2020-2021学年九年级数学(学案)一元二次方程的解
23.2一元二次方程解法学案-2021-2022学年华师大版数学九年级上册
23.2 一元二次方程解法第五课时 四种解法的灵活运用一、双基整合 步步为营1、“____”是解一元二次方程的基本指导思想。
2、一元二次方程的基本解法有_______、_______、____________和____________。
3、方程x 2+2x-3=0的解是________________。
4、解下列方程（1）16x 2-25=0 （2）x 2+49=14x （3）x 2+4x-5=0 （4）3x 2-10x+6=0二、铸就能力 拓广探索5、解方程x 2＋3x －10=0。
6、已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12+-x x 的值为___。
7、方程031322=--x x 的根是________________。
8、关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a （1－a ）＝0有两个不相等的正根，则可取值为 （只要填写一个可能的数值即可）．9、在下列方程中，有实数根的是（ ）A 、2310x x ++=B 1=-C 、2230x x ++=D 、111x x x =-- 三、智能升级 链接中考10、一元二次方程2230x x --=的两个根分别为( )．A 、x l =1，x 2=3B 、x l =1，x 2=-3C 、x 1=-1，x 2=3D 、x I =-1， x 2=-311、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）A.8B.10C.8或10D.不能确定12、已知关于x 的方程2210x kx -+=的一个解与方程2141x x+=-的解相同。
①求k 的值；②求方程2210x kx -+=的另一个解。
13、已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2－(2k+3)x+k 2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC 的长为5. 试问：k 取何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形?第五课时 四种解法的灵活运用参考答案一、双基整合 步步为营1、降次；2、直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法；3、-3和1。
一元二次方程的解法三
九年级上期数学复习学案---一元二次方程的解法（三）知识点归纳：因式分解法求解一元二次方程。
重难点：1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．考点：因式分解法求解一元二次方程因式分解法定义： 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 例题讲解：例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3． (3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0； (3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．对应练习：1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；(3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12；(6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)； (6)(3－y)2＋y2＝9；拓展练习1、已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值2、已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．。
初中数学学案全集之一元二次方程第2课时学案
17.1一元二次方程（第2课时）-学案六安皋城中学 李刚学习目标1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题。
2.提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解。
3.由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题。
学习重点判定一个数是否是一元二次方程的根； 学习难点由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
学习过程 一、学前准备 1.什么是一元二次方程？2.什么是方程的解？什么是一元一次方程的解？二、探索思考：1.一长方形的长比宽大1，面积为56，设长为x,则可列方程为 下列哪个值是这个方程的解了？列表：2.同样方程04472=-+x x 即4472=+x x 的解又是哪个值了？列表：三、合作交流1.（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？2. 叫作一元二次方程的解，也叫做 。
四、归纳总结通过本节课的学习，你学到了哪些知识？与同学交流一下。
五、当堂训练1.下面哪些数是方程0121022=++x x 的根？ –4，–3，–2，–1，0，1，2，3，4．2.若1=x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根,求代数式)(2007c b a ++的值。
……3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）0362=-x （2）0942=-x4.要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，这块铁片应该怎样剪？设长为x cm ，则宽为)5(-x cm列方程150)5(=-x x ，即015052=--x x 请根据列方程回答以下问题：（1）x 可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由． （2）完成下表：…（3）你知道铁片的长x 是多少吗？六、学习反思（1）一元二次方程解的定义：（2）如何判断一个数是否是一元二次方程的根？（3）如何运用一元二次方程的解？七、作业布置1．教材P 22 习题17.1 第3题2．练习:关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根为0, 则求a 的值。
人教版初中数学九年级第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程学案(1)
一元二次方程应用利用一元二次方程可以：一、一元二次方程主要是解决实际问题：主要解决：1、传播、分支问题；握手、写信，循环比赛问题；2、平均变化率问题；3、数字问题；4、利润问题；5、图形的面积问题；5、利润问题；6、方案设计问题等。
二、解分式方程（成平方关系、成倒数关系）三、对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解：一、相互问题（传播、循环）例：（传染问题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？练习：1.有两人患了红眼病，经过两轮传染后共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
列得方程：解得：x=2.某人患了流感,经过两轮传染后共64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人?（2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?3.某电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后就会有144台电脑被感染，设每轮传染中平均一台电脑传染x台电脑，则依题意可列方程为______________-4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( ) A．1331 B．1210 C．1100 D．1000问题2：（分蘖问题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？练习：为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定利用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=______．解：类型二：“握手”、“比赛”、“赠礼物”1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)因式分解法教案
21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x 2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2b a -±（b 2-4ac≥0）.2.什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b),a²±2ab+b²=(a±b)².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x 2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m）为10x -4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0.解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049，=x 20.=x 公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac=(－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()101024.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0.∴x=0或10-4.9x=0,∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0;(2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34.师生共同解答如下：解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12.想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x -2）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1=0.因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0.因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0.于是得3x－2=0或2x+1=0，x1=23，x2=12 .⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2∴x12.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28..∴x1，x2.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x2×3＝2±7 3.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0.∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0.∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2)5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2.解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝2D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3.若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。
九年级数学下册 2.5.2 二次函数与一元二次方程教案 北师大版(2021学年)
九年级数学下册２．５.2 二次函数与一元二次方程教案(新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册２.5.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课题：2。
5．2二次函数与一元二次方程教学目标:1.复习巩固用函数y＝ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c＝0的解.2.让学生体验一元二次方程ax2+bx+c＝h的根就是二次函数y=ax2+ｂx＋ｃ与直线y=h （h是实数)图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2+bx+c =h的近似根.３.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想。
教学重点与难点:重点：1。
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程。
难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算。
教学过程:一、复习回顾，开辟道路二次函数ｙ=ａx２+ｂx＋ｃ的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程aｘ2+ｂx+c＝0的根有什么关系?1.若方程ax2+bｘ+c＝0的根为ｘ1=-2和x2=3,则二次函数ｙ=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是.2．抛物线ｙ=０。
5ｘ２—x+3与x轴的交点情况是（)A 、两个交点B 、一个交点 Ｃ、没有交点 D 、画出图象后才能说明3.不画图象,求抛物线y ＝x ２—x -６与x 轴交点坐标．处理方式:以问题的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题,在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定,不足之处给予纠正.设计意图:这一环节属于课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来.问题（1)(2）是对上节课知识内容的复习,考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确。
2020-2021学年最新青岛版五四制九年级数学上册《用因式分解法解一元二次方程》教学设计-精编教案
活动二、巩固练习（A层）：
用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）16x2+10x=0 （2）9x2=25
（3）4x2-4x+1=0 (4)2x2+5x-3=0
与学生一起归纳：
１、由第（２）小题看出应该先通过移项把右边变为０
再次规范步骤是：
１移（移项，使右边为０）
２分（左边分解因式）
３拆（拆成两个一元一次方程）
４解（解这两个一元一次方程）
２、引导学生分析第（３）小题为什么是x1＝x2（用乘方的意义来解决）
活动３、抢答活动
把温故知新中的第一题后面加上等于０，变成方程，让学生抢答各方程的解。
（1）3x2+x＝０
(2)4x2-81＝０
(3)m2-6m+9 ＝０
（4)y2-8y+7＝０
教学难点
理解用因式分解法解一元二次方程的思想及方法.
教法
采用洋思教法，指导学生自主探索、交流．
学法
自主探索交流法
教学
准备
多媒体课件
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情境
二、新课
学
习
与
巩
固
练
习
三、知识应用
四、课堂
小
结
5、当堂
达
标
6、课后
作
业
温故知新
1.将下列多项式因式分解：
（1）3x2+x (2)4x2-81 (3)m2-6m+9 (4)y2-8y+7
找两名同学板书过程，从而发现其中的错误或好的解法（不唯一）
活动６、挑战自我：
九年级数学上册第章一元二次方程解一元二次方程配方法学案新人教
21.2.1 解一元二次方程——配方法一、温故知新 1.解方程：(1)(x －2)2－9＝0；(2) x 2－6x+9=52.我们把形如222b ab a ++或222b ab a +-的二次三项式称为完全平方．．．．式．.已知下列各式均为完全平方式，请填空：（1）x 2+ 6x+ =(x+3)2（2）x 2-12x+ =(x- )2二、设问导读问题1: 怎样解方程x 2+6x+4=0?自学课本6页7页内容，可尝试独立完成框图问题2：典例解下列方程： （1）0182=+-x x(2）x x 3122=+（3）04632=+-x x归纳1：配方法解一元二次方程的步骤： 归纳2：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n )²=p 的形式，那么就有： （1）当p>0时，方程有________实数根； （2）当p=0时，方程有________实数根； （3）当p>0时，方程________ ___.三、巩固训练1.用配方法解下列方程(1) 09102=++x x(2)0472=--x x(3) 04632=-+x x（4）112942-=-+x x x（5） 128)4(+=+x x x2..用配方法解下列方程时，配方正确的是( )A．方程x2－6x－5＝0，可化为(x－3)2＝4B．方程y2－2y－5＝0，可化为(y－1)2＝5C．方程a2＋8a＋9＝0，可化为(a＋4)2＝25D．方程2x2－6x－7＝0，可化为(x－32)2＝2343.把一元二次方程x2－6x ＋4＝0化成(x＋n)2＝m的形式时，m＋n的值为( )A．8 B．6 C．3 D．24．若方程4x2－(m－2)x＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m等于(B)A．－2 B．－或6C．－2或－6 D．2或－6四、拓展延伸当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则-a b 的值为（ ） A ．1 B ．3C ．14-D ．74【答案】D【解析】先解方程组求出74x y -=，再将,,x a y b =⎧⎨=⎩代入式中，可得解. 【详解】解：3,354,x y x y +=⎧⎨-=⎩①②+①②，得447x y -=，所以74x y -=，因为,,x a y b =⎧⎨=⎩所以74x y a b -=-=. 故选D. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b 的值，本题属于基础题型．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个【答案】B【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B ．3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cmC ．13cm ，12cm ，20cmD ．5cm ，5cm ，11cm 【答案】C【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】A 、3+4＜8，不能组成三角形； B 、8+7＝15，不能组成三角形； C 、13+12＞20，能够组成三角形； D 、5+5＜11，不能组成三角形． 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是灵活运用三角形三边关系.4．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（ ）A ．b 2＞4acB ．ax 2+bx+c≤6C ．若点（2，m ）（5，n ）在抛物线上，则m ＞nD ．8a+b=0【答案】C【解析】观察可得，抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac- ，即24b ac > ，选项A 正确；抛物线开口向下且顶点为（4，6）可得抛物线的最大值为6，即26ax bx c ++≤，选项B 正确；由题意可知抛物线的对称轴为x=4，因为4-2=2，5-4=1，且1<2，所以可得m<n ，选项C 错误； 因对称轴42bx a=-= ，即可得8a+b=0，选项D 正确，故选C. 点睛：本题主要考查了二次函数y=ax 2+bx+c 图象与系数的关系，解决本题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合思想解决问题，本题难度适中． 5．如图，已知11(,)3A y ，2(3,)B y 为反比例函数1y x=图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．1(,0)3B ．4(,0)3C ．8(,0)3【答案】D【解析】求出AB 的坐标，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB ，延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可． 【详解】把11(,)3A y ，2(3,)B y 代入反比例函数1y x =，得：13y =，213y =， 11(,3),(3,)33A B ∴，在ABP ∆中，由三角形的三边关系定理得：AP BP AB -<，∴延长AB 交x 轴于P'，当P 在P'点时，PA PB AB -=，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大， 设直线AB 的解析式是y kx b =+，把A ，B 的坐标代入得：133133k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：101,3k b =-=， 1215x ->∴直线AB 的解析式是103y x =-+，当0y =时，103x =，即10(,0)3P ，故选D. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度．6．如图，某小区计划在一块长为31m ，宽为10m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 1．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（31﹣1x ）（10﹣x ）=570B ．31x+1C ．（31﹣x ）（10﹣x ）=31×10﹣570D ．31x+1【答案】A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570， 故选A.7．﹣3的绝对值是（ ） A ．﹣3 B ．3C ．-13【答案】B【解析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-1|=1． 故选B ． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.8．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ） A ．6折 B ．7折C ．8折D ．9折【答案】B【解析】设可打x 折，则有1200×10x-800≥800×5%，解得x≥1． 即最多打1折． 故选B ． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．9．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a ，b ，c ，d 之间关系的式子中不正确的是( )A ．a ﹣d ＝b ﹣cB ．