矩阵理论经典书籍推荐
第1章 线性空间与线性变换-1
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事实上， a, b R a b ab R; R, a R a a R . 所以对定义的加法与数乘运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律： (1) a b ab ba b a; (2)(a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c); (3) R中存在零元素 1, 对于a R , 有
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例1 数域 F上的n维向量全体，按n维向量加法与n维 向量的数量乘法构成数域 F上的线性空间 F n 。 例2 数域 F 上 m n 阶矩阵全体，按矩阵的加法 和数乘，构成 F 上的线性空间 F mn 。 例3 数域 F上一元多项式全体按照多项式的加法以 及数与多项式的乘法构成 F 上的一线性空间 F[ x] 。
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第一章 线性空间与线性变换
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§1.1、线性空间的基本概念
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向 量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多 项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉 的一般运算，也可以是各种特殊的运算。
数的加法和数与函数的乘法构成线性空间 C[a, b]
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例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间， 或矩阵 A 的核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn} Ker( A)
向量个数 n 称为线性空间V 的维数，记为 dimV n
《矩阵的秩的等式及不等式的证明》
《矩阵的秩的等式及不等式的证明》摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.目录第一章绪论 (1)第二章预备知识 (2)第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3)第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6)第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10)第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15)第七章小结.................................................错误!未定义书签。
参考文献 (23)致谢 (2)第一章绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.第二章 预备知识定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3 数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：（1）以数域P 中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个s n ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行列交叉点上的2k 个元素按原来的次序组成的k 级行列式称为A 的一个k 级子式.定义5设A 为m n ⨯矩阵,称线性方程组0Ax =的解空间为A 的零空间(即核空间)，记作()N A ,即(){}0N A x Ax ==.引理1[1] 矩阵的行秩等于列秩.引理2[1] 任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3 n 阶方阵A 可逆0A ⇔≠.证明:充分性:当,0≠=A d 由**11()()A A A A E d d ==知A 可逆，且1*1.A A d-= 必要性:如果A 可逆，那么有1-A 使.1E AA =- 两边取列式，得11==-E A A ，因而0≠A .引理4[1] 矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为0，同时所有的1r +级子式全为0.引理5[1] 如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩. 证明：根据已知可知向量组()I 极大线性无关组可由()II 的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组()I 极大线性无关组的向量个数不超过()II 的极大线性无关组的向量个数，即()I 的秩不超过()II 的秩.引理6[1] 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为n r -，这里r 表示系数矩阵的秩，n r -也是自由未知量的个数.第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为r 的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题3.1 ()()T r A r A =．证明：由矩阵转置的定义,A 的行向量组就是T A 的列向量组，因此A 的行秩就是T A 的列秩，又由引理1知()()T r A r A =，命题证毕.命题3.2 ()()r kA r A =（其中0k ≠）.证明：kA 的行向量组可由A 的行向量组线性表出，A 的行向量组也可由kA 的行向量组线性表出，因此kA 的行向量组与A 的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知kA 与A 的秩相等,命题证毕.命题3.3 A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()r A r PA r AQ ==.证明：令B PA =,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知()()r B r A ≤,但是由1A P A -=，又有()()r A r B ≤．所以()()()r A r B r PA ==.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.命题3.4[2] 设A 是一个n 阶方阵，则()()()()*,1,10,2n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪≤-⎩如如如.证明：若()r A n =，由引理3，0A ≠，知A 可逆，*1A A A -=可逆，故()r A n *=． 若()1r A n =-，由引理4，A 存在1n -阶子式不为0，因此*0A ≠,()1r A *≥，又因为*0AA A E ==，有()()*r A r A n +≤，即()()*1r A n r A ≤-=，从而()*1r A =．若()2r A n ≤-，则由引理4，A 存在1n -阶子式全为0，于是*=0A ，即()*0r A =．命题证毕.从这个命题可以得出()()*r A r A ≤的结论.命题 3.5［３］ 设A 是一个m n ⨯矩阵，任取A 的s 行t 列,交叉处的s t ⨯个元素按原来的相对位置构成s t ⨯子矩阵C ，则()()r C m n r A s t ++≥++．