数据结构第六章
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A
3、凹入表示法 B
E
I F A C C D G G H F J B I E J
A B C F D G H
E
D H
I
J
A 基本术语： 1、结点的度（Degree) 一个结点的子树个数。 一棵树中结点度的最大值称为该树 的度。 2、叶子(Leaf） 也称为终端结点，其度为0。
A的度为3， 树的度为3 C、E、I、J、G、 H的度为0。
先序遍历二叉树的操作定义为： 若二叉树为空，则空操作；否则 （1）访问根结点 （2）先序遍历左子树 （3）先序遍历右子树
A
中序遍历二叉树的操作定义为： 若二叉树为空，则空操作；否则 （1）中序遍历左子树
D G B C
E
F
（2）访问根结点
（3）中序遍历右子树。 后序遍历二叉树的操作定义为： 若二叉树为空，则空操作；否则 （1）后序遍历左子树 （2）后序遍历右子树。 （3）访问根结点。
2
于是：
k 1
1 n 2 1或2
k
k 1
n2
k
k 1 log2 n k
因为k是整数，所以k= log2 n 1 注：符号 x 表示不大于x的最大整数，反之， x 表示不小于x的 最小整数。
性质5 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号， 则对任一编号为i的结点ki(1=<i<=n) ，有：
Status InOrderTraverse(BiTree T, Status (*visit)(TElemType e))
{ InitStack(S); Push(S,T); While(!StackEmpty(S)) { while (GetTop(S,p) && p) Push(S, p->lchild); //向左走到头 Pop(S,p); //空指针退栈
（a）
两棵不同的二叉树
（b）
（c） 一棵普通树
6.2.2 二叉树的性质
性质1 二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i>=1). 性质2 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>=1)。
证明：
(第i层上的最大结点数） 2i 1 2k 1
i 1 i 1
k
k
性质3 在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为 n2，则n0 = n2 +1。 证明：设n1为二叉树T中度为1的结点数。因为所有结点的度均小于或等 于2，所以其结点总数为 n=n0+n1+n2 (6.1)
B A
C
if (!StackEmpty(S)){
Pop(S,p); if(!Visit(p->data)) return ERROR; Push(S,p->rchild);} } return Ok; }
G
D
E H
F
I K
J
M
按先序序列建立二叉树的二叉链表的算法 Status CreateBiTree(BiTree &T) { //按先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符），空格字符表示空树 scanf(&ch); if (ch==‘’) T=NULL; else { if (!(T=(BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))) exit(OVERFLOW); T->data=ch; CreateBiTree(T->lchild); CreateBiTree(T->rchild); } return OK; }
lchild data
lchild data
rchild
parent rchild
PARENT
DATA RCHILD
}BiTNode,*BiTree;
A
B C B
A ^ E ^ F ^ ^ G ^ ^ H ^ C ^
D
E
^
D
F G
H
二叉树
二叉链表
注：在含有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域，利用 这些空链域存储其他信息，可得到另一种链式存储结构。
A T={A,B,C,D,E,F,I,J}，其中A 是根结点 T1={B,E,F,I,J} T2={C} E B C D G H
F
T3={D,G,H}
T11={E} T12={F,I,J}
I
J
图6.1树的示例
树的不同表示方法：
1、用嵌套集合表示 2、用广义表表示 A(B(E,F(I,J)),C,D(G,H))
5、路径 若树中存在一个结点序列 k1,k2,…,kj，使得Ki是Ki+1的双亲 (1=<i<=j），则称该结点序列是从k1到 kj的一条路径。 B E C
A D G H
F
路径的长度等于j-1，是该路径所经 过的边的数目。
6、结点的层次
I
J
从根开始定义起，根为第一层，根 的孩子为第二层。
其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
6.3遍历二叉树和线索二叉树
6.3.1遍历二叉树
所谓遍历二叉树，就是按某条搜索路径巡访树中每个结点，使得每个结 点均被访问一次，而且仅被访问一次。 六种遍历方法：DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD。 其中L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点 和遍历右子树。 下面限定从左到右，则只有三种情况，分别为：先（根）序遍历、中（根）序 遍历、后（根）序遍历。
A D G H
