2018年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
【高三数学试题精选】2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷一)数学试题及答案(理科)20
2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷一)数
学试题及答案(理科)20
5 绝密★启用前试卷类型A
2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷一)
数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法中，正确的是（）
A．命题“若，则”的逆命题是真命题。
深圳中学2018届高三年级第一次阶段性测试(理数)
深圳中学2018届高三年级第一次阶段性测试数学（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5．考生必须保持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 已知全集U =R , 集合{}2|20N A x x x =∈-≤, {}2,3B =, 则=)(B C A U(A)∅ (B){}0 (C){}1 (D){}0,1 2．函数()()121log 21f x x =+的定义域为(A)1(,0)2-(B)1(,)2-+∞ (C)()1(,0)0,2-+∞(D)1(,2)2- 3．设,,x y ∈R 则“222x y +≥”是“1x ≥，且1y ≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4．根据下列条件,能确定ABC ∆有两解的是(A)︒===120,20,18A b a (B)︒===60,48,3B c a (C)︒===30,6,3A b a (D)︒===45,16,14A b a5．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=(A)35 (B)35- (C) 35-或1 (D)16．把函数())4f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为 (A)57[,]66ππ-(B)719[,]66ππ (C)24[,]33ππ-(D)175[,]66ππ-- 7．函数23ln(44)()(2)x x f x x -+=-的图象可能是(A) (B) (C) (D)8．若函数()()2log 8a f x x ax =-在区间221,4a a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，则a 的取值范围是(A) 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ (B)⎫⎪⎪⎝⎭(C) ((D) (]1,29．已知函数()cos f x x x =，其中π,3x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域是[]1,2-，则实数m 的取值范围是 (A) π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(B) ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(C) 2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ (D) ππ,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦10．已知 eπa =，π3b =,πe c =，则它们的大小关系是(A)a b c >> (B)c b a >> (C)b c a >> (D)c a b >>11．已知定义在R 上的函数()f x 对任意x ∈R 满足：()(2)f x f x =-，当1x ≤时，()e 1x f x =-，则方程()|1|10f x x +--=的实根个数为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)512．已知函数()e ln x f x a x x =-，存在N n ∈，使得函数()f x 在区间(,2)n n +上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （A ）3ln 3e 1(,)e e （B ） 2ln 2e 1(,)e e （C ）32ln 3ln 2(,)e e （D ）2ln 21(,)e e第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若定义在区间2[3,]m m m ---上的函数2()m f x x -=是奇函数，则()f m = . 14．2sin π1)x x dx +-⎰（ .15． 设函数2(1)3,1()2,1x ax a x a x f x x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，，的最小值为2，则实数a 的取值范围是_____．16．已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2()b a a c =+，则2sin sin()AB A -的取值范围是____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知三个集合：{}22log (58)1A x x x =∈-+=R ，{}22821R xx B x +-=∈=，{}22190R C x x ax a =∈-+->.（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）已知,A C B C ≠∅=∅ ，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数πππ())2sin()sin()344f x x x x =---+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]122-上的值域.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，对边分别是a b c ，，，已知2sin sin sin B A C =．（Ⅰ）求证：π03B <≤； （Ⅱ）求cos 4cos 2A CB ++的最大值．20．（本小题满分12分）中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，具体方案如下：原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟收取0.4元，请问：（I ）求“套餐”中第4种收费方式的月话费y 与月通话量t （月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，不足一分钟的按一分钟计算，如某次通话时间为3分20秒，则按4分钟计通话用时）的函数解析式；（II ）若采用第4种收费方式,且比原计费方式的月话费省钱,求通话量的取值范围； （III ）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户的月通话量平均为320分钟. 若一个用户的月通话量恰好是这个平均值，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算？请说明理由. 21．（本小题满分12分） 已知R a ∈,函数32()3333f x x x ax a =-+-+，]2,0[∈x . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求()f x 取得最大值时x 的值. 22．（本小题满分12分）已知ln 1()21x xf x x-=++. （Ⅰ）判断函数()f x 的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）已知0k >，0a >，若曲线1:ln C y x k=上有两点()()e ,,e ,ka ka P a Q a --，且曲线C 在点P 、Q 处的切线相交于点M ，证明：点M 一定在x 轴上方.数学（理科）参考答案第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．1-； 14．0； 15．[1,)+∞； 16．1(2．16.解：∵2cos c a a B -=，sin sin 2sin cos C A A B ∴-=，()sin sin 2sin cos A B A A B ∴+-=，∴()sin sin B A A ∴-=，∵ABC ∆是锐角三角形，∴2B A =，且ππ64A <<，∴()2sin 1sin ,sin 22AA B A ⎛=∈ -⎝⎭. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知三个集合：{}22log (58)1A x x x =∈-+=R ，{}22821R x x B x +-=∈=，{}22190R C x x ax a =∈-+->.(I) 求A B ；(II)已知,A C B C ≠∅=∅ ，求实数a 的取值范围.解：(I){}{}25822,3R A x x x =∈-+== , . …………………………………2分{}{}22802,4R B x x x =∈+-==-,. ……………………………………….4分{}2,3,4.A B ∴=- . …………………………………………………..………..5分(II),A C B C ≠∅=∅ ,2,4,3.C C C ∴∉-∉∈ ……………………………………………..…….…..6分{}22190,R C x x ax a =∈-+->22222222190,(4)4190,33190.a a a a a a ⎧-+-≤⎪∴-++-≤⎨⎪-+->⎩……………………………………………..…..7分即35,222 5.a a a a -≤≤⎧⎪--≤≤-⎨⎪<->⎩或解得3 2.a -≤<- ……………………..……..9分 所以实数a 的取值范围是[3,2).-- ………………………………………..….10分 18.（本小题满分12分）已知函数πππ())2sin()sin()344f x x x x =---+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]122-上的值域. 解：（I）πππ())2sin()sin()344f x x x x =---+3cos 22(cos sin )(sin cos )2x x x x x x =-+-+223cos 22cos sin 2x x x x =-++-3cos 22cos 22x x x=-+πsin(2)6x =-，………………….......……3分 2πT π2∴==，………………….................................................................……..4分 由ππ2π62x k -=+()Z k ∈得ππ23k x =+()Z k ∈. ∴函数()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为ππ3x k =+()Z k ∈.………………6分 （II ）ππππ5π[,],2[,]122636x x ∈-∴-∈-因为π()sin(2)6f x x =-在区间ππ[,]123-上单调递增，在区间ππ[,]32上单调递减，所以，当π3x =时，()f x 取最大值1..………………….........................……..8分又π1()()1222f f π-=<= ，.…………………..........................……..10分当π12x =-时，()f x 取最小值.…………………....................……..11分所以函数()f x 在区间ππ[,]122-上的值域为[..