九年级数学上册第二章知识点汇总北师大版
九年级数学上册第2章一元二次方程2.1认识一元二次方程课件新版北师大版
含有未知数;⑤含有两个未知数;⑥化简后未知数的最高次数是4;⑦⑧
符合一元二次方程的定义.
2.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0 的一个根,则代数式a2+2ab+b2的值
为
.
答案 1 解析 把x=1代入一元二次方程x2+ax+b=0中,整理得a+b=-1,所以a2+2ab +b2=(a+b)2=(-1)2=1.
解析 (1)把该方程化为(x+2)(x-5)=-7,列表如下:
x
2
3
4
(x+2)(x-5) 与-7比较
-12 小于-7
-10 小于-7
-6 大于-7
由表格可知,方程的这个正数解在3和4两个整数之间. (2)列表如下:
x
3.6
3.7
3.8
(x+2)(x-5)
-7.84
-7.41
-6.96
与-7比较
小于-7
初中数学（北师大版）
九年级 上册
第二章 一元二次方程
第二章 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的概念
概念
三个特征
举例
一元二 只含有一个未知数的整 (1)是整式方程,即等号 x2-3=0,
次方程 式方程,
两边都是
x2-x-5=0
并且都可以化成ax2+bx+c 关于未知数的整式的
=0(a,b,c为常数,a≠0)的 方程;
)
A.x2-2=0 B.2x2-2x+3=4+2x+2x2
C.2x2-3 x +1=0
D.2x2- 1-3=0
x
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程1--10
如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m
(5-2x)m，根据题意，可得方程 (8-2x)(5-2x)＝18
问题二：观察下面等式 102+112+122＝132+142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?
方法一：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如
分析：墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．
设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程．(x+6)2+(8-1)2＝102，即(x+6)2+72＝
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(5-2x)＝18，
Ⅱ．讲授新课
我们设花边的宽度为xm，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m
设梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102．
把这个方程化为一般形式为 x2+12x-15＝0．
那么你知道梯子底端滑动的距离是多少吗?即你能求出．小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么．底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?
．你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
的整数部分是几?十分位是几?
因为梯子滑动的距离是正值，所以我选取了一些值，列表如下：
、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。
3）花园为三角形？（4）花园为梯形、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。
AB
AC
、作答。
九年级数学上册第二章知识点汇总北师大版
九年级数学上册第二章知识点汇总北师大版
配方法的应用
对全部一元二次方程都合用，但特别对于二次项系数为
1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法会更加简单。
【配方法】
一般步骤：
第一步：使方程左侧为二次项和一次项，右侧为常数项;
第二步：方程两边同时除以二次项系数;
第三步：方程两边都加前一次项系数一半的平方，把原方程化为
的形式;
第四步：用直接开平方解变形后的方程.
古希腊数学家丢番图在?算术?中就提到了一元二次方
程的问题，可是当时古希腊人还没有追求到它的求根公式，
只好用图解等方法来求解.在欧几里得的?几何本来?中，
形如x2+ax=b2的方程的图解法是：以和b为两直角边作
Rt
△ABc，再在斜边上截取BD=，那么AD的长就是所求方程的解
.
注意：
.一元二次方程得一般形式特色为方程右侧是0，方程左
边是对于x的二次整式。
2.“a≠0〞是一元二次方程的一个重要构成局部，也是
它的一个判断标准之一，但b、c能够为0。
假定没有出现bx，
那么b=0;没有出现c，那么c=0。
能够经过“去分母，去括号，移项，归并同类项〞等步骤获得一元二次方程得一般形式。
【因式分解法】
一般步骤：
第一步：将方程化为一般形式，使方程右端为0;
第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积;
第三步：方程左侧两个因式分别为0，获得两个一次方
程，它们的解就是原方程的解.。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析含习题练习
第01讲_一元二次方程及其解法知识图谱一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：2=0(0)ax bx c a++≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项()2210xx+=⨯()20ax bx c++=⨯()223253x x x--=⨯()()()121x x-+=√判断标准（1）只含有一个未知数（2）未知数的最高次数是2（3）整式方程方程(2)310mm x mx+++=是关于x的一元二次方程，则满足条件||2m=20m+≠北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析系数（1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看（2）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程方程()13242+=+x x 整理为一般式后为2630x x ++=∴二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3二．一元二次方程的解一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解（2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，将0x =代入方程，()2210010a a -⋅++-=，得1a =±三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．三．易错点：1.确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程；3.一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．概念例题1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++=C.223253x x x --= D.()()121x x -+=【答案】D 【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．只有含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.A ：2210x x +=变形后为()4100x x +==，是关于x 的四次方程；B ：20ax bx c ++=中当仅当0a ≠时才是关于x 的二次方程；C ：223253x x x --=变形后为250x --=，是关于x 的一次方程；D ：()()121x x -+=变形后为230x x +-=，是关于x 的二次方程；故本题选D ．例题2、方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______．【答案】2【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．由题可知，||2m =且20m +≠，所以2m =例题3、若方程()211m x x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．【答案】0m ≥且1m ≠【解析】由题意可得，二次项系数10m -≠，即1m ≠0m ≥，所以m 的取值范围是0m ≥且1m ≠．例题4、方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】1，6，3【解析】先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得2630x x ++=，所以二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3随练1、若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________。
