经济数学模型

说明： 说明： (1) 函数 u = f (x1, x2,…, xn) 的自变量的变化 范围受到限制，必须满足m个约束条件。 (2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数 u = f (x1, x2,…, xn) 的极大值或极小值函数 u 的条件极值。
6. 简化交易费用下的模型 (1) 交易费用函数为
0, xi = 0; ci ( xi ) = pi ui , 0 < xi < ui ; p x , x ≥ u . i i i i
ci piui
0
ui
xi
(2) 由于固定费用pi ui 的存在在，使得前面 的模型是非线性模型，很难求解模型。 当M 很大而 ui 相对较小时，可略去 pi ui 的作用，即ci(xi)=pixi, 则资金约束条件变为：
考虑到投资越分散，总的风险越小。公 司决定在运用这批资金购买若干资产时，总 体风险用在资产Si中所投资产的最大风险来 度量。 购买资产Si 的需要支付交易费，其费率 为pi, 并且当购买额不超过u i时, 交易费按购 买额 ui 计算。设同期银行存款利率是r0=5%, 且存取款时既无交易费也无风险。
∂f fi = ∂xi
= 0, i = 1,2,K, n,
X =a
且 H = ( hij ) n ×n 是正定矩阵(海森矩阵)。
§1.2.3
二次多项式函数的极值
函数 f (x1, x2,…, xn)是二次多项式时，设 矩阵 AT=A，记
X = ( x1 , x2 ,K , xn )
T
T
f ( X ) = X AX + BX + C
T
则(1.6)变为
Y HY < 0
T
(1.7)
由于yi = xi –ai 在 0 附近变化时(1.7)式均 成立，所以YTHY <0 对所有Y 均成立，即H 是负定矩阵，或者说 –H 是正定矩阵。 注：矩阵H 的正定性的判断方法 (1)矩阵对应的二次型大于0； (2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0； (3) 矩阵H 的特征值全大于0。
模型准备
→ ←
模型假设
→ ←
模型建立
↓
模型检验 模型分析 模型求解
↓
模型应用
二、建立数学模型的一个实例
1、问题的提出： 、问题的提出： 设市场上有n 种资产Si( i=1,2,…,n) 可供 投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当 大的资金可用作一个时期的投资。公司财务 人员对这 n 种资产进行了评估，估计出在这 一时期内购买资产 Si 的平均收益率为 ri, 且 预测出购买资产Si 的风险损失为qi。
LP2：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
min max { qi xi } s.t.
∑(r − p ) x
i =1 n i i
n
i
≥h
∑ (1 + p ) x
i =1 i
i
= 1, xi ≥ 0.
LP3：
min ρ xn +1 − (1 − ρ )∑ ( ri − pi ) xi i =0 s.t. qi xi ≤ xn +1
n
∑ (1 + p ) x
i =1 i
n
i
= 1, xi ≥ 0.