F
I A
J A
B
C
C
B
6.2
二叉树
6.2.1二叉树的定义 二叉树(Binary Tree）是n(n>=0)个结点的有限集，它或 者是空集，或者由一个根结点及两棵不相交的分别称为这 个树的左子树和右子树的二叉树组成。属于有序树。 二叉树的五种基本形态
A
B
A
B D E
A
B
c
c
E
D
c
E
D
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
E
E
E
F
F
F
G
G
G
H
H
H
I
I
I
J
J
J
பைடு நூலகம்
K
K
K
M
M
M
先序遍历：ABDGHJKECFIM 中序遍历：GDJHKBEACFMI 后序遍历：GJKHDEBMIFCA
遍历的非递归算法：
基本思路
(1)工作记录中包含两项，其一是递归调用的语句编号，其 二是指向根结点的指针，则当栈顶记录中的指针非空时，应 遍历左子树，即指向左子树根的指针进栈； （2）若栈顶记录中的指针值为空，则应退至上一层，若是 从左子树返回，则应访问当前层即栈顶记录中指针所指的根 结点； （3）若是从右子树返回，则表明当前层的遍历结束，应继 续退栈。
第六章 树和二叉树
举例 1、家谱 6.1 树的定义和术语 2、行政组织结构 3、编译系统中表示源程序的语法结构 树是n（n>0）个结点的有限集合T，它满足如下两个条件： 4、数据库系统中组织信息 （1）有且仅有一个特定的称为根ROOT的结点。 （2）其余结点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集合 T1,T2,…,Tm，其中每个集合又都是一棵树，并称其为根的子树 (SubTree)。 树的递归定义刻画了树的固有特性，即一棵树是由若干棵子树 构成的，而子树又可由若干棵更小的子树构成。
7、树的高度或深度
树中结点的最大层次称为树的高度。 8、有序树和无序树 若将树中结点的各子树看成从左 到右有次序的，则称该树为有序树， 否则称为无序树。 9、森林 森林是m棵互不相交的树的集合。 对树中每个结点而言，其子树的集合 即为森林。因此，可以用森林和树相 互递归的定义来描述树。 E B C
B E
C F
D
G
H
I
J
A 3、分支结点 度不为0的结点。 B 4、结点的孩子 结点的子树的根。 E 该结点称为孩子的双亲。 同一个双亲的孩子之间互称兄弟。 结点的祖先是从根到该结点所经分 支上的所有结点。 以某结点为根的子树中的任一结点 都称为该结点的子孙。 C F D
G
H
I
J
分支结点为 J结点的祖先 A、B、D和F 为A、B、F。
数据结构类型定义为：
#define MAX_TREE_SIZE 100 Typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; SqBiTree bt; 完全二叉树
1 2
8
4 2
1 3
5 1 1 1 2
6
7
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
顺序存储结构仅适用于完全二 叉树。在最坏情况下，一个深度为 k且只有k个结点的单支树（树中 不存在度为2的结点）却需要长度 为2k-1的一维数组。
基本操作：
1.Status CreateBiTree(BiTree &T); 2.Status PreOrderTraverse(BiTree T,Status (*visit)(TElemType e)); 3.Status InOrderTraverse(BiTree T,Status (*visit)(TElemType e)); 4.Status PostOrderTraverse(BiTree T,Status (*visit)(TElemType e)); 5.Status LevelOrderTraverse(BiTree T,Status (*visit)(TElemType e));
(4)若i为奇数且不为1，则ki的左兄弟的编号为i-1；否则，ki无左兄弟。
（5）若 i为偶数且小于n，则ki的右兄弟的编号是i+1；否则，ki无右兄 弟。
3.2.3二叉树的存储结构
一、顺序存储结构 用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完 全二叉树上的结点元素。 对于一般二叉树，则应将其每个结点与完全二叉树上的结点相 对照，存储在一维数组的相应分量中。
（1）若i>1，则ki的双亲编号为 i / 2 ;若i=1,则ki是根结点，无双亲。
（2）若2i<=n，则ki的左孩子的编号是2i；否则，ki无左孩子，即ki必 定是叶子。因此，完全二叉树中编号i> 的结点必定是叶子。
n / 2 （3）若2i+1<=n，则ki的右孩子的编号是2i+1；否则，ki无右孩子。
若一棵二叉树至多只有最下面的两层上结点的度数可以小 于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上。
1
1 3
2
满二叉 完全二 树
叉树
7 4 1 5
2
3
4
5
6
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9
1 0
11
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(a)
1
(b)
1
2
3
非完全 二叉树
2
3
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5
4
6 7
5
6
(c)
(d)
性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2 n 1 证明：假设深度为k，则根据性质2和完全二叉树的定 义有：