证明:设D 为A 的s 行所构成的s t ⨯子矩阵，它由C 所在的s 行确定.设()r D d =.则A 的任意一个大于d m s +-阶的子式M 必须至少有1d +行出现在D 中.根据行列式的性质，对这个子式M 按出现在D 中的那些行进行拉普拉斯展开，则可以看出，这个M 可以表示成D 的一些阶子式的线性组合，其中k 为某个大于d 的数.由引理3这些子式全为零.因此任意一个大于d m s +-阶子式M 必须等于零.由秩的定义,()()r A r D m s ≤+-.由行与列的对称性类似地可推出()()r D r C n t ≤+-,两式相加即可得到()()r C m n r A s t ++≥++，命题证毕.命题3.6［４］ 设,A B 都是n 阶矩阵,证明:()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明:()()()r AB A B r A B E B ++=++()()r A B E B ≤++()()r A r B ≤+，命题证毕. 例3.1 设A 为n 阶方阵，求证必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.证明:由于A 为n 阶方阵，则()()()20i n r A r A r A ≥≥≥≥≥,其中i 为正整数,而n 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.例3.2设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，证明()()()r AB E r A E r B E -≤-+-.证明:因为()()AB E A E A B E -≤-+-,所以()()()()()()()()()r AB E r A E A B E r A E r A B E r A E r B E -=-+-≤-+-≤-+-. 命题3.7设A 为n 阶矩阵，证明:如果2A E =,那么()()r A E r A E n -+-=.证明： 因为()()20A E A E A A A E E E -+=+--=-=,由命题5.3知()()r A E r A E n -+-≤. ①又 ()()()()()2r A E r A E r A E A E r A r A -++≥++-==而2A E =，所以21A =,即0A ≠，()r A n =. 因此()()r A E r A E n -+-≥. ②由①，② 可得()()r A E r A E n -+-=.例3.3[5] 设A ,B 为n 阶方阵,且1=,ABA B -则()()n AB E r AB E r =-++.证明:因为,1-=B ABA 所以()E AB =2.由命题3.7知()()n E AB r E AB r =-++ (1)由 ()()E AB r AB E r +=+,()()E AB r AB E r -=- (2)由(1),(2)知有()()n AB E r AB E r =-++成立.例3.4设A 为n 阶矩阵,且2A A =,证明()()r A r A E n +-=.证明：由2A A =，可得 ()0A A E -=.()()r A r A E n +-≤ ①又因为E A -和A E - 有相同的秩,所以()()()()n r E r A E A r A r E A ==+-≤+- ②由①，② 可得()()r A r A E n +-=.第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射．命题4.1 A 设为n 阶方阵，如果A 的列向量所生成的n R 的子空间()R A 与A 的零空间（即核空间）()N A 的直和为n R ，则()()2r A r A =.证明:根据引理6，要证()()2r A r A =，只要证0AX =与20A X =同解．0AX =的解显然为方程组20A X =的解.下面我们用反证法证明20A X =的任一解Y 同时也是20A X =的解.若0AY ≠，因()0A AY =,故()AY N A ∈.另一方面，()1ni i i AY y R A α==∈∑，其中()12,,,n A ααα=，()12,,,Tn Y y y y =, 从而 ()()0AY R A N A ≠∈⋂,这与()()n R R A N A =⊕矛盾,所以20A X =的任一解同时也是0AX =的解,于是它们同解,故()()2r A r A =.命题4.2 设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明Sylrester 公式：()()()+-r A r B n r AB ≤.证明:设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵,考虑1n x X x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1n y Y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 方程组0(1)0(2)0(3)ABX BX AY =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ,设（1）（2）（3）的解空间分别为AB V ，B V ，A V ，则()dim A V n r A =-，将三者联系起来，作{}AB BX x V ∈，则它为A V 的子空间，从而{}()dim dim AB A BX x V V n r A ∈≤=-，又B V 为AB V 的子空间，作：AB B V V W =⊕一方面()()()()()dim dim dim 11AB B W V V r AB r B r B r AB =-=---=- 下证{}AB W BX X V ≅∈定义 {}:AB f W BX X V →∈()f B ξξ=易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.{}()()dim dim AB W BX X V r B r AB =∈=-但上面：{}()dim dim AB A BX X V V n r A ∈≤=-.因此 ()()()n r A r B r AB -≥-，即 ()()()r A r B n r AB +-≤．命题4.3 设A 为m n ⨯，B 为n m ⨯矩阵，AB BA =．证()()()()AB r B r A r B A r -+≤+． 证明:设4321,,,w w w w 分别为A ,B ,A B +,AB 行空间,那么()1dim w r A =, ()2dim w r B =()3dim w r A B =+, ()4dim w r AB =由于213w w w +⊆,并由维数公式得:()31212dim dim dim dim w w w w w ≤+=+()21dim w w ⋂-即得:()()()()12dim r A B r A r B w w +≤+-⋂ (1)由于AB 的行向量是B 的行向量的线性组合,所以有24w w ⊆,又AB BA =,所以有14w w ⊆,因此有214w w w ⋂⊆,所以有()()21dim w w AB r ⋂≤ (2).将(2)代入(1)即得: ()()()()AB r B r A r B A r -+≤+.命题4.4 若()()r AB r B =，证明()()r ABC r BC =.证明：设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ，B V .若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ① 又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ② 由① ②可推出AB B V V =.要证()()r ABC r BC =，只要证0ABCX =与0BCX =同解. 设方程组0ABCX =与0BCX =的解空间分别为ABC V ，BC V . 