高三一轮复习--椭圆综合练习
椭圆及其性质一轮复习

【解析】 设点 P(x0,y0),由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0),则
P→F1=(- 3-x0,-y0),P→F2=( 3-x0,-y0), 所以P→F1+P→F2=(-2x0,-2y0), 所以|P→F1+P→F2|= 4x20+4y20=2 4-4y20+y20=2 -3y20+4. 因为点 P 在椭圆上,所以 0≤y02≤1, 所以当 y02=1 时,|P→F1+P→F2|取得最小值 2.
椭圆复习课
考向一 椭圆的定义及其应用
例 1、(1)一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切, 与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切,试求动圆圆心的轨迹方程. (2)求过点 A(2,0)且与圆 x2+4x+y2-32=0 内切的圆的 圆心的轨迹方程.
(1)如图所示,设动圆的圆心为 C,半径为 r.
(1) 由题意,得 P,Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点, 且椭圆的焦点在 x 轴上,
所以 a=2 3,b=2,
所以椭圆的标准方程为1x22 +y42=1.
(2) 与椭圆x42+y32=1 有相同的焦点且经过点(2,- 3).
(2) 设椭圆x42+y32=1 的左、右焦点分别为 F1,F2, 则 F1(-1,0),F2(1,0), 所以所求椭圆的焦点在 x 轴上.
A.0,
2 2
B. 22,1
C.0,
3 2
D. 23,1
变式 4、已知椭圆 C:xa22+by22=1(a>b>0),点 A,B 是长轴的两个端点,
A 若椭圆上存在点 P,使得∠APB=120°,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
椭圆综合练习题一

椭圆综合练习题一1.“a >b >0”是“方程122=+by ax 表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 2.过15622=+yx内的一点P(2,-1)的弦,恰被P 点平分,则这条弦所在的直线方程是( ) A .5x -3y -13=0 B .5x +3y -13=0 C .5x -3y +13=0 D .5x +3y +13=03.2的椭圆称为“优美椭圆”.设22221(0)x y a b ab+=>>是优美椭圆,F 、A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个顶点,则F B A ∠=( )A. 60B. 75C.90D.120 4.椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点A ,B ,C ,D 构成的四边形为菱形,若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( )A 2B 8.2D 45.已知A ,B 是椭圆()012222>>=+b a by ax 长轴的两个顶点,N M ,是椭圆上关于x 轴对称的两点,直线BN AM ,的斜率分别为12,k k ,且021≠k k ,若21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( )A .12B .2C .23 D .326. P 、Q 是141622=+yx上两点,O 为原点,OP 、OQ 斜率之积为41-,则22OQ OP+为( )A . 4 B. 20 C. 64 D. 不确定 7.椭圆13422=+yx上有n 个不同的点,,,,21n P P P 椭圆的右焦点为F , 数列{}F P n 是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是( )A .198B .199C .200D .201 8.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为( ) A .23 B .33 C .36 D .669.设O 为坐标原点,12,F F 是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点,若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=,且||2O P =,则该椭圆的离心率为( )A.12B.142D.210.如图,椭圆的中心在坐标原点O ,顶点分别是1A ,2A ,1B ,2B ,焦点为1F ,2F ,延长11B F 与22A B 交于 P 点,若12B PA Ð为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为( )A. (0,14+ ) B .(14,1) C. (0, 12- ) D.( 12,1)11.椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的中心、右焦点、右顶点及在准线与x 轴的交点依次为O 、F 、G 、H ,则FG O H的最大值为( )A .12B .13C .14D .不确定12.若直线4:1=+ny mx l 和圆4:221=+y x C 无公共点,则过点),(n m P 的直线2l 与椭圆149:222=+yxC 的公共点的个数为( )A .至多一个B .2个C .1个D . 0个 13.已知F 1、F 2为椭圆2212516xy+=的左、右焦点,若M 为椭圆上一点,且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M 有( )个.A.0B.1C.2D.414.B 1、B 2是椭圆短轴的两端点,O 为椭圆中心,过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于点P ,若12F B 是|1O F |和|12B B |的等比中项,则12||PF O B 的值________.15.若点P 在以F 1,F 2为焦点的椭圆上,PF 2⊥F 1F 2,123tan 4PF F ∠=,则椭圆离心率为_______.16.已知非零实数a 、b 、c 成等差数列,直线0ax by c ++=与曲线2221(0)9x ym m+=>恒有公共点,则实数m 的取值范围为___________________.17.