高中数学人教A版必修5练习第二章 2.2 等差数列第二课时等差数列的性质及应用课下检测 Word版含解析

合集下载

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________．解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数，则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同，即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

人教a版必修五课件：等差数列的性质(52页)

2．在等差数列{an}中，若 an＋am＝ap＋aq，则 m＋n＝p ＋q 吗？
提示：不一定，若{an}是常数列，则 m＋n＝p＋q 不一定成立．若{an}不是常数列，则 m＋n＝p＋q 成立．
3．等差数列的“子数列”有什么性质？
提示：若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为 2d 的等差数列； (3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．
等差数列．
思考感悟
1．等差数列的通项同一次函数间是什么关系？
提示：(1)当等差数列的公差 d＝0 时，其通项 an＝a1，是不随自变量变化而变化的常数，是常函数，不是一次函数． (2)当等差数列的公差 d≠0 时，其通项 an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋(a1－d)，显然其是关于 n 的一次函数．
ai＋an－i＋1＝„
.
(4)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b 是常数)是公差为 λd 的等差数列． (5)若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)组成公差为 md 的等差数列． (6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}也是
第二章
数列
2.2 等差数列
第2课时等差数列的性质
课前自主预习课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用.

【优化方案】2012高中数学第2章2.2.2等差数列的性质课件新人教A版必修5

(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距若是有穷等差数列，是有穷等差数列则与首、离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和，离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝＋－－ (5)数列 n＋b}(λ、b是常数是公差为的等差数数列{λa 是常数)是公差为数列、是常数是公差为λd的等差数列．
方法感悟
若数列{a 是公差为的等差数列，则有：若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)．＝＝、、 ∈ ． n－1 m－k －－ (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若＋＝＋、、、 ∈ ，＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若若＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)．，、、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列，＜，所以利润构成的数列是一个递减数列，即随着n的增大，的值越来越小，即随着的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处的增大时此处暗含a －成立公司将出现亏损．成立)公司将出现亏损暗含 n－1≥0成立公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题．利用利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝利用 am＋(n－m)d. －
解析】【解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ，，＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋＋＋＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d，在等差数列{a 中在等差数列－， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ，＝＋＝ 40 ＝－26＋ × ＝－＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－＋3×2＝－＝－

2021年高中数学人教A版必修五第二章数列第二课时等差数列的前n项和的最值及应用

5
课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
知识点2 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求和.
常见的拆项方法：
(1)n（n1＋k）＝_1k__1n_－__n_＋1__k__；
(2)
1 n＋k＋
＝_1k___n_＋___k_－___n__；
n
(3)（2n－1）1（2n＋1）＝_12_2_n__1－__1_－__2_n_1＋__1__.
绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次
增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向
外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中
层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块
B.3 474块
C.3 402块
D.3 339块
@《创新设计》
18
课前预习
课堂互动
7
课前预习
课堂互动
@《创新设计》课堂小结
@《创新设计》
2.数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，其前
n
项和
Sn＝9，则
n＝________.
解析
an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n，
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)
＝ n＋1－1＝9，∴n＝99. 答案 99
8
课前预习
25
课前预习
课堂互动
课堂小结
(1)若{an}是等差数列，则ana1n＋1＝1da1n－an1＋1，ana1n＋2＝21da1n－an1＋2.
(2)n（n1＋k）＝1k1n－n＋1 k.

