天津武清区崔黄口高级中学2018年高三数学文联考试题含解析

天津武清区崔黄口高级中学2018年高三数学文联考试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
设向量与的夹角为，=（2，1），3+=（5，4），则=
A.B.
C.D.
参考答案：
答案：D
2. 小王从甲地到乙地的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，
则（）
A.a<v<
B.v=
C. <v<
D.v=
10.
参考答案：
A.
设甲乙两地相距，则小王用时为，所以，，、.，.故选A.
3. 已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一点，线段的中点M在y 轴上，若△FMO(其中O是坐标原点)的周长等于椭圆半焦距的3倍，则椭圆C的离心率为
A． B.C．D．
参考答案：
D
4. 二次函数f(x)的图像经过点（0，），且f ’(x)= -x -1,则不等式f(10x)>0的解集为( )
A. (-3，1)
B.( -lg3 , 0)
C.(, 1 )
D. (-∞， 0 )
参考答案：
D
5. 已知角的终边经过点，且则实数的取值
范围是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
A
略
6. 若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ( )
A. B. C． D．
参考答案：
A
：由几何体的三视图知它是底面是正方形且有一侧棱垂于底面的四棱锥，可把它补成一个长方体，所以，它的外接球表面积为
7. 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（）种．
A．150 B．180 C．240 D．540
参考答案：
A
【考点】计数原理的应用．
【专题】排列组合．
【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有
C52C32A33，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，
当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，
当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33=60种结果，
∴根据分类计数原理知共有90+60=150
故不同保送的方法数为150种，
故选：A．
【点评】本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．
8. 已知函数且在上的最大值与最小值之和为
，则的值为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
9. 对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界,若，且，则的上确界为（）
A. B. C.
D.-4
参考答案：
B
10. 已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且若
对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）
A．(－∞,2] B．(－∞,1] C．D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{a n}中，，，且．则数列的前n项和为____________
参考答案：
12. 若，且,则．
参考答案：
因为，所以为第三象限，所以，即。

13. 已知，，则__________．
参考答案：
3
14. 若奇函数在上单调递减，则不等式的解集
是
参考答案：
略
15. 若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为．参考答案：
[﹣1，4]
【考点】函数恒成立问题．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立转化为a2﹣3a≤4
，求解该不等式得答案．
【解答】解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x﹣1|表示数轴上的动点x与两定点﹣3，1的距离，
则|x+3|+|x﹣1|的最小值为4，
要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则
a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．
∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的实数a的取值范围为[﹣1，4]．
故答案为：[﹣1，4]．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题．
16. 已知菱形的边长为，，点分别在边上，
，
. 若，则的值为___________.
参考答案：
2
略
17. 若函数的反函数为，则不等式的解集为_____．参考答案：
【分析】
先求出，即求解即可。

【详解】∵，
∴有，
则，必有﹣1＞0，
∴2（﹣1）＜1，解得1＜．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）设椭圆的方程为,点为坐标原点, 点
的坐标为点的坐标为,点在线段上, 满足,直线
的斜率为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点的坐标为,为线段的中点, 点关于直线的对称点的纵坐
标为,求椭圆
的方程.
参考答案：
(1)；(2).
因为点在直线上, 且,则有,解得
,
故,所以椭圆的方程为.
考点：椭圆的几何性质和相关知识的运用．
【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的定义求方程问题和直线与圆锥曲线的位置关系的处置问题.解答本题时充分借助题设条件，巧妙构建关于基本量方程，通过对方程分析和化简求出关系式，进而求出椭圆的离心率，也为第二问求椭圆的方程准备了前提条件.第二问在求椭圆的标准方程时,充分借助题设中的,点对称的性质建立关于的方程组,从而使问题简捷巧妙获解.
19. 设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m
与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ||ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．
参考答案：
（1）1，（2）成等差数列
【分析】
（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ||ED|Q在直线m上，则椭圆的方程即可得到；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．
【详解】解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ||ED|，Q在直线m上，
∴x0＝x，|y0|＝|y|．①
∵点D在圆x2+y2＝16上运动，
∴x02+y02＝16，
将①式代入②式即得曲线C的方程为x2y2＝16，即1，
（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：
由（1）知椭圆C：3x2+4y2＝48，
直线l的方程为y＝k（x﹣2），
代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，
则有x1+x2，x1x2，
可知M的坐标为（8，6k）．
∴k1+k3
＝2k﹣3?2k﹣3?2k﹣1，
2k2＝2?2k﹣1．
∴k1+k3＝2k2．
故直线PA，PM，PB斜率成等差数列．
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题．
20. 已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围.
参考答案：
（1），
或或
或，
所以，原不等式的解集为.
（2）由条件知，不等式有解，则即可.
由于，
当且仅当，即当时等号成立，故.
所以，的取值范围是.
21. （13分）（2014秋?丰台区期末）已知函数f（x）=x+e﹣x﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）如果直线y=kx﹣1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）利用导数求出函数f（x）的单调区间，进而求出函数的极小值；
（Ⅱ）先利用特殊值，判断两函数值的大小，再构造函数g（x）=g（x）﹣（kx﹣1），根据函数g（x）的最值来对k进行分类讨论．
解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为R．∵f（x）=x+e﹣x﹣1，
∴．
令f′（x）=0，则x=0．
当x＜0时，f′（x）＜0，当；x＞0x＞0时，f′（x）＞0
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴当x=0时函数有极小值f′（x）极小值=f（0）=0．
（Ⅱ）∵函数，
当x=0时，y=k?0﹣1=﹣1，
所以要使y=kx﹣1与f（x）无交点，等价于f（x）＞kx﹣1恒成立．
令，即g（x）=（1﹣k）x+e﹣x，
所以．
①当k=1时，，满足y=kx﹣1与f（x）无交点；
②当k＞1时，，
而，，
所以，此时不满足y=kx﹣1与f（x）无交点．
③当k＜1时，令，则x=﹣ln（1﹣k），
当x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上单调递减上单调递减；
当x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上单调递增；
当x=﹣ln（1﹣k）时，g（x）min=g（﹣ln（1﹣k））=（1﹣k）（1﹣ln（1﹣k））．
由（1﹣k）[1﹣ln（1﹣k）]＞0 得1﹣e＜k＜1，
即y=kx﹣1与f（x）无交点．
综上所述当k∈（1﹣e，1]时，y=kx﹣1与f（x）无交点．
点评：本题考查了，函数的最值，单调性，图象的交点，运用了等价转化、分类讨论思想，是一道导数的综合题，难度较大．
22. （本题满分12分）
已知的内角、、的对边分别为、、，
，且
（1）求角；
（2）若向量与共线，求、的值．
参考答案：
解：（1）
，即，，
，解得……5分
（2）共线，。

由正弦定理，得，①……8分
，由余弦定理，得，②
联立方程①②，得……12分。