a+c+2＝b+dC ．a+b+1【答案】A 【解析】观察日历中的数据，用含a 的代数式表示出b ，c ，d 的值，再将其逐一代入四个选项中，即可得出结论．【详解】解：依题意，得：b ＝a+1，c ＝a+7，d ＝a+1．A 、∵a ﹣d ＝a ﹣(a+1)＝﹣1，b ﹣c ＝a+1﹣(a+7)＝﹣6，∴a ﹣d≠b ﹣c ，选项A 符合题意； B 、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d ＝a+1+(a+1)＝2a+9，∴a+c+2＝b+d ，选项B 不符合题意； C 、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d ＝a+7+(a+1)＝2a+15，∴a+b+14＝c+d ，选项C 不符合题意； D 、∵a+d ＝a+(a+1)＝2a+1，b+c ＝a+1+(a+7)＝2a+1，∴a+d ＝b+c ，选项D 不符合题意． 故选：A ． 【点睛】考查了列代数式，利用含a 的代数式表示出b，c，d是解题的关键．10．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．AD AB AB BC=【答案】D【解析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴AC ABAB AD=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选D．【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．二、填空题（本题包括8个小题）11．农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：种子数量100 200501000200A出芽种子数96 1654919841965 发芽率0.960.830.980.980.98B出芽种子数96 1924869771946 发芽率0.960.960.970.980.97下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98；③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是__________（只填序号）．【答案】②③【解析】分析：根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.详解：（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理；（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的；（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说法是合理的.故答案为：②③.点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键. 12．已知关于x，y的二元一次方程组2321x y kx y+=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则k的值是_________．【答案】－1【解析】∵关于x，y的二元一次方程组23{+2=1①②+=-x y kx y的解互为相反数，∴x=-y③，把③代入②得：-y+2y=-1，解得y=-1，所以x=1，把x=1，y=-1代入①得2-3=k，即k=-1.故答案为-113．⊙O的半径为10cm，AB,CD是⊙O 的两条弦，且AB∥CD，AB=16cm,CD=12cm．则AB与CD之间的距离是cm．【答案】2或14【解析】分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.【详解】①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF−OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm.∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm. 故答案为：2或14.14．不等式组2012xxx-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩的最大整数解是__________. 【答案】2【解析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．【详解】解：2012xxx-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，由不等式①得x≤1，由不等式②得x＞-1，其解集是-1＜x≤1，所以整数解为0，1，1，则该不等式组的最大整数解是x=1．故答案为：1．【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15．如图，直线y＝x＋2与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限交于点P.若OP＝10，则k的值为________．【答案】1【解析】设点P（m，m+2），∵OP=10，∴()222m m ++ =10，解得m 1=1，m 2=﹣1（不合题意舍去）， ∴点P （1，1）， ∴1=1k，解得k=1．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，仔细审题，能够求得点P 的坐标是解题的关键．16．分解因式：a 3－a= 【答案】(1)(1)a a a -+【解析】a 3－a=a(a 2-1)=(1)(1)a a a -+ 17．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x≥0）与y 2=23x （x≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB=______．【答案】3﹣3【解析】首先设点B 的横坐标，由点B 在抛物线y 1=x 2（x≥0）上，得出点B 的坐标，再由平行，得出A 和C 的坐标，然后由CD 平行于y 轴，得出D 的坐标，再由DE ∥AC ，得出E 的坐标，即可得出DE 和AB ，进而得解.【详解】设点B 的横坐标为a ，则()2,B a a∵平行于x 轴的直线AC ∴()()220,,3,A aC a a又∵CD 平行于y 轴 ∴()23,3Da a又∵DE ∥AC∴()23,3E a a∴()33,DE a AB a =-= ∴DEAB=3﹣3 【点睛】此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质.18．已知A （0,3），B （2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.【答案】（1,4）.【解析】试题分析：把A （0,3），B （2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.考点：抛物线的顶点.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E 应建在离A站多少千米的地方？【答案】20千米【解析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中利用斜边相等两次利用勾股定理得到AD2+AE2=BE2+BC2，设AE为x，则BE=10﹣x，将DA=8，CB=2代入关系式即可求得．【详解】解：设基地E应建在离A站x千米的地方．则BE=（50﹣x）千米在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2∴302+x2=DE2在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2∴202+（50﹣x）2=CE2又∵C、D两村到E点的距离相等．∴DE=CE∴DE2=CE2∴302+x2=202+（50﹣x）2解得x=20∴基地E应建在离A站20千米的地方．考点：勾股定理的应用．20．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部a 85b s初中2高中部85 c 100 160（1）根据图示计算出a、b、c的值；结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．【答案】（1）85,85,80; （2）初中部决赛成绩较好；（3）初中代表队选手成绩比较稳定．【解析】分析:（1）根据成绩表，结合平均数、众数、中位数的计算方法进行解答；（2）比较初中部、高中部的平均数和中位数，结合比较结果得出结论；（3）利用方差的计算公式，求出初中部的方差，结合方差的意义判断哪个代表队选手的成绩较为稳定.【详解】详解: （1）初中5名选手的平均分75808585100a855++++==，众数b=85，高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好；（3）222 2+++=5S初中（75-85）（80-85）（85-85）（85-85 =70，∵22S S初中高中＜，∴初中代表队选手成绩比较稳定．【点睛】本题是一道有关条形统计图、平均数、众数、中位数、方差的统计类题目，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念及计算方法是解题的关键.21．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．【答案】这种测量方法可行，旗杆的高为21.1米．【解析】分析：根据已知得出过F作FG⊥AB于G，交CE于H，利用相似三角形的判定得出△AGF∽△EHF，再利用相似三角形的性质得出即可．详解：这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高AB=x．过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）．所以△AGF∽△EHF．因为FD=1.1，GF=27+3=30，HF=3，所以EH=3.1﹣1.1=2，AG=x﹣1.1．由△AGF∽△EHF，得AG GF EH HF=，即1.530 23x-=，所以x﹣1.1=20，解得x=21.1（米）答：旗杆的高为21.1米．点睛：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△AGF∽△EHF是解题关键．22．现有一次函数y＝mx+n和二次函数y ＝mx2+nx+1，其中m≠0，若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．若一次函数y ＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a 的取值范围．若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h ＜1，请求出m的取值范围．【答案】（1）y＝x﹣2，y=12-x2+32+1；（2）a＜12；（3）m＜﹣2或m＞1．【解析】（1）直接将点代入函数解析式，用待定系数法即可求解函数解析式；（2）点（2，1）代入一次函数解析式，得到n＝−2m，利用m与n的关系能求出二次函数对称轴x＝1，由一次函数经过一、三象限可得m＞1，确定二次函数开口向上，此时当y1＞y2，只需让a到对称轴的距离比a＋1到对称轴的距离大即可求a的范围．（3）将A （h ，k ）分别代入两个二次函数解析式，再结合对称抽得h ＝n2m-，将得到的三个关系联立即可得到11h m =-+，再由题中已知−1＜h ＜1，利用h 的范围求出m 的范围．【详解】（1）将点（2，1），（3，1），代入一次函数y ＝mx+n 中，0213m nm n =+⎧⎨=+⎩， 解得12m n =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式是y ＝x ﹣2， 再将点（2，1），（3，1），代入二次函数y ＝mx 2+nx+1，04211931m n m n =++⎧⎨=++⎩， 解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴二次函数的解析式是213122y x =-++．（2）∵一次函数y ＝mx+n 经过点（2，1）， ∴n ＝﹣2m ，∵二次函数y ＝mx 2+nx+1的对称轴是x ＝n 2m-， ∴对称轴为x ＝1，又∵一次函数y ＝mx+n 图象经过第一、三象限， ∴m ＞1， ∵y 1＞y 2， ∴1﹣a ＞1+a ﹣1， ∴a ＜12． （3）∵y ＝mx 2+nx+1的顶点坐标为A （h ，k ），∴k ＝mh 2+nh+1，且h ＝n 2m-， 又∵二次函数y ＝x 2+x+1也经过A 点， ∴k ＝h 2+h+1， ∴mh 2+nh+1＝h 2+h+1， ∴11h m =-+， 又∵﹣1＜h ＜1， ∴m ＜﹣2或m ＞1． 【点睛】本题考点：点与函数的关系；二次函数的对称轴与函数值关系；待定系数法求函数解析式；不等式的解法；数形结合思想是解决二次函数问题的有效方法．23．观察下列等式：第1个等式：a 1=， 第2个等式：a 2=， 第3个等式：a 3第4个等式：a 4=-2，…按上述规律,回答以下问题：请写出第n 个等式：a n =__________.a 1+a 2+a 3+…+a n =_________.【答案】（1）n a =（2）1．【解析】（1）根据题意可知，1 1a ==，2a ==32a ==-42a ==，…由此得出第n个等式：a n=（2）将每一个等式化简即可求得答案． 【详解】解：（1）∵第1个等式：11a ==，第2个等式：2a ==第3个等式：32a == 第4个等式：42a ==，∴第n 个等式：a n=（2）a 1+a 2+a 3+…+a n =（)()(+++++n+11．=11n+-．【点睛】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．24．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F 在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．求证：∠ACF=∠ABD；连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）先根据CG2=GE•GD得出CG GDGE CG=，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故FG EGBG CG=．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．试题解析：（1）∵CG2=GE•GD，∴CG GDGE CG=．又∵∠CGD=∠EGC，∴△GCD∽△GEC，∴∠GDC=∠GCE．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∴∠ACF=∠ABD．（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，∴△BGF∽△CGE，∴FG EGBG CG=．又∵∠FGE=∠BGC，∴△FGE∽△BGC，∴FE EGBC CG=，∴FE•CG=EG•CB．考点：相似三角形的判定与性质．25．解不等式组22(4)113x xxx-≤+⎧⎪-⎨+⎪⎩＜，并写出该不等式组的最大整数解．【答案】﹣2，﹣1，0【解析】分析：先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．本题解析：()224113x xxx⎧-≤+⎪⎨-<+⎪⎩①②，解不等式①得，x≥−2，解不等式②得，x<1，∴不等式组的解集为−2≤x<1.∴不等式组的最大整数解为x=0， 26．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，O 为BC 边上一点，以OC 为半径的圆O ，交AB 于D 点，且AD=AC ，延长DO 交圆O 于E 点，连接AE.求证：DE ⊥AB ；若DB=4，BC=8，求AE 的长.【答案】（1）详见解析；（2）62 【解析】（1）连接CD ，证明90ODC ADC ∠+∠=︒即可得到结论；（2）设圆O 的半径为r ，在Rt △BDO 中，运用勾股定理即可求出结论. 【详解】（1）证明：连接CD,∵O D O C =∴O D C O CD ∠=∠ ∵AD AC =∴ADC ACD ∠=∠90,90,OCD ACD ODC ADC DE AB∠+∠=︒∴∠+∠=∴⊥.（2）设圆O 的半径为r ，()2224+8,3r r r ∴=-∴=，设()22222,84,6,6+662AD AC x x x x AE ==∴+=+∴=∴. 【点睛】本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用．综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列计算正确的是A．a2·a2＝2a4B．(－a2)3＝－a6C．3a2－6a2＝3a2D．(a－2)2＝a2－4 【答案】B【解析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得.【详解】A. a2·a2＝a4，故A选项错误；B. (－a2)3＝－a6，正确；C. 3a2－6a2＝-3a2，故C选项错误；D. (a－2)2＝a2－4a+4，故D选项错误，故选B.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 2．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．3．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )A ．55B ．255C ．12D ．2【答案】A【解析】解：在直角△ABD 中，BD=2，AD=4，则AB=22222425BD AD +=+=，则cosB=25525BD AB ==． 故选A ．4．把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3 C ．a=-2，b=3 D ．a=2，b=-3 【答案】B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a 、b 即可. 详解：（x+1）（x-3） =x 2-3x+x-3 =x 2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B ．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键. 5．如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是( )A ．70°B ．60°C ．55°【答案】A【解析】试题分析：∵AB ∥CD ，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE 的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A ．考点：平行线的性质．6．下列交通标志是中心对称图形的为（ ） A ．B ．C ．【答案】C【解析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A 、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B 、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D、不是中心对称的图形，不合题意．故选C．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．7．下列说法正确的是（）A．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近【答案】D【解析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．【详解】解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示每次抛正面朝上的概率都是12，故B不符合题意；C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故C不符合题意；D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．8．如图，已知D是ABC中的边BC上的一点，BAD C∠=∠，ABC∠的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．△BAC∽△BDA B．△BFA C．△BDF∽△BEC D．△BD 【答案】C【解析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】∵∠BAD=∠C ， ∠B=∠B ，∴△BAC ∽△BDA ．故A 正确． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠CBE ，∴△BFA ∽△BEC ．故B 正确． ∴∠BFA=∠BEC ， ∴∠BFD=∠BEA ，∴△BDF ∽△BAE ．故D 正确．而不能证明△BDF ∽△BEC ，故C 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 9．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣1 B ．m ＜1C ．m ＞﹣1D ．m ＞1【答案】B【解析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m ＞0，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=4-4m ＞0， 解得：m ＜1． 故选B ． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．10．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝41°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝1．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转11°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A 13B 5C ．22【答案】A 【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°． 若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°． 在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3， 由勾股定理得：AD 1=13．故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理. 二、填空题（本题包括8个小题） 11．分解因式：3ax 2﹣3ay 2＝_____． 【答案】3a （x ＋y ）（x －y ）【解析】解：3ax 2-3ay 2=3a （x 2-y 2）=3a （x+y ）（x-y ）． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．12．分解因式：a 3－a= 【答案】(1)(1)a a a -+【解析】a 3－a=a(a 2-1)=(1)(1)a a a -+13．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．【答案】1【解析】画出图形，设菱形的边长为x ，根据勾股定理求出周长即可．【详解】当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm ， 在Rt △ABC 中，由勾股定理：x 2=（8-x ）2+22， 解得：x=174, ∴4x=1，即菱形的最大周长为1cm ． 故答案是：1． 【点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．14．如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n 个图形需_____根火柴棒．【答案】2n+1．【解析】解：根据图形可得出： 当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9；……由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2（n﹣1）=2n+1．故答案为：2n+1．15．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．【答案】2:1【解析】先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．【详解】设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴O为正方形ABCD的中心，∴∠BOC=90°，∵OQ⊥BC，OB=CO，∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，∴OQ=OC×cos45°=22R；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH 为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，∴∠OGF=12∠EGF=30°，∴OH=OG×sin30°=12R，∴OQ：OH=2R）：（12R）2 1，21．【点睛】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x 人，则可列方程为__________．【答案】8374x x -=+【解析】根据每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱，可以列出相应的方程，本题得以解决 【详解】解：由题意可设有x 人, 列出方程：8374xx +﹣＝， 故答案为8374x x +﹣＝． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．17．如图，已知AB ∥CD ，若14AB CD =，则OAOC=_____．【答案】14【解析】利用相似三角形的性质即可解决问题；【详解】∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴14OA AB OC CD ==， 故答案为14．【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．已知点P （2，3）在一次函数y ＝2x －m 的图象上，则m ＝_______． 【答案】1【解析】根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可．【详解】解：∵一次函数y=2x-m 的图象经过点P （2，3）， ∴3=4-m ， 解得m=1， 故答案为：1.【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式．三、解答题（本题包括8个小题）。
