广东高二高中数学月考试卷带答案解析

广东高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合Ｍ＝，Ｎ＝，则集合ＭＮ＝（）
A．{}B．{}
C．{}D．{}
2.复数的值是 ( ).
A．2B．C．D．
3.已知向量∥，则实数的值为（）
A．B．C．D．
4.方程上有解，则的取值范围（）.
A．B．C．D．
5.直线与圆的位置关系是（）
A．相离B．相交C．相切D．与的值有关
6.在数列中，，且满足，则数列是（）
A．递增等比数列B．递增等差数列
C．递减数列D．以上均不对
7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象 ( ).
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
8.若椭圆的离心率,则的值为 ( ).
A．B．或C．D．或
9.在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则点到平面的距离是( ).
A．B．C．D．
10.不等式的解集为，则函数的图象大致为（）
A B C D
二、填空题
1.函数的单调递减区间是 .
2.甲、乙两人独立的解决一个问题，甲能解决这个问题的概率为，乙能解决这个问题的概率为，那么甲乙两人中至少有一人解决这个问题的概率是 .
3.规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即，则函数的值域是．
4.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．
三、解答题
1.(本小题满分12分) 已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期
（Ⅱ）求在区间上的最值及相应的值。

2.（本小题满分13分）
一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：
（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；
（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率．
3.（本小题满分13分）如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且
，
（1）求证：平面；
（2）求凸多面体的体积．
4.(本小题满分14分)设数列的前项和为，点均在函数的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.
5.(本小题满分14分)已知圆过点, 且在轴上截得的弦的长为.
(1) 求圆的圆心的轨迹方程；
(2) 若, 求圆的方程.
6.(本小题满分14分）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
广东高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知集合Ｍ＝，Ｎ＝，则集合ＭＮ＝（）
A．{}B．{}
C．{}D．{}
【答案】C
【解析】解：因为集合Ｍ＝，Ｎ＝，则可得集合ＭＮ＝，选C
2.复数的值是 ( ).
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因为，选A
3.已知向量∥，则实数的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因为向量∥，故有6x-3=0,得到实数的值为,选A
4.方程上有解，则的取值范围（）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：方程sin2x-2sinx-a=0在x∈R上有解，可以转化为a=sin2x-2sinx，x∈R
故令t=sinx∈[-1，1]，则方程转化为
a=t2-2t，t∈[-1，1]，
此二次函数的对称轴为t=1，故 a=t2-2t在[-1，1]上是减函数，
∴-1≤t≤3，即a的取值范围是[-1，3]
故应选C
5.直线与圆的位置关系是（）
A．相离B．相交C．相切D．与的值有关
【答案】B
【解析】解：因为圆心为（0，,0），半径为，利用圆心到直线的距离d<r，可知直线与圆的位置关系为相交，选B
6.在数列中，，且满足，则数列是（）
A．递增等比数列B．递增等差数列
C．递减数列D．以上均不对
【答案】B
【解析】解：因为是递增等差数列，选B
7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象 ( ).
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【答案】A
【解析】解：因为为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位，选A 8.若椭圆的离心率,则的值为 ( ).
A．B．或C．D．或
【答案】D
【解析】解：因为的离心率,，需要对m<5,m>5两种情况来分析得到结论，可知或，选D
9.在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则点到平面的距离是( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】解：设所求距离为h ． 因为：B 1E=B 1F=C 1F=
，EF=
而E 到平面B 1C 1F 的距离EB=1,利用等体积法可知点到平面
的距离，选D
10.不等式
的解集为
，则函数
的图象大致为（ ）
A B C D 【答案】C
【解析】解：根据不等式的解集可知-2和 1是二次方程的两根，因此得到a,c 的值，然后确定函数的图像可知选C
二、填空题
1.函数
的单调递减区间是 .
【答案】(2,+∞) 【解析】解：因为
是复合函数，利用同增异减的思想，可知单调减区间就是内层的增区间，先求
解定义域x>2,x<0，然后得到结论为(2,+∞)
2.甲、乙两人独立的解决一个问题，甲能解决这个问题的概率为，乙能解决这个问题的概率为，那么甲乙两人中至少有一人解决这个问题的概率是 . 【答案】
【解析】解：由题意甲、乙两人独立的解决一个问题，其间没有影响，
事件“甲乙两人中至少有一人解决这个问题”的对立事件是“甲乙两人都没有解决这个问题” 甲能解决这个问题的概率为0.6，乙能解决这个问题的概率为0.7， 事件“甲乙两人都没有解决这个问题”的概率是（1-0.6）（1-0.7）=0.12 故事件“甲乙两人中至少有一人解决这个问题”的概率是1-0.12=0.88 故答案为0.88
3.规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即，则函数的值域是 ． 【答案】 【解析】解：根据定义可知两个正实数之间的运算，
4.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．
【答案】
【解析】解：因为数方程
（为参数,
）化成普通方程为。

三、解答题
1.(本小题满分12分) 已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期
（Ⅱ）求在区间上的最值及相应的值。

【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，取得最大值2；
当时，取得最小值—1
【解析】本试题主要是考查了三角函数的花间和性质的综合运用。