高中数学第二章数列第2课时等差数列的性质学案含解析新人教A版必修

第2课时等差数列的性质[目标] 1.记住等差数列的一些常见性质；2.会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题．[重点] 等差数列性质的应用．[难点] 等差数列性质的理解．知识点一等差数列的重要性质[填一填]1．a n＝a m＋(n－m)d(m,n∈N*)．2．若m＋n＝p＋q(m,n,q,p∈N*),则a m＋a n＝a p＋a q.[答一答]1．在等差数列{a n}中,若a m＋a n＝a p＋a q(m,n,p,q∈N*),则m＋n＝p＋q成立吗？提示：不一定．若数列{a n}是常数列,则m＋n＝p＋q不一定成立．2．在公差为d的等差数列{a n}中,若m＋n＝2p(m,n,p∈N*),则2a p与a m,a n有何关系？提示：2a p＝a m＋a n.3．在等差数列{a n}中,若m＋n＝p,则a m＋a n＝a p成立吗？提示：不成立．知识点二等差数列的其他性质[填一填]1．若{a n}是公差为d的等差数列,则下列数列：(1){c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；(2){ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；(3){a n＋a n＋k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列．2．若{a n},{b n}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pa n＋qb n}(p,q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[答一答]4．在等差数列中,如何判断数列的单调性？提示：在等差数列{a n}中,a n＝a1＋(n－1)d.当d>0时,{a n}是递增数列；当d＝0时,{a n}是常数列；当d<0时,{a n}是递减数列．5．判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”． (1)等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列．( √ ) (2)摆动数列不可能是等差数列．( √ )(3)在等差数列{a n }中,若m ＋n ＋p ＝3t ,则a m ＋a n ＋a p ＝3a t .( √ )类型一等差数列的性质应用[例1] (1)已知等差数列{a n },a 5＝10,a 15＝25,求a 25的值； (2)已知等差数列{a n },a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝70,求a 1＋a 9的值；(3)已知数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1＝2,b 1＝－3,a 7－b 7＝17,求a 19－b 19的值． [分析] 分析题目,可利用等差数列的性质,也可利用通项公式求解． [解] (1)方法一：设{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝32，故a 25＝a 1＋24d ＝4＋24×32＝40.方法二：因为5＋25＝2×15,所以在等差数列{a n }中有a 5＋a 25＝2a 15,从而a 25＝2a 15－a 5＝2×25－10＝40.方法三：因为5,15,25成等差数列,所以a 5,a 15,a 25也成等差数列,因此a 25－a 15＝a 15－a 5,即a 25－25＝25－10,解得a 25＝40.(2)由等差数列的性质,得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 1＋a 9,所以a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝70,于是a 5＝14,故a 1＋a 9＝2a 5＝28.(3)令c n ＝a n －b n ,因为{a n },{b n }都是等差数列,所以{c n }也是等差数列,设其公差为d ,由已知,得c 1＝a 1－b 1＝5,c 7＝17,则5＋6d ＝17,解得d ＝2,故a 19－b 19＝c 19＝5＋18×2＝41.在等差数列中,一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算,借助于a 1,d 建立方程组进行运算,这是最基本的方法；二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.[变式训练1] (1)在等差数列{a n }中,a 2＝－5,a 6＝a 4＋6,则a 1等于( B ) A ．－9 B ．－8 C ．－7 D ．－4解析：∵{a n }是等差数列,∴a 6－a 4＝6＝2d . ∴d ＝3.∴a 1＋d ＝－5.∴a 1＝－8.(2)若数列{a n }的公差为2,则数列{3a n －2}的公差为( D ) A ．3 B ．4C．5 D．6解析：∵数列{a n}的公差为2,∴数列{3a n－2}的公差为3×2＝6.(3)设数列{a n},{b n}都是等差数列,且a1＝25,b1＝75,a2＋b2＝100,那么由a n＋b n所组成的数列的第37项的值为( C )A．0 B．37C．100 D．－37解析：设c n＝a n＋b n,则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100,c2＝a2＋b2＝100.故d＝c2－c1＝0.故c n＝100(n∈N*)．从而c37＝100.类型二等差数列的实际应用[例2] 有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所买各台单价均减少20元,但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少？[分析] 先求出购买n台时甲商场的售价,再与购买n台时乙商场的售价作差比较．[解]设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价为a n元,当a n不低于440时,a1,a2,…,a n构成等差数列,则a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n,解不等式a n≥440,即800－20n≥440,得n≤18.当购买台数小于或等于18台时,每台售价为(800－20n)元,当购买台数大于18台时,每台售价为440元．到乙商场购买,每台售价为800×75%＝600(元)．又(800－20n)n－600n＝20n(10－n),所以,当n<10时,600n<(800－20n)n；当n＝10时,600n＝(800－20n)n；当10<n≤18时,(800－20n)n<600n；当n>18时,440n<600n.所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少；当购买10台时,到两商场购买花费相同；当购买台数多于10台时,到甲商场购买花费较少．1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.[变式训练2] 有一个很神秘的地方,那里有很多的雕塑,每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶,第二个雕塑有5只蝴蝶,第三个雕塑有7只蝴蝶,第四个雕塑有9只蝴蝶,以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方,学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里,那么,第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？解：由题知：a 1＝3,a 2＝5,a 3＝7,a 4＝9,…,可知其是以3为首项,2为公差的等差数列,则a n ＝2n ＋1,当n ＝102时,a 102＝205,当a n ＝999时,2n ＋1＝999,n ＝499.答：第102个雕塑是由205只蝴蝶组成的；由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个．类型三等差数列的综合应用[例3] 已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都是100项,求它们有多少个共同的项．[分析] 先写出两数列的通项公式,利用两通项公式寻找共同的项． [解] 解法一：设两个数列分别为{a n }与{b k }, 则a 1＝5,d 1＝8－5＝3,通项a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3,d 2＝7－3＝4,通项b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1. 设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同, 即a n ＝b k ,即3n ＋2＝4k －1. ∵n ＝43k －1,而n ∈N *,k ∈N *,∴k 必须为3的倍数,设k ＝3r (r ∈N *),得n ＝4r －1,由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，解得12≤r ≤1014,又∵r ∈N *,∴1≤r ≤25(r ∈N *)． ∴共有25个共同的项．解法二：由解法一知两数列的通项分别为a n ＝3n ＋2,b k ＝4k －1,设共同项构成新数列{c n },则c 1＝11,∵数列{a n },{b n }均为等差数列,∴数列{c n }仍为等差数列,且公差为d ＝12. ∴c n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1. 又∵a 100＝302,b 100＝399, ∴c n ＝12n －1≤302,∴n ≤25.25,∴两数列有25个共同项．本题是探求两个数列的公共项问题,解法一是常规解法,解法二利用了最小公倍数．通常是从通项公式入手,建立a n ＝b m 这样的方程,再求其一定范围内的整数解．本题常见的错误是求得数列a n ＝3n ＋2,b n ＝4n －1,即令3n ＋2＝4n －1,解得n ＝3,所以有一个公共项11,这显然是错误的．[变式训练3] 把数列{2n ＋1}中的项依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,…循环,为：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第104个括号内的各数之和为( D )A ．2 036B ．2 048C ．2 060D ．2 072解析：由观察发现,每四个括号是一个循环,一个循环由10个数组成,104个括号有26个循环,则第104个括号内有四个数,这四个数为数列3,5,7,9,…的第257项、第258项、第259项、第260项,分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2,即515,517,519,521,其和为2 072.故选D.1．等差数列{a n }中,若a 2＋a 4 024＝4,则a 2 013＝( A ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．－2解析：∵2a 2 013＝a 2＋a 4 024＝4,∴a 2 013＝2.2．已知等差数列{a n }中,a 7＝π4,则tan(a 6＋a 7＋a 8)等于( C )A ．－33B ．－ 2C ．－1D ．1解析：∵在等差数列{a n }中,a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝3π4,∴tan(a 6＋a 7＋a 8)＝tan 3π4＝－1.3．如果等差数列{a n }中,a 1＝2,a 3＝6,则数列{2a n －3}是公差为4的等差数列．解析：设数列{a n }的公差为d ,则a 3－a 1＝2d ＝4, 即d ＝2.故数列{2a n －3}的公差为4.4．在等差数列{a n }中,a 3＝7,a 5＝a 2＋6,则a 6＝13. 解析：设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 5＝a 2＋6,∴a 5－a 2＝6,即3d ＝6,d ＝2. ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋3×2＝13. 5．在等差数列{a n }中： (1)若a 5＝a ,a 10＝b ,求a 15； (2)若a 3＋a 8＝m ,求a 5＋a 6； (3)若a 5＝6,a 8＝15,求a 14. 解：(1)∵a 5＋a 15＝2a 10,∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .(2)解法一：∵a 3＋a 8＝(a 1＋2d )＋(a 1＋7d ) ＝2a 1＋9d ＝m ,∴a 5＋a 6＝(a 1＋4d )＋(a 1＋5d )＝2a 1＋9d ＝m . 解法二：∵5＋6＝3＋8, ∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝m .(3)解法一：∵a 8＝a 5＋(8－5)d , 即15＝6＋3d ,∴d ＝3.∴a 14＝a 8＋(14－8)d ＝15＋6×3＝33. 解法二：∵数列{a n }是等差数列,∴数列a 5,a 8,a 11,a 14,…是等差数列,首项a 5＝6,公差d ＝a 8－a 5＝15－6＝9, ∴第四项a 14＝6＋3×9＝33.——本课须掌握的问题运用等差数列的性质,能够简化问题,提高准确性．常用的性质主要有： (1)d ＝a m －a n m －n(m ,n ∈N *,且n ≠m )； (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ,m ∈N *)； (3)若m ＋n ＝p ＋q (m ,n ,p ,q ∈N *), 则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地,若m ＋n ＝2p (m ,n ,p ∈N *), 则a m ＋a n ＝2a p .在解决等差数列问题时要注意项数(即项的下标)之间的关系．。