……………………..12分 19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，对边分别是a b c ，，，已知2sin sin sin B A C =． （Ⅰ）求证：π03B <≤； （Ⅱ）求cos 4cos2A CB ++的最大值． 解：（Ⅰ）由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C===， ∴sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=，………………………………2分 ∵2sin sin sin B A C =，∴2b ac =， ……………………………4分∴222cos 2a c b B ac+-=2122ac ac ac -≥=， 而0πB << ∴π03B <≤.……………………………………………………………………6分（Ⅱ）cos 4cos2A CB ++ 2π12sin 4cos 22B B -=-+ 212sin 4sin 22B B =-+22sin 132B =--+（），………………………………8分 由（Ⅰ）知π03B <≤， ∴10sin22B <≤， ………………………………10分 ∴当1sin22B =，即π3B =时，cos 4cos 2A CB ++取得最大值52.………………12分20．（本小题满分12分）中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，具体方案如下：原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟收取0.4元，请问：（I ）求“套餐”中第4种收费方式的月话费y 与月通话量t （月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，不足一分钟的按一分钟计算，如某次通话时间为3分20秒，则按4分钟计通话用时）的函数解析式；（II ）若采用第4种收费方式,且比原计费方式的月话费省钱,求通话量的取值范围； （III ）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户的月通话量平均为320分钟. 若一个用户的月通话量恰好是这个平均值，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算？请说明理由.解：（I ）易知268,0600,2680.45(600),600,N,N.t t y t t t ⎧≤≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩ 所以268,0600,0.452,600,N,N.t t y t t t ⎧≤≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩.……………………….......................…..4分 （II ）当0600,N t t ≤≤∈时，解不等式500.4268t +>且N t ∈得545600,N t t <≤∈， 当600,N t t >∈时，解不等式500.40.452t t +>-，得6001040,N t t <<∈， 综上，当6001040,N t t <<∈时，采用第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱. ………………………………………………………..................................................8分（III ）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即500.4320+⨯），所以，不会选择月租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.第一种方式的话费为：300.632048193.2+⨯-=（）（元）； 第二种方式的话费为：980.6320170188+⨯-=（）（元）；第三种方式的话费为：168元.故选择第三种方式. ……………………………..................................................12分 21．（本小题满分12分） 已知R a ∈,函数32()3333f x x x ax a =-+-+，]2,0[∈x . (I)求()f x 的单调区间；(II)求()f x 取得最大值时的x 的值.解：(I)由已知得到:2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+,(1)当0a ≤时,Q [0,2]x ∈,∴(2)0x x -≤,∴()0f x '≤恒成立；……..…………...1分 (2)当1a ≥时,Q [0,2]x ∈,∴2(2)(1)11x x x -=--≥-，()0f x '≥恒成立; …….2分 (3)当01a <<时，2()3630f x x x a '=-+=,36360a ∆=->,11x ∴=21x =12012x x <<<<,令()0f x '>解得：10x x <<或22x x <<.……………………………………………....3分 综上：当0a ≤时,()f x 的单调减区间为(0,2)； 当1a ≥时,()f x 的单调増区间为(0,2);当01a <<时，()f x的单调増区间为(0,1和()12+，单调减区间为(1.………………………………………………………5分 (II)由(I)知(1)当0a ≤时,()f x 在(0,2)上递减,所以max ()(0)33f x f a ==-；……....6分 (2)当1a ≥时,()f x 在(0,2)上递增,所以max ()(2)31f x f a ==-;……………....…...7分 (3)当01a <<时，max 1()max{(),(2)}f x f x f =，332221111111()(2)23(2)3(2)(2)(23)f x f x x a x x x x a -=---+-=---+， 21120x x a -+=∴2112x x a =-,()112a x x =-,111()(2)(2)(22)f x f x x a -=--+，.…………………………………………………………..................................................…..9分 ①当304a <≤，由()112a x x =-，得1102x <≤，所以13222x -<-≤-，且3022a <≤，此时120x a -+≤，又 12x <，∴1()(2)0f x f -≥，即max 1()()f x f x =； .…………………………………………………………..................................................…..10分 ②当314a <<时，由()112a x x =-，得1112x <<，所以13212x -<-<，且3222a <<，此时1220x a -+>，又 12x <，∴1()(2)0f x f -<，即max ()(2)f x f =； .…………………………………………………………..................................................…..11分 综上，当0a ≤时, ()f x 在0x =处取得最大值；当304a <≤时，()f x 在1x = 当34a >时，()f x 在2x =处取得最大值. …..........................................................…..12分 22．（本小题满分12分）已知ln 1()21x xf x x-=++. （Ⅰ）判断函数()f x 的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）已知0k >，0a >，若曲线1:ln C y x k=上有两点()()e ,,e ,ka ka P a Q a --，且曲线C 在点P 、Q 处的切线相交于点M ，证明：点M 一定在x 轴上方.解：（Ⅰ）函数ln 1()21x xf x x-=++定义域为∞(0,+)，22212(1)()02(1)2(1)x f x x x x x -'=-=>++ ， ∴函数()f x 在(0,)+∞单调递增，因为(1)0f =， ……………………………………………………….……………..3分 所以，函数()f x 有唯一的零点1……………………………………………………..5分 （Ⅱ）1ln y x k =1y kx'⇒=. 过点()()e ,,e ,ka ka P a Q a --的切线方程为： ()1e ,e ka ka y x a k =-+和()1e ,eka ka y x a k --=--…………………………………8分 设两条切线交点M 的纵坐标为y , 可解得()()()()22e e e e 1e 11e e e ka ka ka ka ka ka ka ka ka a y k k -------+++==-+--,…………………10分法一：设2e ka t -=,因为0ka >，所以,01t <<,且有ln 2t ka =-. 于是12ln a k t-=, 因此,()1221ln 1ln 1a t a t y a t t t t ++⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭,………………………………………….11分 由（Ⅰ）知，当01x <<时，()(1)0f x f <=，所以，ln 1021t t t -+<+， 故ln 121210,21ln 1ln 1t t t t t t t t t-++<-⇔>-⇔+>+--又0a >, 0y ∴>，所以点M 一定在x 轴上方. ……………………………………………….12分 法二：∵0k >，0a >，()e e 0ka ka k -∴->，下证()()e e e e 0ka ka ka ka ka --+-->，设e ka t =，则ln ka t =，即证当1t >时，不等式ln 1ln 0t t t t t t +-+>成立，……………………………..11分 令()ln 1ln ,1t g t t t t t t t =+-+≥，则()21ln 1g t t t ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，且()10g =，显然当1t >时，()0g t '>，所以()()10g t g >=，即()()e e e e 0ka ka ka ka ka --+-->， 0y ∴>，所以点M 一定在x 轴上方. ……………………………………………..12分。
2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4=(xlog2x<1},B={x\y[x>1},则4n B=()A.(0,3]B.[l,2)C.[-l,2)D.[-3,2)2.已知a G R,i为虚数单位，若复数z=者，\z\-1,则a=()A.+V2B.lC.2D.±l3.已知sin(：—x)=j,贝"sin(詈一x)+sin2(—争+%)=()A1c3〃1D'-lA.-B.-C,—4444.夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华舞回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为（）A.0.05 B.0.0075c-d-'3'65.若双曲线*—§=1（口>0,b>0）的一条渐近线与圆泌+⑶―口）2=§相切，则该双曲线的离心率为（）A.3B，V3cl归d.3归246.设有下面四个命题：Pi：Bn E N,n2>2n；p2-.x G R,"x>1”是“x>2”的充分不必要条件；P3：命题“若x=y,则sin x=siny w的逆否命题是“若s in%siny,贝!]x y"■,P4：若“p/q”是真命题，贝Up一定是真命题.其中为真命题的是（）A.Pi，P2B.p2，p3C.P2，p4D.pi，P37.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺,松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5,y=2,输出的71为4,则程序框图中的O中应填（）A.y<xB.y<xC.x<yD.x=y8.如图，网格纸上小正方形的边长为1,某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）C.167TD.25tt9.在AABC中4B1AC,|4C|=很，BC=y[3BD>则AD*XC=()A距 B.2V2 C.2V3d.也3310.已知函数,3)是定义在R上的奇函数，且在区间(0,+8)上有3f(x)+打'(X)>0恒成立.若g(x)=x3/(x),令a=g(Jog2^),b=^(log52),c=g(eT),则()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a11.设等差数列｛知｝满足：3。