已知AB 是过椭圆x 225+y 216=1左焦点F 1的弦,且22||||12AF BF +=,其中2F 是椭圆的右焦点,则弦AB 的长是 .18.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部,则椭圆 离心率的取值范围是 .19.已知以)0,2(1-F 、)0,2(2F 为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且只有一个交点,则椭圆的长轴长为__________.20.已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆12222=+by ax ()0>>b a 上,x AB //轴,AD 过左焦点F ,则该椭圆的离心率为 . 21.若椭圆1C :2222111x y a b +=(110a b >>)和椭圆2C :2222221xy a b +=(220a b >>)的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论: ①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点;②1122a b a b >;③22221212a a b b -=-; ④1212a a b b -<-.其中,所有正确结论的序号是 . 22.已知椭圆()012222>>=+b a by ax 的右焦点为2F (3,0),离心率为23=e 。
高考数学一轮复习考点题型课下层级训练46椭圆——椭圆的概念及其性质(含解析)

课下层级训练(四十六) 椭圆的概念及其性质[A 级 基础强化训练]1.(2019·山东滨州模拟)若椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为( )A .12 B .33 C .22D .24【答案】C [依题意可知,c =b ,又a =b 2+c 2=2c , ∴椭圆的离心率e =c a =22.] 2.(2018·广东惠州调研)“m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C [把椭圆方程化成x 21m+y 21n=1.若m >n >0,则1n >1m>0.所以椭圆的焦点在y 轴上.反之,若椭圆的焦点在y 轴上,则1n >1m>0即有m >n >0.故为充要条件.]3.设F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |=3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A .4 B .3 C .2D .5【答案】A [由题意知|OM |=12|PF 2|=3,∴|PF 2|=6,∴|PF 1|=2a -|PF 2|=10-6=4.]4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,离心率为33,过F 2的直线l 交C 于A 、B两点.若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ) A .x 23+y 22=1B .x 23+y 2=1C .x 212+y 28=1 D .x 212+y 24=1 【答案】A [由题意及椭圆的定义知4a =43,则a =3,又c a=c3=33,∴c =1,∴b 2=2,∴C 的方程为x 23+y 22=1.] 5.(2019·山东烟台模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,若P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP →的最大值为( ) A .2 B .3 C .6D .8【答案】C [由题意知,O (0,0),F (-1,0),设P (x ,y ),则OP →=(x ,y ),FP →=(x +1,y ),∴OP →·FP →=x (x +1)+y 2=x 2+y 2+x .又∵x 24+y 23=1,∴y 2=3-34x 2,∴OP →·FP →=14x 2+x +3=14(x +2)2+2.∵-2≤x ≤2,∴当x =2时,OP →·FP →有最大值6.]6.焦距是8,离心率等于0.8的椭圆的标准方程为____________________.【答案】x 225+y 29=1或y 225+x 29=1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c =8,c a=0.8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =5,c =4,又b 2=a 2-c 2,∴b 2=9,当焦点在x 轴上时,椭圆方程为x 225+y 29=1,当焦点在y 轴上时,椭圆方程为y 225+x 29=1.]7.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为________________.【答案】(-5,0) [∵圆的标准方程为(x -3)2+y 2=1,∴圆心坐标为(3,0),∴c =3.又b =4,∴a =b 2+c 2=5.∵椭圆的焦点在x 轴上,∴椭圆的左顶点为(-5,0).]8.已知P 为椭圆x 225+y 216=1上的一点,M ,N 分别为圆(x +3)2+y 2=1和圆(x -3)2+y 2=4上的点,则|PM |+|PN |的最小值为____________.【答案】7 [由题意知椭圆的两个焦点F 1,F 2分别是两圆的圆心,且|PF 1|+|PF 2|=10,从而|PM |+|PN |的最小值为|PF 1|+|PF 2|-1-2=7.]9.已知椭圆的长轴长为10,两焦点F 1,F 2的坐标分别为(3,0)和(-3,0). (1)求椭圆的标准方程;(2)若P 为短轴的一个端点,求△F 1PF 2的面积.【答案】解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a =10,c =3,因此a =5,b =4,所以椭圆的标准方程为x 225+y 216=1.(2)易知|y P |=4,又c =3,所以S △F 1PF 2=12|y P |×2c =12×4×6=12.10.已知椭圆x 2+(m +3)y 2=m (m >0)的离心率e =32,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.【答案】解 椭圆方程可化为x 2m +y 2mm +3=1,m >0.