显然ABC BC V V ⊇,只要证ABC BC V V ⊆.由0ABCX =知AB B CX V V ∈=,即0BCX =，因此ABC BC V V ⊆，命题得证. 此例是一个有价值的结论.例4.1 n 阶矩阵A 满足2A A =当且仅当()()r A r A E n +-=.证明：先证明必要性.由2A A =知A 相似于形如0110A ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的对角阵，其中1的个数为()r A ,又E A -与0E A -相似，从而有相同的秩，而0110E A ⎛⎫ ⎪⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中0的个数为A 的秩，1的个数()n r A -.所以()()()()()()00r A r E A r A r E A r A n r A +-=+-=+-=.充分性.只要证明对任意X 均有2A X AX =即可.由()()r A r E A n +-=说明,10AX =的解空间1V 与()20E A X -=的解空间2V 满足12n V V R ⊕=,从而对任意X 存在唯一分解12X X X =+其中1122X V X V ∈∈,所以()()()()22121222121200A X A X X A AX A AX A AX X AX AX A X X =+=+=+=+=+=+AX =综上即证2A A =.命题4.5设,A B 分别是,m m m n ⨯⨯矩阵，A 其中为可逆矩阵,证明()().r AB r B = 证明：设121212,(,,...,),(,,...,),(,,...,)m n n AB Q A B Q αααβββγγγ====， 则 1211122212(,,...,),(,,...,),...,(,,...,)m m m n n αααβγαααβγαααβγ=== 因为A 为可逆矩阵，秩为m ，故可将12(,,...,)m ααα看做m 维线性空间的一组基， 则12,,...,n γγγ向量在这组基下的坐标向量分别为12,,...,n βββ.作1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ，在这两个线性空间中构造映射，将12(,,...,)n l γγγ中的每个向量映射到在基12(,,...,)m ααα下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ这两个线性空间同构，所以1212dim((,,...,))dim((,,...,))n n l l βββγγγ=，而1212dim((,,...,))(),dim((,,...,))()n n l r B l r AB βββγγγ==.所以()().r AB r B = 同理可证明B 当为可逆矩阵时,()().r AB r A =这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好好理解线性空间和线性变换的一些知识，重要定理和性质，再把握它们同矩阵的联系.第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.命题5.1设A 是m n ⨯矩阵，B 是m p ⨯矩阵,则()r A 或()()()()r B r A B r A r B ≤≤+. 证明：()A B 列向量组向量的个数比A 和B 多，所以()r A 或()()r B r A B ≤． 下面证明()()()r A B r A r B ≤+.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B的列向量组的极大线性无关组,则()A B 的每个列向量均可用向量组121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B线性表出,根据引理5可知()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B ≤≤+=+.命题证毕.命题5.2设A ,B 是m n ⨯矩阵，()()()()()r A r B r A B r A r B -≤±≤+. 证明：先证明()()()r A B r A r B +≤+. 设()12,,n A A A A =,()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出，由引理5知 ()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B +≤≤+=+.再证明()()()r A r B r A B -≤+.由刚证明的结论()()()r A B r A r B +≤+可知()()()()()()()()r A r A B B r A B r B r A B r B =++-≤++-=++,移项得到()()()r A r B r A B -≤+,同理可得()()()r B r A r A B -≤+,因此()()()r A r B r A B -≤+. 综上所述我们证明了()()()()()r A r B r A B r A r B -≤+≤+，对于()()()()()r A r B r A B r A r B -≤-≤+，只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.由命题3.1()()T r A r A =,命题3.2()()r kA r A =（其中0k ≠）和本命题可推知()()()r kA lB r A r B +≤+（其中0kl ≠）.例5.1设A ,B 是m n ⨯矩阵,证明:()()r A B r A B ±≤. 证明:先证明()()r A B r A B +≤. 设()12,,n A A A A = ()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++ ()()1212,,,,,n n A B A A A B B B =.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出,由于 121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B也是来自于()A B 的列向量组的向量,所以A B +的列向量也可以由()A B 的列向量组线性表出,根据引理5可知()()r A B r A B +≤.对于()()r A B r A B -≤, 只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.命题5.3设A 是m n ⨯矩阵，B 是n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤. 证明：设 ()12,,,p B B B B =，则()12,,,0p AB AB AB AB ==.故有120p AB AB AB ====,即齐次方程组0AX =有p 个解12,,,p B B B .若()r A r =，则根据引理6,12,,,p B B B 可由n r -个解向量组成的基础解系线性表出.根据引理5有()r B n r =-,()()()r A r B r n r n +≤+-=,命题证毕. 例5.2 A 是m n ⨯矩阵，则()()()()T T T r A A r AA r A r A ===. 证明：由命题3.1知()()T r A r A =.下面我们先证明()()T r A A r A =. 只要证明0T A AX =与0AX =同解便可得到()()T r A A r A =. 一方面，满足0AX =解向量也满足0T A AX =；另一方面，由0T A AX =两边同时左乘T X 得到0T T X A AX =，即()()0TAX AX =，设1n k AX k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么()()2210T n AX AX k k =+=,所以0i k =()1,2,,i n =，0AX =，满足0T A AX =的解也满足0AX =．