－2.
答案：C 3．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．
解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．
设B (x ，y ), 则AB →＝(x －1，y －2)＝b.
由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －13λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.①
又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
∴λ＝12或λ＝－23
，代入①式得 B 点坐标为(0，72)或(73
，0)．
答案：(0，72)或(73
，0) 4．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2
得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，则向量OB →＝________. 解析：设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n,2n ＋m )＝(7,9)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n ＝7，m ＋2n ＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝235n ＝115.因此，OB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－115，235. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－115，235 5．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问：
(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
解析：OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，
OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．
(1)若P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23
； 若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13
； 若P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t <0，2＋3t >0，
解得－23<t <－13
. (2)不能．理由：PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )，若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝PB →，
即有3－3t ＝1，且3－3t ＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP 不能成为平行四边形．
6．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |
＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .
解析：根据题设，画出图形，如图所示，以O 为原点，
OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系．
由三角函数的定义，得A (2,0)，
B (cos 150°，sin 150°)，
即B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－32，12，C (3cos 240°，3sin 240°)， 即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
，－332. 故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
，－332. 设c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ(2,0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝
⎛⎭⎪⎫2λ－32μ，12μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －32＝2λ－32μ，－332＝12μ， 解得⎩⎨⎧ λ＝－3，μ＝－33，∴c ＝－3a －33b.。