直线中的对称问题—4类对称题型
直线中的四类典型对称问题
解 ｌ ｉ： 法： ２ 由３
解 ： 点 Ｂ 的坐标 为 （ ｂ ， 设 ｏ， ） 则 段 Ａ 的 中点 为 （ Ｂ ， ） 。 ＝ ， 线
，直 与 的 得 线ｎ ｚ 交
点 Ｅ ３ 一２ ， Ｅ 一３ ２也 在 直 线 ｂ上 ． （ ， ）且 （ ，） 设直线 ｂ的斜率 为 ， 由轴对 称性质 ， 知直线 ｚ 到直线 ａ的角等于直线 ６到直线 ｚ 的角 ， 由到角公 则 式， 得
１（ ６ 即为 已知 直 线 ， 去 ） ｃ 一３ ． 舍 或 ＝ ８ 故 所 求 对称 直 线 方 程 为 ２ ＋ｌ’ ８＝ ． １， 一３ ０ 点 评 ： 法 １ 转 化 为 点 关 于 点 的对 称 问 题 ， 解 是 利 用 中点坐标公式 求 出对 称点 坐标 ， 再利 用两 点式写 出直线方程 ； 而解法 ２是利用 所求 的对 称直线 与 已 知直线平行 ， 由点 （ 称 中心 ） 再 对 到此两 直线距 离相 等求 出 ｃ 使问题解决 ． ， 四、 线关于直线对称 直 直 线 关 于直 线 的 对 称 问 题 ， 两 种 情 形 ： 此 两 有 ① 直 线 平 行 ， 此 两 直 线 相 交 ． 于 平 行 情 形 比较 简 ② 由 单， 下面介绍第二种情形 ， 其解法通常是“ 求交点 ， 用 到 角 ” 或 是 转 化 为点 关 于 直 线 的 对 称 问 题 ． ， 例 ４ 求直线 ａ ２ Ｙ ：ｘ 一４＝ ０关于直线 ｆ３ ：ｘ＋ ４ 一１ ０对 称 的直 线 ｂ的方 程 ． ＝
Ｉ Ｕ
考试指导
直 线 中 的 四 类 典 型 对 称 问 题 ４ ９
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高中数学直线的对称问题终结版知识讲解题型专练总结
直线中的对称问题知识讲解题型一、点关于点成中心对称对称中心是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题． 设),(00y x P ，对称中心为),(b a A ，则P 关于A 的对称点为)2,2('00y b x a P --．题型二、点与点关于直线成轴对称问题对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”（位置关系）“平分”（数量关系）这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点),(00y x P 关于直线b kx y +=的对称点为)','('y x P ，则有0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，可求出'x 、'y ． 特殊地，点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2('00y x a P -；点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -．题型三、曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题一般是转化为点的中心对称或轴对称结论如下：（1）曲线0),(=y x f 关于已知点),(b a A 的对称曲线的方程是0)2,2(=--y b x a f ．（2）曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线的求法：设曲线0),(=y x f 上任意一点为),(00y x P ，P 点关于直线b kx y +=的对称点为),('y x P ，则由（2）知，P与'P 的坐标满足0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，从中解出0x 、0y ，代入已知曲线0),(=y x f ，应有0),(=y x f 利用坐标代换法就可求出曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线方程．题型四、两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点),(y x 关于x 轴的对称点为),(y x -．（2）点),(y x 关于y 轴的对称点为),(y x -．（3）点),(y x 关于原点的对称点为),(y x --．（4）点),(y x 关于直线x －y =0的对称点为),(x y ．（5）点),(y x 关于直线x +y =0的对称点为),(x y --．（6）点),(y x 关于直线x －y+c =0的对称点为),(c x c y +-．（7）点),(y x 关于直线x +y+c =0的对称点为),(x c y c ----．例1.求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y --=的对称圆方程．例2.求直线042:=-+y x a 关于直线0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程．例3.自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆2244x y x y +-- 70+=相切，求光线l 所在的直线方程．例4.已知点)5,3(M ，在直线022:=+-y x l 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ △的周长最小．变式练习1.圆4)1()1(22=-+-y x 关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 ．变式练习2.试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程．课后作业1．已知点)3,1(A 、)2,5(B ，在x 轴上找一点P ，使得PB PA +最小，则最小值为_________，P 点的坐标为_________．2．已知点),(b a M 与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0=+y x 对称，则点Q 的坐标为（ ）A ．),(b aB ．),(a bC ．),(b a --D ．),(a b --3．已知直线05:1=++my x l 和直线0:2=++p ny x l ，则1l 、2l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．