算法的基本工具和优化技巧

递归小结 优点：结构清晰，可读性强，而 且容易用数学归纳法来证明算法 的正确性，因此它为设计算法、 调试程序带来很大方便。 缺点：递归算法的运行效率较低， 无论是耗费的计算时间还是占用 的存储空间都比非递归算法要多。
由于递归算法的实现包括递归和回溯两步， 当问题需要“后进先出”的操作时，还是用递归 算法更有效。如数据结构课程中二叉树的各种遍 历、图的深度优先等算法都是如此。所以不能仅 仅从效率上评价两个控制重复机制的好坏。
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著名的意大利数学家斐波那契 (Fibonacci)在他的著作《算盘书》中提出了 一个“兔子问题”：假定小兔子一个月就可 以长成大兔子，而大兔子每个月都会生出一 对小兔子。如果年初养了一对小兔子，问到 年底时将有多少对兔子? (当然得假设兔子 没有死亡而且严格按照上述规律长大与繁殖) 我们需要研究表中的规律，找出一般的方法， 去解决这个问题。
r2r1r3 r2r3r1
r3r1r2 r3r2r1 分析r3，全部排列可以分为三类：
（1）r1类：r1后跟r2r3的全排列 （2）r2类：r2后跟r1r3的全排列 （3）r3类：r3后跟r1r2的全排列
将（1）中r1r2互换位置，得到（2）；将（1）中 r1r3互换位置，得到（3）；它说明可以用循环 的方式重复执行交换位置，后面跟随剩余序列的 所有排列，对剩余序列再使用这个方法，这就是 递归调用，当后跟的元素没有时就得到递归的边 界。
2）当n<10时，n为一位数停止递归。 递归算法如下： f2(n) {if(n<10)
cout<<n; else
{ cout<< n % 10; f(n/10);} }
【例】任给十进制的正整数，请从 高位到低位逐位输出各位数字。
循环算法设计：本题目中要求“从高位 到低位”逐位输出各位数字，但由于 我们并不知道正整数的位数，算法还 是“从低位到高位”逐位求出各位数 字比较方便。这样就不能边计算边输 出，而需要用数组保存计算的结果， 最后倒着输出。
递归边界条件：也就是所描述问题 的最简单情况，它本身不再使用 递归的定义。
递归算法解题通常有三个步骤： 1）分析问题、寻找递归：找出大规模问题 与小规模问题的关系，这样通过递归使问题 的规模逐渐变小。 2）设置边界、控制递归：找出停止条件， 即算法可解的最小规模问题。 3）设计函数、确定参数：和其它算法模块 一样设计函数体中的操作及相关参数。
【例1】求1/1!-1/3!+1/5!-1/7!+…+（-1） n+1/(2n-1)!
数学A模n=(型-12)：*ASnn-=1S*n-(1(+2A*n；n-2)*(2*n-1)) main( ) {int i,n, sign; float s,t=1; cin>>n;
s=1； for(i=2;i<=n;i++) {
常见的递归算法 •阶乘 •Fibonacci数列 •著名的汉诺塔问题 •二叉树的3种遍历
故事： 相传在古代印度的 Bramah 庙中，有位僧人整天把三根柱子 上的金盘倒来倒去，原来他是想把64个一个比一个小的金盘 从一根柱子上移到另一根柱子上去。移动过程中恪守下述规 则：每次只允许移动一只盘，且大盘不得落在小盘上面。有 人会觉得这很简单，真的动手移盘就会发现，如以每秒移动 一只盘子的话，按照上述规则将64只盘子从一个柱子移至另 一个柱子上，所需时间约为5800亿年。
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作业：
4、某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上 已有n位乘客，到了第二站先下一半乘客，再上来了六 位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位 乘客，以后每到一站都先下车上已有的一半乘客，再 上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还 有乘客六人，问发车时车上的乘客有多少？
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“兔子问题”很容易列出一条递推式而 得到解决。假设第N个月的兔子数目是F(N)， 我们有：
这是因为每月的大兔子数目一定等于上 月的兔子总数，而每个月的小兔子数目一 定等于上月的大兔子数目(即前一个月的兔 子的数目)。
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递归设计要点
直接或间接地调用自身的算法称为递 归算法。用函数自身给出定义的函数 称为递归函数。
特别的，用函数自身给 出定义的函数被称之为递归 函数。
什么是递归？
其实，我们在生活中经常运用递归的 方式来思考问题，如参考下面这个例子：
例1：第5个人的年龄比第4个人的年龄大2 岁，第4个人的年龄比第3个人的年龄大2 岁，第3个人的年龄比第2个人的年龄大2 岁，第2个人的年龄比第1个人的年龄大2 岁，第1个的年龄10岁。第5个人的年该该 是多少呢？
递推
递推是计算机数值计算中的一个重 要算法，可以将复杂的运算化为若干重复 的简单运算，充分发挥计算机长于重复处 理的特点，现举一例
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猴子吃桃。有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每 天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只， 以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少 桃子？
【例】任给十进制的正整数，请从低位到高位 逐位输出各位数字。
循环算法设计：
f1(n) {
while(n>=10) { cout<< n %10; n=n/10;}
cout<<n; }
递归算法设计：
1）同上，算法从低位到高位逐位求出各位数 字并输出，求个位数字的算式为 n % 10， 下一步则是递归地求n/10的个位数字。
算法基本工具和优化技巧
计算机完成工作的实质是机械化的操 作，而算法设计的目标是把人脑解决 问题的想法规范化地描述成机械化操 作。
计算机语言提供给算法的机械化操作： 计算、I/O、流程控制、不同存储模式 （变量、数组、结构体、文件等）。
本部分就是要讲解如何充分利用基本 的机械化操作设计高质量的算法，在 程序设计与算法设计之间起承上启下 的作用。
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作业：
3、出售金鱼。 第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼； 第二次卖出乘余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼； 第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼； 第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼； 现在还剩下11条金鱼，在出售金鱼时不能把金鱼切开 或者有任何破损的。问这鱼缸里原有多少条金鱼？
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作业： 5、小华读书。第一天读了全书的一半加二页，第二天 读了剩下的一半加二页，以后天天如此……，第六天 读完了最后的三页，问全书有多少钱页？