∵m -mm +3=m m +m +3>0,∴m >mm +3,∴a 2=m ,b 2=mm +3,c =a 2-b 2= m m +m +3.由e =32,得 m +2m +3=32,∴m =1. ∴椭圆的标准方程为x 2+y 214=1,∴a =1,b =12,c =32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a =2和2b =1,焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,0,F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,四个顶点的坐标分别为A 1(-1,0),A 2(1,0),B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12. [B 级 能力提升训练]11.(2019·山东德州模拟)已知两定点A (0,-2),B (0,2),点P 在椭圆x 212+y 216=1上,且满足|AP →|-|BP →|=2,则AP →·BP →的值等于( ) A .-12 B .12 C .-9D .9【答案】D [由题意易知A (0,-2),B (0,2)为椭圆x 212+y 216=1的两焦点,∴|AP →|+|BP →|=2×4=8.又|A P →|-|BP →|=2,∴|A P →|=5,|B P →|=3. ∵|A B →|=4∴△ABP 为直角三角形,∴A P →·B P →=(AB →+BP →)·BP →=|BP →|2=9.]12.(2019·山东临沂月考)过椭圆x 225+y 216=1的中心任意作一条直线交椭圆于P ,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则△PQF 周长的最小值是( ) A .14 B .16 C .18D .20【答案】C [如图,设F 1为椭圆的左焦点,右焦点为F 2,根据椭圆的对称性可知|F 1Q |=|PF 2|,|OP |=|OQ |,所以△PQF 1的周长为|PF 1|+|F 1Q |+|PQ |=|PF 1|+|PF 2|+2|PO |=2a +2|PO |=10+2|PO |,易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长,即点P ,Q 为椭圆的上下顶点时,△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10+2×4=18.]13.(2019·山东东营检测)已知△ABC 的顶点A (-3,0)和顶点B (3,0),顶点C 在椭圆x 225+y 216=1上,则5sin Csin A +sin B=____________.【答案】3 [由椭圆方程x 225+y 216=1,得长轴长2a =10,短轴长2b =8,焦距2c =6,则顶点A ,B 为椭圆的两个焦点.在△ABC 中,|AB |=6,|BC |+|AC |=10,由正弦正理可得,5sin C sin A +sin B =5|AB ||BC |+|AC |=5×610=3.]14.过椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2,若13<k <12,则椭圆的离心率的取值范围是______________.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23 [如图所示,|AF 2|=a +c ,|BF 2|=a 2-c 2a ,∴k =tan ∠BAF 2=|BF 2||AF 2|=a 2-c 2a a +c =a -ca=1-e .又∵13<k <12,∴13<1-e <12,解得12<e <23.]15.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,上顶点为B ,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点.过F ,B ,A 三点的圆的圆心坐标为(p ,q ). (1)当p +q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2)若点D (b +1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,(MF →+OD →)·MO →的最小值为72,求椭圆的方程.【答案】解 (1)设椭圆半焦距为C .由题意AF ,AB 的中垂线方程分别为x =a -c2,y -b 2=a b (x -a2), 于是圆心坐标为(a -c 2,b 2-ac2b ).所以p +q =a -c 2+b 2-ac2b≤0,整理得ab -bc +b 2-ac ≤0,即(a +b )(b -c )≤0, 所以b ≤c ,于是b 2≤c 2,即a 2=b 2+c 2≤2c 2.所以e 2=c 2a 2≥12,即22≤e <1.(2)当e =22时,a =2b =2c , 此时椭圆的方程为x 22c 2+y 2c2=1,设M (x ,y ),则-2c ≤x ≤2c ,所以(MF →+OD →)·MO →=12x 2-x +c 2=12(x -1)2+c 2-12.当c ≥22时,上式的最小值为c 2-12,即c 2-12=72,得c =2;当0<c <22时,上式的最小值为12(2c )2-2c +c 2, 即12(2c )2-2c +c 2=72,解得c =2+304,不合题意,舍去. 综上所述,椭圆的方程为x 28+y 24=1..。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 41 椭圆