如输入字符： A B C $ $ D E $ G $ $ F $ $ $
H I K
J
M
DLR：ABDGHJKECFIM
LDR：GDJHKBEACFMI
LRD：GJKHDEBMIFCA
先序遍历二叉树基本操作的递归算法在二叉链表上的实现。 Stautus PreOrderTraverse(BiTree T,Status(* Visit)(TElemType e)) { //最简单的Visit函数是： // Status PrintElement(TElemType e) { // printf(e); // return OK; } // 调用实例：PreOrderTraverse( T, PrintElement ); If (T) { if (Visit(T->data)) if (PreOrderTraverse(T->lchild,Visit)) if (PreOrderTraverse(T->rchild,Visit)0 return OK; return ERROR; } else return OK; }//PreOrderTraverse
再看二叉树中的分支数。除了根结点外，其余都有一个分支进入，设B 为分支总数，则n=B+1。由于这些分支是由度为1或2的结点射出，所以 又有B=n1+2n2。于是得
n=n1+2n2+1
由式(6-1)和(6-2)得 n0=n2+1 几种特殊形态的二叉树 1、满二叉树 2、完全二叉树
(6.2)
一棵深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。
在完全二叉树，可以从一 个结点的编号就可推知其双 亲、左孩子、右孩子、兄弟 等结点的编号。
1 2 4 6 5 7 3
1
2
3
4
5
0
0
0
0
6
7
一般二叉树
二、链式存储结构
由二叉树的定义得知，其结点由一个 数据元素和分别指向其左、右子树的两 个分支构成，因此，表示二叉树的链表 中的结点至少包含三个域：数据域和左 右指针域。二叉链表 为了便于找到结点的双亲，还可在结 点结构中增加一个指向其双亲结点的指 针域。 三叉链表 二叉链表的定义： typedef struct BiTNode { TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; LCHILD
3、凹入表示法 B
E
I F A C C D G G H F J B I E J
A B C F D G H
E
D H
I
J
A 基本术语： 1、结点的度（Degree) 一个结点的子树个数。 一棵树中结点度的最大值称为该树 的度。 2、叶子(Leaf） 也称为终端结点，其度为0。
A的度为3， 树的度为3 C、E、I、J、G、 H的度为0。
先序遍历二叉树的操作定义为： 若二叉树为空，则空操作；否则 （1）访问根结点 （2）先序遍历左子树 （3）先序遍历右子树
A
中序遍历二叉树的操作定义为： 若二叉树为空，则空操作；否则 （1）中序遍历左子树
D G B C
E
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（2）访问根结点
（3）中序遍历右子树。 后序遍历二叉树的操作定义为： 若二叉树为空，则空操作；否则 （1）后序遍历左子树 （2）后序遍历右子树。 （3）访问根结点。
2
于是：
k 1
1 n 2 1或2
k
k 1
n2
k
k 1 log2 n k
因为k是整数，所以k= log2 n 1 注：符号 x 表示不大于x的最大整数，反之， x 表示不小于x的 最小整数。
性质5 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号， 则对任一编号为i的结点ki(1=<i<=n) ，有：
Status InOrderTraverse(BiTree T, Status (*visit)(TElemType e))
{ InitStack(S); Push(S,T); While(!StackEmpty(S)) { while (GetTop(S,p) && p) Push(S, p->lchild); //向左走到头 Pop(S,p); //空指针退栈
（a）
两棵不同的二叉树
（b）
（c） 一棵普通树
6.2.2 二叉树的性质
性质1 二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i>=1). 性质2 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>=1)。
证明：
(第i层上的最大结点数） 2i 1 2k 1
i 1 i 1
k
k
性质3 在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为 n2，则n0 = n2 +1。 证明：设n1为二叉树T中度为1的结点数。因为所有结点的度均小于或等 于2，所以其结点总数为 n=n0+n1+n2 (6.1)
B A
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if (!StackEmpty(S)){
Pop(S,p); if(!Visit(p->data)) return ERROR; Push(S,p->rchild);} } return Ok; }
