2018年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
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2018年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}
2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()
A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣3
3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()
A.B.C.D.
4.等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b,则=()
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
5.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A (0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()
A. B.C.D.2
6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()
A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h)2
7.函数f(x)=•cosx的图象大致是()
A.B.
C.D.
8.已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是()
A.ac>bc B.a c>b c
C.log a(a﹣c)>log b(b﹣c) D.>
9.执行如图所示的程序框图,若输入p=2018,则输出i的值为()
A.335 B.336 C.337 D.338
10.已知F是双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作E的一
条渐近线的垂线,垂足为P,线段PF与E相交于点Q,记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是()
A.B.2 C.3 D.4
11.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()
A.B.C.D.
12.已知函数f(x)=,x≠0,e为自然对数的底数,关于x的方程+
﹣λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()
A.(0,)B.(2,+∞)C.(e+,+∞)D.(+,+∞)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=.
14.(﹣)5的二项展开式中,含x的一次项的系数为(用数字作答).
15.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,
最小值为0,则实数k=.
16.已知数列{a n}满足na n
﹣(n+2)a n=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若a n<a n+1
+2
对∀n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a=csinA﹣acosC.(1)求C;
(2)若c=,求△ABC的面积S的最大值.
18.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC
相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.
(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;
(2)若AE与平面ABCD所成角为60°,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.
(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户
的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;
(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.
20.已成椭圆C: +=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1、A2,上下顶点
分别为B2/B1,左右焦点分别为F1、F2,其中长轴长为4,且圆O:x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点
F2在l上的射影为H,若△F1HN的面积不小于n2,求n的取值范围.21.已知函数f(x)=xlnx,e为自然对数的底数.
(1)求曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程;
(2)关于x的不等式f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数λ的值;(3)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1,x2,求证:|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系中xOy中,已知曲线E经过点P(1,),其参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线E的极坐标方程;
(2)若直线l交E于点A、B,且OA⊥OB,求证: +为定值,