2020年高中数学人教A版必修5 同步作业本《等差数列的性质》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 同步作业本《等差数列的性质》一、选择题1.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2＋b 2=100，那么由a n ＋b n 所组成的数列的第37项值为( )A ．0B ．37C ．100D ．-372.如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5B ．a 1＋a 8=a 4＋a 5C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8=a 4a 53.由公差d≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( )A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列4.在数列{a n }中，a 3=2，a 7=1，如果数列是等差数列，那么a 11等于( ){1an ＋1}A. B. C. D ．11312235.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．-2B ．-3C ．-4D ．-56.若方程(x 2-2x ＋m)(x 2-2x ＋n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=( )14A ．1 B. C. D.341238二、填空题7.在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2-3x-5=0的根，则a 5＋a 8=________．8.数列{a n }满足递推关系a n =3a n-1＋3n -1(n∈N *，n ≥2)，a 1=5，则使得数列为等差数列{an ＋m 3n }的实数m 的值为________．9.已知数列{a n }满足a 1=1，若点在直线x-y ＋1=0上，则a n =___________．(an n ，an ＋1n ＋1)10.若数列{a n }为等差数列，a p =q ，a q =p(p≠q)，则a p ＋q =______________．三、解答题11.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5=30，a 6＋a 7＋…＋a 10=80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.12.已知无穷等差数列{a n }，首项a 1=3，公差d=-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项？13.在数列{a n }中，a 1=1，3a n a n-1＋a n -a n-1=0(n≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列是等差数列；{1an}(2)求数列{a n }的通项公式．答案解析1.答案为：C ；解析：设c n =a n ＋b n ，则c 1=a 1＋b 1=25＋75=100，c 2=a 2＋b 2=100，故d=c 2-c 1=0，故c n =100(n∈N *)，从而c 37=100.2.答案为：B ；解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8=a 4＋a 5.3.答案为：C ；解析：因为(a n ＋1＋a n ＋3)-(a n ＋a n ＋2)=(a n ＋1＋a n )＋(a n ＋3-a n ＋2)=2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．4.答案为：B ；解析：依题意得＋=2·，所以=-=，所以a 11=.1a3＋11a11＋11a7＋11a11＋121＋112＋123125.答案为：C ；解析：设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6=a 1＋5d>0，a 7=a 1＋6d<0.又因为a 1=23，所以即-<d<-，又因为d 是整数，所以d=-4.{d >－235，d <－236，)2352366.答案为：C ；解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4=a 2＋a 3=2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d=2，因为a 1=，所以d=，所以a 2=＋=，a 3=＋1=，a 4=＋=，14121412341454143274所以|m-n|=|a 1a 4-a 2a 3|==.|14×74－34×54|127.答案为：3；解析：由已知得a 3＋a 10=3.又数列{a n }为等差数列，所以a 5＋a 8=a 3＋a 10=3.8.答案为：- ；12解析：a 1=5，a 2=3×5＋32-1=23，a 3=3×23＋33-1=95，依题意得，，成等差数列，所以2·=＋，所以m=-.5＋m 323＋m 3295＋m 3323＋m 325＋m 395＋m 33129.答案为：n 2解析：由题设可得-＋1=0，即-=1，所以数列是以1为公差的等差数an n an ＋1n ＋1an ＋1n ＋1an n {an n}列，且首项为1，故通项公式=n ，所以a n =n 2.an n 10.答案为：0；解析：法一：因为a p =a q ＋(p-q)d ，所以q=p ＋(p-q)d ，即q-p=(p-q)d ，因为p≠q，所以d=-1.所以a p ＋q =a p ＋(p ＋q-p)d=q ＋q×(-1)=0.法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )在一条直线上．不妨设p ＜q ，记点A(p ，q)，B(q ，p)，则直线AB 的斜率k==-1，如图所示，由图知OC=p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q ，0)故a p ＋q =0.p －q q －p11.解：法一：因为1＋11=6＋6，2＋12=7＋7，…，5＋15=10＋10，所以a 1＋a 11=2a 6，a 2＋a 12=2a 7，…，a 5＋a 15=2a 10.所以(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)=2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．所以a 11＋a 12＋…＋a 15=2(a 6＋a 7＋…＋a 10)-(a 1＋a 2＋…＋a 5)=2×80-30=130.法二：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30，80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列．所以30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)=2×80，所以a 11＋a 12＋…＋a 15=130.12.解：(1)由题意，等差数列{a n }的通项公式为a n =3＋(n-1)(-5)=8-5n ，设数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第m 项，则需满足m=4n-1，n ∈N *，所以b 1=a 3=8-5×3=-7，b 2=a 7=8-5×7=-27.(2)由(1)知b n ＋1-b n =a 4(n ＋1)-1-a 4n-1=4d=-20，所以新数列{b n }也为等差数列，且首项为b 1=-7，公差为d′=-20，所以b n =b 1＋(n-1)d′=-7＋(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1，n ∈N *，所以当n=110时，m=4×110-1=439，所以数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第439项．13. (1)证明：由3a n a n-1＋a n -a n-1=0，得-=3(n≥2)．1an 1an －1又因为a 1=1，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．{1an}(2)解：由(1)可得=1＋3(n-1)=3n-2，所以a n =.1an 13n －2又当n=1时，a 1=1，符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n =.13n －2。