综上所述0T A AX =与0AX =同解,解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知()()T n r A A n r A -=-，()()T r A A r A =.对()()T T r AA r A =证明过程与此类似，所以()()()()T T T r A A r AA r A r A ===，命题证毕.例5.3 证明：若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则()()r A r B ≥. 证明：设方程组0AX =与0BX =的解空间分别为A V ,B V ，若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则A B V V ⊆,()()dim dim A B V V ≤根据引理6有()()n r A n r B -≤-,即()()r A r B ≥，命题得证.例5.4设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明0ABX =与0BX =同解的充分必要条件为()()r AB r B =.证明：设方程组0ABX =,0BX =解空间分别为AB V ,B V . 必要性：若AB B V V =，()()dim dim AB B V V =,根据引理6可知()()n r AB n r B -=-,可以推出()()r AB r B =.充分性：若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ①又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ②由① ②可推出AB B V V =.命题证毕.命题 5.4设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵，证明()()(){}min ,r AB r A r B ≤即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.证明: 构造齐次线性方程组0ABX =与0BX =,设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ,B V .显然，满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇,()()dim dim AB B V V ≥, 根据引理6知()()r AB r B ≤.再构造齐次线性方程组0T T B A X =与0T A X =，同理可得()()T T T r B A r A ≤,即()()r AB r A ≤.综上所述()()(){}min ,r AB r A r B ≤.此命题用归纳法可以推广为：如果12m A A A A =那么1()()min j j mA A ≤≤≤秩秩.例 5.4 如果m n ⨯方程组0AX =的解为方程11220n n b x b x b x +++=的解，其中()'12,,,n X x x x =，求证()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.证明：由已知可知0AX =与120,,,n A X b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解，根据引理6它们的系数矩阵的秩相等,所以 ()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.例6.1[4] 设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵， 求证()()(){}min ,r AB r A r B ≤,即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩．证明：设111212122212m m n n nm a a a a aa A aa a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，111212122212s s m m ms b b b b bb B b b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭令12,,,m B B B 表示B 的行向量，12,,,n C C C 表示C AB =的行向量。
刘金峰线代讲义
刘金峰线代讲义（最新版）目录1.刘金峰线代讲义概述2.线性代数概念与基本理论3.矩阵及其运算4.线性方程组及其解法5.特征值与特征向量6.二次型7.线性变换与矩阵8.应用实例与习题解答正文一、刘金峰线代讲义概述《刘金峰线代讲义》是一部关于线性代数课程的辅导讲义，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念、理论和方法。
全书共分为八个部分，依次为线性代数概念与基本理论、矩阵及其运算、线性方程组及其解法、特征值与特征向量、二次型、线性变换与矩阵、应用实例与习题解答。
本书在内容编排上注重理论与实践相结合，既有丰富的例题分析，又有实际应用案例，适合于各类本科生、研究生及教师学习和参考。
二、线性代数概念与基本理论线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、向量空间（或称线性空间）、线性方程组、矩阵、线性变换等概念及其性质。
线性代数的基本理论包括向量空间的概念、性质、基与维数、子空间、线性相关与线性无关等。
三、矩阵及其运算矩阵是线性代数的核心概念之一，可以用来表示线性方程组、线性变换等。
矩阵的运算包括矩阵加法、数乘、矩阵乘法、求逆、行列式等。
本书对矩阵的运算进行了详细的讲解，并给出了丰富的例题。
四、线性方程组及其解法线性方程组是线性代数的一个基本对象，可以用来描述现实世界中的许多问题。
本书介绍了线性方程组的基本解法，如有唯一解、无解、有无穷多解的情况，以及高斯消元法、克莱姆法则等求解方法。
五、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论的重要概念，可以用来描述线性变换对向量的作用。
本书详细介绍了特征值与特征向量的概念、求解方法，以及它们在矩阵对角化、线性变换等方面的应用。
六、二次型二次型是线性代数的一个重要概念，可以用来描述空间中的点或向量的平方和。
本书介绍了二次型的概念、性质、标准型、正定二次型等，以及它们在几何、物理等领域的应用。
七、线性变换与矩阵线性变换是一种将向量空间映射到另一个向量空间的运算，而矩阵是线性变换的一种表示。
[转]一些矩阵论的书
![[转]一些矩阵论的书](https://img.taocdn.com/s3/m/ada302ca5ff7ba0d4a7302768e9951e79b896907.png)
[转]一些矩阵论的书线性代数：国内的我觉得李尚志的线性代数和蓝以中的高代简明教程非常好，概念讲解很通俗易懂，学计算技巧的话建议研读许以超的线性代数与矩阵论（第二版），里面有传说中的打洞技巧。
龚晟写了本小书《线性代数五讲》，观点很高，阅读时需要有一定代数基础。
国外的最好的书我认为是strang的Linear Algebra and Its Applications 最新是第三版，这本书临睡前看可能兴奋的让人失眠的，其中有侯自新翻译的第2版的译本叫线性代数及其应用。
strang在mit 讲课视配套的是An Introduction To Linear Algebra，找不到电子版，国内近几年引进的David C Lay的Linear Algebra And Its Applications 与leon的Linear Algebra with Applications都不错。
最近读过的David.Poole的Linear Algebra 内容上同lay的书差不多，但讲解要清晰，是一本难得的好书。