北师大版数学九年级上册知识点总结
九年级上册数学各章节知识点总结第一章 证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。
（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形. 三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）三线合一 判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形 （一）、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
北师大版九年级(上)数学知识点归纳总结
第一章 特殊平行四边形第1节 菱形的性质与判定一、菱形的性质1、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
（1）菱形的对边平行且相等。
（2）菱形的对角相等，邻角互补。
（3）菱形的对角线互相平分。
2、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。
（1）菱形的四条边相等。
（2）菱形的对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。
【说明】①菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，所以菱形有两条对称轴。
②菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
③菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的面积等于对角线乘积的一半。
不仅如此，凡是对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来计算。
④菱形的面积有两种求法，第一种是等于对角线乘积的一半，第二种是底乘以高。
⑤菱形中如果有一个角为60°倍。
二、菱形的判定1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、四条边都相等的四边形是菱形。
第2节 矩形的性质与判定一、矩形的性质1、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
（1）矩形的对边平行且相等。
（2）矩形的对角相等，邻角互补。
（3）矩形的对角线互相平分。
2、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质。
（1）矩形的四个角都相等，都是直角。
（2）矩形的对角线相等。
【说明】①矩形是轴对称图形，经过每组对边中点的直线是它的两条对称轴。
②矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
④若一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。
⑤矩形的周长等于长与宽的和的2倍，矩形的面积等于长与宽的积。
二、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（定义）2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
北师大版九年级上册各章知识点
九年级上册各章知识点姚明勇第一章证明二知识归纳1．等腰三角形的性质性质(1)：等腰三角形的两个底角.性质(2)：等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的高互相重合．2．等腰三角形的判定(1)定义：有两条边的三角形是等腰三角形．(2)等角对等边：有两个角的三角形是等腰三角形．3．等边三角形的判定(1)有一个角等于60°的三角形是等边三角形；(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等的三角形是等边三角形；(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形．4．用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的.6．勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是三角形．7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．[点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合．8．三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于，并且这一点到三角形三个顶点的距离.9．角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离.判定定理：在一个角的内部，且到角的两边相等的点，在这个角的平分线上．[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件．10．三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 .第三章 证明三一、四边形1. 知识结构如下图（1）弄清定义及四边形之间关系图1：（2）四边形之间关系图2：2、几种特殊的四边形的性质和判定：四边形正方形 两腰相等有一个角是直角直角梯形平行四边形 矩形 菱形正方 形等腰梯形 直角梯形梯形四边形3、一些定理和推论：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
北师大版九年级数学(上册)重点知识点归纳整理
九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
北师大版九年级数学上册 第二章 考点整合
12．已知 x＝a 是 2x2＋x－2＝0 的一个根，求代数式 2a4＋a3＋ 2a2＋2a＋1 的值．
【点拨】对于一些复杂的高次幂代数式，利用整体思想，把某些 式子当成一个整体来求解． 解：∵x＝a 是 2x2＋x－2＝0 的一个根， ∴2a2＋a－2＝0，即 2a2＋a＝2. ∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋ 1＝2a2＋2a2＋2a＋1＝2(2a2＋a)＋1＝5.
5．(2019·烟台)当 b＋c＝5 时，关于 x 的一元二次方程 3x2＋bx－c＝0 的根的情况为( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【点拨】∵b＋c＝5，∴c＝5－b， ∴Δ＝b2－4×3×(－c)＝b2＋12c＝b2＋12(5－b) ＝b2－12b＋60＝(b－6)2＋24. ∵(b－6)2≥0，∴(b－6)2＋24＞0，∴Δ＞0， ∴关于 x 的一元二次方程 3x2＋bx－c＝0 有两个不相等的实数 根．故选 A. 【答案】A
13．解方程：(2x＋1)2－3(2x＋1)＝－2.
解：设 2x＋1＝y，则原方程可变形为 y2－3y＝－2， 解得 y1＝1，y2＝2. 当 y＝1 时，有 2x＋1＝1，所以 x＝0； 当 y＝2 时，有 2x＋1＝2，所以 x＝12. 所以原方程的解为 x1＝0，x2＝12.