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作业：
6、日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个 问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。分完 后父亲 说：“老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后 连同原先的桔子分1/7给老三；老三拿到后连同原先的 桔子分1/6给老四；老四拿到后连同原先的桔子分1/5给 老五；老五拿到后连同原先的桔子分1/4给老六；老六 拿到后连同原先的桔子分1/3给老大”。结果大家手中 的桔子正好一样多。问六兄弟原来手中各有多少桔子？
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Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠 共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠 在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求 将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按 同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规 则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较 小的圆盘之上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆 盘移至a,b,c中任一塔座上。
t= (-1)*t*(2*i-2)*(2*i-1)}; s=s+ 1/t; } cout<<“Sum=”<<s; }
“自顶向下”的设计方法
【例2】编算法找出1000以内所有 完数
例如，28的因子为1、2、4、7，14， 而 28=1+2+4+7+14 。 因 此 28 是 “完数”。编算法找出1000之内 的所有完数，并按下面格式输出 其因子：28
事实上，无论把递归作为一种算法的策略， 还是一种实现机制，对我们设计算法都有很好的 帮助。
例7 判断s字符串是否为回文的递归函数
int ishuiwen(char *s,int n) {
if(n==0 ||n==1) return 1; else {
if(*s==*(s+n-1)) ishuiwen(s+1,n-2); else return 0; } }
Hanoi塔问题
void hanoi(int n, int a, int b, int c) {
在当问n=题1时规，模问较题大比时i较，f (简较n >单难0。找) 此到时一，般只的要方将法编，号因为此1我的们圆尝盘试从塔座a 用直递接归移技至术塔来座解b上决即{这可个。问题。 当n＞1时，需要利用h塔an座oic(n作-1为, a辅, 助c, 塔b)座; 。此时若能设法将n-1个 较大照小圆移的盘动圆从规盘塔则依座从照塔a移移座至动c移塔mh规a至座on则vo塔be从i，((座an塔,最-bb1座),。后;ca,，移b再,至a设)塔; 法座将c，n-然1个后较，小将的剩圆下盘的依最 由此可见，n个圆盘} 的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题， 这又可以递归地}用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问 题的递归算法如下。
递归算法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下： f4(n) {if(n<10)
cout<<n; else
{ f(n/10); cout<< n %10; } }
例4排列问题 设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排
列。
分析：n=1 输出：r1 n=2 输出：r1r2 r2r1 n=3 输出：r1r2r3 r1r3r2
递归是一种比迭代循环更强、更好用 的循环结构。
只需要找出递归关系和最小问题的解。 递归方法只需少量的步骤就可描述出
解题过程所需要的多次重复计算，大 大地减少了算法的代码量。
递归的关键在于找出递归方程 式和递归终止条件。
递归定义：使问题向边界条件转化 的规则。递归定义必须能使问题 越来越简单。
算法如下：
main( )
{int i,k,j,s;
for(i=1;i<=1000;i++)
{s=1;
/*两个赋初值语句s=1
for(j=2;j<i;j++)
if (i % j)==0)
s=s+j;
if(i==s)
cout<<s<<endl;
}
}
在算法中，递归一词用 于表示直接或间接的调用自 身的算法。
a9=2 a8=(a9+1)*2
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作业： 1、运动会开了N天，一共发出金牌M枚。第一天发金 牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下 的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚， 以后每天都照此办理。到了第N天刚好还有金牌N枚， 到此金牌全部发完。编程求N和M。
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循环算法如下：
f3(n) {int j,i=0,a[16]; while(n>=10)
{ a[i]=n % 10; i=i+1;
n=n/10;} a[i]=n;
for(j=i;j>=0;j--) cout<<n; }
递归算法设计：
与f2不同，递归算法是先递归地求n/10的个 位数字，然后再求个位数字n的个位数字并 输出。这样输出操作是在回溯时完成的。递 归停止条件与f2相同为n<10。
作业：
2、国王分财产。某国王临终前给儿子们分财产。他把 财产分为若干份，然后给第一个儿子一份，再加上剩 余财产的1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产 的1/10；……；给第i个儿子i份，再加上剩余财产的 1/10。每个儿子都窃窃自喜。以为得到了父王的偏爱， 孰不知国王是“一碗水端平”的。请用程序回答，老 国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？
1）顶层算法
for(i=2;i<=n;i++) { 判断i是否是完数； 是完数则按格式输出;}
2）判断i是否是完数
for(j=2;j<i;j++) 找i的因子，并累加 如果累加值等于i，i是完数
3）进一步细化——判断i是否“完数”算 法
s=1 for(j=2;j<i;j++)
if (i % j=0) s=s+j; if （s==i） i是“完数”;
循环与递归
将大量重复处理大量数据的步骤 抽象成循环或递归模式，设计出 可以针对不同规模解决问题的算 法。
循环设计中要注意算法的效率
循环体的特点是：“以不变应万 变”。
所谓“不变”是指循环体内运算 的表现形式是不变的，而每次具 体的执行内容却是不尽相同的。 在循环体内用不变的运算表现形 式去描述各种相似的重复运算。