国外的线性代数书籍基本上结合一些数值分析方面的问题，而且讲国内书不常讲的svd，LMS，有时还讲一点伪逆，一般结合应用，讲的非常好，也让人感觉线性代数非常美。
矩阵论：Meyer C.D的Matrix analysis and applied linear algebra很好懂，可作为线性代数到矩阵论的过渡书籍。
张贤达的《矩阵分析与应用》与Horn,R.A.的Matrix Analysis 可作为参考手册，经常翻翻不坏。
方保镕的矩阵论书有几章不错，比如广义逆那章。
程云鹏的矩阵论已经出到第3版了（和第2版区别不大），是许多学校的考博参考书，我觉得一般。
矩阵计算：Watkins D. Fundamentals of Matrix Computations最容易最好看的矩阵计算书籍，千万别错过！GENE.H.GOLUB 矩阵计算，经典名著，网上有评价。
数学专业经典书籍
一、“数学分析”“数学分析”是数学或计算专业最重要的一门课，而且是今后数学专业大部分课程的基础，经常从一个知识点就能引申出今后的一门课，同时它也是初学时比较难的一门课。
这里的“难”主要是指对数学分析思想和方法的不适应（高等数学上的方法与初等数学的方法有很大不同），其实随着学习的深入，适应了方法后，会感觉一点一点地容易起来，比如当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。
数学系的数学分析讲三个学期(各个院校应该一样吧)，学的时间也够长的~本课程主要讲的是以集合为基础而发展起来的变量和函数中的数学规律、分析与计算，是通往高等数学领域的基础工具之一。
这么多年来，国内外出现了很多非常优秀的教材和习题集以及辅导书，而且很多高校一直使用着。
【教材】国内比较好的有(仅列出主要的，排列不分先后，下同)：1《数学分析》(共两册) 华东师范大学数学系编著这应该是师范类使用最多的书，课后习题编排的还不错，同时这也是考研用得比较多的一本书。
书的最后讲了一些流形上的微积分。
虽然是师范类的书，不过还是值得一看的。
2《数学分析新讲》(共三册) 张筑生著很好的书，内容和高度在国内算得上是比较突出的。
值得一提的是，张老师文笔清晰详细，证明深入浅出，通俗易懂。
这个对初学者来说非常有帮助。
本书同时也被公认为是一本具有新观点的书，主要体现在一些经典问题处理方法上与一般的书有所不同：本书比较强调一般化，融入了一些更高的观点，如泛函、点集拓扑等。
尤其精彩的是，这本书里面提供了一些问题讨论的专题附录，如Stolz定理、正交曲线坐标系中的场论计算、二项式级数在收敛区间端点的敛散情况、布劳威尔不动点定理、斯通－维尔斯特拉斯逼近定理及其证明，等等。
本书书在证明过程中通过技术化处理，降低了难度，容易被一般人理解。
遗憾的是书中没有课后习题，又由于书写的早，有的符号以现在的观点来看，不是很标准(按照张老师本人的说法，北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂，所以版面不是很好看)；另外感觉实数理论部分和含参数广义积分那章的内容写得不太全面。
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§1.1
= −2.
方阵行列式的运算性质
(1) (2)
AT = A ;
λ A = λn A ;
(3)
AB = A B
6. 方阵的迹
定义: n 阶方阵 A 的对角元素的和称为 A 的迹， 记作 tr( A)，即
tr( A) = a11 + a 22 +
方阵迹的运算性质
(1) tr( A) + tr( B ) = tr( A + B ) ;
(1) (2) (3) (4)
(AT)T = A; (A+B)T = AT + BT; (λA)T = λAT; (AB)T = BTAT;
5. 方阵的行列式
定义: 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做 方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
⎛ 2 3 ⎞, 则 A = 2 3 例如: A = ⎜ ⎟ 6 8 6 8⎠ ⎝
• • • • • • 基础知识和矩阵的分解 矩阵的标准形 线性空间与线性变换 内积空间 矩阵分析 矩阵的广义逆
线性代数基础知识
• 矩阵的基本运算 • 线性方程组的解的结构以及求解方法 • 矩阵的特征值与特征向量 • 实对称矩阵的基本性质
§1.1 矩阵的基本运算
定义: 由m×n个数 aij ( i =1, 2, ···, m; j =1, 2, ···, n ) 排成的 m 行 n 列的数表: a11 a12 a1 n a 21 a 22 a2n
+ a nn
( 2) tr( kA) = k tr( A) ;
( 3) tr( AB ) = tr( BA) ;
7. 共轭矩阵
定义: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用 a ij 表示aij 的共轭 复数, 记 A = (a ij ), 称 A 为A 的共轭矩阵. 运算性质 设A, B为复矩阵, λ为复数, 且运算都是可行的, 则:
管理咨询书籍
管理咨询书籍
以下是一些管理咨询方面的书籍推荐：
1. 《管理咨询：原理与实践》- 彼得·布洛克等
2. 《管理咨询：理论与方法》- 郭建中
3. 《管理咨询的精髓》- 陈丽萍
4. 《管理咨询：问题与策略》- 高援民等
5. 《管理咨询的方法与技巧》- 楼门磊等
6. 《管理咨询师的核心素养》- 吴健民
7. 《问题导向的管理咨询》- 舒亮等
8. 《矩阵管理咨询》- 周勇
9. 《管理咨询导论》- 林业超
10. 《管理与咨询的实质》- 施耐德等
这些书籍涵盖了管理咨询的理论、方法与实践，适合想要从事管理咨询工作或对该领域有兴趣的读者阅读。
工程矩阵理论
精彩摘录
精彩摘录
《工程矩阵理论》是一本深入浅出，理论与实践相结合的优秀教材。它用清 晰的语言和丰富的例子，为读者揭示了矩阵理论在工程领域中的广泛应用和深远 影响。以下是本书中的一些精彩摘录，它们从不同的角度展示了矩阵理论的魅力 和重要性。
精彩摘录
“矩阵不仅是数学中的一个基本工具，也是工程师解决实际问题的重要武器。 在信号处理、控制系统、电路设计、图像处理等领域，矩阵理论都发挥着不可替 代的作用。”这段话强调了矩阵理论在工程实践中的广泛应用，提醒我们要重视 矩阵理论的学习和应用。
目录分析
目录分析
《工程矩阵理论》是一本专注于工程领域的矩阵理论教材，其目录结构精心 组织，内容深入且全面。本书旨在向工科研究生提供关于矩阵论的深入理解和应 用技能。以下是对这本书目录的详细分析。
目录分析
目录首先引入了“线性空间与线性映射”这一章节。线性空间是矩阵理论的 基础，它定义了向量空间的性质和运算规则。线性映射则描述了线性空间之间的 变换关系，这是理解矩阵在空间中如何操作的关键。
精彩摘录
“矩阵的秩是矩阵理论中的一个核心概念，它反映了矩阵行列之间的线性关 系。在解决实际问题时，通过计算矩阵的秩，我们可以判断系统的可控性、可观 性、稳定性等关键性质。”这段话揭示了矩阵秩在工程问题中的重要应用，体现 了矩阵理论在解决实际问题中的价值。
精彩摘录
“特征值和特征向量是矩阵理论中的两个重要概念，它们与矩阵的对角化、 相似变换等概念紧密相关。在控制系统的稳定性分析、信号处理中的滤波器设计 等领域，特征值和特征向量的应用广泛而深入。”这段话展示了特征值和特征向 量在矩阵理论中的重要地位，以及它们在工程实践中的应用。
精彩摘录
“矩阵分解是矩阵理论中的一个重要方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为 几个简单的矩阵的乘积。通过矩阵分解，我们可以简化计算过程，揭示矩阵的内 在结构，为解决实际问题提供便利。”这段话阐述了矩阵分解的重要性和应用， 体现了矩阵理论在解决实际问题中的灵活性和实用性。
矩阵式管理书籍
矩阵式管理书籍
矩阵式管理是一种组织结构，其中员工同时向多个经理报告。
这种结构有助于加强不同部门之间的协作和合作，但也可能导致角色和责任模糊。
以下是一些关于矩阵式管理的书籍：
