刍议简谐振动中的位矢与位移

刍议简谐振动中的位矢与位移
位矢与位移是运动学中的两个重要的基本概念，虽然它们都是矢量，但前者是一状态量，对应某一时刻，表示质点的位置；而后者是一过程量，对应某一段时间，表示质点位置的改变。

然而，这两个基本概念在现行大学物理教材里的简
谐振动章节中出现了混乱，有必要予以澄清。

在现行的大学物理教材中，几乎都把简谐运动方程x=A cos(ωt+φ)中的
x称为位移。

之所以如此，是缘于简谐振动的模型弹簧振子。

在弹簧振子中，为便于计算弹簧的形变量，都把坐标原点设在弹簧处于自由状态时弹簧的自由端点处，且t=0时，质点处在坐标原点。

在此坐标系中，虽然质点在t时刻的位置和
0~t时间内的位移是一致的，但把x称为位移存在如下问题。

第一、在简谐振动中，作简谐振动的物体的速度定义是v=d x d t，
我们知道，速度是位矢对时间的导数，而不位移对时间的导数。

若把x称为质点的位移，显然，上述速度的定义与质点运动学中速度的定义相矛盾。

同理，简谐
振动中加速度的定义a=d2x d t2及微分方程中也存在同样的矛盾，即加速度应是位矢对时间的两阶导数，而不是位移对时间的两阶导数。

第二、在简谐振动中，x=A cos(ωt+φ)称为简谐振动的运动方程。

而
在质点运动学中，质点的运动方程是质点位矢与时间的函数关系，而不是位移与
时间的函数关系。

因此，把x称为位移将导致运动方程的歧义。

第三、若t=0时，质点处在坐标原点。

在此坐标系中，虽然质点在t时刻的位置和0~t时间内的位移是一致的，但在此初始条件下，谐振动方程中的初相φ只有±π2两种情况，而不会象教材中有多个值的情况。

要解决上述问题，只要把简谐振运动方程中的x称为位矢便可。

但把原x 称为位矢，解决了原来的矛盾，可能会给弹簧振子中微分方程的推导带来不便，
为此可按下方法处理。

图1弹簧振子的受力分析
对如图1所示的弹簧振子，沿水平方向取一坐标轴OX，以表示物体的位
置。

将坐标原点O取在弹簧松弛时自由端的端点处，则弹簧自由端点在此位置时，弹簧无形变，物体所受合外力为零，因此O点也是物体振动的平衡点。

在上述坐标系下，当物体在x位置时，弹簧的形变也为x，依虎克定律，物体所受
的弹性力为
f=-kx
式中，k为弹簧的劲度系数，x为位矢。

此处把x解释为位矢，一是因为
在上述坐标系中，位矢和位移始终一致；二是为了避免出现上面提到的所有问题。

为此可理解为：弹簧振子中物體在任意位置所受的弹性力与物体的位矢成正比，方向与位矢相反。

显然力的方向始终指向平衡位置，如图1所示。

在不计一切摩擦的情况下，由于物体在运动所受的合外力就是弹性力，所以，依牛顿运动定律，
物体运动的微分方程为
m d2x d t2=-kx
令ω=k/m，则上式可写为
d2x d t2+ω2x=0
式中，x表示物体的位置。

这样处理，只是把弹性力原来表述中的“位移”换成了“位矢”，却有效地解决了原来所存在的问题，使教材中速度、加速度的定义前后统一起来。

此外，在振动中一般定义简谐振动物体离开平衡位置最大位移的绝对值为简谐振动的振幅。

因物体的位矢和相对原点的位移是一致的，但考虑到速度和加速度的定义，把振幅定义中的“最大位移”改为“最大位矢”较为妥当。