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结41 椭圆高考 概览本考点是高考必考知识点,常考题型为选择题、填空题、解答题,分值为5分或12分,中、高等难度 考纲 研读1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) 2.了解椭圆的简单应用 3.理解数形结合的思想一、基础小题1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是( ) A.x 23+y 24=1 B .x 24+y 23=1C.x 24+y 23=1 D .x 24+y 2=1 答案 C解析 依题意,所求椭圆的焦点位于x 轴上,且c =1,e =c a =12,所以a =2,b 2=a 2-c 2=3,因此其方程是x 24+y 23=1.故选C.2.椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m 等于( ) A.12 B .2 C.4 D .14 答案 D解析 由x 2+y 21m=1及题意知,21m =2×2×1,得m =14.故选D.3.已知动点M (x ,y )满足(x +2)2+y 2+(x -2)2+y 2=4,则动点M 的轨迹是( )A .椭圆B .直线 C.圆 D .线段 答案 D解析 设点F 1(-2,0),F 2(2,0),由题意知动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=4=|F 1F 2|,故动点M 的轨迹是线段F 1F 2.故选D.4.设F 1,F 2为椭圆x 29+y 25=1的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点在y轴上,则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B .513 C.49 D .59 答案 B解析 由题意知a =3,b = 5.由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6.在△PF 1F 2中,因为PF 1的中点在y 轴上,O 为F 1F 2的中点,由三角形中位线的性质可推得PF 2⊥x 轴,所以由x =c 时可得|PF 2|=b 2a =53,所以|PF 1|=6-|PF 2|=133,所以|PF 2||PF 1|=513.故选B.5.已知圆(x +2)2+y 2=36的圆心为M ,设A 为圆上任一点,且点N (2,0),线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ,则动点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上,故|P A|=|PN|,又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|P A|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.故选B.6.(多选)已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为5B.C的离心率为30 6C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为25 5答案BC解析∵x26+y2=1,∴a=6,b=1,∴c=a2-b2=6-1=5,则C的焦距为25,离心率e=ca=56=306.设P(x,y)()-6≤x≤6,则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56⎝⎛⎭⎪⎫x+652+45≥45>15,∴圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为45-15=55.故选BC.7.(多选)椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以下说法正确的是()A .过点F 2的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,则△ABF 1的周长为8 B .椭圆C 上存在点P ,使得PF 1→·PF 2→=0 C .椭圆C 的离心率为12D .P 为椭圆x 24+y 2=1上一点,Q 为圆x 2+y 2=1上一点,则点P ,Q 间的最大距离为3答案 ABD解析 对于A ,因为F 1,F 2分别为椭圆C :x 24+y 2=1的左、右焦点,过点F 2的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,由椭圆定义可得,|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a =4,因此△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB |=|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=4a =8,故A 正确;对于B ,设点P (x ,y )为椭圆C :x 24+y 2=1上任意一点,则点P 坐标满足x 24+y 2=1,且-2≤x ≤2,又F 1(-3,0),F 2(3,0),所以PF 1→=(-3-x ,-y ),PF 2→=(3-x ,-y ),因此PF 1→·PF 2→=(-3-x )(3-x )+y 2=x 2-3+1-x 24=3x 24-2,由PF 1→·PF 2→=3x 24-2=0,可得x =±263∈[-2,2],故B 正确;对于C ,因为a 2=4,b 2=1,所以c 2=4-1=3,即c =3,所以离心率为e =c a =32,故C 错误;对于D ,设点P (x ,y )为椭圆C :x 24+y 2=1上任意一点,由题意可得,点P (x ,y )到圆x 2+y 2=1的圆心的距离为|PO |=x 2+y 2=4-4y 2+y 2=4-3y 2,因为-1≤y ≤1,所以|PQ |max =|PO |max +1=4-0+1=3,故D 正确.故选ABD.8.已知A (3,0),B (-2,1)是椭圆x 225+y 216=1内的点,M 是椭圆上的一动点,则|MA |+|MB |的最大值为________,最小值为________.答案 10+2 10-2解析 由题意知A 为椭圆的右焦点,设左焦点为F 1,由椭圆的定义知|MF 1|+|MA |=10,所以|MA |+|MB |=10+|MB |-|MF 1|.又||MB |-|MF 1||≤|BF 1|,所以-|BF 1|≤|MB |-|MF 1|≤|BF 1|,如图,设直线BF 1交椭圆于M 1,M 2两点.当M 为点M 1时,|MB |-|MF 1|最小,当M 为点M 2时,|MB |-|MF 1|最大.所以|MA |+|MB |的最大值为10+2,最小值为10- 2.二、高考小题9.(2022·新高考Ⅰ卷)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A .13B .12 C.9 D .6 答案C 解析由椭圆的定义可知,|MF 1|+|MF 2|=2a =6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|+|MF 2|22=⎝ ⎛⎭⎪⎫622=9,当且仅当 |MF 1|=|MF 2|=3时等号成立.故选C.10.