n p m =5B ．5-=pC ．n m -=且5-=pD ．nm 11-=且5-=p 4．点)5,4(A 关于直线l 的对称点为)7,2(-B ，则l 的方程为____________．5．设直线054=-+y x 的倾斜角为θ，则它关于直线03=-y 对称的直线的倾斜角是___________．6．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x 7．与直线012=-+y x 关于点)11(-，对称的直线方程为（ ） A ．052=--y xB ．032=-+y xC ．032=++y xD ．012=--y x 8.一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为_______-9．两直线x y 33=和1=x 关于直线l 对称，直线l 的方程是___________．10．直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)1,4(-A 、)4,3(B 的距离之差最大，则P 点的坐标是________．11．直线x y 2=是△ABC 中C ∠的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为)2,4(-A 、)1,3(B ，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．12．已知△ABC 的一个顶点)4,1(--A ，B ∠、C ∠的平分线所在直线的方程分别为01:1=+y l ，01:2=++y x l ，求边BC 所在直线的方程13． 已知两点)3,2(A 、)1,4(B ，直线022:=-+y x l ，在直线l 上求一点P ．（1）使PB PA +最小；（2）使PB PA -最大．。
直线中的对称问题例题
直线中的对称问题题组训练一[例1]已知点A(5，8)，B(4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标．[例2]已知点A的坐标为(一4，4)，直线L的方程为3x+y-2=O．求点A关于直线L的对称点A＇的坐标．[例3]求直线3x-y-4=O关于点P(2，-1)对称的直线L的方程．[例4]求直线2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线的方程题组训练二[例5] 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程[例6] 已知两点A （2，3）、B （4，1），直线l ：x +2y －2=0，在直线l 上求一点P .（1）使|PA |+|PB |最小；（2）使|PA |－|PB |最大.[例7] 直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A （－4，2）、B （3，1），求点C 的坐标。
练习：1、已知点M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x +y =0对称，则点Q 的坐标为A.（a ，b ）B.（b ，a ）C.（－a ，－b ） D .（－b ，－a ）2、已知直线l 1：x +my +5=0和直线l 2：x +ny +p =0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是 A.m 5=n p B.p =－5 C.m =－n 且p =－5 D .m1=－n 1且p =－5 3、直线y=3x ─4关于点P(2,─1)对称的直线L 的方程是4、点A （4，5）关于直线l 的对称点为B （－2，7），则l 的方程为5、与直线x +2y －1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为6、直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是7、光线通过A(-2，4)，经直线2x-y-7=O 反射,若反射线通过点B(5，8),求入射线和反射线所在直线的方程．8、已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小9、已知△ABC的一条内角平分线CD所在直线方程是2x+y-1=O，两个顶点是A(1，2)，B(-1，-1)，求顶点C的坐标10、（1）已知点A(2，0)，B(-2，-2)在直线L: x+y-3=O上求一点P使得│PA│+│PB│最小，并求出最小值。
直线里的对称问题
1、点关于点对称
例1、已知点A（3，）关于点 2 B（-1，）对称的点 3 C的坐标： 练习：已知平行四边形ABCD， A（- 2，）， 2 B（3，）， 4 C（-4，） 6 则D点坐标为：
直线关于点对称的直线
例1直线x-y-2=0关于点（ 1，-4）对称直线方程： 练习： 已知直线l1关于点（ 1， 1）对称的直线为2x y 2 0, 求直线线 2 x -y+2=0对称的点 B的坐标？ 练习： 1、点（3，）关于直线 9 x+3y-10=0的 对称点的坐标？ 2、已知直线l1 : x 2y 2 0交Y轴与点B ，光线自点A（-1，）射到点 4 B后经直线l1 反射，求入射光线与反射光线所在直线方程。
直线关于直线对称的直线方程
一、关于特殊直线对称 例1 和直线3x -4y+5=0关于x轴对称的直线方程： 关于y轴对称的直线方程为：
二、关于一般直线对称 1、直线关于与其平行直线对称直线方程 例2 求直线2x +y-2=0关于直线4x+2y-1=0 对称 的直线方程。
2、直线关于与其相交直线对称直线方程 例3 求直线2x+y-2=0关于直线2x -y+4=0对 称的直线方程。
总结
• • • • • • • 点关于点对称求法： 线关于点对称求法： 点关于线对称求法： 线关于线对称求法： （1）线关于特殊线对称： （2）线关于平行线对称： （3）线关于相交线对称：
直线的对称问题
=-1
y
··A′ (x，y)
A·
(2，6)
3 -4+x ·2
+
42+y-2=0
解题要点： k • kAA’ = -1
O
x
AA’中点在l 上（l为对称轴）
点关于直线的对称问题
M (a,b)关于直线l : Ax By C 0(B 0)
的对称点N (x0 , y0 )的求法：
A x0 2
B(45， 85)
l2
l1 y
A
o.
