精确分类 缜密讨

精确分类缜密讨论
【摘要】分类讨论问题是近年来中考考查的热点之一，是教学的难点。

本文从分类讨论的原则、动因与方法入手，结合苏科版教材的教学谈谈在初中数学教学中实施分类讨论问题教学、渗透分类讨论思想促进思维的严密性的一些所作所想。

【关键词】分类讨论；动因；思维的缜密性
在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能性，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。

分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

下面就初中数学中应用分类讨论必须遵循的原则、依据分类
讨论的动因运用这一思想的做法与注意点谈一些粗浅的看法。

一、分类讨论遵循的原则
“不重不漏”，这是解答初中数学中分类讨论问题必须遵循的基本原则。

1、同一性原则。

分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

例如在讲解三角形的分类前，问初一学生三角形分为哪几种，学生基本上都会说分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。

这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准,这就是分类要做到的“不重”。

2、相称性原则。

分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应
当与母项的外延相等。

例如有些同学把有理数分为正有理数和负有理数两类，这个分类是不相称的，因为子项的外延总和小于母项的外延。

事实上有理数中还包括既非正又非负的有理数——零。

这就
是分类要做到的“不漏”。

二、常见的需分类讨论的几种情况
在解题时，要抓住分类讨论的动因，明确分类讨论的方法。

也就是为何要讨论？如何去讨论？思路清晰了，框架构建了，才能确保解题严密完整、叙述条理分明。

1、问题涉及到分类讨论思想的有关概念时对其进行分类讨论。

例如学生在学习绝对值这一概念与|a|的化简的过程中，不注意观察与归纳，认为求一个数的绝对值只要把绝对值里面的负号去掉就可以了，如：|5|=5；|-4|=4；……。

结果出现了象｜a｜=a这样的错解。

究其原因是教师没能正确引导学生理解与应用绝对值这一概念。

学生只有对初中数学中涉及到分类讨论思想的概念有了正确的认知、理解和牢固的掌握，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性，从而提高学生
分析问题和解决问题的能力。

2、问题中几何图形的形状或位置不确定时对其进行分类讨论。

例如苏科版八年级数学教材29页习题5：
在△abc中，∠a=40°,当∠b等于哪些度数时△abc是等腰三角形？
本题的题设具有不确定性也就导致其结果具有多解的情况,要
使得△abc是等腰三角形，依据腰的不确定性分为三类：
（1）使ab=ac，此时∠a为顶角，底角∠b=70°；
（2）使ab=bc，此时∠a为底角，顶角∠b=100°；
（3）使ac=bc，此时∠c为顶角，底角∠a=∠b=40°；
正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能形状
与位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形。

3、问题的题设和结论有多种可能情况时对其进行分类讨论。

例如：解关于x的方程(1-k)x2-kx-1=0
本题的条件是不唯一的，该方程是什么方程？问题中没有说明。

有几种可能情况呢？两种：一次方程或二次方程。

所以要分为二类：(1) 当此方程为一次方程时，k=1，求得方程的解x=-1 ；(2) 当此方程为二次方程时，k≠1，△=(k-2) 2 ，①△>0，即k≠2时，此方程有两个解x1=-1，x2=1/(1-k) ；②△=0，即k=2时，有两个相等的解x1=x2=-1。

综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为：当k=1时，方程的解x=-1 ；当k≠1且k≠2时，方程的解x1=-1，x2=1/(1-k) ；k=2时，有两个相等的解x
1=x2=-1。

以上例题告诉我们，只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题中的不定因素及其各种可能情况，就可以确定出分类
的框架，做到标准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解。

4、问题中含有的参变量有不同取值会导致不同结果时对其进行
分类讨论。

例如：解不等式 (k-1)x＞k2-1
本题的结果取决于对k-1的讨论，教师只有引导学生“在不等式两边同时除以k-1时的依据是什么、不等号的方向是否会发生改变”，才能使学生清醒的认识到参变量k的不同取值会导致不同结果：（1）当k-1＞0 即k＞1时，则x＞ k+1；（2）当k-1=0 即k=1时，原不等式为0？x＞0，不等式无解；（3）当k-1＜0 即k＜1时，
则 x< k+1
综上所述：当k＞1时，x＞k +1；当k=1时，不等式无解；当k
＜1时 x<k+1。

在本类问题的教学中，要做到使学生能分析清楚参变量的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，把它们一一罗列出来，全面、
系统的分类，就能正确求解。

初中数学中的分类讨论问题主要是以上四种动因的类型。

抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，就能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率。

数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，既能提高学生对学习数学的兴趣，又能
培养学生思维的条理性、缜密性、科学性。