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按先序序列建立二叉树的二叉链表的算法 Status CreateBiTree(BiTree &T) { //按先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符），空格字符表示空树 scanf(&ch); if (ch==‘’) T=NULL; else { if (!(T=(BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))) exit(OVERFLOW); T->data=ch; CreateBiTree(T->lchild); CreateBiTree(T->rchild); } return OK; }
lchild data
lchild data
rchild
parent rchild
PARENT
DATA RCHILD
}BiTNode,*BiTree;
A
B C B
A ^ E ^ F ^ ^ G ^ ^ H ^ C ^
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二叉树
二叉链表
注：在含有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域，利用 这些空链域存储其他信息，可得到另一种链式存储结构。
A T={A,B,C,D,E,F,I,J}，其中A 是根结点 T1={B,E,F,I,J} T2={C} E B C D G H
F
T3={D,G,H}
T11={E} T12={F,I,J}
I
J
图6.1树的示例
树的不同表示方法：
1、用嵌套集合表示 2、用广义表表示 A(B(E,F(I,J)),C,D(G,H))
5、路径 若树中存在一个结点序列 k1,k2,…,kj，使得Ki是Ki+1的双亲 (1=<i<=j），则称该结点序列是从k1到 kj的一条路径。 B E C
A D G H
F
路径的长度等于j-1，是该路径所经 过的边的数目。
6、结点的层次
I
J
从根开始定义起，根为第一层，根 的孩子为第二层。
其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
6.3遍历二叉树和线索二叉树
6.3.1遍历二叉树
所谓遍历二叉树，就是按某条搜索路径巡访树中每个结点，使得每个结 点均被访问一次，而且仅被访问一次。 六种遍历方法：DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD。 其中L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点 和遍历右子树。 下面限定从左到右，则只有三种情况，分别为：先（根）序遍历、中（根）序 遍历、后（根）序遍历。
A D G H
F
I A
J A
B
C
C
B
6.2
二叉树
6.2.1二叉树的定义 二叉树(Binary Tree）是n(n>=0)个结点的有限集，它或 者是空集，或者由一个根结点及两棵不相交的分别称为这 个树的左子树和右子树的二叉树组成。属于有序树。 二叉树的五种基本形态
A
B
A
B D E
A
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I
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பைடு நூலகம்
K
K
K
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M
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先序遍历：ABDGHJKECFIM 中序遍历：GDJHKBEACFMI 后序遍历：GJKHDEBMIFCA
遍历的非递归算法：
基本思路
(1)工作记录中包含两项，其一是递归调用的语句编号，其 二是指向根结点的指针，则当栈顶记录中的指针非空时，应 遍历左子树，即指向左子树根的指针进栈； （2）若栈顶记录中的指针值为空，则应退至上一层，若是 从左子树返回，则应访问当前层即栈顶记录中指针所指的根 结点； （3）若是从右子树返回，则表明当前层的遍历结束，应继 续退栈。
第六章 树和二叉树
举例 1、家谱 6.1 树的定义和术语 2、行政组织结构 3、编译系统中表示源程序的语法结构 树是n（n>0）个结点的有限集合T，它满足如下两个条件： 4、数据库系统中组织信息 （1）有且仅有一个特定的称为根ROOT的结点。 （2）其余结点可分为m（m>=0）个互不相交的有限集合 T1,T2,…,Tm，其中每个集合又都是一棵树，并称其为根的子树 (SubTree)。 树的递归定义刻画了树的固有特性，即一棵树是由若干棵子树 构成的，而子树又可由若干棵更小的子树构成。
7、树的高度或深度
树中结点的最大层次称为树的高度。 8、有序树和无序树 若将树中结点的各子树看成从左 到右有次序的，则称该树为有序树， 否则称为无序树。 9、森林 森林是m棵互不相交的树的集合。 对树中每个结点而言，其子树的集合 即为森林。因此，可以用森林和树相 互递归的定义来描述树。 E B C
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A 3、分支结点 度不为0的结点。 B 4、结点的孩子 结点的子树的根。 E 该结点称为孩子的双亲。 同一个双亲的孩子之间互称兄弟。 结点的祖先是从根到该结点所经分 支上的所有结点。 以某结点为根的子树中的任一结点 都称为该结点的子孙。 C F D
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I
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分支结点为 J结点的祖先 A、B、D和F 为A、B、F。