(2021年整理)【省级联考】2018年广东省高考数学一模试卷(理科)
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2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A=｛x|﹣1＜1﹣x＜1｝，B={x｜x2＜1},则A∩B=（)A．｛x｜﹣1＜x＜1｝B．{x｜0＜x＜1｝C．｛x|x＜1｝D．｛x|0＜x＜2}2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．如图为射击使用的靶子,靶中最小的圆的半径为1,靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点,则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）满足，则函数f(x）的图象在x=1处的切线斜率为( ）A．0 B．9 C．18 D．275．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0,b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B． C． D．26．的展开式中，x3的系数为( ）A．120 B．160 C．100 D．807．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（)A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．已知曲线,则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4,8,12,18，24,32，40，50,…,如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数,n≥100 B．n是奇数,n≥100C．n是偶数,n＞100 D．n是奇数，n＞10010．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a,b，c,若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．设函数，若互不相等的实数a,b，c，d满足f（a）=f(b）=f（c）=f（d)，则2a+2b+2c+2d的取值范围是( ）A．B．(98，146）C．D．（98，266）二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上)13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|= ．14．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°,则m= ．16．如图,圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E,F,G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G,H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答。
2018年普通高等学校招生全国统一考试-广东省理科数学模拟试卷(一)
2018年普通高等学校招生全国统一考试-广东省理科数学模拟试卷(一)2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|111,|1A x x B x x =-<-<=<，则A B =（ ） A ．{}|1x 1x -<< B ．{}|01x x << C ．{}|1x x <D ．{}|02x x <<2.设复数()4z a i a R =+∈，且()2i z -为纯虚数，则a = （ ）A ．-1B ． 1C ． 2D ．-2 3. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）A ．320B ．325πC ．325D ．20π 4. 已知函数()f x 满足332x f xx⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象在1x =处的切线斜率为（ ）A ．0B ． 9 C. 18 D ．27y轴对称π个单位长度，得到的曲线关于C. 把C向左平移3原点对称π个单位长度，得到的曲线关于D．把C向右平移12y轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A ．n 是偶数，100n ≥B ．n 是奇数，100n ≥ C. n 是偶数，100n > D ．n 是奇数，100n > 10.在ABC ∆中，角,,C A B 所对的边分别为,,a b c ，若3A π=，且2sin 2sin 3b B c C bc a+=+，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．33．333．3 11.已知抛物线2:,C yx M=为x 轴负半轴上的动点，,MA MB为抛物线的切线，,A B 分别为切点，则MA MB 的最小值为 （ ）A ．116- B ．18- C. 14- D ．12- 12.设函数()1222,21130,2x x f x x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,,a b c d满足()()()()f a f b f c f d ===，则2222ab c d+++的取值范围是 （ ）A ．()6422,146B ．()98,146C.()6422,266D ．()98,266二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量12,e e 的夹角为30°，则123e e -= ．14.设,x y 满足约束条件6456543x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值为 ． 15.已知000sin10cos102cos140m +=，则m = ．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,CDG,ADH ABE BCF ∆∆∆∆，使得,,,E F G H重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知公差不为零的等差数列{}na 满足15a=，且3611,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}na 的通项公式； （2）设13n nn ba -=，求数列{}nb 的前n 项和nS .18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 步数/步 03000 30016000 60018000 800110000 10000以上 男生人数/人 127155女性人数/人3791规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”. （1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求()2P X ≤和X 的数学期望.（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x y >的概率.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形. （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ； （2）若BD EC ⊥，求二面角F BD C --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，且C过点31,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于,M N 两点，且满足2222PMO QMOPNO QNOPMO QMOPNO QNOS S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆++=（其中O 为坐标原点）.证明：直线l 的斜率为定值. 21. 已知函数()()()2ln 1xf x x ea x x =-+-+.（1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （2）若函数()f x 的最小值为e -，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，圆()()221:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，()2:3CR πθρ=∈.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O M 、，3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.23.【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在13,x x R ∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDACC 6-10: ABDDC 11、12：AB二、填空题13. 1 14. 2 15. 3-5003π 三、解答题17.解：（1）设等差数列{}na 的公差为d ，因为3611,,a a a成等比数列， 所以26311aa a =，即()()()21115210a d a d a d +=++，化简得1520d a-=，又15a=，所以2d =，从而23nan =+.（2）因为()1233n nb n -=+， 所以()0121537393233n nSn -=⨯+⨯+⨯+++，所以()1233537393233nnSn =⨯+⨯+⨯+++， 以上两个等式相减得()()13312522332n nnS n ---=+⨯-+， 化简得()131nnS n =+-.18.解：（1）被系统评为“积极性”的概率为3033,3,5055X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故()3398215125P X ⎛⎫≤=-=⎪⎝⎭，X的数学期望()39355E X =⨯=； （2）“x y >”包含“3,2x y ==”，“ 3,1x y ==”，“ 3,0x y ==”，“ 2,1x y ==”，“ 2,0x y ==”，“ 1,0x y ==”，()3242326413,y 230C C P x C C ===⨯=，()311422326423,115C C C P x y C C ===⨯=，()3042326413,130C C P x y C C ===⨯=， ()210422326412,110C C C P x y C C ===⨯=，()210422326412,010C C C P x y C C ===⨯=，()122422326411,030C C C P x y C C ===⨯=，所以()1212111130153********P x y >=+++++=.19.（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥， 又AE CF ⊥，且EF CF F=，所以AE ⊥平面EBCF .