2022年高中数学第二章数列2-2等差数列的性质练习含解析新人教A版必修

课时训练8　等差数列的性质一、等差数列性质的应用1.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=( )A.12B.16C.20D.24答案:B2.等差数列{a n}中,若a2+a4 024=4,则a2 013=( )A.2B.4C.6D.-2答案:A解析:2a2013=a2+a4024=4,∴a2013=2.3.在等差数列{a n}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8等于( )A.24B.22C.20D.-8答案:A解析:根据等差数列的性质可知a3+a13=2a8,所以已知等式可变为2a8+3a8=120,解得a8=24,所以a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.4.如果等差数列{a n}中,a1=2,a3=6,则数列{2a n-3}是公差为的等差数列.答案:4解析:设数列{a n}的公差为d,则a3-a1=2d=4,∴d=2.∴数列{2a n-3}的公差为4.5.在等差数列{a n}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= .答案:13解析:设等差数列{a n}的公差为d.∵a5=a2+6,∴a5-a2=6,即3d=6,d=2.∴a6=a3+3d=7+3×2=13.6.(2015河南郑州高二期末,14)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .答案:72解析:由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=112.又可得2a=2+b=2+112=152,解得a=154,同理可得2c=9+112=292,解得c=294,故c-a=294−154=144=72.二、等差数列的综合应用7.已知等差数列{a n}中,a7=π4,则tan(a6+a7+a8)等于( )A.-√33B.-√2C.-1D.1答案:C解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7=3π4,∴tan(a6+a7+a8)=tan3π4=-1.8.已知数列{a n}是等差数列,a4=15,a7=27,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为( )A.4B.14C.-4 D.-14答案:A解析:由数列{a n}是等差数列,知a n是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,a n),因此过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的直线斜率,所以直线的斜率k=27-157-4 =4.9.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-13a14的值为( )A.12B.14C.16D.18答案:A解析:由等差数列的性质及a4+a6+a8+a10+a12=90得5a8=90,即a1+7d=18,∴a10-13a14=a1+9d-13(a1+13d)=23(a1+7d)=23×18=12,故选A.10.数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ与a3的值;(2)数列{a n}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由.解:(1)由条件得a2=(2-λ)a1,又a1=1,a2=-1,所以λ=3,从而a3=(22+2-3)a2=-3.(2)假设数列{a n}是等差数列,由a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).由假设知2a2=a1+a3,即2(2-λ)=1+(6-λ)(2-λ),解得λ=3,于是a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以a2-a1=-2,而a4-a3=-24,与数列{a n}是等差数列矛盾,故数列{a n}不可能是等差数列.(建议用时:30分钟)1.已知{a n}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( )A.4B.5C.6D.7答案:C解析:由等差数列性质得a2+a8=2a5=12,所以a5=6.2.在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为( )A.6B.12C.24D.48答案:D解析:∵a1+a15=2a8,∴a1+3a8+a15=5a8.∴5a8=120,a8=24.而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.∴选D.3.若数列{a n}为等差数列,a p=q,a q=p(p≠q),则a p+q为( )A.p+qB.0C.-(p+q)D.p+q2答案:B解析:公差d=p-qq-p=-1,∴a p+q=a p+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,a n,…组成一个数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是( )A.该新数列不是等差数列B.是公差为d的等差数列C.是公差为2d的等差数列D.是公差为3d的等差数列答案:C解析:∵(a n+1+a n+3)-(a n+a n+2)=(a n+1-a n)+(a n+3-a n+2)=2d,∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.5.已知{a n}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a3+a7)的值为( )A.√32B.-√32C.12D.-12答案:D解析:∵{a n}为等差数列,a1+a5+a9=8π,∴a5=83π,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cos163π=-12.6.等差数列{a n}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d= . 答案:-6解析:由题知d=a8-a38-3=-305=-6.7.在等差数列{a n}中,已知a8+m=10,a8-m=6,其中m∈N*,且1≤m≤7,则a8= . 答案:8解析:∵a 8+m +a 8-m =2a 8,∴a 8=8.8.如果有穷数列a 1,a 2,…,a m (m 为正整数)满足条件:a 1=a m ,a 2=a m-1,…,a m =a 1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n }中,c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,c 2= .答案:19解析:因为c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,又{c n }为21项的对称数列,所以c 2=c 20=c 11+9d=1+9×2=19.9.已知等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求此数列的通项公式.解:∵a 1+a 7=2a 4,∴a 1+a 4+a 7=3a 4=15.∴a 4=5.又∵a 2a 4a 6=45,∴a 2a 6=9.即(a 4-2d )(a 4+2d )=9,即(5-2d )(5+2d )=9,解得d=±2.若d=2,a n =a 4+(n-4)d=2n-3;若d=-2,a n =a 4+(n-4)d=13-2n.10.已知{a n }为等差数列,a 15=8,a 60=20,求a 75.解:解法一:因为{a n }为等差数列,∴a 15,a 30,a 45,a 60,a 75也成等差数列,设其公差为d ,a 15为首项,则a 60为其第4项,∴a 60=a 15+3d ,得d=4.∴a 75=a 60+d=20+4=24.解法二:设{a n }的公差为d ,因为a 15=a 1+14d ,a 60=a 1+59d ,∴{a 1+14d =8,a 1+59d =20,解得{a 1=6415,d =415.故a 75=a 1+74d=6415+74×415=24.。

2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质

4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.