2121 一元二次方程的解法(一)配方法-2021-2022学年九年级数学上练(人教版)(解析版)
21.2.1 一元二次方程的解法（一）配方法瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进直接开方法解一元二次方程原理：题型一：直接开方法解一元二次方程原理：【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A ．240x -= B ．2(1)90x --= C ．230x x += D ．22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．【详解】能用直接开平方法求解的是：240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+； 故选C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）． 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ） A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 特别说明：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥． 【详解】∵()20x a +≥，∵0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解题型二：形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．123,3x x ==-D ．12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x 2=9，x =±3，所以x 1=3，x 2=-3． 故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为（ ） A ．14x =，24x =-B ．122x =，222x =-2 若0a则x a =±；表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明：(1)先移项，再开方；(2)形如2x a =的方程不一定有解，需要分情况讨论.C ．10x =，222x =D ．22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：22x =±，即1222,22x x ==-，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【变式2-2】方程x 2＝0的解为（ ） A ．0x = B ．120x x ==C ．无解D ．以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2＝0，∵x 1=x 2=0．故选：B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键． 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．无解D ．12x =，22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解题型三：形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,3x x =-=C ．122,2x x ==-D ．121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解，两根是12,n m n mx x a a-+--==． 特别说明：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用． 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】（1）x 1=43，x 2=23-；【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）2(31)9x -=， 两边开方得：313x -=±， 解得：x 1=43，x 2=23-；【变式5-2】解方程：（1）22(2)180x +-= （2）229(2)4(25)x x -=+ （1）解：22(2)180x +-=， ∵22(2)18x +=， ∵2(2)9x +=， ∵23x +=或23x，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）解：∵9（x -2）2=4 （2x +5）2．∵3（x -2）=2（2x +5）或3（x -2）=-2（2x +5）， 解得x 1=-16，x 2=47-配方法解一元二次方程题型四：用配方法给方程变形【例题3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）用配方法解方程241x x -=时，原方程应变形为（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(2)5x -=【答案】D【分析】移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】解：x 2-4x =1， x 2-4x +4=1+4， ∵（x -2）2=5，4 1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，形如；⑤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当p =0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以原方程无实数根. . 特别说明：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+，12x x n ==-2()0x n +≥故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（ ） A ．2(3)1x += B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：x 2-6x =10，配方得：x 2-6x +9=19，即（x -3）2=19，故选：D ．【变式4-2】（2021·浙江杭州市·八年级期中）一元二次方程2660x x --=经配方可变形为（ ） A ．2(3)10x -= B ．()2642x -=C ．2(6)6x -=D ．2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可．【详解】解：原方程可化为x 2-6x +32-32=6，即（x -3）2=15．故选：D ．【变式4-3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式，则285++=x x m 可配方成（ ） A ．2(5)1x n -+= B ．2()1x n +=C ．2(5)11x n -+=D ．2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成（x -n ）2=6的形式，把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值，再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式． 【详解】解：∵x 2-8x +m =0， ∵x 2-8x =-m ， ∵x 2-8x +16=-m +16，∵（x -4）2=-m +16， 依题意有n =4，-m +16=6， ∵n =4，m =10，∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0， ∵x 2+8x +16=-5+16， ∵（x +4）2=11， 即（x +n ）2=11． 故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型五：配方法解一元二次方程【例题5】（2019·湖北黄冈市·九年级期中）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0．【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1=0， ∵2x 2﹣4x=1，则x 2﹣2x=12， ∵x 2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣∵x 1=22+x 2=22． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】（2018·芜湖市繁昌区第三中学）解方程： 22310x x --=（用配方法）【答案】14x =，24x =；【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.【详解】解：231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】（2018·全国九年级单元测试）x 2－4x ＋2＝0(配方法);【答案】x 1＝2x 2＝2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2－4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】（2019·江苏期中）解方程：x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0，∵x 2+6x=2，则x 2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11， ∵x+3=±11， ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六：配方法用于比较大小【例题6】（2020·福建省永春第五中学九年级期中）已知7115P m =-,2815Q m m =-,（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P=QC ．P ＜QD ．不能确定【答案】C【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解：∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】（2020·四川遂宁市·八年级期中）已知22862M x y x =-+-，29413N x y =++，则M N-5 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．的值 （ ） A ．为正数 B ．为负数C ．为非正数D ．不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-（x -3）2-（y+2）2-2，从而说明M -N 的值为负数． 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-（9x 2+4y+13） =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[（x 2-6x+9）+（y 2+4y+4）+2]=-（x -3）2-（y+2）2-2， ∵M -N 的值为负数，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式6-2】（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N ≥ B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∵M N >.故选C.【变式6-3】（2021·河北九年级专题练习）已知M=29a ﹣1，N=a 2﹣79a （a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=NC ．M ＞ND ．不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵N ＞M ，即M ＜N ，故选A ． 题型七：配方法用于求待定字母的值【例题7】（2018·全国九年级单元测试）已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5-B ．10C ．0D ．5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a 、b 、c 的值，从而得出结论． 【详解】由a 2﹣4b =﹣18，b 2+10c =7，c 2﹣6a =﹣27得：a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0，∵（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c +5）2=0，∵a =3，b =2，c =﹣5，∵a +b +c =0． 故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 变式训练【变式7-1】（2020·江苏南通市·八年级期中）若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方，根据非负数的性质求出x ，y 的值，再代入要求的式子即可得出答案． 【详解】∵x 2＋y 2＋4x−6y ＋13＝0， ∵x 2＋4x ＋4＋y 2−6y ＋9＝0， ∵（x ＋2）2＋（y−3）2＝0，∵x ＝−2，y ＝3， ∵x−y ＝−2−3＝−5； 故选C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是非负数的性质，通过配方求出x ，y 的值是解题的关键． 【变式7-2】（2021·黑龙江大庆市·八年级期末）已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=，246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∵a =3，b =2，c =2，∵此三角形为等腰三角形． 故选A ．【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，4,4n m ∴==.题型八：配方法用于求最值【例题8】（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -≥，即()25y -最小值是0； ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值； （2）求242x x -+的最大值． 【答案】（1）2019；（2）5．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可； 【详解】（1）2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥，∵()2120192019m ++≥，∵222020m m ++的最小值为2019；（2）()2242215x x x x -+=--++()215x =--+，∵()210x -≥， ∵()210x --≤， ∵()2155x --+≤， ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】（2019·辽宁大连市·八年级期末）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方，即可得出答案.【详解】解：22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得： 2.m =± 故选B.【变式8-2】（2020·全国八年级课时练习）不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ） A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>， ∵a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键． 【变式8-3】（2020·山东威海市·八年级期中）若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∵不论a 取何值，x ≤﹣3． 故选D ．【真题1】（2016·湖北荆州市·中考真题）将二次三项式x 2＋4x ＋5化成(x ＋p)2＋q 的形式应为____. 【答案】(x ＋2)2＋1 【详解】试题分析：原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为：()221x ++【真题2】（2010·河北中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】（2010·江苏镇江市·中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】（2020·全国九年级课时练习）解方程：2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：2223mx x -=+， 化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-， 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时，原方程的解是x ==当1m <时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】（2020·渠县崇德实验学校七年级期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∵（x +2）2+1≥1，∵x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再求x ＋y 的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0，∵（x﹣1）2+1＞0，∵x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【拓展3】（2019·全国九年级单元测试）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∵（y+2）2+4≥4，∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．【答案】154；7.【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【详解】解：（1）x2-x+4=（x-12）2+154，∵（x-12）2≥0，∵（x-12）2+154≥154．则x2-x+4的最小值是154；（2）6-2x-x2=-（x+1）2+7，∵-（x+1）2≤0，∵-（x+1）2+7≤7，则6-2x-x2的最大值为7．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。
121 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上(苏科版)(原卷版)