因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF，DG EC ⊥，又,BD EC BD DG D⊥=，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥，易证EGBBEC∆∆，则EG EBEB BC=，得22EB = 以E 为坐标原点，EB 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，，则()(()(()0,3,0,0,2,22,22,4,0,A 2,22,0,0F D C B . 故()()()(22,2,22,0,1,22,0,4,0,22,2,22BD FD BC CD =-=-==--，设(),,n x y z =是平面FBD 的法向量，则22222020n BD x y z n FD y z ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩，令1z =，得()3,22,1n =，设(),,m a b c =是平面BCD 的法向量，则40222220m BC b m CD a b c ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩，令1a =，则()1,0,1m =，因为2cos,3182n m n m n m===⨯，所以二面角F BD C --的余弦值为23. 20.解：（1）由题意可得2231314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由12121111,,,2222PMOQMO PNO QNO SMO y S MO y S NO x S NO x ∆∆∆∆====，化简得222212121212y y x x y y x x ++=，()()222222121212121212121222,y y x x y y x x y y x x y y x x --++-=-=，即21212yyk x x=，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k xkmx m +++-=，则()()()222222641614116410k mk m k m ∆=-+-=-+>，且()2121222418,1414m kmx x x x k k --+==++，故()()()2212121212y y kx m kxm k x x km x x m =++=+++，因此()2212122121212k x x km x x my y k x x x x +++==，即22228014k m m k-+=+，又0m ≠，所以214k=，又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率为定值. 21.解：（1）()()()()()11110xxx xe a f x x e a x x x --⎛⎫'=-+-=> ⎪⎝⎭，令()()()()0,10xx g x xea x g x x e '=->=+>，故()g x 在()0,+∞上单调递增， 则()()0g x g a >=-，因此，当0a ≤或a e =时，()f x '只有一个零点； 当0a e <<或a e >时，()f x '有两个零点； （2）当0a ≤时，0xxe a ->，则函数()f x 在1x =处取得最小值()1f e =-， 当0a >时，则函数xy xe a=-在()0,+∞上单调递增，则必存在正数0x ，使得0x x ea -=，若a e >，则01x>，函数()f x 在()0,1与()0,x +∞上单调递增，在()01,x 上单调递减， 又()1f e =-，故不符合题意. 若a e =，则()01,0xf x '=≥，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()1f e =-，故不符合题意. 若0a e <<，则001x <<，设正数()10,1eab e--=∈，则()()()12ln 1ln 1e ba e fb b e a b b a e b a b e ab ea --⎛⎫⎛⎫=-+-+<-+=--=--<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()f x 的最小值为e -矛盾， 综上所述，0a ≤，即(],0a ∈-∞. 22.解：（1）因为圆1C 的普通方程为22480xy x y +--=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=，所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，2C 的平面直角坐标系方程为3y x=；（2）分别将,36ππθθ==代入4cos 8sin ρθθ=+，得12243,423ρρ=+=+，则OMN ∆的面积为((1243423sin 853236ππ⎛⎫⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<； 当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<， 综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x xR∈，使得()()12f xg x =-成立，所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x R y x x R =∈=-∈≠∅， 又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+，由（1）可知()9,4g x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦， 所以9314a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2018年广东省高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|−1<1−x<1}，B={x|x2<1}，则A∩B=()A.{x|−1<x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|x<1}D.{x|0<x<2}2. 设复数z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z为纯虚数，则a= ( )A.−1B.1C.2D.−23. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π204. 已知函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为（）A.0 B.9 C.18 D.275. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. (x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为（）A.120B.160C.100D.807. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.48+8πB.96+8πC.96+16πD.48+16π8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3)，则下列结论正确的是（）A.把C向左平移5π12个单位长度，得到的曲线关于原点对称B.把C向右平移π12个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C.把C向左平移π3个单位长度，得到的曲线关于原点对称D.把C向右平移π6个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，且2bsinB+2csinC=bc+√3a．则△ABC的面积的最大值为（）A.3√32B.√32C.3√34D.√3411. 已知抛物线C:y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B 分别为切点，则MA→⋅MB→的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x+1−2|,x ≤2x 2−11x +30,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则2a +2b +2c +2d 的取值范围是（ ）A.(64√2+2,146)B.(98, 146)C.(64√2+2,266)D.(98, 266) 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知sin10∘+mcos10∘＝2cos140∘，则m ＝________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1=5，且a 3，a 6，a 11成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a n ∗3n−1，求数列{b n }的前n 项和S n ．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X 表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x ；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y ；求x >y 的概率．如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ，且BC =2AD =4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形． （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求二面角F −BD −C 的余弦值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且C 过点(1,√32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且满足S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO（其中O 为坐标原点）．证明：直线l 的斜率为定值．已知函数f(x)=(x −2)e x +a(ln x −x +1)． (1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数；(2)若函数f(x)的最小值为−e ，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x −2)2+(y −4)2=20，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2:θ=π3(ρ∈R)． (1)求C 1的极坐标方程和C 2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，求△OMN 的面积． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x −a|+|3x +1|，g(x)=|4x −1|−|x +2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|−1<1−x<1}={x|0<x<2}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，则A∩B={x|0<x<1}．2.【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】把z=a+4i(a∈R)代入(2−i)z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i(a∈R)，且(2−i)z=(2−i)(a+4i)=(2a+4)+(8−a)i为纯虚数，∴{2a+4=0,8−a≠0,解得a=−2．