1. 《矩阵组织：从战略到运营》（作者：David al.）：这本书详细介绍了矩阵式组织的概念、优势和挑战，并提供了实用的案例和工具，帮助读者了解如何实施和管理矩阵式组织。
2. 《矩阵领导力》（作者：Mike Robbins）：这本书探讨了矩阵领导力的概念，以及如何通过有效的领导来提高矩阵组织的效率和绩效。
它提供了实用的领导技巧和工具，帮助读者在复杂的组织结构中成功地领导团队。
3. 《矩阵式管理》（作者：Clayton M. Christensen）：这本书详细介绍了矩阵式管理的概念、原则和实践，并提供了丰富的案例和工具，帮助读者了解如何实施和管理矩阵式组织。
4. 《项目管理中的矩阵式管理》（作者：John Smart）：这本书专注于项目管理中的矩阵式管理，探讨了如何通过有效的项目管理来提高矩阵组织的效率和绩效。
它提供了实用的项目管理技巧和工具，帮助读者在复杂的组织结构中成功地管理项目。
这些书籍提供了对矩阵式管理的深入理解和实用建议，可以帮助您更好地实施和管理矩阵式组织。
雅可比矩阵和行列式
雅可比矩阵和行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述雅可比矩阵和行列式是线性代数中的两个重要概念，它们在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
雅可比矩阵是由一组向量的偏导数组成的方阵，而行列式则是一个矩阵的一个标量值。
雅可比矩阵在数学和工程领域中有着广泛的应用。
它可以用来描述多变量函数的导数，从而在优化和控制理论中起到关键作用。
雅可比矩阵还可以用来解决线性方程组、求解非线性方程和最小二乘法等问题。
在机器学习和人工智能领域，雅可比矩阵常常用于计算梯度和求解优化问题。
行列式是线性代数中另一个重要的概念。
它是一个方阵的一个标量值，常用来描述线性变换对空间的拉伸和旋转效果。
行列式的值可以告诉我们方阵的特征，比如它是否可逆或奇异。
行列式也可以用来解决线性方程组的问题，判断线性相关性和计算向量的体积。
本文将从定义、性质、计算方法和应用领域四个方面介绍雅可比矩阵和行列式。
首先，我们将给出雅可比矩阵和行列式的数学定义，为读者提供清晰的概念框架。
然后，我们将详细讨论它们的性质，包括可逆性、特征值和特征向量等。
接下来，我们将介绍计算雅可比矩阵和行列式的方法，包括手工计算和数值计算。
最后，我们将探讨雅可比矩阵和行列式在各个领域的应用，包括优化、控制理论、机器学习等。
通过对雅可比矩阵和行列式的全面讨论，本文旨在帮助读者深入理解它们的概念和应用。
这将为读者在数学和工程领域的学习和研究提供基础，并鼓励读者进一步探索相关领域的知识。
在本文的结论部分，我们将总结主要观点，并展望未来对雅可比矩阵和行列式的研究方向。
最后，我们还将提供一些建议进一步阅读的参考资料，以便读者深入学习和了解这一领域的更多内容。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以描述整篇文章的组织和内容分布。
以下是可以使用的示例内容：在本篇文章中，我们将讨论雅可比矩阵和行列式的相关概念、性质、计算方法和应用领域。
文章主要分为四个部分。
第一部分是引言部分。
我们将概述本文的主题，介绍雅可比矩阵和行列式在数学和应用领域的重要性。
学习矩阵论有什么书推荐？
矩阵论是现代数学中的重要分支，它在各个领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、统计学等。
学习矩阵论可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，因此推荐以下几本书籍供大家参考。
1.《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）这是一本经典的线性代数教材，由Gilbert Strang撰写。
这本书详细介绍了线性代数的基本概念，如向量、矩阵、线性变换等，并探讨了线性代数在各个领域中的应用。
书中还包括了大量的例题和习题，帮助读者更好地理解和掌握知识。
2.《矩阵分析与应用》（Matrix Analysis and Applied Linear Algebra）这是一本由Carl D. Meyer撰写的矩阵论教材，它介绍了矩阵论的基本理论和应用。
书中包括了大量的例题和习题，可以帮助读者更好地理解和掌握知识。
书中还介绍了一些高级的矩阵理论，如奇异值分解、特征值分解等，这些理论在实际问题中有着广泛的应用。
3.《矩阵计算》（Matrix Computations）这是一本由Gene H. Golub和Charles F. Van Loan撰写的矩阵论教材，它介绍了矩阵计算的基本理论和算法。
书中包括了大量的算法和代码实现，可以帮助读者更好地理解和掌握知识。
书中还介绍了一些高级的矩阵计算方法，如特征值计算、奇异值计算等，这些方法在实际问题中有着广泛的应用。
通过学习以上推荐的书籍，我们可以深入了解矩阵论的基本理论和应用，掌握矩阵计算的基本算法和方法，从而更好地解决实际问题。
学习矩阵论是非常重要的，它不仅可以帮助我们理解和解决实际问题，还可以提高我们的数学素养和分析能力。
我推荐大家选择一本适合自己的矩阵论教材，认真学习并掌握其中的知识。
矩阵力量：线性代数全彩图解微课Python编程
矩阵的行列式是数学中的一种计算，表示一个矩阵所代表的变换的性质。如 果一个矩阵的行列式为零，那么它所代表的变换就失去了方向性，变得无法辨别。
向量是一个有方向的量，可以用一个有序的数列表示。向量的长度可以用它 的模来表示，而两个向量的夹角可以用它们的点积来计算。
特征向量是一个向量，它与一个矩阵相乘后，得到的仍然是原矩阵的一个倍 数。特征向量的长度和方向都不受影响，因此可以用来描述矩阵所代表的变换的 性质。
这部分对线性代数和Python编程进行了总体的介绍，说明了为什么学习这些 重要概念和方法，以及本书的目标和结构。
矩阵和向量：这一节主要介绍了矩阵和向量的基本概念，包括定义、记号、 大小、行列式等。通过色彩丰富的图形，展示了矩阵和向量的基本性质。
线性变换：这个部分深入探讨了线性变换的概念和性质，包括定义、矩阵表 示、逆变换等。通过简单的Python代码示例，展示了如何实现线性变换的计算。
矩阵力量：线性代数全彩图解 微课Python编程
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
python
分解
编程
读者
概念
轻松
图解
python
力量
编程 实例
数学
矩阵
矩阵
通过
可以
教
这部分提供了大量的Python编程练习题，旨在帮助读者加深对线性代数概念 的理解，提高编程技巧。通过解决这些问题，读者可以更好地理解和掌握线性代 数的概念和算法，以及如何在Python中实现这些概念和算法。
作者简介
作者简介
这是《矩阵力量：线性代数全彩图解微课Python编程》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
正定矩阵通俗解释
正定矩阵通俗解释正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程应用中有着广泛的应用。
所谓正定矩阵，指的是一个实对称矩阵，且对于任意的非零实向量，该矩阵与向量的内积都大于零。
正定矩阵的定义可能较为抽象，下面将通过通俗的语言来解释正定矩阵的概念。
我们先来理解一下内积的概念。
在日常生活中，我们经常会遇到两个物体之间有一种“相关性”。
例如，买菜的时候，某种蔬菜的价格与其重量有一定的关系，重量越大价格越高。
在这个例子中，我们可以将价格看作一个向量，重量看作另一个向量，两者之间的乘积就是它们的“内积”。
类似地，在数学中，我们可以将两个向量之间的乘积称为内积，它虽然不是数值，但它反映了两个向量的关系，从而对于一些数学理论和应用有着重要的意义。
回到正定矩阵，正定矩阵是对内积的一个扩展，它不仅仅是两个向量之间的内积大于零，而是矩阵与任意非零实向量的内积都大于零。
这意味着正定矩阵不仅仅是某两个向量之间有一种关系，而是对于所有的向量都有一种“正相关性”。
可以这样理解，正定矩阵是一种描述向量集合的方式，它反映了向量集合中的向量之间的整体关系。
正定矩阵在数学和工程应用中有着广泛的应用。