14．已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4k－12＝0. (1)求证：无论 k 取什么实数，这个方程总有实数根；
上将增加 2a%，每户物管费将会减少130a%；6 月份参加活动 的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基础 上将增加 6a%，每户物管费将会减少14a%.这样，参加活动的 这部分住户 6 月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳 的物管费将减少158a%，求 a 的值．
北师大版九年级上册数学全册各章知识点汇总
北师大版九年级数学(上册)知识点汇总第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.※菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴.※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.1.2 矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形.矩形是特殊的平行四边形.．．※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角.（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义).对角线相等的平行四边形是矩形.四个角都相等的四边形是矩形.※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.3 正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形.正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形.※※鹏翔教图3※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.※夹在两条平行线间的平行线段相等.※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程．．．．．．2.2 ．．．用．配方法求解．．．．．一元二次方程．．．．．．2.3 用公式法求解一元二次方程2.4 用因式分解法求解一元二次方程2.5 一元二次方程的跟与系数的关系2.6 应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．. ※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项.※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式> ②公式法 aac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+m x 的形式； ⑥两边开方求其根.※根与系数的关系：当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时，方程无实数根.※如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：ac x x a bx x =⋅-=+2121. ※一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=- ④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式.（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(21221=++-x x x x x x （4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）.※处理问题的过程可以进一步概括为： 解答检验求解方程抽象分析问题→→ 第三章 概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率3.2 用频率估计概率※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数．．； 每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．； 即：实验次数频数数据总数频数频率== 在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1.因此，各个小长方形的面积的和等于1.※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观.用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率.可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况.※假设布袋内有m 个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x 条鱼，则可依照20010100 x 估算出鱼的条数.（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX ”）※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生.概率的求法：（1）一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 个结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=nm （2）、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法.（3）树状图法通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法.（当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.）第四章 图形的相似4.1 成正比线段4.2 平行线段成比例4.3 形似多边形4.4 探索三角形相似的条件4.5 相似三角形判定定理的证明4.6 利用相似三角形测高4.7 相似三角形的性质4.8 图形的位似一. 线段的比※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ， CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ，或写成nm B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.※3. 注意点:①a:b=k ，说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数，所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关，求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外，a:b ≠b:a ，b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =， 则ad=bc; 若ad=bc ， 则d c b a = 二. 黄金分割_ 图1 _ B_ C _ A※1. 如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四. 相似多边形¤1. 一般地，形状相同的图形称为相似图形.※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.五. 相似三角形※1. 在相似多边形中，最为简简单的就是相似三角形.※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形，与证两个全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5. 相似三角形周长的比等于相似比.※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的条件※1. 相似三角形的判定方法:_ D _A _l基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形与原三角形相似.※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图2， l 1 // l 2 // l 3，则EF BC DE AB . ※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方. 九. 图形的放大与缩小※1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形，不仅与原图相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形，这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法，可以把一个图形放大或缩小.第五章投影与视图5.1 投影5.2 视图※三视图包括：主视图、俯视图和左视图.三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等.一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边.主视图：基本可认为从物体正面视得的图象俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象左视图：基本可认为从物体左面视得的图象※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上.※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）.※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线..物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影．．太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．．．．. 探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．．．．. ※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子.眼睛的位置称为视点．．；由视点发出的线称为视线．．；眼睛看不到的地方称为盲区．．. ※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影. ①点在一个平面上的投影仍是一个点；②线段在一个面上的投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度.③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状.第六章 反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图像与性质6.3 反比例函数的应用※反比例函数的概念：一般地，xk y =（k 为常数，k ≠0）叫做反比例函数，即y 是x 的反比例函数. （x 为自变量，y 为因变量，其中x 不能为零）※反比例函数的等价形式：y 是x 的反比例函数 ←→ )0(≠=k xk y ←→ )0(1≠=-k kx y ←→ )0(≠=k k xy ←→ 变量y 与x 成反比例，比例系数为k.※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即k xy =>.（通常第二种方法更适用）※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；②选取的点越多画的图越准确；③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）.※反比例函数性质：①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x 轴和y 轴），但不会与坐标轴相交.※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)点P(x ，y)在双曲线上都有|21||||S k xy S AOB OAPB ===∆矩形。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程1一元二次方程
(2)方程ax²+bx+c=0是一元二次方程吗?
（不一定是，当a≠0时，是一元二次方
程；当a=0时，不是一元二次方程）
小组讨论
1.对于方程(2a-4)x²-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?
在什么条件下此方程为一元一次方程?
（解：当 a≠2时，此方程是一元二次方程；
(1)我们把ax²+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其
中ax²,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数
和一次项系数.