1.2.1 一元二次方程的解法-配方法与直接开平方法【基础知识】一、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．【典例剖析】考点一：直接开平方法及其条件【典例1】．一元二次方程()229x -=的解为（ ）A ．121x x ==-B ．125x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-= 【典例2】．关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ）A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【典例3】．若（a 2+b 2﹣3）2＝25，则a 2+b 2＝（ ）A ．8或﹣2B ．﹣2C ．8D ．2或﹣8 【典例4】．对于方程()2ax b c +=，下列叙述正确的是（ ）A ．不论c 为何值，方程均有实数根B ．方程的根是c b x a-=C ．当0c ≥时，方程可化为ax b +=ax b +=D ．当0c 时，b x a= 【典例5】．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±- 考点二：配方法【典例6】．用配方法解一元二次方程224x x -=，则下列配方正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(22)x +=C ．2(26)x -=D ．2(2)6x +=【典例7】．对于方程210a +-=，下列各配方式中，正确的是（ ）A ．(23a =B ．(23a =C ．(23a -=D ．(23a +=【典例8】．用配方法解方程23620x x -+=，则方程可变形为（ ）A ．()2133x -=B ．()2113x -= C ．()2311x -= D ．()2213x -= 考点三：配方法的应用 【典例9】．已知a 、b 、c 为ABC 的三边长，且a 、b 满足2264130a a b b -+-+=，c 为奇数，则ABC 的周长为______．【典例10】0．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．【典例11】．对于有理数,a b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b ≥时，}{min ,a b b =；当a b ≤时，}{min ,a b a =.若}{22min 13,6413m n m n ---=，则n m 的值等于____．【典例12】．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________． 【过关检测】一、单选题1．方程x 2﹣5＝0的实数解为（ ）A ．x 1x 2B ．x 1＝5，x 2＝﹣5C ．xD ．x22x = ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==3．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（ ）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x == D ．1217,3x x =-= 4．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（ ）.A ．0m >B ．7mC ．7m >D ．任意实数5．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）．A ．x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B ．x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C ．2t 2-7t-4=0化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．3y 2-4y-2=0化为221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 6．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．4-，21 B ．4-，11 C ．4，21 D ．8-，697．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x = 8．不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．非正数9．《代数学》中记载，形如21039x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为392564+=，则该方程的正数解为853-=．”小聪按此方法解关于x 的方程260x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）A ．6B ．353C ．352D ．335210．新定义，若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22018ax bx ++能取的最小值是（ ） A ．2011B ．2013C ．2018D ．2023二、填空题 11．已知方程20x m -=3__________．12．方程（x-1）2=20202的根是________．13．方程20(1)x x =-的解为______．14．一元二次方程24430x x --=的解为____________．15．如果关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，那么m 的取值范围是____．16．已知()(2)10a b a b ++-+=，则+a b 的值为__________．17．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.18．已知223720336n m m n -+-+=，则56n m -的值为_______． 19．已知32x =32y =则225x xy y -+的值为__________.20．已知22143134m n m n =--+，则11m n +的值等于______． 21．关于x 的方程2()10(0)bx b -=≥的根是_________________．22．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________．三、解答题23．用直接开平方法解下列方程：（1）222322x x +=-+；（2）(3)(3)7x x +-=．24．用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）； （3）； （4）25．用直接开平方法解下列方程：（1）（x ﹣2）2=3；（2）2（x ﹣3）2=72；（3）9（y+4）2﹣49=0；（4）4（2y ﹣5）2=9（3y ﹣1）2．26．用配方法解下列方程：（1）225x x -=；（2）22103x x -+=； （3）22360x x --=；（4）2212033x x +-=； （5）(23)3x x =；（6）(23)(6)16x x +-=．27．解关于y 的方程：by 2﹣1＝y 2+2．28．用直接开平方法解一元二次方程4（2x ﹣1）2﹣25（x+1）2=0．解：移项得4（2x ﹣1）2=25（x+1）2，①直接开平方得2（2x ﹣1）=5（x+1），②∴x=﹣7． ③上述解题过程，有无错误如有，错在第_____步，原因是_____，请写出正确的解答过程．29．试证：不论当x 为何值时，多项式42241x x --的值总大于4224x x --的值.30．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若()222316x y +-=，求22x y +的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：()222316x y +-=，① 2234x y ∴+-=±，②22227,1x y x y ∴+=+=-．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．31．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）32．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(2)(224)x x x x -+=+或2242(2)(422)x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242(22)x x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．33．我们把形如x 2=a （其中a 是常数且a≥0）这样的方程叫做x 的完全平方方程．如x 2=9，（3x ﹣2）2=25，21()43x x +-=…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x 2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x 1=3，x 2=﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x ﹣2）2=25．解题思路：我们只要把 3x ﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x ﹣2=5 或 3x ﹣2= ．分别解这两个一元一次方程，得x 1=73，x 2=﹣1． （2）解方程21()43x x +-=． 34．阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2+2ab +b 2=(a +b )2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．例如：①我们可以将代数式a 2+6a +10进行变形，其过程如下 a 2+6a +10=(a 2+6a )+10=(a 2+6a +9)+10-9=(a +3)2+1 ∵(a +3)2≥0∴(a +3)+1≥1，因此，该式有最小值1②已知：a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =0将其变形， a 22ab +2ac +b 2++2bc +c 2=0 a 2+2a (b +c )+(b +c )2= 可得(a +b +c )2=0(1)按照上述方法，将代数式x 2+8x +20变形为a (x +h )2+k 的形式；(2)若p =-x 2+2x +5，求p 的最大值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+2b 2+c 2-2b (a +c )=0，试判断此三角形的形状并说明理由；(4)已知：a =2020x +2019， b =2020x +2020，c =2020x +2021，直接写出a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac 的值．。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)
21.3 实际问题与一元二次方程第1课时一、教学目标【知识与技能】会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.【过程与方法】经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】构建一元二次方程解决实际问题.【教学难点】会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（出示课件2）你能解决这个问题吗？（出示课件4）（二）探索新知出示课件5：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下：（1）第一轮传染后共有人患了流感；（2）第二轮传染后共人患了流感.根据示意图，列表如下：（出示课件6）最后师生共同完成解答过程：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列方程为1+x+(1+x)·x=121提取公因式，得(1+x)(1+x)=121,即(1+x)2=121.∴x1=10,x2=-12(不合题意，应舍去)，故平均一个人传染了10个人.教师强调：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?（出示课件7）师生共同分析：生1口答：第1种做法：以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331(人).生2口答：第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.思考：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？（出示课件8）师生共同分析：达成共识：经过n轮传染后共有(1+x)n人患流感.出示课件9:例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?师生共同分析后解答如下：解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为1+x+x2=91,即x2+x-90=0.解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去),答：每个支干长出9个小分支.出示课件10:引导学生思考并解答如下问题：1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？答案：每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.2.解决这类传播问题有什么经验和方法？答案：（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.教师问：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？（出示课件11）学生自主思考后，教师归纳如下：出示课件12:电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？学生思考后自主解决.解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.依题意得6+6x+6x(1+x)=2400.6(1+x)²=2400.解得x1=19或x2=-21(舍去).答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.出示课件13:例2 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，最后师生共同完成解答过程.解：设这个小组共x人，根据题意列方程，得x(x-1)=72.化简，得x2-x-72=0.解方程，得x1=9，x2=-8（舍去）.答：这个小组共9人.出示课件14:生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？学生独立思考，自主探究，找出题目中的等量关系后自主解答：解：全组有x名同学，根据题意，得x（x-1）=182.解得x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）.答：全组有14名同学.（三）课堂练习（出示课件15-22）1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．73.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980B.x(x+1)=1980C.x(x-1)=1980D.x(x-1)=19804.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)²=735.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）？A.10B.9C.8D.76.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.7.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？8.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？参考答案：1.C2.C3.D4.B5.D6.107.解：初三有x个班，根据题意列方程，得1x x-=(1) 6.2化简，得x2-x-12=0.解方程，得x1=4，x2=-3（舍去）.答：初三有4个班.8.分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌.解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌.60+60x+60(1+x)x=24000.x1=19，x2=-21（舍去）.因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.三轮后有益菌总数为24000×(1+19)=480000.（四）课堂小结通过这节课的学习，你对传播类的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法.（五）课前预习预习下节课（21.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.。
数学人教版九年级上册学案.2.1降次解一元二次方程(1)──直接开平方法
§21.2.1降次解一元二次方程(1)──直接开平方法一、学习目标目标A: 复习回顾平方根的定义及完全平方公式的结构。
目标B ：掌握直接开平方法解一元二次方程。
目标C ：理解并熟练降次解一元二次方程。
二、问题引领问题A ：复习回顾平方根的定义及完全平方公式的结构。
1. 已知x 2=16，则x= .2. 3的平方根为 .3. 填空：(1) =++222b ab a ( )2 ; (2) x 2-8x+16=(x-______)2; (3) 29x + +4=( + )2; (4) = 2)25(-x 问题B ：掌握直接开平方法解一元二次方程。
问题一桶油漆可刷的面积为1500dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为xdm ，则一个正方体的表面积为 dm 2根据一桶油漆可刷的面积，可以列出方程：________________________解得：x 2=______________ 则 x =______________∵ ∴正方体的棱长是 【归纳】一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，由平方根的定义得x 1= ,x 2= ,这样我们就将一元二次方程降次为两个 方程, 然后求出方程的解，这种解方程的方法叫做直接开平方法,降次是解一元二次方程的基本策略.【归纳】(1)应用直接开平方法解形如x 2=p(p ≥0),那么x=(2)应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p ≥0),那么mx+n=问题C.理解并熟练降次解一元二次方程。
例1（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0解下列方程： 例2解下列方程：⑴ （x ＋1）2= 2 ⑵ （x －1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x ）2－3 =例3.解方程(2x －1)2=(x －2)2【归纳】一元二次方程化为(x+n)2=p 的形式时，原方程的解的情况为：若p>0,则原方程 ； 若p=0，则原方程 ； 若p<0,则原方程 。
九年级数学《一元二次方程》教案(5篇)
九年级数学《一元二次方程》教案（5篇）元二次方程教案篇一教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:（1)图象与x轴的交点的坐标为A（，），B(，）（2）当x=时，函数值y=0。
（3）求方程x2-x-6=0的解。
（4）方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳（1）你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1（1）当m为何值时，图象与x轴有两个交点（2）当m为何值时，图象与x轴有一个交点？（3）当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1、如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
（1）请写出方程ax2+bx+c=0的根（2）列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。
《一元二次方程》学案
22.1 « 一元二次方程》(1)学案学习目标：1.通过设置问题，建立数学模型，？模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2. 一元二次方程的一般形式及其有关概念.3.解决一些概念性的题目.学习过程：1、温故互查(1)一元一次方程定义 .(2)一元一次方程的一般形式 .2、设问导读合作预习章前页的问题和教材P25-P26问题1和2。
(1 )、问题：上述3个方程是不是一元一次方程？有何共同点？①；②；③。
(2)、一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____________________ ,只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程。
(3)任何一个关于x的一元二次方程都可以化为(a,b,c为常数，)的形式，我们把它称为一元二次方程的一般形式。
a为, b为, c为。
(4)、注意点：①一元二次方程必须满足三个条件： a ；b ；c②任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： .二次项系数、- 次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
③ 二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？3、自我检测(1)、下列列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？① 5x2 0 ② V2x2 x V3x ③ J Z 3 0x x④ 3x3x 0 ⑤ x2xy 3 0 (2 )、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:① 3x2 5x 1 ②(x 2)(x 1) 6 ③ 4 7x2 0(3 )、关于x的方程(a-1 )x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是 .学生分小组交流解疑，教师点评升华。
4、巩固练习：课本27页练习1、2题5、拓展延伸(1 )、a满足什么条件时，关于x的方程a (x2+x) =V3x- (x+1)是一元二次方程？(2 )、关于x的方程(2m2+m) x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？评价1、这节课你学到了什么？2、组长对你这节课的表现进行评价:3 2.1 « 一元二次方程》(2)学案学习目标：1、会进行简单的一元二次方程的试解；2、理解方程的解的概念，发展有条理的思考与表达能力；3、会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义。
2020-2021学年度湘教版初三数学上册第2章第5节《2.5用一元二次方程解决实际问题》习题 课件
14．甲、乙两支工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长 2 000 米，甲、乙两工程队分别从隧道两端向中间施工，计划 每天各施工 6 米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成 1 米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成 1 米，隧道施工 成本为 6 万元；乙每合格完成 1 米，隧道施工成本为 8 万元．
解：依题意，得(6＋m)(6＋12m)＋8(6－14m)＝6×(6＋8)＋11m－8， 整理，得 m2－8m＋16＝0, 解得 m1＝m2＝4. 答：m 的值为 4.
15．阅读下面内容．
《名画》中的数学
前苏联著名科学家别莱利曼在他所著的《趣味代数学》
中介绍了波格达诺夫·别列斯基的《名画》，画上那位老师拉
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最 多施工多少米；
解：设甲工程队施工 x 米，则乙工程队施工(2 000－x)米， 依题意，得 8(2 000－x)≥43×6x， 解得 x≤1 000. 答：甲最多施工 1 000 米．
(2)实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲、乙两队每日完 成量和成本都发生变化．当甲每合格完成 1 米隧道施工成本 增加 m 万元时，每天可多挖12m 米，乙因特殊地质，在施工 成本不变的情况下，比计划每天少挖14m 米，若最终每天实 际总成本比计划多(11m－8)万元，求 m 的值．
解：设她骑自行车的速度为 x km/h，则乘汽车的速度为 (x＋15)km/h，由题意得5x－x＋515＝1600，∴x2＋15x－450＝0， 解得 x1＝15，x2＝－30，经检验，x1＝15，x2＝－30 是原分式方 程的解．又 x＞0，∴她骑自行车的速度为 15km/h.