在数学领域，正定矩阵是研究线性代数、数值分析、微分方程等领域的基础工具。
它在数值计算中的应用尤为重要，例如在求解线性方程组、最小二乘拟合、优化算法等问题中都用到了正定矩阵。
在工程应用中，正定矩阵常常用于描述物理系统的性质和行为，例如热传导、弹性力学、信号处理等。
在机器学习和人工智能领域，正定矩阵也被广泛应用于特征提取、模式识别等任务中。
为了更深入地了解正定矩阵，下面给出一些相关的参考内容，供读者进一步学习和了解。
1. 《线性代数及其应用》（作者：Gilbert Strang）这本教材是线性代数领域的经典之作，其中有一个章节专门介绍正定矩阵及其应用。
适合想要深入了解正定矩阵的读者阅读。
2. 《秩量及其应用》（作者：J. W. S. Cassels）这本书是关于代数几何和数论中的秩量理论的经典教材之一。
矩阵之美基础篇
精彩摘录
除了以上这些摘录，书中还有许多其他精彩的观点和解释。这些内容不仅有 助于我们更好地理解矩阵的本质和应用，还能够激发我们对数学的热爱和探索精 神。
精彩摘录
《矩阵之美基础篇》这本书的精彩摘录让我们更加深入地认识到了矩阵的奥 秘和魅力。通过阅读这本书，我们可以更好地掌握矩阵的基本概念和运算方法， 同时也可以了解到矩阵在各个领域的应用和价值。
目录分析
这本书还注重培养读者的数学思维和问题解决能力。在每个主题的介绍中， 作者都提供了丰富的思考题和练习题，这些题目不仅可以帮助读者巩固所学的知 识，还可以培养他们的数学思维和解决问题的能力。
目录分析
《矩阵之美基础篇》这本书的目录设计合理，内容丰富且深入浅出，是一本 非常优秀的矩阵入门教材。无论是对于数学专业的学生还是对于对数学有兴趣的 普通读者来说，这本书都是一个非常好的选择。
矩阵之美基础篇
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
介绍
这些
基础
通过
学习
应用
理解
矩阵
矩阵
读者 基础
性质
之美
领域
基本
可以
之美
理论
深入
内容摘要
内容摘要
《矩阵之美基础篇》是一本关于矩阵理论的科普读物，旨在向读者介绍矩阵的基本概念、性质和 实际应用。本书以深入浅出的方式，引领读者走进矩阵的神奇世界，探索矩阵的奥秘。 本书介绍了矩阵的定义和基本性质，以及矩阵的加法、数乘和乘法等基本运算。通过这些基础知 识，读者可以建立起对矩阵的基本认识，为后续的学习打下坚实的基础。 接着，本书深入探讨了矩阵的特征值和特征向量。通过矩阵的特征值和特征向量，可以揭示矩阵 的本质特征，进一步理解矩阵在各个领域中的应用。书中还介绍了矩阵的相似变换和线性变换， 让读者了解矩阵在几何变换和线性代数中的重要作用。 《矩阵之美基础篇》还详细介绍了矩阵的逆和行列式。行列式是矩阵的一个重要属性，而矩阵的 逆则与线性方程组、概率论等多个学科领域密切相关。通过这些内容的学习，读者可以更加深入 地理解矩阵的数学意义和实际意义。
IntroductionToLinearAlgebra第三版Wellesley-CambridgeP
Introduction To Linear Algebra 第三版 Wellesley-Cambridge Press线性代数是高等数学中一个非常重要而且基础的分支，它是数学中处理线性方程组和线性变换的工具箱。
在现代计算机科学、物理学、经济学等应用学科中也占有重要地位。
本文主要介绍“Introduction To Linear Algebra”第三版，该书由Gilbert Strang编著，由Wellesley-Cambridge Press 出版。
作者简介Gilbert Strang是MIT的应用数学教授，他在教学和研究中一直致力于线性代数的教学。
此外，他还出版了许多线性代数相关的著作，其中包括“Introduction To Linear Algebra”第三版。
书籍简介本书主要介绍的是线性代数的基本概念及其应用，包括向量、矩阵、线性变换、行列式、特征值和特征向量等。
同时，本书也包括了一些实际应用的例子，如利用线性代数解决最小二乘法和压缩图片等问题。
值得注意的是，第三版相比于第二版，增加了许多新内容，如介绍了一些新的应用，如机器学习和数据分析等。
内容也更加深入和详细，对于初学者来说是一个非常有帮助的指导。
书籍结构本书共分为十二章，每章均包含许多例子和练习题。
下面是每章的简要介绍：1.Introduction To Vectors：介绍向量和向量的基本运算。
2.Solving Linear Equations：介绍如何应用线性代数求解线性方程组。
3.Vector Spaces And Subspaces：介绍向量空间和子空间的概念及其性质。
4.Orthogonality：介绍正交向量、正交矩阵、Gram-Schmidt正交化过程以及投影的概念。
5.Determinants：介绍行列式及其性质，以及如何计算行列式。
6.Eigenvalues And Eigenvectors：介绍特征值和特征向量以及它们的应用。
神奇的矩阵2
二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出 的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几 何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体） 中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。
嘿嘿（脸红），说实在的，我也没有足够经验讲清楚线代在各个工程领域中 的应用，只能大概人云亦云地讲述以上线代的一些基本应用。因为你如果要真正 的讲清楚线代的一个应用，就必须充分了解所要应用的领域内的知识，最好有实 际的工程应用的经验在里面；况且线性代数在各个工程领域中的应用真是太多 了，要知道当今成为一个工程通才只是一个传说。
由于矩阵的知识太多，我怕文章写太长了你就没兴趣看了。因此对本文做一 个总体的概括。本文主要包括以下内容： 第一章介绍两部分内容：
1、重新认识一下基和坐标，你会见到各种各样不同形式的基底，以及线性 代数的思想如何延伸到函数理论之中。
6
2、神奇的矩阵中介绍的矩阵是对向量运动的描述。第二季将简单回顾一下， 并介绍矩阵对坐标系运动的描述。这在数字图像处理和计算机图形学中应用广 泛。想想你每天在 Word 或者 PPT 中拉伸旋转图像，其背后都是矩阵运算。 第二章介绍两部分内容：
对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场 馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足 的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气 流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运 算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行 LU 分解； 作餐饮业，对于构造一 份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中 十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个 “链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域 中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概 率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。
数学专业的经典教材与参考书目
数学专业的经典教材与参考书目数学专业作为一门基础学科，对于学生的学习以及未来的发展具有非常重要的意义。
而选择适合的教材和参考书目对于学生的学习效果也至关重要。
本文将介绍数学专业中的经典教材和参考书目，以帮助学生更好地选择适合自己的学习资料。
