能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并

由S1,2S2,3S3成等差数列，得2· 2S2＝S1＋3S3，即4(a1＋ a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，可得3q2－q＝0，得q＝0， q＝ ，因为q≠0，所以q＝ .
答案：
5.若数列{an}是正项递增等比数列，Tn表示其前n项的积，
且T8＝T4，则当Tn取最小值时，n的值＝ .
切线ln，切点为Pn(xn，yn).
(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；
(2)证明：x1· x3· x5·…·x2n－1＜
【解】
(1)直线ln的方程为y＝kn(x＋1)，kn＞0.
)x＋ ＝0.
代入曲线Cn的方程得： ( ＋1)x2－2(n－ ∵ln与Cn相切， ∴方程有等根xn，
Δ＝4(n－
)2－4( ＋1)
＝0⇒kn＝
┄(2分)
┄┄┄(4分)
(2)证明：由(1)知，xn＝ 于是所证明的不等式变为
(a)先证明：
∵4n2－1＜4n2，
∴(2n－1)(2n＋1)＜4n2
⇒(2n－1)2(2n＋1)＜4n2(2n－1)，┄┄┄┄┄┄┄(8分)
(b)再证明
＜ sin
.
令f(x)＝sinx－
至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景 的数列构造问题是高考对本节内容的常规考法，09年
广东高考将函数、数列、不等式、导数等知识综合命
题考查学生推理论证能力、函数与方程思想、转化与 化归思想和放缩法的应用，是高考考查的一个新方向.
[考题印证] (2009· 广东高考)(14分)已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝ 0(n＝1,2，…).从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的
游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年
度增加 .
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总 收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)第1年投入为800万元，第2年投入800× 万元，…，第n年投入800× 总投入an＝800＋800× ＝4 000× . 万元，…， ＋…＋800× 万元，
元的电脑12年后的价格可降为 ( )
A.2 400元
C.3 000元
B.2 700元
D.3 600元
解析：12年后的价格可降为8 100×(1－
答案：A
)3＝2 400 元.
3.已知函数f(x)＝ 的最小值为 A.10 C.12 解析：因为函数f(x)＝
，其对称中心是(
，0)，若an＝ ( )
(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n B.11 D.13 ，且函数关于点P( ，0)
同理，第1年收400万元，第2年收400×
第n年收入400×
总收入bn＝400＋400×
万元，
…＋400×
＝1 600×
.
(2)由题意知bn－an＞0， 即1 600× 化简，得5× －4 000× ＋2× －7＞0， ＞0，
设 x＝
解得x＜
<1，则5x2－7x＋2＞0，
或x＞1(舍去)，
即
＜
，∴n≥5.
从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模
型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1 150 元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交50元，并 加付欠款利息，月利率为1%，若付150元之后的第一个
月算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交
付多少钱？全部付清后，实际共花了多少钱？ [思路点拨]
项和Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1， ∴数列{an}是首项为a1＝1，公比为2的等比数列， ∴数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
(2)由于bn＝log2a3n＋1，n＝1,2，… 由(1)可得a3n＋1＝23n ∴bn＝log223n＝3n， ∴{bn}是等差数列，
∴
∵an>0， ∴an＝
，n∈N*.
，n∈N*.
(2)证明：∵an＝
，n∈N*，
(理)已知曲线C：y＝x2(x>0)，过C上的点A1(1,1)作曲线 C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C
于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点
B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点 An的横坐标为an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1； (3)求证：
数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解.
[思考探究] 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式是等差数列模型；复利公式是等比数 列模型.
1.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2， S4成等比数列，则 等于 ( )
A.1
C.3
B.2
D.4
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S1＝a1，S2＝
与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念， 在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数 量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利 的问题.这都与等比数列有关.
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进 行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年 度投入800万元，以后每年投入将比上年度减少 .本年 度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.
又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
故Tn＝ ln2.
· ln2.
若将“S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列”改 为“Sn＝2an－1，n∈N*”. (1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝log2a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n
解析：由T8＝T4，得a1a2a3a4a5a6a7a8＝a1a2a3a4，所以 a5a6a7a8＝1，又a5a8＝a6a7＝1，且数列{an}是正项递增 数列，所以a5<a6<1<a7<a8，因此T6取最小值. 答案：6
1.解决等差、等比数列综合问题的关键是将已知转化成 基本量的关系，求出首项与公差(公比)后，再进行其他 运算. 2.利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时
(1－
).令t＝
，则0<t≤
，
∴anSn＝4t(1－t)＝－4(t－ 当t＝ anSn≤1.
