广西专版2024_2025学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5

5.1导数的概念及其意义
5.1.1改变率问题
课后·训练提升
1.已知物体运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=3t2,若
v==18 m/s,则下列说法正确的是()
A.18 m/s是物体从起先到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度
C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体在(3+Δt)s这一时刻的瞬时速度
答案:C
2.曲线y=f(x)=2x2在点A(2,8)处的切线斜率为()
A.4
B.16
C.8
D.2
答案:C
解析:斜率k=(8+2Δx)=8.
3.若一质点运动的位移s与时间t的关系为s=5-3t2,则该质点在t=1时的瞬时速度是()
A.-3
B.3
C.6
D.-6
答案:D
解析:质点在t=1时的瞬时速度为v=(-3Δt-6)=-6.
4.若曲线y=x2在某点处的切线的倾斜角为,则该点的坐标为()
A.(0,0)
B.(2,4)
C. D.
答案:D
解析:∵切线斜率k=(2x+Δx)=2x,
∴令2x=tan=1,得x=.
∴y=.
故所求点的坐标为.
5.已知一质点运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=2t2-t,则质点在
[2,2+Δt]这段时间内的平均速度是,在t=2时的瞬时速度是.
答案:7+2Δt 7
解析:平均速度==7+2Δt,
瞬时速度v=(7+2Δt)=7.
6.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程
是.
答案:2x-y+4=0
解析:曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率为
k==(3Δx+2)=2.
由题意可知过点P(-1,2)的直线的斜率为2,
故所求直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.
7.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为.
答案:
解析:设点P的横坐标为x0,则曲线C在点P处的切线斜率
k=
(Δx+2x0+2)=2x0+2.
由已知得0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-.
∴点P横坐标的取值范围为.
8.已知一物体做自由落体运动,下落的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为h(t)=gt2,其中g为重力加速度,g≈9.8 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s,3.000 1 s各段内的平均速度;
(2)求t=3 s时的瞬时速度.
解:(1)当t在区间[3,3.1]上时,Δt=3.1-3=0.1(s),
Δh=h(3.1)-h(3)=g·3.12-g·32≈2.989(m),
故=29.89(m/s).
同理,当t在区间[3,3.01]上时,≈29.449m/s,当t在区间[3,3.001]上时,≈29.4049m/s,当t在区间[3,3.0001]上时,≈29.40049m/s.
(2)因为g(6+Δt),
所以g(6+Δt)=3g≈29.4(m/s).
所以t=3s时的瞬时速度约为29.4m/s.。