一、线性代数1.《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）这是一本经典的线性代数教材，由美国加州大学伯克利分校的Gilbert Strang教授撰写。
本书内容全面，结构严谨，对于线性代数的基本概念和理论进行了详细的介绍，并给出了大量的例题和习题供学生练习。
适合作为线性代数的入门教材。
2.《线性代数引论》（Introduction to Linear Algebra）这本教材由美国麻省理工学院的Gilbert Strang教授所编写，是一本经典的线性代数教材。
该书以简洁的语言和清晰的思路介绍了线性代数的基本概念和理论，并通过大量的实例和应用来加深学生对于线性代数的理解。
适合有一定数学基础的学生使用。
二、微积分1.《微积分学教程》（Calculus: A Complete Course）这本教材是由加拿大精算学会成员Robert A. Adams所著，是一本非常全面的微积分教材。
该书内容系统完整，涵盖了微积分的各个方面，从初等函数的微积分开始，逐步引导学生掌握微积分的核心概念和方法。
同时，书中也包含了大量的例题和习题，供学生进行实践和巩固。
2.《微积分学导论》（Calculus: An Intuitive and Physical Approach）这是一本由美国哈佛大学教授Morris Kline所写的微积分教材。
与传统的微积分教材不同，该书采用了更加贴近实际问题的讲解方式，旨在帮助学生建立对微积分的直观和物理的理解。
书中融合了大量的实例和历史背景知识，使得学习微积分变得有趣和易于理解。
三、概率论与数理统计1.《概率论与数理统计》（Probability and Mathematical Statistics）这是一本由中国科学院理论物理研究所的教授吴文俊、刘先琨等合著的概率论与数理统计教材。
信号处理 反演算法 书籍
信号处理反演算法书籍信号处理反演算法是指从观测的信号中恢复出原始信号的算法。
它在信号处理领域中起着重要的作用，并且在多个应用领域中得到了广泛的应用，例如医学成像、无线通信、雷达等。
下面我将介绍几本关于信号处理反演算法的书籍。
1.《信号处理（第四版）》（作者：Alan V. Oppenheim、Ronald W. Schafer、John R. Buck）：这本书是经典的信号处理教材，详细介绍了信号的采样、滤波、变换等基本概念和方法。
在书中也涉及到信号的反演问题，探讨了一些经典的反演算法，如线性卷积反演等。
2.《矩阵计算及其在科学与工程中的应用》（作者：Gene H. Golub、Charles F. Van Loan）：这本书主要介绍了矩阵计算的相关理论和方法，在信号处理反演算法中，矩阵计算是一个重要的工具。
该书从基本的线性方程组求解开始，逐步讲解了矩阵分解、特征值分析等内容，为读者提供了在信号反演中使用矩阵计算的基础知识。
3.《反问题及其MATLAB解法》（作者：吴有成）：这本书是国内的一本经典著作，在信号处理反演算法中有很高的实用性。
书中详细介绍了信号反演中的常见问题和方法，如逆滤波、最小二乘法、正则化方法等，并给出了MATLAB实现的代码。
通过该书的学习，读者可以深入理解信号反演算法的原理和实现。
4.《信号处理：模型、算法与应用》（作者：绪瑾、陈锦秀）：这本书主要介绍了信号处理的基本原理和常用算法，同时也包含了信号反演的内容。
书中以MATLAB为工具，通过具体的实例展示了信号反演的具体方法和实现步骤。
它对于初学者来说，非常适合作为信号处理反演算法的入门教材。
总结一下，信号处理反演算法是信号处理领域的重要内容，对于准确恢复原始信号具有重要意义。
上述提到的几本书籍都是信号处理领域的经典著作，其中介绍了反演算法的基本原理、方法和实现步骤，读者可以选择适合自己的书籍进行学习，提高对信号处理反演算法的理解和应用能力。
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但却不是读书、学习的方法。所以我希望、建议喜欢数学，喜欢计算数学，喜欢矩阵计算的同学，
如果你想以科研作为你的毕生追求而不是仅仅拿个学位去工作，你不妨仔细细的看看这本“武林秘籍”吧，
我想你的收获将肯定是出乎你自己的预料的。
目前国内有两个出版社已经引入，机械工业出版社和人民邮电出版社都有出版。
2、《矩阵分析与应用》
由清华大学的张贤达教授编写，因为作者本身是研究通信的专家，将矩阵的分析分为梯度分析、奇异值分析、特征分析、子空间分析与投影分析五大部分，理论与应用密切结合。介绍了矩阵分析的丰富理论和大量应用，灵活解决科学和工程技术中的大量问题。但是存在一些错误，需要自己辨识，也是很好的工具书。
这也是检验你是否喜欢科研的一个方法。至于研究生，只有研一开始，你才能静心读完，因为现实决定我们要发论文，
有了这个要求，人就容易浮躁，静不下心，总想搞篇文章，急功近利之心不能使你认真读此书，也就打不坚实的基础。
我个人就是个例子，虽然我给你们说的很好，但我从没有真正从头到尾详细的看一遍，因为我接触晚了，
矩阵理论经典书籍推荐
1、《矩阵分析：卷1，卷2》《MATRIX ANALYSIS》
由美国著名数学家R.A.Horn教授和C．R．Johnson教授合著，是矩阵理论方面的经典著作，不论是对从事线性代数纯理论研究还是从事应用研究的人员，本书都是一本很好的参考书。
3、《矩阵计算》-《Matrix Computations》Third Edition
约翰霍普金斯大学出版的计算类书籍，自问世以来多次印刷和被引用，网上的电子版似乎都不全，系统地介绍了矩阵计算的基本理论和方法.内容包括:矩阵乘法、矩阵分析、线性方程组、正交化和最小二乘法、特征值问题、Lanczos方法、矩阵函数及专题讨论等的实现，是中国科学院研究生教学丛书。可作为计算数学和工程技术人员的参考用书。中文版有翻译和印刷错误。
该书前后出了三版，1996年出的第三版（第四版本来在准备中，不过去年Gene Howard Golub不幸辞世，不知何时能看到第四版啊），有中译本，是中科院袁亚湘等翻译的，科学出版社出版，英文原版也能找得到，但效果都不太好，有钱的人可以去买本，值得收藏的（664页，四五十美圆好象）。这是关于矩阵计算的最重要的著作，是传世之作，搜索表明这本书至少被引用过15,000次。
说了那么多，言归正传，“这本书系统地介绍了矩阵计算的基本理论和方法。内容包括：矩阵乘法、矩阵分析、线性方程组、正交化和最小二乘法、特征
值问题、Lanczos方法、矩阵函数及专题讨论等。书中的许多算法都有现成的软件包实现，每节后还附有习题，并有注释和大量参考文献。本书可作为高等学校数学系高年级本科生和研究生教材，亦可作为计算数学和工程技术人员的参考用书。”呵呵，这是书的正规简介。我不多言了。
《Matrix Computபைடு நூலகம்tion》
是Gene Howard Golub和Charles F. van Loan合作撰写的一部关于矩阵计算的专著。说起这本书就不得不说说书的作者，特别是Gene Howard Golub，他可以说是计算数学界的大牛，是那种牛的不能再牛的牛，其中他最著名的成果是关于矩阵奇异值分解的计算算法，就是他提供的简单的，稳定的算法影响了整个计算数学的进展，搜索表明有大约67,000篇重要的英文文章涉及到他的研究成果，当然中文可能更多，不信可以去CNKI上搜下。他是美国Stanford University的终身教授，美国两院的院士，著作等身，很多计算数学方向的大家都是他的学生。更多的大家都与他有合作研究。虽然他是大家，牛人，但他非常喜欢辅导、提携年轻人，亲自指导学生研究。同时，他对中国非常的友好，与中国计算数学界有着很紧密的联系，与石院士等都是很好的朋友，对中国的年轻人也是非常的欣赏及鼓励，一般在中国召开重要的计算数学会，只要邀请，一般都会过来。有个有趣的故事，一次颁发优秀数值分析论文会上，在看到获奖者只有证书没有奖金时，立刻从身上掏出100美圆给了获奖者，从这个方面也看出他对年轻人的支持与鼓励。
所以，要是喜欢矩阵计算方面的研究，这是必读之书。
我个人建议对矩阵计算感兴趣的同学，本科生应该在大三，大四去读它。研究生，
研一就开始读（许多国外大学，都把它作为教材，当然，暂时我们这里不可能实现，所以只有自己去读了）。
为什么我推荐这个时间读，主要是因为，一旦你喜欢科研，大三，大四会比较空闲，也有能力去读了，