)2＋1. )2＋1有最大值1，即
，即n＝1时，－4(t－
(3)证明：∵Sk≥ak，k∈N*，∴akSk≥ ∵数列{
，即
}是首项为1，公比为4的等比数列，
故
1.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等 比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝ A.4 C.－2 B.2 D.－4 ( )
解析：∵a，b，c成等差，∴a＋c＝2b.
又∵a＋c＋3b＝10，∴b＝2. ∴ 由①②知a＋ ＝4，解之得a＝－4或a＝2.由a，b，c
互不相等知a＝－4. 答案：D
2.某厂在2010年底制订生产计划，要使2020年底的总产
量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为
(
)
解析：设年平均增长率为x.则(1＋x)10＝4，∴x＝ －1.
解：(1)∵曲线C在点An(an， )处的切线ln的斜率是2an， ∴切线ln的方程是y－ ＝2an(x－an)，
由于点Bn的横坐标等于点An＋1的横坐标an＋1， ∴令y＝0，得an＋1＝ an， 的等比数列，
∴数列{an}是首项为1，公比为 ∴an＝ .
(2)证明：∵Sn＝
＝2(1－
)，
∴anSn＝4×
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)由已知得
解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝
又S3＝7，可知
，a3＝2q.
＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.
解得q1＝2，q2＝
.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，
能在具体的问题情境中识别数列的等差 关系或等比关系，并能用相关知识解决相 应的问题.
1.数列综合应用题的解题步骤 (1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每
个数学内容中，各是什么问题.
(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”， 每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、 解析几何问题、不等式问题等.
对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好
性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件 联立方程求解.
设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前
n项和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
2a1＋d，S4＝4a1＋6d.
∵ ＝S1· S4， ∴(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)， ∴4 ＋4a1d＋d2＝4 ＋6a1d， ∴d2＝2a1d. 又∵d≠0，∴d＝2a1，
答案：C
2.随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若
每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格为8 100
答案：A
3.(2010· 黄冈模拟)数列{an}满足a1＝
，an＋1＝
－an＋
1(n∈N*)，则m＝
A.0 B.1
的整数部分是(
)
C.2
D.3
解析：由题an＋1＝an(an－1)＋1，则 ⇒ － ，由于a3＝ ，故有m＝ >2且an＋1>an，故 ＝2 ∈
(0,1)，所以m∈(1,2)其整数部分是1. 答案：B
(n∈N*)在函数f(x)＝
，
)
＋4的图象上，且a1＝1，an>0.
பைடு நூலகம்
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：Sn> ，n∈N*.
解：(1)由于点Pn(
)，n∈N*，在函数f(x)＝
＋4的
图象上，
∴ ∴ ∴数列{ ＋4，n∈N*， ＝4，n∈N*， }是等差数列，首项为 ＝1，公差为4.
∴
＝1＋4(n－1)＝4n－3，n∈N*，
(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到
整个问题的解答. 具体解题步骤如下框图：
2.常见的数列模型
(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数
列，利用等差数列有关知识解决问题. (2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数 列，利用等比数列有关知识解决问题. (3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用
对称，故f(1)＋f(2)＋…＋f(10)＝0，即S10＝0.当n≥6时，
f(n)>0，∴a11＝f(11)>0，∴S11>0.
答案：B
4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数 列，则{an}的公比为 . 解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则S1＝a1，
S2＝a1＋a2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
1.解等差数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问 题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应 用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、 标准化，然后用等差数列知识求解.这其中体现了把实
际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力.
2.解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：
[课堂笔记] 购买当天付了150元，余欠款1 000元，按题
意分20次还清. 设每次付款依次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×0.01＝ 60元， a2＝50＋(1 000－50)×0.01＝59.5元， a3＝50＋(1 000－50×2)×0.01＝59元， …
an＝60－(n－1)×0.5， ∴{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列. ∴a10＝60－9×0.5＝55.5元. 20期共还款S20＝20×60－ 故共花了1 105＋150＝1 255元. ×0.5＝1 105，
x，则f′(x)＝cosx－
.
当x∈[0， )时，f′(x)＞0， 所以f(x)在[0， )上单调递增，┄┄┄┄┄┄┄(12分) 又xn＝ ∴f(xn)＝sin 所以 ∈(0， )(n≥1)， ＞f(0)＝0.
故x1· x3· x5·…·x2n－1＜
(14分)
[自主体验]
(文)已知数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(