故选D.3.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.4.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′(x)=24x2−6，计算可得f′(1)的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)满足f(x2)=x3−3x，则f(x)=8x3−6x，其导数f′(x)=24x2−6，则有f′(1)=24−6=18，即函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】(x+1x )(1+2x)5=x(1+2x)5+1x(1+2x)5，∵x(1+2x)5的展开式中含x3的项为x∗C52∗(2x)2=40x3，1 x (1+2x)5的展开式中含x3的项为1x∗C54∗(2x)4=80x3．∴(x+1x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数为40+80=120．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积． 【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π， 8.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案． 【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ， 得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误； 把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ， 得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确； 把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误；把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)， 取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误．∴ 正确的结论是B ． 9.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可． 【解答】n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】C【考点】三角形求面积【解析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=√3，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】根据正弦定理可得bsinB =csinC=asinA=√32，∴sinB=√3b2a ，sinC=√3c2a，∵2bsinB+2csinC=bc+√3a，∴√3b2a +√3c2a=bc+√3a，∴b2+c2=√33abc+a2，∴b2+c2−a2=√33abc，∴b2+c2−a22bc =√3a6=cosA=12∴a=√3，∴3=b2+c2−bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC =12bcsinA=√34bc≤3√3411.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0， 由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0， 则A(t 24, t2)，B(t 24, −t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴ M(−t 24, 0)，∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−11612.【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：作出函数f(x)的图象，由图象可得存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且可设a <b <2<c <d ．当x ≤2时，f(x)=|2x+1−2|，可得2−2a+1=2b+1−2，即2a +2b =2．当x >2时，f(x)=x 2−11x +30，可得c +d =11，令x 2−11x +30=2，解得x =4或7，可得4<c <5，即有16<2c <32，则2a +2b +2c +2d =2+2c +2d =2+2c +2112c，设m =2c ，则y =m +211m在(16, 32)递减，则y =m +211m∈(96, 144)，所以2+2c +2112c的范围是(98, 146)，即2a +2b +2c +2d 的取值范围是(98, 146)． 故选B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1；∴ |e 1→−√3e 2→|=1． 【答案】 2【考点】 简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可． 【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3 的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值， 由{x −y =64x +5y =6 解得A(4, −2)， 所以z =x +y 的最大值为：2． 【答案】 −√3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 由题意可得m =2cos140−sin10cos10，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】 由题意可得m =2cos140−sin10cos10=−2cos40−sin10cos10=−2cos(30+10)−sin10cos10=−2⋅√32⋅cos10+sin10−sin10cos10=−√3，【答案】 500√3π27 【考点】球的体积和表面积 【解析】根据题意，设正方形ABCD 的边长为x ，E ，F ，G ，H 重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x ，从而求解四棱锥的外接球的体积． 【解答】连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则OI =x2，IE =6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得a62= a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，解得：d．（2）b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴a62=a3⋅a11，即(5+5d)2=(5+2d)(5+10d)，化为：d2−2d=0，解得：d= 2．∴a n=5+2(n−1)=2n+3．b n=a n∗3n−1=(2n+3)⋅3n−1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+(2n+3)⋅3n−1．∴3S n=5×3+7×32+……+(2n+1)×3n−1+(2n+3)×3n，∴−2S n=5+2(3+32+……+3n−1)−(2n+3)×3n=5+2×3(3n−1−1)3−1−(2n+3)×3n，解得S n=(n+1)3n−1．【答案】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X∼B(3, 35)，∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 20C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)，由此能求出P(X ≤2)和X 的数学期望．（2）“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“，分别求出相应的概率，由此能求出P(x >y)． 【解答】由题意得被系统评为“积极性”的概率为3050=35，X ∼B(3, 35)， ∴ P(X ≤2)＝1−(35)3=98125， X 的数学期望E(X)＝3×35=95．“x >y “包含“x ＝3，y ＝2“，“x ＝3，y ＝1“，“x ＝3，y ＝0“，“x ＝2，y ＝1“，“x ＝2，y ＝0“，“x ＝1，y ＝0“， P(x ＝3, y ＝2)=C 43C 63×C 22C 42=130，P(x ＝3, y ＝1)=C 43C 63×C 21C21C 42=215，P(x ＝3, y ＝0)=C 42C 63×C 2C 42=130，P(x ＝2, y ＝1)=C 42C21C 63×C 21C21C 42=25，P(x ＝2, y ＝0)=C 42C21C 63×C 2C 42=110，P(x ＝1, y ＝0)=C 41C22C 63×C 2C 42=130，∴ P(x >y)=130+215+130+25+110+130=1115． 【答案】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ， 又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直， 故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ， 令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×√2=23．由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）根据AE ⊥EF ，AE ⊥CF 可得AE ⊥平面BCFE ，故而平面AEFD ⊥平面EBCF ； （2）建立空间坐标系，根据BD ⊥EC 求出AE ，求出平面BDF 和平面BCD 的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】证明：∵ 在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥BC ， E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点， ∴ EF // AD ，∴ AE ⊥EF ， 又AE ⊥CF ，且EF ∩CF =F ， ∴ AE ⊥平面EBCF ， ∵ AE ⊂平面AEFD ，∴ 平面AEFD ⊥平面EBCF ．由（1）可得EA ，EB ，EF 两两垂直， 故以E 为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE =m ，则E(0, 0, 0)，A(0, 0, m)，B(m, 0, 0)， F(0, 3, 0)，C(m, 4, 0)，D(0, 2, m)， ∴ BD →=(−m, 2, m)，EC →=(m,4,0)，∵ DB ⊥EC ，∴ −m 2+8=0，∴ m =2√2．∴ BD →=(−2√2, 2, 2√2)，FB →=(2√2,−3,0)，CB →=(0,−4,0)，设面DBF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →∗BD →=0m →∗FB →=0，即{−2√2x +2y +2√2z =02√2x −3y =0 ， 令y =4可得：m →=(3√2, 4, √2)，同理可得平面CDB 的法向量为n →=(1,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →||n →|=√26×2=23． 由图形可知二面角F −BD −C 为锐角， ∴ 二面角F −BD −C 的余弦值为23．