(2022·全国乙卷)设B 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ,则C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1 B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,22 D .⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12答案 C解析 依题意,B (0,b ),设椭圆上一点P (x 0,y 0),则|y 0|≤b ,x 20a 2+y 20b 2=1,可得x 20=a 2-a 2b 2y 20,则|PB |2=x 20+(y 0-b )2=x 20+y 20-2by 0+b 2=-c 2b 2y 20-2by 0+a 2+b 2≤4b 2.因为当y 0=-b 时,|PB |2=4b 2,所以-b 3c 2≤-b ,得2c 2≤a 2,所以离心率e =c a ∈⎝⎛⎦⎥⎤0,22.故选C.11.(2022·全国Ⅰ卷)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1 B .x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D .x 25+y 24=1 答案 B解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).由椭圆的定义可得|AF 1|+|AB |+|BF 1|=4a .∵|AB |=|BF 1|,|AF 2|=2|F 2B |,∴|AB |=|BF 1|=32|AF 2|,∴|AF 1|+3|AF 2|=4a .又|AF 1|+|AF 2|=2a ,∴|AF 1|=|AF 2|=a ,∴点A 是椭圆的短轴端点,如图.不妨设A (0,-b ),由F 2(1,0),AF 2→=2F 2B →,得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,b 2.由点B 在椭圆上,得94a 2+b 24b 2=1,得a 2=3,b 2=a 2-c 2=2.∴椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.故选B.12.(2022·浙江高考)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),焦点F 1(-c,0),F 2(c,0)(c >0).若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12c 2+y 2=c 2相切,与椭圆在第一象限交于点P ,且PF 2⊥x 轴,则该直线的斜率是________,椭圆的离心率是________.答案25555解析 设过F 1的直线与圆的切点为M ,圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ,0,则|AM |=c ,|AF 1|=32c ,所以|MF 1|=52c ,所以该直线的斜率k =|AM ||MF 1|=c 52c =255.因为PF 2⊥x 轴,所以|PF 2|=b 2a ,又|F 1F 2|=2c ,所以k =255=b 2a 2c =a 2-c 22ac =1-e 22e ,解得e =55(负值舍去).13.(2022·全国甲卷)已知F 1,F 2为椭圆C :x 216+y 24=1的两个焦点,P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点,且|PQ |=|F 1F 2|,则四边形PF 1QF 2的面积为________.答案 8解析 解法一:由|PQ |=|F 1F 2|,得|OP |=12|F 1F 2|(O 为坐标原点),所以PF 1⊥PF 2,又由椭圆的对称性,知四边形PF 1QF 2为平行四边形,所以四边形PF 1QF 2为矩形.设|PF 1|=m ,则|PF 2|=2a -|PF 1|=8-m ,则|PF 1|2+|PF 2|2=m 2+(8-m )2=2m 2+64-16m =|F 1F 2|2=4c 2=4(a 2-b 2)=48,得m (8-m )=8,所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|·|PF 2|=m (8-m )=8.解法二:由椭圆C :x 216+y 24=1可知|F 1F 2|=4 3.由P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两个点,且|PQ |=|F 1F 2|,得|PO |=|QO |=23(O 为坐标原点),所以P ,Q 既在椭圆x 216+y 24=1上,又在圆x 2+y 2=12上.不妨设点P 在第一象限,则由⎩⎪⎨⎪⎧x 216+y 24=1,x 2+y 2=12,可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫463,233,所以由对称性,可得四边形PF 1QF 2的面积S 四边形PF 1QF 2=2S △PF 1F 2=2×12×|F 1F 2|×y P =2×12×43×233=8.解法三:由椭圆方程知,a =4,b =2,则c =a 2-b 2=2 3.由点P 在椭圆上,得|PF 1|+|PF 2|=8,所以|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|=64 ①.由椭圆的对称性及|PQ |=|F 1F 2|知,四边形PF 1QF 2是矩形,在Rt △PF 1F 2中,由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,所以|PF 1|2+|PF 2|2=48 ②.由①-②得|PF 1|·|PF 2|=8,所以S 四边形PF 1QF 2=|PF 1|·|PF 2|=8.14.(2022·全国Ⅲ卷)设F 1,F 2为椭圆C :x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为________.答案 (3,15)解析 设F 1为椭圆的左焦点,则|MF 1|>|MF 2|,|F 1F 2|=2c =236-20=8,因为△MF 1F 2为等腰三角形,|MF 1|>|MF 2|,且|MF 1|+|MF 2|=2a =12,所以|MF 1|>6,|MF 2|<6,所以|MF 1|=|F 1F 2|=8,设M (x ,y ),x >0,y >0,则⎩⎪⎨⎪⎧(x +4)2+y 2=64,x 236+y 220=1,解得⎩⎨⎧x =3,y =15.