§1.2 优化模型的求解方法
(1) 多元函数的无(有)条件极值； (2)* 线性(或非线性)规划方法；
§1.2.1 多元函数的极值
(一) 多元函数的极值 一 设 n 元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3 阶连 续偏导数，记
H = ( hij ) n×n 是负定矩阵(海森矩阵)。
定理1.2 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连 定理 续偏导数，且在点X = (a1, a2,…, an)T处邻域内 有定义，|H|≠0，则函数 f (x1, x2,…, xn) 在点 X=(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要条 件是
X =a
且矩阵A是负定矩阵。
推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个 推论 二次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点 X=(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要 条件是
∂f fi = ∂xi
= 0, i = 1,2,K, n,
X =a
且矩阵A是正定矩阵。
§1.2.2 多元函数条件极值 Lagrange multiplier
(二) 多元函数极值的判断 二
定理1.1 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连 定理 续偏导数，且在点X=(a1, a2,…, an)T处邻域内 有定义，|H|≠0，则函数 f (x1, x2,…, xn) 在点 X=(a1, a2,…, an)T处达到极大值的充分必要条 件是 ∂f fi = = 0, i = 1,2,K, n, 且 ∂xi X =a
⒈ 课程 名称： 经济数学模型 学分： 2 教师： 毛瑞华 电话： (028) 85413996 E-mail: maoruihua@ ruihuamao@(123456) QQ： 459519390
2. 参考书 1. 宏观经济数量分析方法与模型, 刘起运 主编, 高教 2. 经济数学模型, 洪毅 等 编著 华南理工大学 3. 经济学中的分析方法, 高山晟(美) 著, 刘振亚 译,中国人大 4. 经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特 著, 朱保华 钱晓明 译 上海财大 5. 经济学的结构---数量分析方法, Eugene Silberberg, Wing Suen 著, 高峰 等译, 清华
∑ (1 + p ) x
i =0 i
n
i
=M
在实际计算中，常假设M=1，则
表示投资于Si 的资金比例。
(3) 简化交易费用下的模型：
LP1：
max ∑ ( ri − pi ) xi i =1 s.t. qi xi ≤ k
n
∑ (1 + p ) x
i =1 i
n
i
= 1, xi ≥ 0.
∑∑ f
i =1 j =
n
n
ij X = a
( xi − ai )( x j − a j ) < 0
(1.6)
∂2 f 记 h = f = ij ij ∂xi ∂x j
, i, j = 1, 2,K , n
X =a
yi = xi − ai , i = 1, 2,K , n
Y = ( y1 , y2 ,K, yn ) , H = (hij ) n×n
需要解决几个问题： 3. 需要解决几个问题：
(1) 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要 且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标 进行量化； (2) 给出描述问题的数学提法； (3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析, 得 出结论； (4) 利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.
4.数学模型建模的步骤 4.数学模型建模的步骤
第一部分
经济数学模型的 概念及建模方法
1.1数学模型和模型的建立 §1.1数学模型和模型的建立
一、模型和数学模型
1. 模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题 而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过 对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和 认识。 2. 数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言 对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人 们更加深入地认识所研究的对象。
a.
∑ (x + c ( x )) = M
0, xi = 0; ci ( xi ) = pi ui , 0 < xi < ui ; i = 1,K, n, p x , x ≥ u . i i i i
i =0 i i i
n
c0 ( x0 ) = 0.
b. 记 x=(x0, x1, x2, …, xn)T, 1=(1, 1, 1, …,1)T, c=(c0, c1, c2, …, cn)T, r=(r0, r1, r2, …,rn )T,
注： 当B = 0，且C = 0 时，f (X)即是线性代 数中的二次型。
推论1.1 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是一个二 推论 次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点 X=(a1, a2,…, an)T 处达到极大值的充分必要条 件是
∂f fi = ∂xi
= 0, i = 1,2,K, n,
总净收益R(x), 整体风险Q(x)和总资金F(x)各为
R ( x ) = ∑ Ri ( xi ) = x r − c 1
T T i =0
n
Q ( x ) = max Q ( xi )
0≤i ≤ n n
F ( x ) = ∑ f i ( xi ) = (x − c ) 1
T i =0
4. 两目标优化模型
模型2 模型 给定盈利水平 r , 求最小化风险。 令 h = r M , 求解模型
min Q ( x ) s.t. R( x ) ≥ h F (x) = M , x ≥ 0
模型3 风险-收益 模型 给定投资者对风险 收益 风险 收益的相对偏好 参数ρ>0，求解模型
min S ( x ) = ρ Q ( x ) − (1 − ρ ) R ( x ) s.t. F ( x ) = M , x ≥ 0
(一)约束条件问题 一 约束条件问题
在一定的约束条件下求解问题的最优化解。 设n 元函数 u = f (x1, x2, …, xn ) 具有3 阶 连续偏导数，且有m 个约束条件：
g1 ( x1 , x2 ,K, xn ) = b1 g 2 ( x1 , x2 ,K, xn ) = b2 LLLLLL g m ( x1 , x2 ,K, xn ) = bm