【答案】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|， 令y =0，可得x =−mk ，即|NO|=|mk |，则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|， 由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x1x 2=(y 1−y 2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0， 即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km 1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k ， 可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)， 可得k =−12（12舍去），则直线l 的斜率为定值． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)，P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证． 【解答】由题意可得ca =√32，1a 2+34b 2=1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =1，c =√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +m ，(m ≠0)， P ，Q 的坐标为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，令x =0，可得y =m ，即|MO|=|m|， 令y =0，可得x =−m k ，即|NO|=|mk |， 则S △PMO =12|MO|⋅|y 1|，S △QMO =12|MO|⋅|y 2|， S △PNO =12|MO|⋅|x 1|，S △QNO =12|NO|⋅|x 2|， 由S △PMO 2+S △QMO 2S△PMO ⋅S △QMO=S △PNO 2+S △QNO2S △PNO ⋅S △QNO，可得y 12+y 22y 1y 2=x 12+x 22x 1x 2，即有y 12+y 22y 1y 2−2=x 12+x 22x 1x 2−2，可得(y 1−y 2)2y 1y 2=(x 1−x 2)2x 1x 2，即y 1y 2x 1x 2=(y 1−y2x 1−x 2)2=k 2，由y =kx +m 代入椭圆x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则△=64k 2m 2−16(1+4k 2)(m 2−1)>0， 即为1+4k 2−m 2>0， x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k ，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2+km(−8km1+4k2)+m 2 =m 2−4k 21+4k 2， 可得m 2−4k 21+4k 2=k 2⋅4(m 2−1)1+4k 2，即有4k 2=1(m ≠0)， 可得k =−12（12舍去）， 则直线l 的斜率为定值． 【答案】解：(1)f ′(x)=(x −1)e x +a (1x −1)=(x−1)(xe x −a)x(x >0)，令g(x)=xe x −a(x >0)，g ′(x)=(x +1)e x >0， 故g(x)在(0, +∞)上单调递增， 则g(x)>−a,因此当a ≤0或a =e 时，f ′(x)=0只有一个零点； 当0<a <e 或a >e 时，f ′(x)有两个零点． (2)①当a ≤0时，xe x −a >0，则函数f(x)在x =1处取得最小值f(1)=−e ，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．【考点】导数求函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f′(x)=(x−1)e x+a(1x −1)=(x−1)(xe x−a)x(x>0)，令g(x)=xe x−a(x>0)，g′(x)=(x+1)e x>0，故g(x)在(0, +∞)上单调递增，则g(x)>−a,因此当a≤0或a=e时，f′(x)=0只有一个零点；当0<a<e或a>e时，f′(x)有两个零点．(2)①当a≤0时，xe x−a>0，则函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=−e，符合题意．②当a>0时，易知函数y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，所以必存在正数x0，使得x0e x e−a=0．（ⅰ）若a>e，则x0>1，函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅱ）若a=e，则x0=1，f′(x)≥0，函数在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=−e，故不符合题意．（ⅲ）若0<a<e，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则f(b)=(b−2)e b+a(ln b−b+1)<a(ln e−e a−1−b+1)=a(−ea−b)=−e−ab<−e，与函数f(x)的最小值为−e矛盾．综上所述，a≤0，即a∈(−∞,0]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3． 【考点】直线的极坐标方程 圆的极坐标方程 极坐标刻画点的位置 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0， 故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ， 得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14， x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14， 综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512， 所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．。
广东省深圳市2018届高考模拟测试数学试卷及解析
………○………学校:______………○………广东省深圳市2018届高考模拟测试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.(1−i)(−2+i)i 3= （ ）A. 3+iB. −3−iC. −3+iD. 3−i2.的值为 ( )A ．0B ．1C ．D ．3.有以下四个命题： 其中真命题的序号是 （ ） ①若且，则； ②若且，则； ③若且，则；④若且，则．①② ③④ ① ④ ②③4.设满足约束条件，则取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．5.某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ）种 A. 192 B. 144 C. 96 D. 726.已知为非零向量，命题，命题的夹角为锐角，则命题是命题的( )A.充分不必要的条件B. 既不充分也不必要的条件C.充要条件D. 必要不充分的条件 7.已知圆的图象分别交于862lim22+--→x x x x 21-31//,//m n αβ//αβ//m n ,m n αβ⊥⊥αβ⊥m n ⊥,//m n αβ⊥//αβm n ⊥//,m n αβ⊥αβ⊥//m n 、A 、B 、C 、D ,x y 04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩231x y x +++[3,11][2,6][3,10][1,5]→→b a ,0:>•→→b a p →→b 、a q :p q答案第2页，总20页……○……○的值为 （ ）A. 16B. 8C. 4D. 28.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N +)个整点，则称函数f(x)为n 阶整点函数.有下列函数：①f(x)=sin2x ； ②g(x)=x 3③ℎ(x)=(13)x ;④ϕ(x)=lnx ，其中是一阶整点函数的是( )A. ①②③④B. ①③④C. ①④D. ④第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）9.双曲线x 29−y 216=1的一个焦点到一条渐近线的距离为______________10.若为等差数列中的第8项，则二项式展开式中常数项是第 项11.如图，棱长为的正方体中，为中点，则直线与平面所成角的正切值为 ；若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 .12.在中，分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量，若向量，则角A 的大小为13.顺义二中对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入中的某个字母）14.一种计算装置，有一个数据入口和一个运算出口，执行某种运算程序．n ,0,2,4--n x x )2(2+a 1111D C B A ABCD -M BC M D 1ABCD ABC ∆c b a ,,→m (),,b c c a =--→n (),b c a =+→→⊥n m e d c b a ,,,,ed c b a S 1++=S a b e d c <<<<<01S e d c b a ,,,,A B AB MC D ABCD 1…………外…………………内………（1）当从口输入自然数时，从口得到实数，记为； （2）当从口输入自然数时，在口得到的结果是前一结果倍．当从口输入时，从口得到 ；要想从口得到，则应从口输入自然数 . 三、解答题（题型注释）15.(1)、已知函数若角 （2）函数的图象按向量平移后,得到一个函数g(x)的图象，求g(x)的解析式.16.如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点（Ⅰ）求边所在直线方程；（Ⅱ）为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程；（Ⅲ）若动圆过点且与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程．17.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.A 1B 31=)1(f 31A )2(≥n n B )(n f 3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的A 3B B 23031A .)2sin()42cos(21)(ππ+-+=x x x f ).(,53cos αααf 求在第一象限且=x x x x f cos sin 32cos 2)(2-=(,)m π=-16ABC (20)A -，(0,B -C x P OA BC M ABC M N P M N N ABCD P -ABCD CD PD BC PB ⊥⊥,2=PA E PD答案第4页，总20页外…………○…………装…………○…………订………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题内…………○…………装…………○…………订………（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得点到平 面的距离为？若存在，确定点的位置； 若不存在，请说明理由.18.(本题满分12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率P(A);（Ⅰ）在容器入口处依次放入4个小球,记为落入A 袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.19.对任意都有 （Ⅰ）求和的值．（Ⅰ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明； （Ⅰ）令试比较与的大小．20.已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为． （Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请D ACE --BCF E PAF 552F x mx x f -=3)(),1(n N 4πm n k 1993)(-≤k x f ]3,1[-∈x求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：（，）． k )21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+R x ∈0>t答案第6页，总20页……装…………○※不※※要※※在※※装※……装…………○参数答案1.B【解析】1.根据复数概念及运算法则，即可求解. 由题意得，复数(1−i )(−2+i )i3=−1+3i −i=(−1+3i )⋅i−i⋅i=−3−i ，故选B.2.C【解析】2. 试题分析：22211lim lim (2)(4)42x x x x x x →→-===----。