2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：2.2 等差数列(二)

明目标、知重点 1.能依据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是一固定常数；当d ≠0时，a n 的相应函数是一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中，已知a 1，d, a m, a n (m ≠n )，则d ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m ，从而有a n＝a m ＋(n －m )d .(2)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)(3){a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列；d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．[情境导学]在等差数列{a n }中，若已知首项a 1和公差d 的值，由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可求出任意一项的值，假如已知a m 和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？本节我们连续探讨．探究点一等差数列通项公式的推广思考1 等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 是由等差数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，那么，如何证明公式对全部正整数n 都成立？答 (1)叠加法：由等差数列的定义知： a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N *)，⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝da 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n－a n －1＝d (n －1)个将以上(n －1)个等式两边分别相加，可得a n －a 1＝(n －1)d ，即a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)迭代法：{a n }是等差数列，则：a n ＝a n －1＋d ＝a n －2＋2d ＝a n －3＋3d ＝…＝a 1＋(n －1)d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d .思考2 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1)d ，假如已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n?答设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1)d ，变形得a 1＝a m －(m －1)d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .思考3 对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间有怎样的关系？为什么？答 a m ＋a n ＝a p ＋a q .由于a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1＋(n ＋m －2)d ，而a p ＋a q ＝a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d ＝2a 1＋(p ＋q －2)d ，又因m ＋n ＝p ＋q ，所以a m ＋a n ＝a p ＋a q .小结 (1)等差数列的其次通项公式：a n ＝a m ＋(n －m )d ；(2)对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q . 例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式．解由于a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.反思与感悟利用等差数列的其次通项公式及等差数列的性质，不难得出等差数列另外一些性质：(1){a n }为有穷等差数列，则与首末两项“等距离”的两项之和都相等，且等于首末两项之和． (2)下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)组成公差为md 的等差数列． (3)若数列{a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }，{pa n ＋qb n }(p 、q 为常数)也为等差数列．跟踪训练1 已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝______.答案 12解析由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.探究点二等差数列与一次函数的关系思考等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 整理成a n 关于n 的函数后，其相应的一次函数图象的斜率及在y 轴上的截距各是什么？答等差数列{a n }的通项公式变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其图象为一条直线上孤立的一系列点，d 为直线的斜率，在y 轴上的截距为a 1－d .例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 为常数，那么这个数列确定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)，求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p . 它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列．首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p .反思与感悟推断数列{a n }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，即a n －a n －1(n >1)是不是一个与n 无关的常数；也可以利用等差中项，即若a n ＋1＝a n ＋a n ＋22成立，则说明{a n }是等差数列．跟踪训练2 已知a ，b ，c 成等差数列，证明a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )也能构成等差数列．证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . ∴a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b ) ＝a 2b ＋a 2c ＋c 2a ＋c 2b ＝(a 2b ＋c 2b )＋(a 2c ＋c 2a ) ＝b (a 2＋c 2)＋ac (a ＋c ) ＝b (a 2＋c 2)＋2abc ＝b (a 2＋c 2＋2ac )＝b (a ＋c )2＝b ·(a ＋c )·(a ＋c ) ＝2·b 2(a ＋c )．∴a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )能构成等差数列．探究点三等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．解由于a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5.又由于a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .反思与感悟解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值．解方法一 ∵a 1＋a 4＋a 7＝(a 1＋a 7)＋a 4＝3a 4＝39， ∴a 4＝13，∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 2＋a 8)＋a 5＝3a 5＝33.∴a 5＝11，∴d ＝a 5－a 4＝－2. ∵a 3＋a 6＋a 9＝(a 3＋a 9)＋a 6 ＝2a 6＋a 6＝3a 6＝3(a 5＋d )＝3(11－2)＝27.方法二 ∵a 1＋a 4＋a 7＝a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d ) ＝3a 1＋9d ＝39， ∴a 1＋3d ＝13，①∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d ) ＝3a 1＋12d ＝33. ∴a 1＋4d ＝11，②由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝13，a 1＋4d ＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，a 1＝19.∴a 3＋a 6＋a 9＝(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋8d ) ＝3a 1＋15d ＝3×19＋15×(－2)＝27.例4 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解方法一设等差数列的中间一项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意得，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24，所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24，化简得d 2＝16，于是d ＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二设首项为a ，公差为d ，这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，依题意得，3a ＋3d ＝6且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，得2(2－d )(2＋d )＝－24,4－d 2＝－12，即d 2＝16，于是d ＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.反思与感悟当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…，a－2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可削减计算量．跟踪训练4 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．解方法一设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．依题意得，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意得，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得(1－32d )(1＋32d )＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2. 又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，a ＝－2. 故所求的四个数为－2,0,2,4.1．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A ．3 B ．－6 C ．4 D ．－3 答案 B解析由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A ．32 B ．－32 C ．35 D ．－35 答案 C解析由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35.3．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3 B ．－3 C.32 D ．－32答案 A解析由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7，所以a 2＝15－12＝3.4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18 ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116 ②由①得a ＝6，代入②得d ＝±2. ∵该数列是递增数列， ∴d ＞0，即d ＝2. ∴这三个数依次为4,6,8. [呈重点、现规律]1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n 为公差公式，利用这个公式很简洁求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项依据原来的挨次排列，构成的新数列照旧是等差数列． 3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，特殊地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .4．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，假如条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要留意公式的变形及整体计算，以削减计算量．一、基础过关1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案 B解析由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.2．设公差为－2的等差数列{a n }，假如a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148 D ．－82 答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33＝－82.3．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确． na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值状况有关．故数列{na n }不愿定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a nn}递增，但d ＞a 1不愿定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.4．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.5．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 6．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， ∴3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20.7．在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，求a m ＋n 的值．解方法一设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n .所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 二、力气提升8．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．300答案 C解 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5 ＝5a 5＝450，∴a 5＝90. ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.9．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－33D ．－3 答案 D解析由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 10．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 答案 105解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝5(25－d 2)＝80，又d 为正数，∴d ＝3.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3(5＋30)＝105.11．成等差数列的四个数之和为26，其次个数与第三个数之积为40，求这四个数．解设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12．正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n .(1)数列{a n }是否为等差数列？说明理由． (2)求a n . 解 (1)∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ，∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝1，∴{a n }是等差数列，公差为1. (2)由(1)知{a n }是等差数列，且d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝n 2. 三、探究与拓展13．已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2.(1)数列{1a n }是否为等差数列？说明理由．(2)求a n .解 (1)数列{1a n }是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n＝12＋1a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12，即{1a n }是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，∴a n ＝2n .。