所以点M 的坐标为(3,15).15.(2022·浙江高考)已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是________.答案15解析 如图,左焦点F (-2,0),右焦点F ′(2,0).线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心,2为半径的圆上,因此|OM |=2.在△FF ′P 中,OM 綊12PF ′,所以|PF ′|=4.根据椭圆的定义,得|PF |+|PF ′|=6,所以|PF |=2.所以|MF |=1.又因为|FF ′|=4,所以在Rt △MFF ′中,tan ∠PFF ′=|MF ′||MF |=|FF ′|2-|MF |2|MF |=15,即直线PF 的斜率是15.三、模拟小题16.(2022·广东珠海高三摸底)已知点A (1,1),且F 是椭圆x 24+y 23=1的左焦点,P 是椭圆上任意一点,则|PF |+|P A |的最小值是( )A.6 B.5 C.4 D.3答案D解析a=2,c=a2-b2=1,设椭圆的右焦点为F1(1,0),|AF1|=1,|PF|+|P A|=2a -|PF1|+|P A|=4+|P A|-|PF1|≥4-|AF1|=4-1=3,当P在F1的正上方时,等号成立.故选D.17.(2022·新高考八省联考)椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m=()A.1 B. 2 C.3D.2 答案C解析在椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)中,a=m2+1,b=m,c=a2-b2=1,如图所示,因为椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的上顶点为点A,焦点为F1,F2,所以|AF1|=|AF2|=a,因为∠F1AF2=π3,所以△F1AF2为等边三角形,则|AF1|=|F1F2|,即m2+1=a=2c=2,因此,m= 3.故选C.18.(2022·湖南长沙长郡中学高三上开学考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F ,点P 在椭圆C 上,点Q 在圆E :(x +3)2+(y -4)2=4上,且圆E 上的所有点均在椭圆C 外,若|PQ |-|PF |的最小值为25-6,且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等,则椭圆C 的标准方程为( )A.x 22+y 2=1 B .x 24+y 2=1 C.x 24+y 23=1 D .x 24+y 22=1 答案 C解析 因为圆E :(x +3)2+(y -4)2=4的半径为2,所以a =2,设椭圆的左焦点为F 1(-c,0),由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF |=2a =4,所以|PF |=4-|PF 1|,所以|PQ |-|PF |=|PQ |+|PF 1|-4≥|QF 1|-4=|QF 1|+|EQ |-6≥|EF 1|-6,当且仅当P ,Q 位于线段EF 1上时,等号成立,又|PQ |-|PF |的最小值为25-6,所以|EF 1|-6=25-6,即|EF 1|=25,所以(-3+c )2+(4-0)2=25,解得c =1或c =5>a =2(舍).所以b 2=a 2-c 2=4-1=3,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.故选C.19.(多选)(2022·广东韶关第一次综合测试)设P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,焦距为2c (c >0),若∠F 1PF 2是直角,则( )A .|OP |=c (O 为原点)B .S △F 1PF 2=b 2C .△F 1PF 2的内切圆半径r =a -cD .|PF 1|max =a +c 答案 ABC解析 在Rt △F 1PF 2中,O 为斜边F 1F 2的中点,所以|OP |=12|F 1F 2|=c ,故A 正确;设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则有m 2+n 2=(2c )2,m +n =2a ,所以mn =12[(m +n )2-(m 2+n 2)]=2b 2,所以S △F 1PF 2=12mn =b 2,故B 正确;因为S △F 1PF 2=12(m +n +2c )·r =b 2,所以r =2S △F 1PF 2m +n +2c =2b 22a +2c =2(a 2-c 2)2(a +c )=a -c ,故C 正确;|PF 1|=a +c ,当且仅当P 为椭圆右顶点,此时P ,F 1,F 2不构成三角形,故D 错误.20.(多选)(2022·山东潍坊6月模拟)已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,点P (1,1)在椭圆的内部,点Q 在椭圆上,则以下说法正确的是( )A .|QF 1|+|QP |的最小值为2a -1B .椭圆C 的短轴长可能为2C .椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,5-12 D .若PF 1→=F 1Q →,则椭圆C 的长轴长为5+17 答案 ACD解析 因为|F 1F 2|=2,所以F 2(1,0),|PF 2|=1,所以|QF 1|+|QP |=2a -|QF 2|+|QP |≥2a -|PF 2|=2a -1,当Q ,F 2,P 三点共线且点Q 在第一象限时,取等号,故A 正确;若椭圆C 的短轴长为2,则b =1,a =2,所以椭圆C 的方程为x 22+y 21=1,又12+11>1,则点P 在椭圆外,故B 错误;因为点P (1,1)在椭圆内部,所以1a +1b <1,又a -b =1,所以b =a -1,所以1a +1a -1<1,即a 2-3a +1>0,解得a >3+52=6+254=(1+5)24,所以a >1+52,所以e =1a <5-12,所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0,5-12,故C 正确;若PF 1→=F 1Q →,则F 1为线段PQ 的中点,所以Q (-3,-1),所以2a =|QF 1|+|QF 2|=5+17,故D 正确.