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2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣33．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，则=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A （0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A． B．C．D．26．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）27．函数f（x）=•cosx的图象大致是（）A．B．C．D．8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A．ac＞bc B．a c＞b cC．log a（a﹣c）＞log b（b﹣c） D．＞9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2018，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．33810．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．411．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=．14．（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为（用数字作答）．15．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=．16．已知数列{a n}满足na n﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1+2对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．18．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．20．已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于n2，求n的取值范围．21．已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证： +为定值，并求出这个定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；（2）若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0}={x|3≤x≤6}，∴A∩B={4，6}，故选：B．2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：==，∵复数（a∈R）为纯虚数，∴，解得：a=﹣2．故选：C．3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，6），共有2个，∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．故选：B．4．等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，则=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列{a n}的前n项和求出前3项，由此能求出利用等比数列{a n}中，，能求出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，∴a1=S1=a+b，a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a，a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a，∵等比数列{a n}中，，∴（2a）2=（a+b）×6a，解得=﹣3．故选：A．5．直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A （0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A． B．C．D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），求得k的值，可得点A的坐标，求出圆心到直线的距离，即可得出结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0，即（x+2）2+（y﹣2）2 =2，表示以C（﹣2，2）为圆心、半径等于的圆．由题意可得，直线l：kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），故有﹣2k+2+4=0，∴k=3，点A（0，3）．直线m：y=x+3，圆心到直线的距离d==，∴直线m被圆C所截得的弦长为2=．故选：C．6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆，明确其半径求面积．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，设截面的圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆的面积为πh2；故选B．7．函数f（x）=•cosx的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．【解答】解：f（﹣x）=•cos（﹣x）=•cosx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，故选：C8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A．ac＞bc B．a c＞b cC．log a（a﹣c）＞log b（b﹣c） D．＞【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质求出a（b﹣c）＞b（a﹣c）以及a﹣c＞b﹣c＞0，从而求出答案．【解答】解：∵a＞b＞0，c＜0，﹣c＞0，∴a﹣c＞b﹣c＞0，ac＜bc，故a（b﹣c）＞b（a﹣c），故＞，故选：D．9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2018，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．338【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2018这些数中能同时被2和3整除的数的个数i，由于：2018=336×6+1，故程序框图输出的i的值为336．故选：B．10．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，∴，∴e==2，故选B．11．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积．【解答】解：由题意，球心与B的距离为=，B到平面ACB1的距离为=，球的半径为1，球心到平面ACB1的距离为﹣=，∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=，∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=，故选A．12．已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导数，确定函数的单调性，可得x=2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，即可得出结论．【解答】解：由题意，f′（x）=，∴x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，∴，∴λ＞e+，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=5．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x+6=0，解得x=﹣6．∴=（﹣5，5）．∴|+|==5．故答案为：5．14．（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为﹣5（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数等于1求得r值，则答案可求．【解答】解：（﹣）5的二项展开式中，通项公式为：=••=（﹣1）r••，T r+1令=1，得r=1；∴二项式（﹣）5的展开式中含x的一次项系数为：﹣1•=﹣5．故答案为：﹣5．15．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=3．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，得到角点坐标．利用k与0的大小，分类讨论，结合目标函数的最值求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组的可行域如图：得：A（1，3），B（1，﹣2），C（4，0）．①当k=0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，不满足题意．②当k＞0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y 过C（4，0）时，Z取得最大值12．当直线z=kx﹣y过A（3，1）时，Z取得最小值0．可得k=3，满足题意．③当k＜0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y 过C（4，0）时，Z取得最大值12．可得k=﹣3，当直线z=kx﹣y过，B（1，﹣2）时，Z取得最小值0．可得k=﹣2，无解．综上k=3故答案为：3．16．已知数列{a n}满足na n﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1+2对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是[0，+∞）．【考点】数列递推式．【分析】把已知递推式变形，可得数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差，分离参数λ求解．