九年级数学上册21一元二次方程学案新版新人教版九6
第二十一章 一元二次方程21．1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念 ,应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟) 问题1：如图 ,有一块矩形铁皮 ,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形 ,然后将四周突出局部折起 ,就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形 ?分析：设切去的正方形的边长为x cm ,那么盒底的长为__(100－2x)cm __ ,宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__ ,化简整理 ,得__x 2－75x ＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛 ,参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件 ,赛程方案安排7天 ,每天安排4场比赛 ,比赛组织者应邀请多少个队参赛 ?分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x 个队参赛 ,每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场 ,所以全部比赛共x (x －1 )2__场．列方程__x (x －1 )2＝28__ ,化简整理 ,得__x 2－x －56＝0__．② 探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少 ?__1个__． (2)它们最|高次数分别是几次 ?__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__ ,只含有__一个__未知数(一元) ,并且未知数的最|高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元) ,并且未知数的最|高次数是__2__(二次)的方程 ,叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地 ,任何一个关于x 的一元二次方程 ,经过整理 ,都能化成如下形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2__是二次项 ,__a__是二次项系数 ,__bx__是一次项 ,__b__是一次项系数 ,__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件 ,不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(6分钟) 1．判断以下方程 ,哪些是一元二次方程 ?(1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1； (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)；(5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2＋bx ＋c ＝0. 解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程 ,尽管分母中含有字母 ,但只要分母中不含有未知数 ,这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式 ,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号 ,得3x 2 ,合并同类项 ,得3x 2,一次项系数是－8 ,常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时 ,通常要将首|项化负为正 ,化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0 ,无论m 取何值 ,该方程都是一元二次方程．证明：m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1 ,∵(m －4)2≥0 ,∴(m －4)2＋1>0 ,即(m －4)2＋1≠0.∴无论m 取何值 ,该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m 取何值 ,该方程都是一元二次方程 ,只要证明m 2－8m ＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x 2＋10x ＋12＝0的根 ? －4 ,－3 ,－2 ,－1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4.解：将上面的这些数代入后 ,只有－2和－3满足等式 ,所以x ＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x 2＋10x ＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根 ,只要把这个数代入等式 ,看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断以下方程是否为一元二次方程．(1)1－x 2＝0; (2)2(x 2－1)＝3y ；(3)2x 2－3x －1＝0; (4)1x 2－2x＝0；(5)(x ＋3)2＝(x －3)2;(6)9x 2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是．2．假设x ＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根 ,求a 的值．解：∵x＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根 , ∴4a＋8－5＝0 , 解得a ＝－34.3．根据以下问题 ,列出关于x 的方程 ,并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25 ,求正方形的边长x ； (2)一个长方形的长比宽多2 ,面积是100 ,求长方形的长x.解：(1)4x 2＝25 ,4x 2－25＝0；(2)x(x －2)＝100 ,x 2－2x －100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0) ,特别强调a≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．2 解一元二次方程 21． 配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想 ,掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次 - -转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x 2＝n(n≥0)的方程 ,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外外表 ,你能算出盒子的棱长吗 ?设正方体的棱长为x dm ,那么一个正方体的外表积为__6x 2__dm 2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x 2＝1500__ ,由此可得__x 2＝25__ ,根据平方根的意义 ,得x ＝__±5__ , 即x 1＝__5__ ,x 2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根 ,但棱长不能为负值 ,所以正方体的棱长为__5__dm .探究：对照问题1解方程的过程 ,你认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x 2＋6x ＋9＝4?方程(2x －1)2＝5左边是一个整式的平方 ,右边是一个非负数 ,根据平方根的意义 ,可将方程变形为__2x －1＝±5__ ,即将方程变为__2x －1＝5和__2x －1＝－5__两个一元一次方程 ,从而得到方程(2x －1)2＝5的两个解为x 1＝__1＋52 ,x 2＝__1－52__．在解上述方程的过程中 ,实质上是把一个一元二次方程 "降次〞 ,转化为两个一元一次方程 ,这样问题就容易解决了．方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式 ,这个方程可以化成(x ＋__3__)2＝4 ,进行降次 ,得到 __x ＋3＝±2__ ,方程的根为x 1＝ __－1__ ,x 2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过 "降次〞把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式 ,那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p.二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(6分钟) 解以下方程：(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2＝50；(3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2－4x ＋1＝0.解：(1)2y 2＝8 , (2)2(x －8)2＝50 , y 2＝4 , (x －8)2＝25 , y ＝±2 , x －8＝±5 ,∴y 1＝2 ,y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5 , ∴x 1＝13 ,x 2＝3；(3)(2x －1)2＋4＝0 , (4)4x 2－4x ＋1＝0 ,(2x －1)2＝－4<0 , (2x －1)2＝0 , ∴原方程无解； 2x －1＝0 , ∴x 1＝x 2＝12.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式 ,假设能 ,那么可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解以下方程：(1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p (p≥0)的方程时 ,最|容易出错的是漏掉负根．2．关于x 的方程x 2＋(a 2＋1)x －3＝0的一个根是1 ,求a 的值． 解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解以下方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0；(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；(7)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋ 2 ,x 2＝1－2； (2)x 1＝2＋ 5 ,x 2＝2－5；(3)x 1＝－1 ,x 2＝13；(4)x 1＝16 ,x 2＝－16；(5)x 1＝92 ,x 2＝－92；(6)x 1＝0 ,x 2＝－10；(7)x 1＝1 ,x 2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解 "降次〞思想．3．理解x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p (p≥0)中 ,为什么p ≥0?学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21． 配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程 ,能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2；(2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2； (3)x 2＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p 2__)2.2．假设4x 2－mx ＋9是一个完全平方式 ,那么m 的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米 ?设场地的宽为x m ,那么长为__(x ＋6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x ＋6)＝16__ ,整理得到__x 2＋6x －16＝0__．探究：怎样解方程x 2＋6x －16＝0?比照这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4 ,可以发现方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是含有x 的完全平方形式 ,右边是非负数 ,可以直接降次解方程；而方程x 2＋6x －16＝0不具有上述形式 ,直接降次有困难 ,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗 ?解：移项 ,得x 2＋6x ＝16 ,两边都加上__9__即__(62)2__ ,使左边配成x 2＋bx ＋(b 2)2的形式 ,得__x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__ ,左边写成平方形式 ,得__(x ＋3)2＝25__ ,开平方 ,得__x ＋3＝±5__ , (降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__ ,解一次方程 ,得x 1＝__2__ ,x 2＝__－8__． 归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法 ,叫做配方法；配方的目的是为了降次 ,把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解以下方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12 ,x 2＝52；(3)x 1＝－72 ,x 2＝－12.归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式 ,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(8分钟) 1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解以下方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项 ,得x 2＋6x ＝－5 ,配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32 ,(x ＋3)2＝4 , 由此可得x ＋3＝±2 ,即x 1＝－1 ,x 2＝－5.(2)移项 ,得2x 2＋6x ＝－2 ,二次项系数化为1 ,得x 2＋3x ＝－1 , 配方得x 2＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54 ,由此可得x ＋32＝±52 ,即x 1＝52－32 ,x 2＝－52－32. (3)去括号 ,整理得x 2＋4x －1＝0 ,移项得x 2＋4x ＝1 ,配方得(x ＋2)2＝5 ,x ＋2＝± 5 ,即x 1＝5－2 ,x 2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成 ,即配一个含有x 的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(5分钟)如图 ,在Rt △ABC 中 ,∠C ＝90° ,AC ＝8 m ,CB ＝6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动 ,它们的速度都是1 m /s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半 ?解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程： 12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6 , 即x 2－14x ＋24＝0 ,(x －7)2＝25 , x －7＝±5 ,∴x 1＝12 ,x 2＝2 ,x 1＝12 ,x 2＝2都是原方程的根 ,但x 1＝12不合题意 ,舍去． 答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半 ,△PCQ 也是直角三角形．根据条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解以下关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0；(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.解：(1)x 1＝1＋ 5 ,x 2＝1－5； (2)x 1＝2＋ 2 ,x 2＝2－2； (3)x 1＝14＋174 ,x 2＝14－174；(4)x 1＝62 ,x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0 ,求(xy)z的值．解：由方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0 ,即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0 ,∴x ＝2 ,y ＝－3 ,z ＝－2.∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的考前须知．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21． 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程 ,了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0. 解：(1)x 1＝－2 ,x 2＝－1； (2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根 ?问题：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0) ,试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac2a,x 2＝－b －b 2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多 ,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字 ,根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定 ,因此：(1)解一元二次方程时 ,可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0 ,当b 2－4ac≥0时 ,将a ,b ,c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac 2a 就得到方程的根 ,当b 2－4ac ＜0时 ,方程没有实数根．(2)x ＝－b ±b 2－4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知 ,一元二次方程最|多有__2个实数根 ,也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地 ,式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式 ,通常用希腊字母Δ表示 ,即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(5分钟) 用公式法解以下方程 ,根据方程根的情况你有什么结论 ?(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0 ,x 2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时 ,有两个不相等的实数根；Δ＝0时 ,有两个相等的实数根；Δ＜0时 ,没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．当m 为何值时 ,方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0 , (1)有两个不相等的实数根 ? (2)有两个相等的实数根 ? (3)没有实数根 ?解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14.3. x 2＋2x ＝m －1没有实数根 ,求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根. 证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根 , ∴4－4(1－m)＜0 ,∴m ＜0.对于方程x 2＋mx ＝1－2m ,即x 2＋mx ＋2m －1＝0 ,Δ＝m 2－8m ＋4 ,∵m ＜0 ,∴Δ＞0 , ∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定以下方程的根的情况： (1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0；(3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根． 2．用公式法解以下方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0；(3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ； (5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0. 解：(1)x 1＝3 ,x 2＝－4； (2)x 1＝2＋32 ,x 2＝2－32； (3)x 1＝1 ,x 2＝－3；(4)x 1＝－2＋ 6 ,x 2＝－2－6；(5)x 1＝0 ,x 2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的；(2)在解一元二次方程时 ,可先把方程化为一般形式 ,然后在b 2－4ac≥0的前提下 ,把a ,b ,c 的值代入x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)中 ,可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最|多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ,b ,c 的值 ,再算．出b 2－4ac 的值、最|后代．入求根公式求解． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21． 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征 ,灵活选择方程的解法 ,体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的根本思想．(2分钟)将以下各题因式分解：(1)am ＋bm ＋cm ＝(__a ＋b ＋c__)m ；(2)a 2－b 2＝__(a ＋b)(a －b)__；(3)a 2±2ab ＋b 2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律 ,如果把一个物体从地面以10 m /s 的速度竖直上抛 ,那么经过x s 物体离地的高度(单位：m 2.s )设物体经过x s 落回地面 ,这时它离地面的高度为0 ,即10x 2＝0 , ① 思考：除配方法或公式法以外 ,能否找到更简单的方法解方程① ? 分析：方程①的右边为0 ,左边可以因式分解得： x(10－4.9x)＝0 ,于是得x ＝0或10－4.9x ＝0 , ② ∴x 1＝__0__ ,x 2≈．上述解中 ,x 2≈表示物体约在2.04 s 时落回地面 ,而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻 ,即0 s 时物体被抛出 ,此刻物体的高度是0 m .点拨精讲： (1)对于一元二次方程 ,先将方程右边化为0 ,然后对方程左边进行因式分解 ,使方程化为两个一次式的乘积的形式 ,再使这两个一次因式分别等于零 ,从而实现降次 ,这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0 ,那么a ＝0或b ＝0 ,这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0 ,那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__ ,即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(5分钟) 1．说出以下方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0. 解：(1)x 1＝0 ,x 2＝8； (2)x 1＝－13 ,x 2＝52.2．用因式分解法解以下方程：(1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0 ,x 2＝4; (2)x 1＝72 ,x 2＝－72；(3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解以下方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15. 解：(1)x 1＝0 ,x 2＝45；(2)x 1＝23 ,x 2＝－12；(3)x 1＝－5 ,x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0 ,另一边可以分解因式．2．用因式分解法解以下方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6 ,x 2＝－6； (2)x 1＝43 ,x 2＝－2；(3)x 1＝12 ,x 2＝－12；(4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．用因式分解法解以下方程： (1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x 1＝0 ,x 2＝－1； (2)x 1＝0 ,x 2＝23； (3)x 1＝x 2＝1；(4)x 1＝112 ,x 2＝－112；(5)x 1＝3 ,x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__ ,得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程 ,它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地 ,场地面积增加了一倍 ,求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m .