B
.E
x
故直线l2的方程为：y2((285) )
x3
3
4 5
即 2x 11y 16 0 .
求L1关于 L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程
P
垂直
l
中点 O
Q
说明两点P和Q关于直线l对称的几何特征
直线l是线段PQ的垂直平分线，即 1.线段PQ的中点在直线l上， 2.线段PQ和直线l垂直
y
P
Q
O
x
例题.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为3x+y2=0,求点A关于直线l 的对称点A’的坐标。
解：设 A（′ x,y)
-3·
y-4 x-(-4)
5.直线关于直线y= -x的对称直线的 方程为 A( y) B(x) C 0
练习：求直线3x-2y+6=0关于直线x-2y+1=0的对
称的直线方程。
分析：在直线3x-2y+6=0上取一点 A（0,3），求它关于直线x2y+1=0的对称点为B（2，-1）。
直线中对称问题的解法
＿ ￡例 ｌ 求 点 Ａ（ 一 ３ 关 于 点 Ｂ（ ４， ） ＿ ２， ） 一 ５ 的对 称
点 的 坐 标
直 线 与 二 次 曲线 围 成 的 区 域 面 积 等 问 题 的 考 查 ， 其 尤
是 一 些 看 似 与 规 划 问 题 无 关 的 隐 蔽 性 问 题 。 值 得 我 更 ｆ 门关 注 ．
磊 ２ 求 点 Ａ（ ， ） 于直 线 ｚ３ ｝例 ４５关 ：ｚ—ｙ ３ ０ ＋ —
的对 称点 Ｂ 的坐标 ．
解 法 １ 设 Ｂ （ ， ）， 过 Ａ 、 ６ 则 Ｂ ２点 的 直 线 斜 率
为一 ． 专
所 以过 Ａ、 Ｂ ２点 的 直 线 方 程 为
一
５ ＝～ ÷ （ ４ 即 ３＋ ３ 一 １ ＝ ０ ＝ ＝ ｚ一 ）， ２ ｙ ９ ＝ ． ＝
” ” … ” … “ … ’ … ”… ”” ” “’ ” ”““。 “ “” “。 “ “” … ‘ “ Ｉ ” ” ”
解 设 Ａ （ 一 ３ 关 于 Ｂ （ ４， ） 对 称 点 的 坐 ２， ） 一 ５ 的 标 为 Ｃ （ ｙ） ｚ， ，由 中 点 坐 标 公 式 一 ４一
故 点 Ａ（ ５ 关 于 直 线 ｚ３ ４， ） ： ｚ一 十 ３ ０ 的 对 称 点 — 舞 善 解 点 关 于 直 线 的 对 称 问 题 时 ， 利 用 以 下 常
｛・ ｝鲁 １ （Ｏ，解 ． 二￣… 《 尝 一－ 三 一 。 ＿ｙ ３ｏ 。 。＿ 二 ） 一 一 ４
—
， ５一
链 接 练 习
得 ｚ一 一 １ 一 １ ０，
所 以 ， Ａ 关 于 点 Ｂ 的 对 称 点 的 坐 标 为 （ １ ，３ ． 点 ～ ０ １）
舞 占
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线中的四类对称问题及讲解
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21•x y •k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决；解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.直线l 的方程为7x+y+22=0.方法提示：本题可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.。
直线中的对称问题6种考法
直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
高三数学解析几何直线方程中四类对称问题及应用
四类对称问题及其应用我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。
一、点关于点的对称如果点P)(00y x ，与P '关于点M （a ，b ）对称，则M 是线段P P '的中点，P)(00y x ，−−−−−−−→−）的对称点，（关于点b a M P '()2200y b x a --，( 依据中点坐标公式)特别的P )(00y x ，−−−−−→−关于坐标原点对称P '(00y x --，) 二、点关于直线对称求一点P0(x0,y0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P 的坐标的问题。
(1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x 、y=-x 、x 轴、y 轴、x=a 、y=b 时,对称点的坐标分别为P1(y0,x0)、P2(-y0,-x0)、P3(x0,-y0)、P4(-x0,y0)、P5(2a-x0,y0)、P6(x0,2b-y0)。
(2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P1的坐标为(x1，y1)，则PP1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x1、y1的一个二元一次方程组，从而可以解出x1、y1。
(3)公式法. 设P1的坐标为(x1，y1)，由公式⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+++-=220001220001)(2)(2B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x求出x1、y1的值。
三、直线和直线关于点对称求直线A1x+B1y+C1=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程。
根据对称性，只需将直线方程A1x+B1y+C1=0中的x 换为2x0-x 、y 换为2y0-y ，即可求出要求直线的方程。
四、直线关于直线对称求一直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程。
(1) 直线A0x+B0y+C0=0为特殊的直线x 轴、y 轴、y=x 、y=-x 时，直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程分别为A1x-B1y+C1=0、-A1x+B1y+C1=0、A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+C1=0。
两条直线位置关系中的对称问题
解题要点：中点公式的运用
· · · 例题讲解
二、点关于直线对称 A(-4,4)
l: 3x+y-2=0 A’(x,y)
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方 程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的 对称点A’的坐标。
解题要点： k • kAA’ = -1 AA’中点在l 上
例题讲解
l 1 : 3x-y-4=0
三、直线关于点对称 l 2
·P(2,-1)
例3.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。
解题要点：
法一： l 2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l 1 // l 2且P到两直线等距。
例题讲解
四、直线关于直线对称
·
··
联立两直线方 程求出交点
例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0对称的直线l 的方 程。
两条直线的位置关系 ------对称
四类对称 一、点关于点对称
常见运用 五、交点问题
二、点关于直线对称
六、定点问题
三、直线关于点对称
七、反射问题
四、直线关于直线对称
例题讲解
一、点关于点对称
· · · A(5,8) B(4,1) C(x,y)
例1. 已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求A点
关于B点的对称点C的坐标。C(3,-6)
