广东省深圳市翠园中学2015届高三第三次模拟考试数学【理】试题

2015届翠园中学高三第三次模拟考试
理科数学
一、选择题：本大题共
8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设i 是虚数单位，若
21mi i 为纯虚数，则实数m 的值为A. 2 B. 2 C. 12 D. 1
2
2.设集合22430,log 1,M
x x x N x x M N 则A. 1,2
B. 1,2
C. 0,3
D. 0,33.已知F x f x x 是偶函数，且212f f
，则A.4 B.2 C. 3 D. 4
4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了
5次试验，收集数据如下：
加工零件数x （个）10
20 30 40 50 加工时间y （分钟）
64 69 75 82 90 经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量，下列判断正确的是
A ．成正相关，其回归直线经过点（
30，76）B ．成正相关，其回归直线经过点（
30，75）C ．成负相关，其回归直线经过点（
30，76）D ．成负相关，其回归直线经过点（
30，75）5．已知数列{}n a 满足: 当*11,,p q
p q N p q 时，2p p q a a ，则{}n a 的前10项和10S .31A .62
B .170
C .1023
D 6..已知直线m 和平面、，则下列结论一定成立的是（）A .若//m ，
//，则//m B .若m ，，则//m C.若//m ，，则m D.若m ，//，则m
7.若点(,)P x y 满足线性约束条件30320,0
x
y x
y y 点(3,3)A ，O 为坐标原点，则OA OP 的最大值为
A. 0
B. 3
C. 6
D. 6
8.已知集合{0,1,2,3}M
N ，定义函数:f M N ，且点(0,(0))A f ，(,())B i f i ，(1,(1))C i f i ，（其中1,2i
）.若△ABC 的内切圆圆心为P ，满足()PA PC PB R ，则满足条件的ABC 有（
） A ．10个 B ．12个 C ．18个D ． 24个
二、填空题（本大题共
7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分。

）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9.不等式|21||1|x x 的解集为 .
10. 已知向量(1,3)a
，(1,0)b ，则|2|a b ________. 11已知双曲线2221(0)3x y
b b 两条渐近线的夹角是3
，则b ．12．设}{n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，若a a a ，，成等差数列，则
S
S
. 13.设6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x ,则1
350246
a a a a a a a （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．
15.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，直线:
l 21cos 与曲线C:cos 2相交于A 、B 两点，O 为极点.则∠AOB 的大小是
．14．（几何证明选讲选做题）如图，A 、B 是圆O 上的两点，120AOB ，C 是AB 弧的中点．延长OA 至P 使得AP OA
，连接PC ，设圆O 的半径1R ，则PC 的长是．
三、解答题。

本大题共
6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分
12分）已知函数sin cos 6f x x x ．
（1）求函数f x 的最小正周期；
（2）若是第一象限角，且4
35f ，求tan 4的值．
17.（本小题满分12分）
某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是
[0，100]，样本数据分组为
[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]. （Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生
1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于
20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望
.（以直方图中的频率作为概率）18.（本题满分14分）
如图1在Rt ABC 中，90ABC ，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，4,22AB
BC ．以DE 为折痕，将Rt ADE 折起到图2的位置，使平面
A DE 平面DBCE ，连接,A C A
B ，设F 是A
C 上的点．
（1）证明：平面FBE A DC 平面；
（2）若F 是线段A C 上的中点，求二面角
F BE C 的大小．图1 A D B E
C A
B
D
E
C 图2 F
19、（本题满分
14分）数列{
n a }的前n 项n S ，1a =3且n S =12123n a （n N *）（1）求n
a （2）12121n n n
n a a a b ，数列{n b }的前n 项和是n T ，求证n T <281
.
20、（本题满分14分）
设00(,)P x y 是圆222
:3O x y 外的动点，过P 的直线与圆O 相切，切点为,A B ，设切线
,PA PB 的斜率分别为12,k k ，且满足12
12k k ．（1）求点P 的轨迹方程C ；
（2）若动直线12,l l 均与C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是否存在定点
Q ，点Q 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点
B 坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题共14分）
已知函数
．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求
的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点
，，求证：．。