那么可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋5 2 ,x 2＝5－52(舍去)． 答：小圆形场地的半径为(5＋52) m .学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0 ,即 "二次降为一次〞． 2．正确的因式分解是解题的关键．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21． 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟) 方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 x 2－5x ＋6＝0 2 3 5 6 x 2＋3x －10＝02－5－3－10问题：你发现什么规律 ? ①用语言表达你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项． ②x 2＋px ＋q ＝0的两根x 1 ,x 2用式子表示你发现的规律. 答：x 1＋x 2＝－p ,x 1x 2＝q. 自学2：完成下表： 方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 2x 2－3x －2＝02－1232－13x 2－4x ＋1＝013143 13问题：上面发现的结论在这里成立吗 ?(不成立) 请完善规律：①用语言表达发现的规律； 答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数 ,两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1 ,x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝__－b ＋b 2－4ac 2a __ ,x 2＝__－b －b 2－4ac2a__．x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系 ,求以下方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3 ,x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32 ,x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6 ,x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程 ,求以下方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6 ,x 1x 2＝－15； (2)x 1＋x 2＝－73 ,x 1x 2＝－3；(3)x 1＋x 2＝54 ,x 1x 2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式 ,找对a ,b ,c. 2．方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3 ,求另一根及k 的值． 解：另一根为32,k ＝3.点拨精讲：此题有两种解法 ,一种是根据根的定义 ,将x ＝－3代入方程先求k ,再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．α ,β是方程x 2－3x －5＝0的两根 ,不解方程 ,求以下代数式的值．(1)1α＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．不解方程 ,求以下方程的两根和与两根积：(1)x 2－3x ＝15; (2)5x 2－1＝4x 2；(3)x 2－3x ＋2＝10; (4)4x 2－144＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3 ,x 1x 2＝－15； (2)x 1＋x 2＝0 ,x 1x 2＝－1； (3)x 1＋x 2＝3 ,x 1x 2＝－8； (4)x 1＋x 2＝0 ,x 1x 2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是( C ) A ．7x 2－12x ＋5＝0 B ．6x 2－13x －5＝0 C ．4x 2＋21x ＋5＝0 D ．x 2＋15x －8＝0 点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数 ,两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程 ,根据一元二次方程根与系数的关系和条件结合 ,可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式 ,再确定a ,b ,c.2．当且仅当b 2－4ac≥0时 ,才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x 1＋x 2＝－b a (比前面有负号) ,x 1x 2＝ca(比前面没有负号)．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义 ,检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题． 难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟) 问题1：有一人患了流感 ,经过两轮传染后共有121人患了流感 ,每轮传染中平均一个人传染了几个人 ?分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人 ,那么患流感的这一个人在第|一轮中传染了__x__人 ,第|一轮后共有__(x ＋1)__人患了流感；②第二轮传染中 ,这些人中的每个人又传染了__x__人 ,第二轮后共有__(x ＋1)(x ＋1)__人患了流感．那么列方程：__(x＋1)2＝121__ ,解得__x＝10或x＝－12(舍)__ ,即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度 ,三轮后有多少人患流感 ?问题2：一个两位数 ,它的两个数字之和为6 ,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008 ,求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__ ,那么十位数字为__(6－x)__ ,那么原两位数为__10(6－x)＋x ,新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x ＋(6－x)]＝1008__ ,解得 x1＝__2__ ,x2＝__4__ ,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念 ,全班共送了2550张相片 ,如果全班有x名学生 ,根据题意 ,列出方程为( ) A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意 ,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片 ,那么每人送出(x－1)张相片 ,全班共送出x(x－1)张相片 ,可列方程为x(x－1)＝2550. 应选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出假设干数目的支干 ,每个支干又长出同样数目的小分支 ,主干、支干和小分支的总数是91 ,求每个支干长出多少小分支 ?解：设每个支干长出x个小分支 ,那么有1＋x＋x2＝91 ,即x2＋x－90＝0 ,解得x1＝9 ,x2＝－10(舍去) ,故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数 ,个位上的数字比十位上的数字小4 ,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4 ,设个位数字为x ,那么列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2 ,它们的平方和是52 ,那么这两个数是( C )A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1) "审〞：即审题 ,读懂题意弄清题中的量和未知量；(2) "设〞：即设__未知数__ ,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3) "列〞：即根据题中__等量__关系列方程；(4) "解〞：即求出所列方程的__根__；(5) "检验〞：即验证根是否符合题意；(6) "答〞：即答复题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义 ,检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b ,其中a是原有量 ,x为增长(或降低)率 ,n为增长(或降低)的次数 ,b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的本钱是5000元 ,生产1吨乙种药品的本钱是6000元 ,随着生产技术的进步 ,现在生产1吨甲种药品的本钱是3000元 ,生产1吨乙种药品的本钱是3600元 ,哪种药品本钱的年平均下降率较大 ?(精确到0.01)绝|对量：甲种药品本钱的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元) ,乙种药品本钱的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元) ,显然 ,乙种药品本钱的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝|对量的大小能否说明相对量的大小呢 ?也就是能否说明乙种药品本钱的年平均下降率大呢 ?下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品本钱的年平均下降率为x ,那么一年后甲种药品本钱为__5000(1－x)__元 ,两年后甲种药品本钱为__5000(1－x)2__元．依题意 ,得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23 ,x2≈__．根据实际意义 ,甲种药品本钱的年平均下降率约为____．②设乙种药品本钱的年平均下降率为 ,列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23 ,y2≈(舍)__．答：两种药品本钱的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算 ,本钱下降额较大的药品 ,它的本钱下降率不一定较大 ,应比拟降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元 ,12月份上升到7200元 ,平均每月增长百分率是多少 ?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x ,那么11月份的营业额为__5000(1＋x)__元 ,12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元 ,即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题 ,如题目无特别说明 ,一般都指平均增长率 ,增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a ,增长率为x ,那么一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果n月(n年)后产量为M ,那么有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行 ,到期后支取1000元用于购物 ,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行 ,假设存款的利率不变 ,到期后本金和利息共1320元 ,求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为x ,第|一次存2000元取1000元 ,剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存 ,本金就变为1000＋2000x·80% ,其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x ,那么1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320 ,整理 ,得1280x2＋800x＋1600x＝320 ,即8x2＋15x－2＝0 ,解得x1＝－2(不符 ,舍去) ,x2%.答：所求的年利率是%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2021年平均每公顷产7200 kg ,2021年平均每公顷产8460 kg ,求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为x ,那么有7200(1＋x)2＝8460 ,解得x1 ,x2＝－2.08(舍)．即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最|后要检验根是否符合实际意义．2. 假设平均增长(降低)率为x ,增长(或降低)前的基数是a ,增长(或降低)n次后的量是b ,那么有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(3)1. 能根据具体问题中的数量关系 ,列出一元二次方程 ,体会方程是刻画现实世|界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义 ,检验结果是否合理．2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．。
专题21.2一元二次方程的解法【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]
![专题21.2一元二次方程的解法【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/f86d1c44b6360b4c2e3f5727a5e9856a561226a5.png)
专题21.2 一元二次方程的解法【十大题型】【人教版】【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【题型2 配方法解一元二次方程】 【题型3 公式法解一元二次方程】 【题型4 因式分解法解一元二次方程】【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【题型6 用适当方法解一元二次方程】 【题型7 用指定方法解一元二次方程】 【题型8 用换元法解一元二次方程】 【题型9 解含绝对值的一元二次方程】 【题型10 配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为()20x p p =³或()()200mx n p p m +=³¹，的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解．【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）1．将方程2219()x =－的两边同时开平方，得21x =－ ，即21x －＝或21x －＝，所以1x ＝，2x ＝．【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）2．用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2+9＝0B ．－2x 2=0C ．x 2－3=0D ．(x －2)2=0【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）3．如果关于x 的一元二次方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）4．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程()46x x +=．解：原方程可变形，得：()()22226x x éùéù+-++=ëûëû．()22226x +-=，()2210x +=．直接开平方并整理，得．12x =-+22x =-我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程()()595x x ++=时写的解题过程．解：原方程可变形，得：()()5x a b x a b +-++=éùéùëûëû．()225x a b +-=，∴()225x a b +=+．直接开平方并整理，得．1=x c ，2x d =．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：()()5712x x -+=．知识点2 配方法解一元二次方程将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为()200ax bx c a ++=¹的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 配方法解一元二次方程】【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）5．用配方法解方程，补全解答过程．251322x x -=．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得21566x x -=．配方，得_________________________________，即21121()12144x -=．两边开平方，得__________________，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）6．用配方法解方程2610x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．()239x -=B ．()2310x -=C ．()238x +=D ．()238x -=【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）7．用配方法解方程：2220x mx m +-=．【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）8．下面是小明用配方法解一元二次方程22480x x +-=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．知识点3 公式法解一元二次方程当240b ac -³时，方程()200ax bx c a ++=¹通过配方，其实数根可写为x =的形式，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【题型3 公式法解一元二次方程】【例3】（23-24九年级上·山西大同·9．用公式法解关于x 的一元二次方程，得x =是 ．【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）10．用公式法解一元二次方程：()()2350x x --=．解：方程化为2311100x x -+=．3,a b == ，10c =．2Δ4b ac =-=431010-´´=>．方程实数根．x = =，即1x =，253x =．【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）11．用公式法解方程20(0)ax bx c a -+-=¹，下列代入公式正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）12．用求根公式法解得某方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根互为相反数，则（ ）A ．0b =B ．0c =C ．240b ac -=D ．0b c +=知识点4 因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【题型4 因式分解法解一元二次方程】【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）13．关于x 的一元二次方程()22x x x -=-的根是（ ）A ．1-B ．0C ．1和2D ．1-和2【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）14．以下是某同学解方程2326x x x -=-+的过程：解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，①方程两边同除以()3x -，得2x =-，②∴原方程的解为2x =-．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）15．对于实数m ，n ，定义运算“※”：22m n m n =-※，例如：2232232=-´=-※．若50x x =※，则方程的根为（ ）A ．都为10B ．都为0C ．0或10D ．5或5-【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）16．利用因式分解求解方程（1）243y y =；(2)(23)(23)(23)0x x x x +--+=．【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）17．以下是解一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一种方法：二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1212a a c c ，，，排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若此时满足1221a c a c b +=，那么20(a 0)++=¹ax bx c 就可以因式分解为1122()()0a x c a x c ++=，这种方法叫做“十字相乘法”．那么2611100x x --=按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）A ．(2)(65)0x x -+=B ．(22)(35)0x x +-=C ．(5)(62)0x x -+=D ．(25)(32)0x x -+=【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）18．试用十字相乘法解下列方程(1)2540x x ++=；(2)23100x x +-=．【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）19．解关于x 的方程227120x mx m -+=得（ ）A ．13x m =-，24x m =B ．13x m =，24x m =C ．13x m =-，24x m=-D ．13x m =，24x m=-【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）20．阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x ，y 的二次三项式22ax bxy cy ++，如图1，将2x 项系数12a a a =×，作为第一列，2y 项系数12c c c =×，作为第二列，若1221a c a c +恰好等于xy 项的系数b ，那么22ax bxy cy ++可直接分解因式为：()()221122ax bxy cy a x c y a x c y ++=++示例1：分解因式：2256x xy y ++解：如图2，其中111=´，623=´，而51312=´+´；∴2256(2)(3)x xy y x y x y ++=++；示例2：分解因式：22412x xy y --．解：如图3，其中111=´，1262-=-´，而4121(6)-=´+´-；∴22412(6)(2)x xy y x y x y --=-+；材料二：关于x ，y 的二次多项式22ax bxy cy dx ey f +++++也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将12a a a =作为一列，12c c c =作为第二列，12f f f =作为第三列，若1221a c a c b +=，1221a f a f d +=，1221c f c f e +=，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：()()22111222ax bxy cy dx ey f a x c y f a x c y f +++++=++++；示例3：分解因式：2243283x xy y x y -+-+-．解：如图5，其中111=´，3(1)(3)=-´-，3(3)1-=-´；满足41(3)1(1)-=´-+´-，21(3)11,8(3)(3)(1)1-=´-+´=-´-+-´；∴2243283(3)(31)x xy y x y x y x y -+-+-=---+请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：232x x ++= ；2256220x xy y x y -+++-= ；（2）若x ，y ，m 均为整数，且关于x ，y 的二次多项式2262120x xy y x my +--+-可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m 的值，并求出关于x ，y 的方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解．【题型6 用适当方法解一元二次方程】【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）21．用适当的方法解下列方程：(1)24x x =；(2)()2340x --=；(3)22450x x --=；(4)()()()1222x x x -+=+．【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）22．用适当的方法解下列一元二次方程：(1)2420x x +-=；(2)()3515x x x +=+.【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）23．用适当的方法解下列方程(1)2354x =；(2)()()1311x x +-=；(3)()()421321x x x +=+；(4)2610x x +=．【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）24．用适当的方法解下列方程．(1)2(2)250x +-=；(2)2450x x +-=；(3)22310x x -+=．【题型7 用指定方法解一元二次方程】【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）25．用指定的方法解下列方程：（1）4（x ﹣1）2﹣36=0（直接开方法）（2）x2+2 x ﹣3=0（配方法）（3）（x +1）（x -2）=4（公式法）（4）2（x +1）﹣x （x +1）=0（因式分解法）【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）26．用指定的方法解方程：(1)2410x x --=（用配方法）(2)23119x x -=-（用公式法）(3)()22539x x -=-（用因式分解法）(4)2242y y y +=+（用适当的方法）【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）27．