·A
·P
·A’
A,B分布在直线同侧，则选 一点（A）,求出该点关于已 知直线的对称点A’,连接A’B 与已知直线相交所得点P即 为所求点，（|PA|+|PB|）
min=|A’B|
·B
A,B分布在直线异侧，则直接连 接AB交已知直线所得点P就是所 求点，（|PA|+|PB|）min=|AB|
浅谈解析几何中的对称问题
浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。
无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。
这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。
一、中心对称：即关于点的对称问题泄义：把一个图形绕某个点旋转180。
后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。
这个点叫做对称中心。
性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。
1.点关于点对称例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。
分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。
小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。
）（依据中点坐标公式）。
特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。
，一％）。
2.直线关于点对称例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。
分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。
思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。
再由kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。
思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。
直线方程的对称问题
例题1.已知点A（5，8），B（-4，1）试求A点关于B点的对称点C的坐标要点总结：
类型二：线关于点的对称直线
例题2：求直线3x+y-4=0关于P（2，-1）对称的直线方程。
练习：求直线3x+y-4=0关于P（3，1）对称的直线方程。
要点总结：法一：l2上的任意一点的对称点在l1上（动点转移法）
法二：利用两对称直线平行点斜式或对称两点式。
法三：两直线平行且P到两直线距离相等。
例题1.求点P（-2,1）关于直线l：x-2y+1=0的对称点Q的坐标。
练习：求A（-4，4）关于直线3x+y-2=0的对称点M坐标。
解题要点：1.斜率关系2中点在直线上
类型四：线关于线的对称直线
（1）平行线关系
例题4.试求直线l：4x-5y+1=0关于直线4x-5y-3=0对称的直线方程练习：求直线l：x-2y+1=0关于直线x-2y-3=0的对称直线
解题要点：
（2）相交直线
例题5：试求直线L1：x+y-1=0关于直线L2：3x-y-3=0对称的直线L方程。
法1：动点转移法
法2：取特殊点法
法3：两点对称法
法4：角平分线法。
直线方程中的对称问题
直线对称问题直线中的对称问题主要有:点关于点对称;点关于直线对称;直线关于点对称;直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称(运用中点坐标公式)例1 已知点A(－2,3),求关于点P(1,1)的对称点B(00y ,x )。
练习 求点A(2,4)关于点B(3,5)对称的点C 的坐标、二、直线关于点的对称求直线l :0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ,即设1l :01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P(2,－1)对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程、三,点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面: 1,直线1PP 必定与l 垂直关系,有11-=⋅l PP k k (k 存在) 2,1PP 的中点必在l 上例3 求点A(2,2)关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习:求点A(1,3)关于直线l:x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种:1,关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 (1)设2l :02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 (2)求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P (3)将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
专题 对称问题(解析版)
专题 对称问题【典型例题】题型一：点关于点对称问题【例1】（点关于点对称）（全国高二单元测试）若点()1,1+-a a A ，()a a B ,关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________. 【答案】10x y -+=【解析】求得111AB a a k a a+-==---， ∵点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，∵直线l 的斜率1，直线l 过AB 的中点2121,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵直线l 的方程为212122a a y x +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.【题型专练】1.（全国高二课时练习）一条光线从点()1,1A -出发射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后经过点()2,5B ，则点P 的坐标为______.【答案】10x y -+=【解析】根据题意：()1,1A -关于x 轴的对称点为()1,1--而反射光线直线又过()2,5B ∵其直线为：()512521y x +=-++即：21y x =+， 当0y =时，12x =-，即点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 题型二：点关于直线对称问题【例1】（点关于线对称）（全国高二课时练习）点(1,1)-关于直线10x y --=的对称点是______.【答案】()2,2-【解析】设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ）则MN 中点的坐标为（12x -，12y +），利用对称的性质得：K MN =11y x -+=﹣1，且 12x -﹣12y +﹣1=0， 解得：x=2，y=﹣2，∵点N 的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．【例2】（2022·全国·高二专题练习）入射光线沿直线230x y +=－射向直线l y x =：，被l 反射后的光线所在直线的方程是_____． 【答案】230x y --=【分析】在入射光线上取点()12，，它关于直线y x =的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线l 的交点坐标，由两点求斜率后得直线方程．