的等差数列，分类求其通项公式，代入a n＜a n+1﹣（n+2）a n=λ（n2+2n）=λn（n+2），【解答】解：由na n+2得，∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，∵a1=1，a2=2，∴当n为奇数时，，∴；当n为偶数时，，∴．，得＜，当n为奇数时，由a n＜a n+1即λ（n﹣1）＞﹣2．若n=1，λ∈R，若n＞1则λ＞，∴λ≥0；当n为偶数时，由a n＜a n，得＜，+1即3nλ＞﹣2，∴λ＞，即λ≥0．综上，λ的取值范围为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C﹣）=1，结合C的范围，可得C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式可求△ABC 面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a=csinA﹣acosC，∴由正弦定理可得：2sinA=sinCsinA﹣sinAcosC，…2分∵sinA≠0，∴可得：2=sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣）=1，∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），∴C﹣=，可得：C=．…6分（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a 时取等号）…8分∴S △ABC =absinC=ab ≤，可得△ABC 面积的最大值为．…12分18．如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC相交于点G ，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB ．（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）若AE 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接EG ，由四边形ABCD 为菱形，可得AD=AB ，BD ⊥AC ，DG=GB ，可证△EAD ≌△EAB ，进一步证明BD ⊥平面ACEF ，则平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）法一、过G 作EF 的垂线，垂足为M ，连接MB ，MG ，MD ，可得∠EAC 为AE 与面ABCD 所成的角，得到EF ⊥平面BDM ，可得∠DMB 为二面角B ﹣EF ﹣D 的平面角，在△DMB 中，由余弦定理求得∠BMD 的余弦值，进一步得到二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值；法二、在平面ABCD 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点，由（1）可知，平面ACEF ⊥平面ABCD ，得MG ⊥平面ABCD ，则直线GM 、GA 、GB 两两互相垂直，分别以GA 、GB 、GM 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系G ﹣xyz ，分别求出平面BEF 与平面DEF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值． 【解答】（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，BD ⊥AC ，DG=GB ， 在△EAD 和△EAB 中，AD=AB ，AE=AE ，∠EAD=∠EAB ， ∴△EAD ≌△EAB ，∴ED=EB，则BD⊥EG，又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF，∵BD⊂平面ABCD，∴平面ACEF⊥平面ABCD；（2）解法一：过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，∵EF⊥GM，EF⊥BD，∴EF⊥平面BDM，∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，可求得MG=，DM=BM=，在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD=，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为；解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，∵MG⊥平面ABCD，∴直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，则D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（），F（），，，设平面BEF的一个法向量为，则，取z=2，可得平面BEF的一个法向量为，同理可求得平面DEF的一个法向量为，∴cos＜＞==，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为．19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=．（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．20．已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于n2，求n的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意求得a，直线A2B2的方程为，利用点到直线的距离公式，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由△=0，求得m和n的关系，利用三角形的面积公式，求得m的取值范围，代入即可求得n的取值范围．【解答】解：（1）由题意知2a=4，所以a=2，所以A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），则直线A2B2的方程为，即bx+2y﹣2b=0，所以=，解得b2=3，故椭圆C的方程为；（2）由题意，可设直线l的方程为x=my+n，m≠0，联立，消去x得（3m2+4）y2+6mny+3（n2﹣4）=0，（*）由直线l与椭圆C相切，得△=（6mn）2﹣4×3×（3m2+4）（n2﹣4）=0，化简得3m2﹣n2+4=0，设点H（mt+n，t），由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），则•=﹣1，解得：t=﹣，所以△F1HN的面积=（n+1）丨﹣丨=，代入3m2﹣n2+4=0，消去n化简得=丨m丨，所以丨m丨≥n2=（3m2+4），解得≤丨m丨≤2，即≤m2≤4，从而≤≤4，又n＞0，所以≤n≤4，故n的取值范围为[，4]．21．已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（e﹣2）和f（e﹣2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出λ的值即可；（3）记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，求出h（x）的最小值，得到a=﹣1=f（x2）≥x2﹣1，得到|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣，从而证出结论．【解答】解（1）对函数f（x）求导得f′（x）=lnx+1，∴f′（e﹣2）=lne﹣2+1=﹣1，又f（e﹣2）=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2，∴曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程为y﹣（﹣2e﹣2）=﹣（x﹣e﹣2），即y=﹣x﹣e﹣2；（2）记g（x）=f（x）﹣λ（x﹣1）=xlnx﹣λ（x﹣1），其中x＞0，由题意知g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，下面求函数g（x）的最小值，对g（x）求导得g′（x）=lnx+1﹣λ，令g′（x）=0，得x=eλ﹣1，当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：∴g（x）min=g（x）极小值=g（eλ﹣1）=（λ﹣1）eλ﹣1﹣λ（eλ﹣1﹣1）=λ﹣eλ﹣1，∴λ﹣eλ﹣1≥0，记G（λ）=λ﹣eλ﹣1，则G′（λ）=1﹣eλ﹣1，令G′（λ）=0，得λ=1，当λ变化时，G′（λ），G（λ）变化情况列表如下：∴G（λ）max=G（λ）极大值=G（1）=0，故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号，又λ﹣eλ﹣1≥0，从而得到λ=1；（3）先证f（x）≥﹣x﹣e﹣2，记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，则h′（x）=lnx+2，令h′（x）=0，得x=e﹣2，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况列表如下：∴h（x）min=h（x）极小值=h（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2+e﹣2=0，h（x）≥0恒成立，即f（x）≥﹣x﹣e﹣2，记直线y=﹣x﹣e﹣2，y=x﹣1分别与y=a交于（，a），（，a），不妨设x1＜x2，则a=﹣﹣e﹣2=f（x1）≥﹣x1﹣e﹣2，从而＜x1，当且仅当a=﹣2e﹣2时取等号，由（2）知，f（x）≥x﹣1，则a=﹣1=f（x2）≥x2﹣1，从而x2≤，当且仅当a=0时取等号，故|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣=（a+1）﹣（﹣a﹣e﹣2）=2a+1+e﹣2，因等号成立的条件不能同时满足，故|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证： +为定值，并求出这个定值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）将点P（1，），代入曲线E的方程，求出a2=3，可得曲线E 的普通方程，即可求曲线E的极坐标方程；（2）利用点的极坐标，代入极坐标方程，化简，即可证明结论．【解答】解：（1）将点P（1，），代入曲线E的方程：，解得a2=3，所以曲线E的普通方程为=1，极坐标方程为=1；（2）不妨设点A，B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B（ρ2，），则代入曲线E 的极坐标方程，可得+==，即+为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）=|x +a |，g （x ）=|x +3|﹣x ，记关于x 的不等式f （x ）＜g （x ）的解集为M ．（1）若a ﹣3∈M ，求实数a 的取值范围； （2）若[﹣1，1]⊆M ，求实数a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）将x=a ﹣3代入不等式，解关于a 的不等式即可；（2）得到|x +a |＜3恒成立，即﹣3﹣x ＜a ＜3﹣x ，当x ∈[﹣1，1]时恒成立，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）依题意有：|2a ﹣3|＜|a |﹣（a ﹣3），若a ≥，则2a ﹣3＜3，∴≤a ＜3，若0≤a ＜，则3﹣2a ＜3，∴0＜a ＜， 若a ≤0，则3﹣2a ＜﹣a ﹣（a ﹣3），无解， 综上所述，a 的取值范围为（0，3）；（2）由题意可知，当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＜g （x ）恒成立， ∴|x +a |＜3恒成立，即﹣3﹣x ＜a ＜3﹣x ，当x ∈[﹣1，1]时恒成立， ∴﹣2＜a ＜2．2018年3月19日。