高中数学人教A版浙江专版必修5讲义第二章2.2等差数列含答案

等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 3．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27[典例] n(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________.解析：由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75.答案：75[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)，∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2).∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ， ∴2b ＝a ＋cac ，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0 解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2， x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ②①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x－y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ， ∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4. a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2. 即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n }成等差数列．第二课时等差数列的性质[新知初探]1．等差数列通项公式的推广2.若{a n }是公差为d 的等差数列，正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p＋a q .(1)特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a k .(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30[典例] (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C[活学活用]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元，则a 1＝200，a n ＋1－a n ＝－20(n ∈N *)， ∴每年的利润构成一个等差数列{a n }，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝220－20n . 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20 D．24解析：选B因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选A由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( ) A ．没有实根 B ．两个相等实根 C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21. 答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案：1或28．已知等差数列{a n }满足a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，且m >1，则a 1＋a 2m －1＝________. 解析：因为数列{a n }为等差数列，则 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，所以a 1＋a 2m －1＝2a m ＝2.答案：29．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：由等差数列的性质得a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.∴(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．∴a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n}：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n}：0,20,40,60，…，则数列{a n ＋b n}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A. 3 B．±3C．－33D．－ 3解析：选D由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝4π3.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan 8π3＝tan2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ，由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.8．下表是一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解． (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列，公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列，所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝2 017， ∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．。

人教a版必修5学案：2.2等差数列(含答案)

2.2 等差数列自主学习知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示．2．等差中项如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的____________． 3．等差数列的单调性等差数列的公差________时，数列为递增数列；________时，数列为递减数列；________时，数列为常数列．4．等差数列的通项公式a n ＝________________，当d ＝0时，a n ＝________，a n 是关于n 的________函数；当d ≠0时，a n ＝____________，a n 是关于n 的________函数，点(n ，a n )分布在一条以______为斜率的直线上，是这条直线上的一列________的点．5．等差数列的性质(1)若{a n }是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k 、l 、m 、n ∈N *)，则____________．(2)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n }也是________，公差为________．(3)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n －1＋a 2n }也是____________，公差为________．自主探究如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗？对点讲练知识点一等差数列的通项公式例1 若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式a n＝a m ＋(n－m)d求解．变式训练1在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，求a m＋n的值．知识点二等差数列的性质例2已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．变式训练2成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．知识点三等差数列的判断例3 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)，令b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．总结判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．变式训练3 若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．1．证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列．(3)通项法：a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列，只要说明a n 为n 的一次函数，就可下结论说{a n }是等差数列．2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .课时作业一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )A ．24B ．22C ．20D ．－82．已知等差数列{a n }中，a 2＝－9，a 3a 2＝－23，则a n 为( ) A ．14n ＋3 B ．16n －4 C ．15n －39 D ．15n ＋83．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *)4．等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( )A ．45B ．75C ．180D ．3005．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题 6．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为______． 7．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______. 8．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝______.三、解答题9．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．10．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？请说明理由．(2)若a m 、a t (m 、t ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a m ＋3a t 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由．§2.2 等差数列知识梳理1．2 同一个公差 d2．等差中项3．d>0 d<0 d ＝04．a 1＋(n －1)d a 1 常数 dn ＋(a 1－d) 一次 d 孤立5．(1)a k ＋a l ＝a m ＋a n (2)等差数列 2d(3)等差数列 4d自主探究解第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，….所以a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 2＋d ＝(a 1＋d)＋d ＝a 1＋2d ，a 4＝a 3＋d ＝(a 1＋2d)＋d ＝a 1＋3d ，…由此得出：a n ＝a 1＋(n －1)d.第二种方法：由等差数列的定义知，a n －a n －1＝d(n ≥2)，所以 ⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝d a 3－a 2＝d a 4－a 3＝d ⋮a n －a n －1＝d (n －1)个将以上(n －1)个等式两边分别相加，可得a n －a 1＝(n －1)d ，即a n ＝a 1＋(n －1)d.对点讲练例1 解设{a n }的公差为d.方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 方法二因为a 60＝a 15＋(60－15)d ，所以d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415，所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24. 变式训练1 解方法一设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m)d ＝n ＋n·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b(a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝am ＋b ＝n ，a n＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n.所以a m ＋n ＝a(m ＋n)＋b ＝0.例2 解因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5.又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，即(a 4－2d)(a 4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n.变式训练2 解设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.例3 (1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝4－4a n (n ∈N *)． ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2 ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12. ∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N *. ∴{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． (2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12. ∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n 2. ∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 变式训练3 证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列， ∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列．课时作业1．A [设等差数列{a n }公差为d .∵a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴5a 8＝120，∴a 8＝24，∴2a 9－a 10＝2(a 8＋d )－(a 8＋2d )＝a 8＝24.]2．C [∵a 2＝－9，a 3a 2＝－23， ∴a 3＝－23×(－9)＝6，∴d ＝a 3－a 2＝15， ∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)×15＝15n －39.]3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)(－2)，得a n ＝－2n ＋10.]4．C [方法一设{a n }首项为a 1，公差为d ，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d ，即5a 1＋20d ＝450，a 1＋4d ＝90，∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180.方法二 ∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8，∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450， ∴a 2＋a 8＝180.]5．D [∵2a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝12. 故数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列． ∴a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.] 6.43解析 ∵n －m ＝3d 1，∴d 1＝13(n －m )．又∵n －m ＝4d 2，∴d 2＝14(n －m )． ∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 7.125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124. 所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125. 8.12解析由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d . 则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716， ∴|m －n |＝12. 9．解设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.10．解 (1)依题意有a 1＝3，d ＝7－3＝4，∴a n ＝3＋4(n －1)＝4n －1.设a n ＝4n －1＝135，得n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项．由于4m ＋19＝4(m ＋5)－1，且m ∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项．(2)∵a m 、a t 是数列{a n }中的项，∴a m ＝4m －1，a t ＝4t －1.∴2a m ＋3a t ＝2(4m －1)＋3(4t －1)＝4(2m ＋3t －1)－1.∵2m ＋3t －1∈N *，∴2a m ＋3a t 是数列{a n }中的第2m ＋3t －1项．。