【详解】在入射光线上取点()12，，则关于y x =的对称点()21，在反射光线上， 又由230x y y x -+=⎧⎨=⎩得33x y =⎧⎨=⎩， 31232k -==-， 所以反射光线所在直线方程为32(3)y x -=-，即230x y =－－．故答案为：230x y --=．【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知ABC 的顶点()1，2A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为210x y +-=，∵ABC 的平分线BH 所在直线方程为y x =，则直线BC 的方程为_____． 【答案】2310x y --=【分析】由题意可知，点B 在角平分线y x =上，可设点B 的坐标是()m m ，，利用AB 的中点在直线CM 上，可解出点B 的坐标，再求出A 关于y x =的对称点为'A ，且'A 在直线BC 上，利用两点式方程可得答案．【详解】由题意可知，点B 在角平分线y x =上，可设点B 的坐标是()m m ，，则AB 的中点1(2m +，2)2m +在直线CM 上，1221022m m ++∴+-=， 解得：1m =－，故点()1,1B --． 设A 关于y x =的对称点为()00'A x y ，，则有 00002112122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⎪⎩，0021x y =⎧⎨=⎩， 即()'21A ， 则由'A 在直线BC 上，可得BC 的方程为111121y x ++=++， 即()()3121y x +=+，即2310x y --=，故答案为：2310x y --=．【题型专练】1.（2022·全国·高二单元测试）点()3,4关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为______． 【答案】()5,4--【分析】设点(3,4)关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标是(),m n ，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点()3,4关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(),m n ，则413341022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，解得54m n =-⎧⎨=-⎩， 所以点（3，4）关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为()5,4--．故答案为：()5,4--2.（2022·全国·高二专题练习）原点关于210x y -+=的对称点的坐标为_____． 【答案】2455⎛⎫ ⎪⎝⎭－， 【分析】设所求对称点的坐标为()x y ，，由两对称点连线与对称轴垂直，两对称点连线段中点在对称轴上列方程组，解之可得．【详解】设原点关于210x y +=－的对称点的坐标为()x y ，，则11221022y x x y ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得2545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴要求的点(2455－，)． 故答案为：24(,)55-． 3．（全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．【答案】(－4，－1)【解析】设对称点的坐标为00(,)x y ，则00005(1)1225122y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩， 所以所求对称点的坐标为(4,1)--．4.（2022·全国·高二课时练习）已知直线:280l x y -+=和点(2,0)A ，(2,4)B --．(1)在直线l 上求一点P ，使||||PA PB +的值最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||||||PB PA -的值最大． 【答案】(1)(2,3)-，(2)(12,10)．【分析】（1）通过找出点A 关于直线l 的对称点为A '，将||||PA PB +的最小值转化为||||PA PB '+的最小值，利用三角形三边的关系可知||||||PA PB A B ''+≥，即可求点P 的坐标;（2）利用三角形的三边关系可知||||||||PB PA AB -≤，再求出直线AB 的方程，即可求出点P 的坐标. （1）设A 关于直线l 的对称点为(,)A m n '，则0222028022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩， 解得28m n =-⎧⎨=⎩，故(2,8)A '-， 又∵P 为直线l 上的一点，则||||||||||PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当B ，P ，A '三点共线时等号成立，此时||||PA PB +取得最小值||A B '，点P 即是直线A B '与直线l 的交点．由2280x x y =-⎧⎨-+=⎩ ，解得23x y =-⎧⎨=⎩， 故所求的点P 的坐标为(2,3)-．（2）由题意，知A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||||||||PB PA AB -≤，当且仅当A ，B ，P 三点共线时等号成立，此时||||||PB PA -取得最大值||AB ，点P 即是直线AB 与直线l 的交点,又∵直线AB 的方程为2y x =-，∵由2280y x x y =-⎧⎨-+=⎩ ，解得1210x y =⎧⎨=⎩， 故所求的点P 的坐标为(12,10)．5.（浙江高二期末）已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.【答案】()1,1- ()1,3【解析】由():10l mx y m m R ++-=∈，则()()110m x y m R ++-=∈，令10x +=，则1x =-，1y =，所以点P ()1,1-，设Q 的坐标是()00,x y ，则0000111112022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪+-=⎪⎩，解得01x =，03y =，所以点Q 的坐标是()1,3.故答案为：()1,1-；()1,36．（全国高二专题练习）已知直线10kx y k -++=过定点A ，则点A 关于30x y +-=对称点的坐标为（ ）A ．(2,4)B ．(4,2)C ．(2,2)D ．(4,4)【答案】A【解析】直线10kx y k -++=即(1)1y k x =++，故(1,1)A -，设点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(,)P x y ． 则113022111x y y x -++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩． ∴点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(2,4)．故选：A ．题型三：直线关于点对称问题【例1】（浙江）直线21y x =+关于原点对称的直线方程是（ ）A ．21y x =-B ．21y x =--C ．21y x =-+D ．