故选ACD.21.(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,过点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆交于A ,B 两点(点B 在x 轴上方),且FB →=2AF →,则椭圆的离心率为________.答案23解析 设F (-c,0),c >0,由题意知,l 的斜率为tan45°=1,则直线方程为y =x +c ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)联立直线和椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y =x +c ,x 2a 2+y 2b 2=1,整理得(a 2+b 2)y 2-2cb 2y +c 2b 2-a 2b 2=0,则y 1+y 2=2cb 2a 2+b 2,y 1y 2=c 2b 2-a 2b 2a 2+b 2,且F 1B →=2AF 1→,可得y 2=-2y 1,则-y 1=2cb 2a 2+b 2,-2y 21=c 2b 2-a 2b 2a 2+b 2,所以-2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cb 2a 2+b 22=c 2b 2-a 2b 2a 2+b 2,可得9c 2=2a 2,所以e =c a =23.22.(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)设点P 是椭圆x 29+y 25=1上的点,F 1,F 2是该椭圆的两个焦点,若△PF 1F 2的面积为52,则sin ∠F 1PF 2________.答案 45解析 在椭圆x 29+y 25=1中,长半轴长a =3,半焦距c =2,由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|=2a =6,在△PF 1F 2中,由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2,即(2c )2=(2a )2-2|PF 1|·|PF 2|·(1+cos ∠F 1PF 2),则|PF 1|·|PF 2|·(1+cos ∠F 1PF 2)=10,又△PF 1F 2的面积为52,则12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2=52,即|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2=5,于是得2sin ∠F 1PF 2=1+cos ∠F 1PF 2,两边平方得(1+cos ∠F 1PF 2)2=4sin 2∠F 1PF 2=4(1-cos ∠F 1PF 2)(1+cos ∠F 1PF 2),解得cos ∠F 1PF 2=35,则sin ∠F 1PF 2=45,所以sin ∠F 1PF 2=45.一、高考大题1.(2022·北京高考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4 5.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC 分别交直线y=-3于点M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.解(1)因为椭圆过A(0,-2),所以b=2,因为四个顶点围成的四边形的面积为45,所以12×2a×2b=45,即a=5,故椭圆E的标准方程为x25+y24=1.(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),因为直线BC的斜率存在,所以x1x2≠0,故直线AB的方程为y=y1+2x1x-2,令y=-3,则x M=-x1y1+2,同理x N=-x2y2+2.设直线BC 的方程为y =kx -3, 由⎩⎨⎧y =kx -3,4x 2+5y 2=20, 可得(4+5k 2)x 2-30kx +25=0,故Δ=900k 2-100(4+5k 2)>0,解得k <-1或k >1. 又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2, 故x 1x 2>0, 所以x M x N >0.又|PM |+|PN |=|x M +x N | =⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1y 1+2+x 2y 2+2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1-1+x 2kx 2-1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2kx 1x 2-(x 1+x 2)k 2x 1x 2-k (x 1+x 2)+1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪50k 4+5k 2-30k 4+5k 225k 24+5k 2-30k 24+5k 2+1=5|k |, 故5|k |≤15,即|k |≤3,综上,k 的取值范围是[-3,-1)∪(1,3].2.(2022·天津高考)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,上顶点为B ,离心率为255,且|BF |= 5.(1)求椭圆的方程;(2)直线l 与椭圆有唯一的公共点M ,与y 轴的正半轴交于点N ,过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若MP ∥BF ,求直线l 的方程.解 (1)易知点F (c,0),B (0,b ), 故|BF |=c 2+b 2=a =5, 因为椭圆的离心率为e =c a =255, 故c =2,b =a 2-c 2=1, 因此,椭圆的方程为x 25+y 2=1.(2)设点M (x 0,y 0)(y 0>0)为椭圆x 25+y 2=1上一点, 先证明直线MN 的方程为x 0x5+y 0y =1, 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 0x 5+y 0y =1,x 25+y 2=1,消去y 并整理得x 2-2x 0x +x 20=0,Δ=4x 20-4x 20=0,因此,椭圆x 25+y 2=1在点M (x 0,y 0)处的切线方程为x 0x5+y 0y =1.