用指定的方法解方程：(1)212502x x --=（用配方法）(2)2820x x =+（用公式法）(3)()()23430x x x -+-=（用因式分解法）(4)()()23110x x +-=（用适当的方法）【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）28．按指定的方法解下列方程：(1)289x x =+（配方法）；(2)2273=0y y ++（公式法）；(3)()2236x x +=+（因式分解法）．【题型8 用换元法解一元二次方程】【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）29．已知()()22222150a b a b +++-=，求22a b +的值．【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）30．关于x 的方程()2222230x x x x +++-=，则2x x +的值是（ ）A ．3-B ．1C ．3-或1D ．3或1-【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）31．若()()5567a b a b +++=，则5a b += ．【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）32．利用换元法解下列方程：(1)422320x x --=；(2)()()222540x x x x ---+=．【题型9 解含绝对值的一元二次方程】【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）33．阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：23||100x x --=．解：分两种情况：①当x ≥0时，原方程化为23100x x --=解得125,2x x ==-（舍去）；②当x <0时，原方程化为23100x x +-=，解得345,2x x =-=（舍去）．综上所述，原方程的解是125,5x x ==-．请参照上述方法解方程2|1|10x x -+-=．【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）34．解方程22240x x ++-=【变式9-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）35．解方程222390x x -++=【变式9-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）36．解方程2|5|20x x ---=【题型10 配方法的应用】【例10】（23-24九年级上·河北沧州·期中）37．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++，∵()220y +³，∴()2244y ++³∴当2y =-时，248y y ++的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式2612x x -+的最小值；(2)【举一反三】若22y x x =--当x =________时，y 有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；(3)【灵活运用】已知224250x x y y -+++=，则x y +=________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【变式10-1】（2023·河北石家庄·一模）38．已知226A x x n =++，2224B x x n =++，下列结论正确的是（ ）A ．B A -的最大值是0B ．B A -的最小值是1-C ．当2B A =时，x 为正数D ．当2B A =时，x 为负数【变式10-2】（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）39．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【变式10-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）40．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x 可取任何实数，试求二次三项式223x x ++的最小值．解：22223212(1)2x x x x x ++=+++=++；Q 无论x 取何实数，都有2(1)0x +³，2(1)22x \++³，即223x x ++的最小值为2．【尝试应用】（1）请直接写出22410x x ++的最小值______ ；【拓展应用】（2）试说明：无论x【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD 中，AC BD ^，若10AC BD +=，求四边形ABCD 的面积最大值．1． ±3 3 －3 2 －1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵2219()x =－∴21x =－±3∴21x －＝3，21x －＝-3∴1x ＝2，2x ＝-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2．A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：（A ）移项可得29x =-，故选项A 无解；（B ）220x -=，即20x =，故选项B 有解；（C ）移项可得23x =，故选项C 有解；（D ）()220x -=，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3．7m ³【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，∴70-³m ，解得：7m ³，故答案为：7m ³．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4．(1)7，2，4-，10-．(2)11x =-+，21x =--【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为()()72725x x +-++=éùéùëûëû，可得()279x +=，再解方程即可；（2）仿照平均数法可把原方程化为()()161612x x +-++=éùéùëûëû，可得()2148x +=，再解方程即可；【详解】（1）解：∵()()595x x ++=，∴()()72725x x +-++=éùéùëûëû，∴()2745x +-=，∴()279x +=，∴73x +=或73x +=-，解得：14x =-，210x =-．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，4-，10-．（2）∵()()5712x x -+=，∴()()161612x x +-++=éùéùëûëû，∴()213612x +-=，∴()2148x +=，∴1x +=，1x +=-解得：11x =-+21x =--【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．5．25166x x -= 2221151()()612612x x -+=+ 1111212x -=±【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】251322x x -=．解：两边同除以3，得25166x x -=．移项，得21566x x -=．配方，得2221151(()612612x x -+=+，即21121()12144x -=．两边开平方，得1111212x -=±，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：2610x x --=移项得：261x x -=配方得：26919x x -+=+即()2310x -=故选：B7．1x m =-，2x m =-【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得222x mx m +=，配方得22222x mx m m m ++=+，即()222x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-，2x m =-．8．①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程22480x x +-=变为224x x +=，然后配方为()218x +=，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②22480x x +-=，移项，得2248x x +=，二次项系数化为1，得224x x +=，配方，得()215x +=，由此可得1x +=所以，1211x x =-=-．9．24610x x ++=【详解】解： x =Q 4a \=，6b =，1c =，从而得到一元二次方程为24610x x ++=，故答案为：24610x x ++=．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．10． 11- 2(11)- 有两个不相等的 1116± 2【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为2311100x x -+=．3a =，11b =-，10c =．2Δ4b ac =-=()211431010--´´=>．方程有两个不相等的实数根．x ==1116±，即1x =2，253x =．故答案为：11-；2(11)-1116±；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．11．B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程20(0)ax bx c a -+-=¹可化为20ax bx c -+=由求根公式可得：x ==故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．12．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根12x x 、，由题意得120x x +=，可求出0b =．【详解】Q 方程20(a 0)++=¹ax bx c 有两根，240b ac \D =-…且所以120x x +=0=，解得0b =．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．13．D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵()22x x x -=-，∴()()220x x x -+-=，∴()()120x x +-=，∴10x +=或20x -=，解得1x =-或2x =，故选：D ．14．(1)②(2)过程见解析【分析】（1）根据等式的性质作答即可；（2）先移项，然后用因式分解法求解．【详解】（1）解：∵()3x -可能为0，∴不能除以()3x -，∴第②步出现了错误故答案为②．（2）解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，移项，得()()3230-+-=x x x ，∴()()320x x -+=，∴13x =，22x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．15．C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算22m n m n =-※可得，50x x =※即为25·20x x -=，即()100x x -=，10x \=，210x =，则方程的根为0或10．故选：C ．16．（1）1230,4y y ==；（2）123,32x x =-=【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1) 243y y =；2430y y -=(43)0y y -=y=0或4y-3=0∴1230,4y y ==，故答案为：1230,4y y ==；(2) (23)(23)(23)0x x x x +--+=(23)(3)0x x +-=230x +=或30x -=123,32x x =-=，故答案为：123,32x x =-=．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程243y y =时，给方程两边同除以y ，解得34y =，而丢掉y=0的情况．17．D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出()()2611102532x x x x --=-+即可．【详解】∵∴()()26111025320x x x x --=-+=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．18．(1)1241x x =-=-，；(2)1225x x ==-，．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案；（2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】（1）解：2540x x ++=()()410x x ++=40x +=或10x +=∴1241x x =-=-，；（2）解：23100x x +-=()()520x x +-=50x +=或20x -=∴1225x x ==-，．19．B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可．直接运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：227120x mx m -+=，()()340x m x m --=，30x m -=或40x m -=，13x m =，24x m =．故选B ．20．（1）(1)(2)x x ++，(35)(24)x y x y -+--；（2）5456m m ==-，14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m 值．【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(1)(2)x x ++；②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4）满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4）∴原式=(35)(24)x y x y -+--；（2）①111222135124a c f a c f --- 1221122211221512a c a c a f a f c f c f +=-ìï+=íï+=î②12101312-- 12211221122112a c a c a f a f c f c f m +=ìï+=-íï+=î 12121310--22(210)(312)62120x y x y x xy y x my -++-=+--+-∴54m =22(212)(310)62120x y x y x xy y x my --++=+--+-∴56m =-当54m =时，(210)(312)1x y x y -++-=-21013121x y x y -+=ìí+-=-î或21013121x y x y -+=-ìí+-=î，75245x y ì=-ïïíï=ïî（舍），14x y =-ìí=î当56m =-时，(212)(310)1x y x y --++=-21213101x y x y --=ìí++=-î或21213101x y x y -==ìí++=î，24x y =ìí=-î或69525x y ì=ïïíï=ïî（舍）综上所述，方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解有14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î；方法二：()2262120(3)(2)212x xy y x my x y x y x my y++--+-=+--+-(3)(2)(3)(2)()(32)x y a x y b x y x y a b x b a y ab=++-+=+-+++-+2123210120a b a b a m b ab +=-ì=-ìï-=Þíí=îï=-î或10541256a m b m ==ìÞí=-=-î．【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．21．(1)14x =，20x =(2)15x =，21x =(3)1x =2x =(4)12x =-，23x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；（4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：240x x -=()40x x -=，解得14x =，20x =（2）解：()()32320x x ---+=()()510x x --=，解得15x =，21x =（3）解：2a =Q ，4b =-，5c =-()()()2244425164056b ac \-=--´´-=--=x \=解得（4）解：()()()12220x x x -+-+=()()2120x x +--=，()()230x x +-=，20,30x x \+=-=，解得12x =-，23x =22．(1)12x =，22x =(2)13x =-，25x =【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．（1）利用配方法解方程；（2）先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】（1）解：移项，得242x x +=，配方，得24424x x ++=+，()226x +=，两边开平方，得2x +=所以，12x =，22x =；（2）解：原方程可变形为：()()353x x x +=+，()()3530x x x +-+=，()()350x x +-=，30x +=或50x -=，所以，13x =-，25x =23．(1)1x =，2x =-(2)1x =2x =(3)112x =-，234x =(4)13x =-，23x =-【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可；（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；（3）方程利用因式分解法求解即可；（4）方程利用配方法求解即可．【详解】（1）解：方程整理得：218x =，开方得：x =±解得：1x =2x =-（2）解：方程整理得：23220x x +-=，这里3a =，2b =，2c =-，Q △2243(2)424280=-´´-=+=>，x \2（3）解：方程移项得：4(21)3(21)0x x x +-+=，分解因式得：(21)(43)0x x +-=，所以210x +=或430x -=，解得：112x =-，234x =；（4）解：配方得：26919x x ++=，即2(3)19x +=，开方得：3x +=解得：13x =-23x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．24．(1)13x =，27x =-(2)11x =，25x =-(3)112x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式，可以解答此方程；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2(2)250x +-=，()()25250x x +-++=，30x \-=或70x +=，解得13x =，27x =-；（2）解：2450x x +-=，()()150x x -+=，10x \-=或50x +=，解得11x =，25x =-；（3）解：22310x x -+=，()()2110x x --=，210x \-=或10x -=，解得112x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．25．（1）x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）x 1＝﹣1，x 2＝2．【分析】（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：（1）∵()241360x --=∴（x ﹣1）2＝9，∴x ﹣1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）∵x 2+2x ＝3，∴x 2+2x +1＝4，∴（x +1）2＝4，∴x +1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）∵x 2﹣x ﹣6＝0，∴△（﹣6）＝25，∴x 152±=，∴x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）∵()()2110x x x +-+=∴（x +1）（2﹣x ）＝0，∴x +1＝0或2﹣x ＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.26．(1)12x =+，22x =(2)12x x ==(3)12932x x ==，(4)12122y y ==-，【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．（2）先化为一般式，再根据24b ac D =-算出，以及代入x =答．（3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．（4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．【详解】（1）解：2410x x --=移项，得241x x -=配方，得24414x x -+=+，即()225x -=∴2x -=解得12x =，22x =+；（2）解：23119x x -=-231190x x -+=243912110813D =´´=-=∴x =解得2x =（3）解：()22539x x -=-()()225390x x ---=()()()253330x x x ---+=()()()()()353334180x x x x x ù-é--+=--=ëû则304180x x -=-=，解得12932x x ==，；（4）解：2242y y y +=+()22420y y y +-+=()()2220y y y +-+=()()2120y y -+=∴21020y y -=+=，解得12122y y ==-．27．(1)1222x x ==(2)1210,2x x ==-(3)123,0.6x x ==(4)1243,3x x =-=【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）移项，得：21252x x -=，系数化1，得：2410x x -=，配方，得：24414x x -+=，2(2)14x -=，2x -=∴12x =22x =；（2）原方程可变形为28200x x --=，1a =，8b =-，20c =-，()()28412064801440D =--´´-=+=>，原方程有两个不相等的实数根，8122x ±\===，∴110x =，22x =-；（3）原方程可变形为：()()3340x x x --+=，整理得：()()3530x x --=，解得13x =，20.6x =；（4）原方程可变形为：2352100x x +--=，整理得：235120x x +-=，()()3430x x -+=，∴13x =-，243x =【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．28．(1)19x =，21x =-．(2)13x =-，212x =-．(3)12x =-，21x =．【分析】（1）先把方程化为281625x x -+=，可得()2425x -=，再利用直接开平方法解方程即可；（2）先计算27423492425>0=-´´=-=V ，再利用求根公式解方程即可；（3）先移项，再把方程左边分解因式可得()()210x x +-=，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】（1）解：289x x =+，移项得：289x x -=，∴281625x x -+=，配方得：()2425x -=，∴45x -=或45x -=-，解得：19x =，21x =-．（2）解：2273=0y y ++，∴23492425>0==-=V ，∴754x -±==，∴13x =-，212x =-．（3）解：()2236x x +=+，移项得：()()22320x x +-+=，∴()()210x x +-=，∴20x +=或10x -=，解得：12x =-，21x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．29．3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可．【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +-=，解得：123,5x x ==-，0x Q >，3x \=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．30．B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，∴()()130t t -+=，∴10t -=或30t +=，解得11t =，23t =-，∴2x x +的值是1或3-．当23+=-x x 时，230x x ++=，∵112110D =-=-<，∴此方程无解，∴2x x +的值是1．故选：B ．31．1或7-【分析】本题主要考查解一元二次方程，设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，方程变形后运用因式分解法求出x 的值即可得到结论．【详解】解：设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，整理得，2670x x +-=，()()170x x -+=，10x -=，70x +=，∴1x =，7x =-，即51a b +=或7-，故答案为：1或7-．32．(1)12x x ==(2)1234x x x x ====【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．（1）根据换元思想，设2y x =，则2y =或12y =-，由此即可求解；（2）设2y x x =-，则4y =或1y =，由此即可求解．【详解】（1）解：设2y x =，则原方程化为22320y y --=，∴2y =或12y =-，当2y =时，22x =，∴12x x ==，当12y =-时，212x =-，此时方程无解，∴原方程的解是12x x ==（2）解：设2y x x =-，则原方程化为2540y y -+=，∴4y =或1y =，当4y =时，2x -∴12x x ==，当1y =时，2x x -∴34x x =∴原方程的解是1234x x x x ===．33．122,1x x ==-【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当10x +³，即1x ³-时，原方程化为()2110x x -+-=，解得122,1x x ==-；②当10x +<，即1x <-时，原方程化为()2110x x ++-=，解得30x =（舍去），41x =-（舍去）．