2y x =【答案】A【解析】点(0,1),(1,3)在直线21y x =+上，则(0,1),(1,3)---在所求直线上所求直线的斜率3(1)210k ---==--，则所求直线方程为2(0)121y x x =--=-故选：A 【例2】（·四川省泸县第二中学高二月考（文））直线l 与1l 关于点(11)，－成中心对称，若l 的方程是2360x y +-＝，则1l 的方程是__________【答案】2380x y +=＋【解析】在直线1l 上任取一点(,)A x y ，则A 关于点(1,1)-对称点(2,2)B x y ---一定在直线:2360l x y +-=上，故有2(2)3(2)60x y -+---=，即2380x y ++=．故直线l 的方程为2380x y ++=．故答案为：2380x y ++=．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 经过两条直线2380x y ++=和10x y --=的交点，且________，若直线m 与直线l 关于点(1,0)对称，求直线m 的方程．试从∵与直线3280x y ++=垂直，∵在y 轴上的截距为12，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答． 【答案】答案见解析【分析】先求出两直线的交点坐标，若选∵，可设直线l 的方程为230x y c -+=，然后将交点坐标代入可求出c ，可得直线l 的方程，在直线l 上任取两个点，求出这两点关于点(1,0)的对称点，从而可求出直线m 的方程，若选∵，则直线l 过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而可求出直线l 的方程，在直线l 上任取两个点，求出这两点关于点(1,0)的对称点，从而可求出直线m 的方程，【详解】由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以交点坐标为(1,2)--． 若选∵，可设直线l 的方程为230x y c -+=，将点(1,2)--代入可得4c =-，即:2340l x y --=．在直线l 上取两点(1,2)--和(2,0)，点(1,2)--关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2)，点(2,0)关于点(1,0)对称的点的坐标为(0,0)，所以直线m 的方程为230x y -=．若选∵，可得直线l 的斜率1(2)520(1)2k --==--，所以直线l 的方程为5122y x =+． 在直线l 上取两点(1,3)和(1,2)--，点(1,3)关于点(1,0)对称的点的坐标为(1,3)-，点(1,2)--关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2)，所以直线m 的方程为232(3)31y x +-=⋅--，即52110x y --=． 【题型专练】1．（2019·全国·高三专题练习（理））若直线1:2l y kx k =-+与直线2l 关于点(2,1)对称，则直线2l 恒过定点 A ．(3,1)B ．(3,0)C ．(0,1)D ．(2,1) 【答案】B【分析】由题意，设直线2l 上的任意一点(,)A x y ，则点A 关于点(2,1)的对称点为(4,2)B x y --， 又由点B 在直线1:2l y kx k =-+上，代入求得直线2l 的方程，即可求解答案.【详解】由题意，设直线2l 上的任意一点(,)A x y ，则点A 关于点(2,1)的对称点为(4,2)B x y --， 又由点B 在直线1:2l y kx k =-+上，即2(4)2y k x k -=--+，整理得(3)y k x =-，令30x -=，即3x =时，0y =，可得直线2l 过定点(3,0)，故选B.【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，以及直线关于点的对称问题，其中解答中根据对称性求得直线2l 的方程，进而判定直线过定点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．（2022·全国·高二课时练习）直线:10l x y -+=关于点3(2,)A -的对称直线的方程为________． 【答案】110x y --=【分析】方法一：设对称直线上一点(,)x y ，则将点(,)x y 关于A 点的对称点在直线l 上，代入即可. 方法二：显然点A 不在直线l 上，设对称直线方程为0x y C -+=，利用点A 到这两条直线的距离相等解出C 即可.方法三：在l 上任取两点，解出这两点关于A 的对称点，利用两点式即可得到直线方程.【详解】方法一 ：设对称直线上一点(,)x y ，则点(,)x y 关于3(2,)A -的对称点为(4,6)x y ---，所以点(4,6)x y ---在直线l 上，代入得110x y --=．方法二 ：易知直线l 关于点A 的对称直线与直线l 平行，故设为0x y C -+=．由点3(2,)A -到这两条直线的距离相等，得2222|2(3)1||2(3)|1(1)1(1)C --+--+=+-+-，解得1=C （舍去）或－11，即所求直线方程为110x y --=．方法三 ：易知点(1,0)-，(0,1)在直线l 上，且它们关于点A 的对称点分别为(5,6)-，(4,7)-，则所求直线的方程为746754y x +-=-+-，即110x y --=． 故答案为：110x y --=.3.（·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为____________.【答案】210x y --=【解析】设直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为l '，在l '上任取一点(),P x y ，则点P 关于点(1,1)对称的点P '的坐标为()2,2x y --，由题意可知点P '在直线230x y -+=上，故()()22230x y ---+=，整理可得210x y --=.故答案为：210x y --=4.（全国高二课时练习）已知直线1:220l x y ++=与2:40l x by c ++=关于点(1,0)P 对称，则b c +=______.【答案】-10【解析】在直线1:220l x y ++=上取点(1,0)M -，(0,2)N -，M ，N 关于点(1,0)P 对称的点分别为11(3,0),(2,2)M N .点11(3,0),(2,2)M N 在直线2:40l x by c ++=上，120,820c b c ∴+=++=，解得12,2c b =-=， 10∴+=-b c .故答案为：10-题型四：直线关于直线对称问题【例1】（全国高二专题练习）直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（ ）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-= 【答案】A【解析】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则00001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=， 即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=.故选：A.【例2】（2021·全国·高二专题练习）直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是（ ） A ．280x y --=B ．2100x y --=C ．2120x y +-=D ．2100x y +-= 【答案】A【解析】设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，根据对称关系求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩,代入直线210y x -+=的方程整理即得所求. 