数据结构类型定义为：
#define MAX_TREE_SIZE 100 Typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; SqBiTree bt; 完全二叉树
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5 1 1 1 2
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顺序存储结构仅适用于完全二 叉树。在最坏情况下，一个深度为 k且只有k个结点的单支树（树中 不存在度为2的结点）却需要长度 为2k-1的一维数组。
基本操作：
1.Status CreateBiTree(BiTree &T); 2.Status PreOrderTraverse(BiTree T,Status (*visit)(TElemType e)); 3.Status InOrderTraverse(BiTree T,Status (*visit)(TElemType e)); 4.Status PostOrderTraverse(BiTree T,Status (*visit)(TElemType e)); 5.Status LevelOrderTraverse(BiTree T,Status (*visit)(TElemType e));
(4)若i为奇数且不为1，则ki的左兄弟的编号为i-1；否则，ki无左兄弟。
（5）若 i为偶数且小于n，则ki的右兄弟的编号是i+1；否则，ki无右兄 弟。
3.2.3二叉树的存储结构
一、顺序存储结构 用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完 全二叉树上的结点元素。 对于一般二叉树，则应将其每个结点与完全二叉树上的结点相 对照，存储在一维数组的相应分量中。
（1）若i>1，则ki的双亲编号为 i / 2 ;若i=1,则ki是根结点，无双亲。
（2）若2i<=n，则ki的左孩子的编号是2i；否则，ki无左孩子，即ki必 定是叶子。因此，完全二叉树中编号i> 的结点必定是叶子。
n / 2 （3）若2i+1<=n，则ki的右孩子的编号是2i+1；否则，ki无右孩子。
若一棵二叉树至多只有最下面的两层上结点的度数可以小 于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上。
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满二叉 完全二 树
叉树
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(a)
1
(b)
1
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非完全 二叉树
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(c)
(d)
性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2 n 1 证明：假设深度为k，则根据性质2和完全二叉树的定 义有：
如输入字符： A B C $ $ D E $ G $ $ F $ $ $
H I K
J
M
DLR：ABDGHJKECFIM
LDR：GDJHKBEACFMI
LRD：GJKHDEBMIFCA
先序遍历二叉树基本操作的递归算法在二叉链表上的实现。 Stautus PreOrderTraverse(BiTree T,Status(* Visit)(TElemType e)) { //最简单的Visit函数是： // Status PrintElement(TElemType e) { // printf(e); // return OK; } // 调用实例：PreOrderTraverse( T, PrintElement ); If (T) { if (Visit(T->data)) if (PreOrderTraverse(T->lchild,Visit)) if (PreOrderTraverse(T->rchild,Visit)0 return OK; return ERROR; } else return OK; }//PreOrderTraverse
再看二叉树中的分支数。除了根结点外，其余都有一个分支进入，设B 为分支总数，则n=B+1。由于这些分支是由度为1或2的结点射出，所以 又有B=n1+2n2。于是得
n=n1+2n2+1
由式(6-1)和(6-2)得 n0=n2+1 几种特殊形态的二叉树 1、满二叉树 2、完全二叉树
(6.2)
一棵深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。
在完全二叉树，可以从一 个结点的编号就可推知其双 亲、左孩子、右孩子、兄弟 等结点的编号。
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一般二叉树
二、链式存储结构
由二叉树的定义得知，其结点由一个 数据元素和分别指向其左、右子树的两 个分支构成，因此，表示二叉树的链表 中的结点至少包含三个域：数据域和左 右指针域。二叉链表 为了便于找到结点的双亲，还可在结 点结构中增加一个指向其双亲结点的指 针域。 三叉链表 二叉链表的定义： typedef struct BiTNode { TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; LCHILD