综上所述，原方程的解是122,1x x ==-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．34．1202x x ，==-【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，分类讨论，解一元二次方程，是解决问题的关键．对2x +为非负、负，两种情况讨论，先把绝对值号化简，方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x 的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当20x +³，即2x ³-时，方程变形得：()22240x x ++-=∴220x x +=∴()20x x +=∴1202x x ，==-；②当20x +<，即2x <-时，方程变形得：()22240x x -+-=∴228=0x x --∴()()240x x +-=∴12x =-（舍去），24x =（舍去）∴综上所述，原方程的解是10x =或22x =-35．1213x x ==，【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一元二次方程，是解题的关键．分32x ³-与32x <-，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2+30x ³，即32x ³-时，原方程可化为：()222390x x +-+=，整理得：2430x x -+=，解得：1213x x ==，，当230x +<，即32x <-时，原方程可化为：()222390x x +++=，整理得24150x x ++=，∵244115440D ´=--=´<，∴此方程无实数解．综上所述，原方程的解为：1213x x ==，．36．12x x 【分析】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，根据题意分50x -³和50x -<两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当50x -³时，即5x ≥时，原方程化为2520x x +--=，即230x x -+=，113a b c ==-=，，，∴()22Δ4141311<0b ac =-=--´´=-，∴原方程无解，②当50x -<时，即5x <时，原方程化为2520x x +--=，即270x x +-=，=1=1=7a b c -，，，∴()22Δ4141729>0b ac =-=-´´-=，x2x ．37．(1)3(2)1-；大；1(3)1(4)当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：（1）把原式利用配方法变形为()233x -+，再仿照题意求解即可；（2）把原式利用配方法变形为()211x -++，再仿照题意求解即可；（3）把原式利用配方法变形为()()22210x y -++=，再利用非负数的性质求解即可；（4）设m BF x =，则22m CF BF x ==，则3m BC x =，进而求出243m 3x AB -=，则()2243334483ABCD xS x x -=×=--+矩形，据此可得答案．【详解】（1）解：2612x x -+()2693x x =-++()233x =-+，∵()230x -³，∴()2333x -+³，∴当3x =时，2612x x -+的最小值为3；（2）解：22y x x=--2211x x =---+()211x =-++，∵()210x +³，∴()210x -+£，∴()2111x -++£，∴当1x =-时，22y x x =--有最大值，最大值为1，故答案为：1-；大；1；（3）解：∵224250x x y y -+++=，∴()()2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，∵()()222010x y -³+³，，∴()()22210x y -=+=，∴2010x y -=+=，，∴21x y ==-，，∴211x y +=-=；（4）解：设m BF x =，则22m CF BF x ==，∴3m BC x =，∴243m 3x AB -=，∴24333ABCD x S x -=×矩形 2324x x=-+()23448x =--+，∵()240x -³，∴()2340x --£，∴()2344848x --+£，∵315AD BC x ==£，∴05x <£，∴当4x =时，ABCD S 矩形最大，最大值为48，∴当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．38．B【分析】利用配方法表示出B A -，以及2B A =时，用含n 的式子表示出x ，确定x 的符号，进行判断即可．【详解】解：∵226A x x n =++，2224B x x n =++，∴()2222246B A x x n x x n -=+++-+2222246x x n x x n =--++-22x x=-()211x =--；∴当1x =时，B A -有最小值1-；当2B A =时，即：()22222426x x n x x n =++++，∴2222242122x x n x x n =++++，∴280x n -=³，∴0x £，即x 是非正数；故选项A,C,D 错误，选项B 正确；故选B ．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．39．C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．40．（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x （3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21(02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-。
1.九年级数学一元二次方程(全章学案)
第二章 一元二次方程一元二次方程的概念教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0） 2、能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。
3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。
重点难点：1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程： 一、做一做：问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程 通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。
其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b叫做一次项系数，c 叫做常数项。
. 三、 例题讲解与练习巩固例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y y =26 （2）（x-2）(x+3)=8 （3）2)2()43)(3(+=-+x x x说明：一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （a ≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0； 二是左边的二次项系数不能为0。
例3、方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？例4 、已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)公式法教案
21.2解一元二次方程21.2.2公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274xx -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=±，112x =+212x =-2.用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3）学生口答：化：把原方程化成x 2＋px＋q =0的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.x 2＋px＋(2p )2=－q＋(2p )2开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.(x+2p )2=－q＋(2p )2求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知探究一公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5）学生答：ax 2＋bx＋c=0(a≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c.二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a .配方，得x 2+b a x+2(2b a =-c a +2()2ba ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a 当240,-b a c≥.22b x a a +=±x 1=-b+b 2-4ac 2a ，x 2=-b-b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac≥0时，将a，b，c 代入式子x=42b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0;（出示课件9）学生思考后，共同解答如下：解：∵a=1，b=-4，c=-7,∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.4.2=x∴12=+x 22=x (2)2x 2x+1=0;（出示课件10）教师问：这里的a、b、c 的值分别是什么？解：2,21.==-=a bc 224(24210.△=-=--⨯⨯=ba c则方程有两个相等的实数根：12.2222-==-=-=⨯b x x a （3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --=1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根(4)46.22510-±--±±===⨯b x a 12464611,.10105+-====-x x （4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=acb△方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根;⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根;⑶当∆=b 2-4ac＜0时，一元二次方程没有的实数根.教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？学生思考后，共同总结如下：（出示课件14）用公式法解一元二次方程的一般步骤：1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.2.求出∆的值.3.(1)当∆>0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答.解：a=3,b=-6,c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.6.23±=⨯x 13,3+=x 2.3=x 探究二一元二次方程的根的情况出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x－1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x 2＋2x－8=0；⑵x 2=4x－4；⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解.师生共同总结如下：（出示课件18）一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac＞0时，有两个不等的实数根：12,;22b b x x a a-+--==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a-==（3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1不解方程，判断下列方程根的情况：（1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x²-2mx+4（m-1）=0.师生共同讨论解答如下：解：⑴a＝﹣1，b＝，c＝﹣6,∵△=b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0.∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3，c＝1,∵△=b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m，c＝4（m-1）,∵△=b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D⑵D出示课件23：例2m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程：解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0，∴m＞9 8-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=9 8-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0,∴m＜9 8-.∴当m＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b2−4ac=[−(m−1)]2−4[−3(m+3)]=m2+10m+37=m2+10m+52−52+37=(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0,∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜12.解方程x 2﹣2x﹣1=0．3.方程x 2－4x＋4＝0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k 的取值范围是（）A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠05.已知x 2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案：1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b 2﹣4ac=4+4=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，4222x 122b a -±±===±1211x x =+=-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x 2＋mx＝1-2m ，即2210x mx m ++-=.，∵，∴△>0.∴x 2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。
2020-2021冀教版数学九年级上册 24.4 一元二次方程的应用
拓展训练2020年冀教版数学九年级上册24.4 一元二次方程的应用基础闯关全练1．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A．45)1(x21=-xB．45)1(x21=+xC．x（x-1）=45 D．x(x+1)=452．某药品经过两次降价，每瓶零售价由81元降为64元，已知两次降价的百分率都是x，那么x满足的方程是( )A.81(1-x)²=64B.81(1-x²)= 64C.81x²= 64D.64(1+x)²=813．如图，给一幅长8 m，宽5m的矩形风景画（图中阴影部分）镶一个画框，若设画框的宽均为xm，装好画框后总面积为70m²，则根据题意可列方程为_____.能力提升全练1．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年人均收入为200美元，预计2017年年人均收入将达到1 000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入的平均增长率为x，则可列方程为( )A.200( 1+2x)=1 000B.200( 1+x)²=1 000C.200(1+x²)=1 000D.200+2x=1 0002．一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，则平均每次降价的百分率是( ) A．8% B．9% C．10% D．11%3．如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m²，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为____m．4．山西特产专卖店销售某种核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？三年模拟全练一、选择题1．（2019河北宁晋东城实验中学月考，8，★☆☆）某幼儿园要准备修建一个面积为210m²的矩形活动场地，它的长比宽多12 m，设场地的长为xm,可列方程为( )A.x(x+12)=210B.x（x-12)=210C.2x+2(x+12)=210D.2x+2(x-12)=2102．（2019河北保定满城期中，13，★☆☆）云南省某市2018年现有森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大“绿水青山就是金山银山”的号召，现计划在两年后将本市的绿化面积增加到24.2万亩，设每年平均增长率为x，则列方程为( )A.20(1+x)×2= 24.2B.20（1+x）²=24.2×2C.20+20( 1+x)+20(1+x)²=24.2D.20（1+x）²=24.2二、解答题3．（2019河北衡水武邑中学月考，20，★★☆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边AB，BC的长分别为多少米.4．（2018河北秦皇岛开发区二中开学考试，23，★★☆）某水果店销售一种水果，其成本价是5元／千克，在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元／千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的售价每提高1元／千克，该水果店每天就会少卖出20千克．若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则售价应定为多少？五年中考全练一、选择题1．（2018四川绵阳中考，8，★☆☆）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( )A．9 B．10 C．11 D．122．（2018辽宁大连中考，8，★☆☆）如图，有一张矩形纸片，长为10cm，宽为6 cm，在它的四角上，各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm²，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为( )A.10×6-4×6x= 32B.(10-2x)(6-2x)=32C.（10-x）（6-x)=32D.10×6-4x²= 32二、填空题3．（2018山东日照中考，14，★☆☆）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x 米，根据题意，可列方程为______________.三、解答题4．（2017湖南常德中考，23，★★☆）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她妹妹在六一儿童节期间的对话，甜甜说：“2017年六一时，我们共收到484元微信红包．”妹妹说：“2015年六一时，我们共收到400元微信红包，不过我2017年收到的钱数比你的2倍还多34元，”请问：(1) 2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一期间收到的红包的年增长率是多少？(2) 2017年六一期间甜甜和她妹妹各收到了多少元的微信红包？核心素养全练高州中学的游泳馆平面图（如图所示）是一个长方形，长为60米，宽为40米，中央游泳池面积为1 500平方米，池边四周走道的宽度相同．现要举行200米游泳比赛，按规定每条赛道宽为2.5米，请你通过计算后按要求设计一个较为合理的赛道安排方案（方案包括赛道数和每条赛道的长，并在图中用虚线把赛道画出来）．24.4一元二次方程的应用基础闯关全练1．A由题意，每队与其他的(x-1)队比赛一场，则每队比赛(x-1)场，且任意两队之间只比赛一场，故一共比赛)1(x21-x场，∴45)1(x21=-x．故选A．2.A．∵两次降价的百分率都是x，∴81（1-x）²= 64．故选A．3．答案(8+2x)(5+2x)= 70解析由题意得装好画框后，矩形风景画加画框的长为( 8+2x)m，宽为(5+2x)m，∴可列方程为（8+2x）(5+2x)=70．能力提升全练1．B由题意得，2017年年人均收入为200( 1+x)²美元，故可列方程为200( 1+x)²=1 000.故选B．2．C设平均每次降价的百分率为x，根据题意得60（1-x）²=48.6，解得x₁=0.1=10%，x₂= 1.9（不合题意，舍去）．故选C．3．答案2解析设人行通道的宽度为xm，根据题意得，（30-3x ）（24 - 2x ）=480，解得x ₁= 20（舍去），x ₂=2，即人行通道的宽度是2m ．4．解析 (1)设每千克核桃应降价x 元，则可售出(100+2x×20)千克，根据题意，得(60-x-40) (100+2x×20) =2 240．化简，得x ²-10x+24=0，解得x ₁=4，x ₂=6．答：每千克核桃应降价4元或6元．(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为60-6= 54（元），设该店按原售价的m 折出售，则有60×10m= 54，解得m=9．答：该店应按原售价的九折出售．三年模拟全练一、选择题1.B 因为这个场地的长为xm ，所以宽为(x-12)m ，则这个矩形活动场地的面积为x(x-12)m ， 则x （x-12）=210．故选B ．2．D 根据题意可得一年后绿化面积为20( 1+x)万亩，两年后为20(1+x)²，则方程为20( 1+x)²=24.2．故选D ．二、解答题3．解析 设边AB 的长为x 米，则边BC 的长为（100 -4x ）米．根据题意得( 100-4x)x=400，解得x ₁= 20，x ₂=5，则 100-4x ₁= 20，100-4x ₂= 80.∵80＞25．∴x ₂=5舍去．即AB= 20米,BC= 20米，答：羊圈的边AB ，BC 的长分别是20米，20米．4．解析 设该水果的售价应定为x 元／千克，则可销售[160-20（x-7）]千克，由题意得（x-5）[160-20（x-7）]=420，化简得x ²-20x+96=0，解得x ₁=8，x ₂=12．答：售价应定为8元／千克或12元／千克，五年中考全练一、选择题1．C 设参加酒会的人数为x ， 根据题意得55)1(x 21=-x ，整理，得x ²-x-110=0，解得x ₁= 11，x ₂= -10（不合题意，舍去）． 故参加酒会的人数为11．故选C ．2．B 由剪去的小正方形边长是x cm 可得纸盒底面的长为（10 - 2x ）cm ，宽为(6-2x) cm ， 根据题意得( 10-2x)( 6-2x)= 32．故选B ．二、填空题3．答案x( x+40)=1 200解析 由题意可得，x （x+40）=1 200，故答案是x( x+40)=1 200．三、解答题4．解析 (1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一期间收到的红包的年增长率为x ，则400( 1+x)²=484，解得x ₁=0.1=10%，x ₂= - 2.1（舍去）．答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一期间收到的红包的年增长率为10%．(2)设2017年六一期间甜甜收到y 元红包，则她妹妹收到( 2y+34)元红包，则y+2y+34= 484，解得y=150．则 2y+34= 2×150+34= 334.答：2017年六一期间甜甜收到150元的微信红包，她妹妹收到334元的微信红包， 核心素养全练解析 设走道的宽为x 米，依题意得( 60-2x)（40 - 2x ）=1500,解得x=5或x=45（舍去）． 由x=5得60-2x= 50,40-2x= 30，即游泳池的长为50米，宽为30米．50÷25= 20条，赛道长为30米，200÷30=320（不是整数，舍去），30÷2.5 =12条，赛道长为50米，200÷5=4．方案：每条赛道的长为50米，可安排12条赛道．如图：。
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2020-2021学年 一元二次方程的解
数学
课题
一元二次方程的解
学 习 目 标
1、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解．。
2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
重点：探索一元二次方程的解或近似解 难点：培养学生的估算意识和能力 【学习过程】 一、温故而知新
1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_________________________.
2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
(1)2x 2―x+1=0 (2)―x 2+1=0 (3)x 2―x=0 (4)- 3 x 2=0
问题探究：
探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。
地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x 2
―13x+11=0
你能估算出地毯花边的宽度x 吗？
（1）x 可能小于0吗？说说你的理由；_____________________________. （2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？ （3）完成下表
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2
+72
=102
，也就是x 2
+12x ―15=0
（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ （2）x 的整数部分是_____？十分位是_______？ x
x
0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2-13x+11
备注（教师复备栏及学
生笔记）
x2+12x-15
所以 ___<x<___
进一步计算
x
x2+12x-15
所以 ___<x<___
因此x 的整数部分是___,十分位是___. 当堂训练：
完成课本34页随堂练习
学习体会：
五、课后作业备注（教师复备栏及学生笔记）。