【详解】解：设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，则111113022y y x x y y x x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩, 由对称性得Q 在直线210y x -+=上，()()23310x y ∴--++=,即280x y --=,故选：A.【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.【例3】（广东湛江）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；（2）直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；（3）直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．【答案】（1）A ′334(,)1313-；（2）9x －46y ＋102＝0；（3）2x －3y －9＝0.【解析】（1）设A ′(x ，y )，则221,13122310,22y x x y +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得33,134,13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A ′334(,)1313-. （2）在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则202310,22021,23a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得6,1330,13a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M ′630(,)1313. 设m 与l 的交点为N ，则由2310,3260,x y x y -+=⎧⎨--=⎩得N (4，3)． 又m ′经过点N (4，3)，∵由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3）法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∵2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.【题型专练】1.（2022·陕西·长安一中高一期末）直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线方程为__________． 【答案】710x y --=【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在1:10l x y +-=任取一点，求得其关于直线2:330l x y --=的对称点，即可求得答案.【详解】联立1:10l x y +-=和直线2:330l x y --=，求得它们的交点为0(1)A ，, 在直线1:10l x y +-=取点(0,1)B ，设其关于2:330l x y --=的对称点为(,)C a b ，则113133022b a a b -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⨯--=⎪⎩ ，解得121(,)55C ， 故直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称的直线为AC ,其斜率为11512715=- ，直线方程为1(1)7y x =-，即710x y --=， 故答案为：710x y --=2.（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）直线10x y +-=关于直线20x -=对称的直线方程为___________.【答案】30x y --=【分析】结合点斜式求得直线方程.【详解】直线10x y +-=的斜率为1-，直线10x y +-=关于直线2x =对称的直线的斜率为1，点()0,1是直线10x y +-=上一点，点()0,1关于直线2x =对称点为()4,1，所以直线10x y +-=关于直线20x -=对称的直线方程为()114,30y x x y -=⨯---=. 故答案为：30x y --=3．（全国高二单元测试）已知点()3,8A -和()2,2B ，在x 轴上求一点M ，使得AM BM +最小，则点M 的坐标为（ ）A ．()1,0-B ．220,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．22,05⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,0 【答案】D【解析】找出点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交于M 点，连接BM ，此时||||AM BM +为最短，由B 与B ′关于x 轴对称，(2,2)B ，所以(2,2)B '-，又(3,8)A -，则直线AB '的方程为822(2)32y x ++=--- 化简得：22y x =-+，令0y =，解得1x =，所以(1,0)M 故选：D ．。
高考数学常考问题专题讲解 直线中的对称问题—4类对称题型
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）关于点的对称点的坐标,（2），关于点对称，求点坐标.解：由题意知点是线段的中点,所以易求（1）（2）.因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程①又与垂直，且斜率都存在即有②由①②解得，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题方法总结及典型例题Symmetry Problems on Lines - 4 Types of Symmetry ProblemsThe issue of symmetry on lines is an essential problem in our study of plane analytic geometry。
We can mainly classify it into four types: point symmetry about a point。
point symmetry about a line。
line symmetry about a point。
and line symmetry about a line。
Let's discuss each of them one by one.1.Point Symmetry about a PointThe key to solving point symmetry problems is to use the midpoint formula。
which is also the n of other symmetry problems。
For example:a) Find the coordinates of the point A' that is symmetric to point A(3,1) about point P(2,3).n: Since P is the midpoint of AA'。
we can easily find thatA'(1,5).b) A(2,4) is symmetric to point P(0,2) about a point。
Find the coordinates of P.n: Since P is the midpoint of AA'。
直线方程中的对称问题
N(4 x,2 y)在直线y 3x 4上 y
O
2 y 3(4 x) 4
x P(2,–1)
化简得3x y 10 0
y=3x–4
所求直线方程是3x y 10 0.