注：一次项系数b和常数项c 可取任意实数，二次项系数 a 是不等于0 的实
数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一
个新的方程.你能发现它们有什么样的共同特征？
数字中有许多有趣而奇妙的现象，很多秘密等待着我们去
探索发现！现在，我们先来做一个数字游戏：大家先计算出10、
11、12三个数字的平方和，再计算出13和14的平方和，看看两
个平方和相等吗？你还能找到五个连续整数，使前三个数的平
方和等于后两个数的平方和吗？试试看！
如果设中间的一个数为x，请根据这一问题列出方程.
2024年世界联赛要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间
都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天
安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
1.请同学们阅读课本31-32 页后观察下列方程，思考并回答问题.
①x²-75x+350=0;
(3)化成一般形式为(m+n)x²+(m-n)x+p-q=0.
北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点
（北大师）九年级上册 第二章 一元二次方程知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程，这样的方程叫一元二次方程。
（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）（二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式。
其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
【例题】1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 。
3、当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程。
4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2332057x x +-=知识点二：求解一元一次方程（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【例题】例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、12（二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根。
【例题】例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ）A ．（x+4）2=17B ．（x+4）2=15C ．（x-4）2=17D ．（x-4）2=15例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36B ．（x-6）2=4+36C ．（x-3）2=-4+9D ．（x-3）2=4+9例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=02.公式法242b b acx a-±-=（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）【例题】例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1B ．a≤4C ．a≤1D ．a≥1例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0，则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数D ．无实数根例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．3.分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结
北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结第一章证明（二）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
北师大版九年级数学上第二章一元二次方程2
解：3y2－6y＋2＝0，
b2－4ac＝36－24＝12，
6±2 3 y＝ 6 ，
3＋ 3
3－ 3
∴y1＝ 3 ，y2＝ 3 .
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 北师版
15．关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋m－1＝0 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根．
解：由题意，得 16－4(m－1)＝0，∴m＝5， 将 m＝5 代入，得 x2－4x＋4＝0，∴x1＝x2＝2.
1．用公式法解一元二次方程 2x2＋3x＝1 时，化方程为一般形式当中的 a，
b，c 依次为
(B )
A．2，－3，1
B．2，3，－1
C．－2，－3，－1
D．－2，3，1
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 北师版
2．用公式法解方程 3x2＋5x＋1＝0，正确的是 A．x＝－5±6 13 B．x＝－5±3 13
九年级 数学 上册 北师版
2．3 用公式法求解一元二次方程 第 1 课时 用公式法求解一元二次方程
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 北师版
要点感知 1．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为一一般般形形式式， 确定 a， a，b，b，c c 的值，当 b2b－2－44acac0≥0 时，把 a，b，c 及 b2－4ac 的
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 北师版
17．对于二次三项式 x2－10x＋36，小明同学得到如下结论：无论 x 取何 值，它的值都不可能是 10，你是否同意他的法？请你说明理由．自主学习
北师版九年级数学上册教学课件-第二章 小结与复习
解析 本题利用图形的变换——
平移，把零散的图形面积集中化，
图1
再建立方程并求解.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为 （32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得 x2-52x+100=0.
解得 x1=50(舍去），x2=2.
图1
答：道路宽为2米.
图2
方程有两个不相等的实数根
x b
b2 4ac -4
20 2
5.
2a
2 1
x1 2 5, x2 2 5.
配方法：移项，得x2 4x 1.
配方,得x2 4x 22 1 22.
x 22 5
由此可得x 2= 5，
x1 2 5, x2 2 5.
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c 4.注意事项：
(1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法
各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
解得x1=2,x2=98(不合题意，舍去）.
答：小亮设计方案中甬路的宽度为2m； (2)在图2中作AI⊥CD,HJ⊥EF,垂足分别是为I,J.
∵AB ∥CD, ∴四边形ADCB是平行四边形.
由（1）得x=2, ∴AD=BC=HE=2m.
52
x
在Rt △ADI中， ∠ADC=∠1=60 °，
BC
G
AD=2m, ∴AI= 3 m,同理HJ= 3 m.
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 是 -2 ，常数项是 0 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学上册第二章知识点汇总北师
大版
配方法的应用
对所有一元二次方程都适用，但特别对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法会更为简单。
【配方法】
一般步骤：
第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项;
第二步：方程两边同时除以二次项系数;
第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为
的形式;
第四步：用直接开平方解变形后的方程
古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：以和b为两直角边作Rt△AB，再在斜边上截取BD=，则AD的长就是所求方程的解注意：
一元二次方程得一般形式特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式。
2“a≠0”是一元二次方程的一个重要组成部分，也是
它的一个判断标准之一，但b、可以为0。
若没有出现bx，则b=0;没有出现，则=0。
3可以通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤得到一元二次方程得一般形式。
【因式分解法】
一般步骤：
第一步：将已知方程化为一般形式，使方程右端为0;
第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积;
第三步：方程左边两个因式分别为0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解。