人教a版必修5学案：第2章《数列》本章回顾(含答案)

本章回顾识结构点回放想方法一、取倒数法和取对数法求通项例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋1·a na n ＋2n ＋1，a 1＝2.求a n .解对a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n ＋1两边取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋2n ＋12n ＋1a n， ∴1a n ＋1＝1a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 令b n ＝1a n，则b n ＋1＝b n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1. ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴a n ＝1b n ＝11－⎝⎛⎭⎫12n ＝2n2n －1.例2 在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3.求a n . 解由已知，a n >0，对a n ＋1＝3a 2n 两边取常用对数得：lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 3. 令b n ＝lg a n .则b n ＋1＝2b n ＋lg 3. ∴b n ＋1＋lg 3＝2(b n ＋lg 3)． ∴{b n ＋lg 3}是等比数列，首项是b 1＋lg 3＝lg 3＋lg 3＝2lg 3.∴b n ＋lg 3＝2n －1·(b 1＋lg 3)＝2n lg 3.∴b n ＝(2n－1)lg 3＝lg 123n-＝lg a n .∴a n ＝123n-二、运用恒等变形求数列前n 项和例3 (2009·山东日照一模)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.(1)解由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3 (n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1 (n ≥2)．故数列{a n }为等比数列，且q ＝3. 又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3， ∴a 1＝3.∴a n ＝3n .(2)证明 b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.例4 已知数列{a n }的前n 项和S n ，对一切正整数n ，点(n ，S n )都在函数f (x )＝2x ＋2－4的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.三、运用方程(组)的思想解数列问题例5 等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.解设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200.当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7.∴S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.例6 (2009·江苏通州模拟)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝λa n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49. (1)当m ＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{a n }一定不是等差数列；(2)当λ＝－12时，试判断数列{b n }是否为等比数列．(1)证明当m ＝1时，a 1＝1，a 2＝λ＋1，a 3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2. 假设数列{a n }是等差数列，由a 1＋a 3＝2a 2，得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程无实根．故对于任意的实数λ，数列{a n }一定不是等差数列．(2)解当λ＝－12时，a n ＋1＝－12a n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.b n ＋1＝a n ＋1－2(n ＋1)3＋49＝⎝⎛⎭⎫－12a n ＋n －2(n ＋1)3＋49 ＝－12a n ＋n 3－29＝－12⎝⎛⎭⎫a n －2n 3＋49＝－12b n . 又b 1＝m －23＋49＝m －29，∴当m ≠29时，数列{b n }是以m －29为首项，－12为公比的等比数列；当m ＝29时，数列{b n }不是等比数列．四、运用函数的思想解数列问题例7 设b n ＝(1＋r )q n －1，r ＝219.2－1，q ＝12，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫log 2 b n ＋1log 2 b n 的最大项和最小项的值．解 log 2 b n ＋1log 2 b n ＝log 2[(1＋r )q n ]log 2[(1＋r )q n －1]＝log 2(1＋r )＋n log 2 q log 2(1＋r )＋(n －1)log 2 q ＝1＋1n －20.2. 记c n ＝log 2 b n ＋1log 2 b n ，则c n ＝1＋1n －20.2.作出函数y ＝1x －20.2＋1的图象．易知：c 20<c 19<…<c 1<1，c 21>c 22>…>1. ∴最高点为(21，c 21)，最低点(20，c 20)．∴最大项为c 21，c 21＝2.25，最小项为c 20，c 20＝－4. 五、构建数列模型解实际应用题例8 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n . 则有：a 1＝a ，n ≥2时：a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，(n －1)a ， n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋a ⎝⎛⎭⎫23＋a ⎝⎛⎭⎫232＋…＋a ⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ，(n ∈N *)． (2)易知b n <3a ，所以乙将被甲超市收购，由b n <12a n 得：⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1>7，∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．例9 某油料库已储油料a t ，计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b t ，设a n 为正式运营第n 年底的储油量．(1)求a n 的表达式并加以证明；(2)为应对突发事件，该油库年底储油量不得少于23a t ，如果b ＝724a t ，该油库能否长期按计划运营？如果可以请加以证明，如果不行请说明理由．(取lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)．解 (1)依题意油库原有储油量为a t ，则a 1＝(1＋25%)a －b ＝54a －b ，a n ＝(1＋25%)a n －1－b ＝54a n －1－b (n ≥2，n ∈N *)，令a n －x ＝54(a n －1－x )，则a n ＝54a n －1－x4，于是b ＝x 4，即x ＝4b ，∴a n －4b ＝54(a n －1－4b )，∴数列{a n －4b }是公比为54，首项为54a －5b 的等比数列．a n －4b ＝(a 1－4b )⎝⎛⎭⎫54n －1＝⎝⎛⎭⎫54a －b －4b ⎝⎛⎭⎫54n －1 ＝⎝⎛⎭⎫54na －5b ·⎝⎛⎭⎫54n －1， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫54na ＋4b －5b ⎝⎛⎭⎫54n －1＝⎝⎛⎭⎫54n a －4b ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1. (2)若b ＝724a t 时，该油库第n 年年底储油量不少于23a t ，即⎝⎛⎭⎫54n a －⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1×4×724a ≥23a ，即⎝⎛⎭⎫54n ≤3，∴n ≤log 54 3＝lg 31－3lg 2＝0.481－3×0.3＝4.8，可见该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营．思妙解1．等差数列性质多，三点共线可求和例1 在等差数列{a n }中，S 10＝20，S 50＝200，求S 2 010的值．解由S n ＝An 2＋Bn ，知S n n＝An ＋B ，所以点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝Ax ＋B 上，于是点⎝⎛⎭⎫10，S 1010，⎝⎛⎭⎫50，S 5050，⎝⎛⎭⎫2 010，S 2 0102 010三点共线，∴S 5050－S 101050－10＝S 2 0102 010－S 50502 010－50成立．把S 10＝20，S 50＝200代入上式，解得：S 2 010＝205 020.2．数列图象莫轻视，大题小作显神奇例2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1>0，S 12>0，S 13<0，指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由？解 ∵{a n }是等差数列，∴S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ， ∵S 12>0，S 13<0.∴a 13＝S 13－S 12<0， ∵a 1>0，a 13<0，∴d<0.∴点(n ，S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象上．设二次函数y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的对称轴为n 0，则2n 0是二次函数的一个零点． ∵S 12>0，S 13<0，∴12<2n 0<13， ∴6<n 0<6.5.易知n ＝6对应的A 点(6，S 6)与对称轴的距离比n ＝7对应的B 点(7，S 7)与对称轴的距离更小．∴A 点为最高点，S 6最大．。