直线关于点对称
主要方法： 法一：转化成求点关于点的对称
P
垂直
l
中点 O
Q
说明两点P和Q关于直线l对称的几何特征
直线l是线段PQ的垂直平分线，即
1.线段PQ的中点在直线l上， 2.线段PQ和直线l垂直
问题研讨
l：ax+by+c=0，a≠0,b ≠0,点 P(x0,y0),如何求点P关于直线l
的对称点Q的坐标？
y
P
Q
O
x
练一练、求点A(3,2)关于直线ｌ: y=2x+1的对称点B的坐
点关于直线的对称
A(a, b) l:AxByc0 A'
② 线关于点的对称问题：
说明两直线关于一点对称的几何特征
m B
A n
P
C
D
方法小结
直线m上任取两点A、B求出n上的 对称点C、D后，由两点确定一条直线
对称中心到两平行直线的距离相 等，利用平行直线系。
n上的）：∵直线AB⊥l, 直线AB过点（-7，1）
∴直线AB的方程为y-1=-
1 2
（x+7）
即x+2y+5=0
由
x 2y 5 0 2x y 5 0
解得 x1 y3
即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1）
由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.
1.6直线中的对称问题(距离之和,距离之差最大最小问题))
在已知直线上取一点（特殊点）求出此点关于直线对 称点，代入所设直线方程.
练习：一条光线经过P(2,3)射在直线 l : x y 1 0 上，反射后经过点Q(1,1),
求：（1）入射光线所在直线的方程
y
（2）这条光线从P到Q所经路线的长度
l : x y 1 0
2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为
____ _x_1 _2_x_2_, _y1__2_y2
3、点 ( x o，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的
条件是 ____A_x_o_+__B_y_o_+__C__=_0_
知识探究
(二)四类对称
中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
l2
0
a 2 4 2
b
2
, 1
解得
a b
4 2
B(4,2)
C· ·B′
由已知l1//l2, 设l2：3x-y+m=0,带入B′ 得m=-10， 所，以l2：3x-y-10=0.
O·
x
B· P·C′
解题要点： 法一： l1//l2 点斜式 或对称两点式
探究3.直线关于点对称
例3.求直线l1 : 3x y 4 0关于点P(2,1)对称的直线 l2的方程. 解 ：设A(x，y)为l2上任意一点，则A关于P的对称点A′(4-x,-2-y)在l1上
x
y x 2
4
4 4
y
1
4 2
2
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直线中的对称问题—4类对称题型
直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：
一、点关于点对称问题
解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.
例1.求点（1）关于点的对称点的坐标,
（2），关于点对称，求点坐标.
解：由题意知点是线段的中点,
所以易求（1）
（2）.
因此，平面内点关于对称点坐标为
平面内点，关于点对称
二、点关于线对称问题
求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标
解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程
①
又与垂直，且斜率都存在即有②
由①②解得，
法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.
三、线关于点对称问题
求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.
例3．求直线：关于点的对称直线的方程.
解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，
点关于对称点
点关于对称点
过的直线方程为，故所求直线方程为.
法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.
四、线关于线的对称问题
求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.
例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.
解：在：上任取一点
直线的斜率为3
过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为
得
所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为
又直线与的交点也在所求直线上
由得所以交点坐标为.
过和的直线方程为，故所求直线方程.。