（1）因为函数化为单一函数之后，利用周期公式可知第一问。

（2）根据角x的范围得到wx+的范围，然后结合三角函数的性质得到最值和相应x的取值。

解：（Ⅰ）因为
所以的最小正周期为
（Ⅱ）因为
于是，当时，取得最大值2；
当取得最小值—1.
2.（本小题满分13分）
一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：
（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；
（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n
（1）利用列举法写出连续取两次的事件总数情况，共16种，从中算出连续取两次都是白球的种数，最后求出它
们的比值即可；
（2）用列举法求出连续取三次的基本事件总数，从中数出连续取三次分数之和为4分的种数，求出它们的比值即
为所求的概率．
解：（1）设连续取两次的事件总数为：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑）；（白1，红）（白1，白1）（白1，白2），（白1，黑）；（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑）；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以．…… 2分
设事件A：连续取两次都是白球，（白1，白1）（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4
个，…… 4分
所以，。

… 6分
（2）连续取三次的基本事件总数为N：（红，红，红），（红，红，白1），（红，红，白2），（红，红，黑），有4个；（红，白1，红），（红，白1，白1），等等也是4个，如此，
个；…………………………… 8分
设事件B：连续取三次分数之和为4分；因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，则连
续取三次分数之和为4分的有如下基本事件：
（红，白1，白1），（红，白1，白2），（红，白2，白1），（红，白2，白2），（白1，红，白1），
（白1，红，白2），（白2，红，白1），（白2，红，白2），
（白1，白1，红），（白1，白2，红），（白2，白1，红），（白2，白2，红），
（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），共15个基本事件，……………… 10分
所以，．………………………… 12分
3.（本小题满分13分）如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且
，
（1）求证：平面；
（2）求凸多面体的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】本试题主要考查了多面体的体积的求解以及线面垂直的判定定理的运用。

（1）要证明AB垂直于平面，则利用AB//CD，通过证明CD垂直于平面得到证明。

（2）对多面体的体积可知看作是四棱锥的体积，结合分割的思想转化为两个三棱锥的体积和，得到结论。

（1）证明：∵平面，平面，
∴．
在正方形中，，
∵，∴平面．
∵，
∴平面．………………7分
（2）解法1：在△中，，，
∴．
过点作于点，
∵平面，平面，
∴．
∵，
∴平面．
∵，
∴．
又正方形的面积，
∴
．
故所求凸多面体的体积为．………………14分
解法2：在△中，，，
∴．
连接，则凸多面体分割为三棱锥
和三棱锥．
由（1）知，．
∴．
又，平面，平面，
∴平面．
∴点到平面的距离为的长度．
∴．
∵平面，
∴．
∴
．
故所求凸多面体的体积为
．………………14分
4.(本小题满分14分)设数列的前项和为
，点
均在函数
的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，
是数列
的前项和，求使得对所有
都成立的最小正整数
.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）最小正整数
【解析】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．易错点是基础知识不牢固，不会运用数列知识进行等价转化转化．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
1）设二次函数f （x ）=ax 2+bx ．f'（x ）=2ax+b ，由2a=6b=-2，知f （x ）=3x 2-2x ，由（n ，Sn ）在y=3x 2-2x 上，知S n =3n 2-2n ．由此能求出数列{a n }的通项公式． （2）由，
是数列的前项和，求使得
，得到m>20T n ，解不等式得到结论。

解: (1) 由题意得 , 即
,………………1分
当
时 ,
,…………4分 当时, , ………………5分 ∴ , ……………………6分
(2) 由(1)得
,…………………8分 ∴
. ……………………11分 因此,使得
成立的必须且只需满足即,
故满足要求的的最小正整数………………13分
5.(本小题满分14分)已知圆过点, 且在轴上截得的弦的长为.
(1) 求圆的圆心的轨迹方程； (2) 若, 求圆的方程. 【答案】(1)
；（2）
【解析】本题主要考查了利用圆的性质求解点的轨迹方程及圆的方程的求解，解题的关键是熟练 掌握圆的基本性质
（1）设圆C 的圆心为C （x ，y ），圆的半径 r= x 2+(y-a)2，由圆C 在x 轴上截得的弦MN 的长为2a ．可得|y|2+a 2=r 2，整理可求 （2）由∠MAN=45°可得∠MCN=90°，由（1）可知圆C 的圆心为（x 0，y 0），则有x 02=2ay 0（结合y0="1" ，2|MN|=a 可求x 0，r ，从而可求圆C 的方程 解: (1)设圆的圆心为, 依题意圆的半径 ……………… 2分 ∵ 圆在轴上截得的弦
的长为
.
∴
故 ………………………… 4分
∴
∴ 圆的圆心的轨迹方程为 ………………… 6分 （2）∵ , ∴ ……………………… 9分 令圆的圆心为
, 则有
(
) ,……… 10分
又 ∵ …………………… 11分
∴
……………………… 12分
∴……………………… 13分
∴圆的方程为…………………14分
6.(本小题满分14分）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）在区间,内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

主要是导数的几何意义的运用以及运用导数求解函数的单调区间和极值的综合试题。

（1）先求解定义域和导函数，利用导数值为该点的切线斜率得到直线方程。

（2）利用求解导数，以及导数为零的点，以及导数的正负得到单调区间，并判定极值问题。

解: （Ⅰ）解：当时，，，………1分
又，则．……… 3分
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．……………4分
（Ⅱ）解：
．………6分
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，,
当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间,内为减函数，在区间内为增函数
故函数在点处取得极小值，且，
函数在点处取得极大值，且．…10分
（2）当时，令，得到，
当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间,内为增函数，在区间内为减函数．函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且． (14)。