高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5

a1n为等差数列
由等差数列通―项―公→式
求a1n
―→
求an
[规范解答] (1)数列a1n是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n， 4分
∴an1＋1－a1n＝12，
6分
即a1n是首项为a11＝12，公差为d＝12的等差数列.
等差数列的性质
• (1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： • ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d ____的等差数列； • ②{c·an}(c为任一常数)是公差为c_d___的等差数列； • ③ 列{．an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差2为d ___的等差数
• (数的2)列等若差{{paa数nn}＋，列q{．bbnn}}(分p，别q是是公常差数为)是pdd11公＋，差qdd22为的_等__差__数__列__，__则_
• 【错解】由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：
• an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)， • 令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2. • 所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．
• 【错因】本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几项．
•
利用等差数列的定义巧设未知量，可
以的简项化数计n为算奇．数一时般，地可有设如中下间规一律项：为当a等，差再数用列公差{an为} d
向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋
2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，

a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a

人教A版高中数学必修五第二章第2节《等差数列》(第2课时)教案

2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。

二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。

设计流程如下:
四、教学过程：。

等差数列第二课时教案[整理版]

2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1. 知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列，学习等差数列通项公式的基础上，掌握等差中项的定义及应用，明确等差数列的性质，并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具，探究等差数列的性质，同时进一步培养学生归纳，总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、新知探究（一）等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义：由三个数b A a ,,组成的等差数列是最简单的等差数列，此时A 叫做a 和b 的等差中项.ba A +=2同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二）等差数列的性质1. 列举几个数列，观察数列的特点，研究公差与数列单调性的关系.问题1：数列1: 1,3,5,7,9,11，……数列2： 30，25,20，15,10,5，……数列3： 8,8,8,8,8,8，……引导学生观察，得到等差数列的一个性质.性质1：若数列}{n a 是等差数列，公差为d .若d >0,则是}{n a 递增数列；若d <0,则}{n a 是递减数列；若d =0,则}{n a 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:dm n a a m n )(-+=参考证明：由等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d mn --=性质2: d m n a a m n )(-+=;mn a a d mn --=问题3：在等差数列}{n a 中，若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+一定成立吗?特别地,k n m 2=+,则k n m a a a 2=+成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。

高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案

2.2等差数列（二）一、教学目标1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．二、教学重点、难点重点：等差数列的通项公式、性质及应用．难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．三、教学过程（一）、复习1．等差数列的定义．2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d:① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=m n a a m n -- 4. {a n }是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若a n =2005,则n =( )A. 667B. 668C. 669D. 6705. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( )A. 18B. 9C. 12D. 15二、新课1．性质：在等差数列{a n }中,若m + n=p + q, 则a m + a n = a p + a q特别地,若m+n=2p, 则a m +a n =2a p例1. 在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a, a 10=b, 求a 15;(2) 若a 3+a 8=m, 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14;(4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.解: (1) 2a 10=a 5+a 15,即2b=a+a 15 , ∴a 15=2b ﹣a;(2) ∵5+6=3+8=11,∴a 5+a 6=a 3+a=m(3) a8=a 5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a 14=a 5+(14-5)d=6+9×3=33.13030802)( )(2 )(2)()(2 ,22,1277 ,11166)4(5211076151211107652115121112271116=-⨯=+++-+++=+++∴+++=++++++++=+=∴+=++=+a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 从而2．判断数列是否为等差数列的常用方法：（1）定义法: 证明a n -a n-1=d (常数)例2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n 2-2n, 求证数列{a n }成等差数列,并求其首项、公差、通项公式. 解: 当n=1时,a 1=S 1=3﹣2=1;当n ≥2时,a n =Sn ﹣S n ﹣1=3n 2﹣2n ﹣ [3(n ﹣1)2﹣2(n ﹣1)]=6n ﹣5;∵n=1时a 1满足a n =6n ﹣5,∴a n =6n ﹣5首项a 1=1,a n ﹣a n ﹣1=6(常数)∴数列{a n }成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c 成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数.例3. 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定}{n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--n n a a （n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。