第二十二章 曲面积分

第二十二章 曲面积分

§1 第一型曲面积分

教学目的 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 第一型曲面积分的定义和计算公式．

(1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．

(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学建议

(1) 要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式． (2) 对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学程序

背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一、第一型曲面积分的概念与性质

定义 设S 为空间上可求面积的曲面块，()z y x f ,,为定义在S 上的函数．对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个可求面积的小曲面i S （n i ,,2,1Λ=），i S 的面积记为i S ∆，分割T 的细度为

{}

的直径i n

i S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点()i i i ζηξ,,（n i ,,2,1Λ=）．若有极限

()∑=→∆n

i i

i

i

i

T S

f 1

,,lim

ζηξ=J ，

且J 的值与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为()z y x f ,,在S 上的第一型曲面积分，记作

()dS

z y x f S

⎰⎰,, . （1）

第一型曲面积分的性质

(1)线性性:设c

fds ⎰⎰,c

gds ⎰⎰存在,R ∈βα., 则ds f f c

)(⎰⎰

+βα存在,且

()c c

c

f

f ds fds gds αβαβ+=+⎰⎰⎰⎰

⎰⎰.

(2)可加性:设s

fds ⎰⎰

存在,,21s s s ⋃=则1

2

,s s fds fds ⎰

⎰

⎰⎰

存在,

⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰+=2

1

s s s

fds fds fds ；反之亦然.

二、第一型曲面积分的计算

定理22.1设有光滑曲面S ：()()D y x y x z z ∈=,,， ()z y x f ,,为定义在S 上的连续函数，

则

()dS

z y x f S

⎰⎰

,,=

()()⎰⎰

++D

y x dxdy

f f y x z y x f 221,,,.

证 略

例1 计算⎰⎰S

z dS ，其中S 是球面2

222a z y x =++被平面h z =()a h <<0所截的顶部.

解 S ：

()(){

}2

222222,,,h a y x y x D y x y x a z -≤+=∈--=，

2222

21y x a a

z z y x --=

++，

⎰⎰S

z dS =⎰⎰

--D dxdy y x a a

222=rdr r a a

d h a ⎰⎰

--π

θ20

2

22

2=

dr r a r

a h a ⎰

--2

20

2

22π

=

()

0ln 2

22

2

h a r

a a ---π=

h

a a ln 2π.

作业 P2821;2;3;4.

§2 第二型曲面积分

教学目的 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．

(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式．

(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系． 教学建议

(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．

(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握． 教学程序

曲面的侧 双侧曲面的概念、曲面的侧的概念

背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一、第二型曲面积分的概念与性质

定义 设函数P ，Q ，R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S

分成n 个小曲面n S S S ,,21Λ（n i ,,2,1Λ=），分割T 的细度{}的直径i n i S T ≤≤=1max ，以yz i S ∆，zx i S ∆，

xy

i S ∆分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如i S 的法线正

向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积

xy

i S ∆为正，反之，如i S 的法线正向与

z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为负（n i ,,2,1Λ=）．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限

()∑=→∆n

i i i

i

i

T yz

S

P 1

,,lim

ζηξ+

()∑=→∆n

i i i

i

i

T zx

S

Q 1

,,lim

ζηξ+

()∑=→∆n

i i i

i

i

T xy

S

R 1

,,lim

ζηξ

存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数P ，Q ，R d 曲面S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为

()()()⎰⎰++S

dxdy

z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,， (1)

上述积分(1)也可写作

()⎰⎰S

dydz z y x P ,,+

()⎰⎰S

dzdx z y x Q ,,+

()⎰⎰S

dxdy

z y x R ,,.

第二型曲面积分的性质

(1)若

⎰⎰++S

i

i

i

dxdy

R dzdx Q dydz P （n i ,,2,1Λ=）都存在，i c （n i ,,2,1Λ=），为常数，则有

dxdy R c dzdz Q c dydz P c n i i i n i i i S n i i i ⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111

=

∑⎰⎰=++n

i S

i

i

i

i

dxdy

R dzdx Q dydz p c 1

.