在直线MN 的方程中,令x =0,可得y =1y 0,由题意可知y 0>0,即点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1y 0, 直线BF 的斜率为k BF =-b c =-12, 所以直线PN 的方程为y =2x +1y 0,在直线PN 的方程中,令y =0,可得x =-12y 0,即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12y 0,0,因为MP ∥BF ,所以k MP =k BF , 即y 0x 0+12y=2y 202x 0y 0+1=-12, 整理可得(x 0+5y 0)2=0,所以x 0=-5y 0,所以x 205+y 20=6y 20=1, 又y 0>0,故y 0=66,x 0=-566,所以直线l 的方程为-66x +66y =1,即x -y +6=0.3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),右焦点为F (2,0),且离心率为63.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M ,N 是椭圆C 上的两点,直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切.证明:M ,N ,F 三点共线的充要条件是|MN |= 3.解 (1)由题意,知椭圆的半焦距c =2且e =c a =63,所以a =3, 又b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1.(2)证明:由(1)得,曲线为x 2+y 2=1(x >0),当直线MN 的斜率不存在时,直线MN :x =1,不符合题意; 当直线MN 的斜率存在时, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 必要性:若M ,N ,F 三点共线, 可设直线MN :y =k (x -2), 即kx -y -2k =0,由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|-2k |k 2+1=1,解得k =±1,联立⎩⎨⎧y =±(x -2),x 23+y 2=1,可得4x 2-62x +3=0,所以x 1+x 2=322,x 1x 2=34,所以|MN |=1+1·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=3,所以必要性成立; 充分性:设直线MN :y =kx +m (km <0),即kx -y +m =0, 由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|m |k 2+1=1,所以m 2=k 2+1,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 23+y 2=1,可得(1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2-3=0, 所以x 1+x 2=-6km1+3k 2,x 1x 2=3m 2-31+3k 2,所以|MN |=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =1+k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-6km 1+3k 22-4·3m 2-31+3k 2=1+k 2·24k 21+3k 2=3,化简得3(k 2-1)2=0,所以k =±1, 所以⎩⎨⎧ k =1,m =-2或⎩⎨⎧k =-1,m =2,所以直线MN :y =x -2或y =-x +2,所以直线MN 过点F (2,0),即M ,N ,F 三点共线,充分性成立. 所以M ,N ,F 三点共线的充要条件是|MN |= 3. 二、模拟大题4.(2022·广东高三综合能力测试)已知椭圆C 的中心为坐标原点,焦点在x 轴上,焦距为2,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设点A ,F 分别为椭圆C 的左顶点、右焦点,过点F 的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,直线AP ,AQ 分别与直线l :x =3交于点M ,N ,求证:直线FM 和直线FN 的斜率之积为定值.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),焦距为2c ,依题意,可得⎩⎨⎧ 2c =2,a +c =3,解得a =2,c =1, 又a 2=b 2+c 2,则b =3,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明:由(1)得A (-2,0),F (1,0),设直线PQ :x =my +1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧ x =my +1,x 24+y 23=1,消去x ,整理,得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4, 依题意,可设M (3,y M ),N (3,y N ),则由y M 3+2=y 1x 1+2,可得y M =5y 1x 1+2=5y 1my 1+3, 同理,可得y N =5y 2my 2+3, 所以直线FM 和直线FN 的斜率之积k FM ·k FN =y M -03-1·y N -03-1=14·25y 1y 2(my 1+3)(my 2+3)=14·25y 1y 2m 2y 1y 2+3m (y 1+y 2)+9=14·25⎝ ⎛⎭⎪⎫-93m 2+4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫-93m 2+4+3m ⎝ ⎛⎭⎪⎫-6m 3m 2+4+9 =14·-25×9-9m 2-18m 2+27m 2+36=-25×94×36=-2516.所以直线FM 和直线FN 的斜率之积为定值-2516.5.(2022·长春四校联考)已知平面上一动点P 到定点F (3,0)的距离与它到直线x =433的距离之比为32,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)设直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,若k OM ·k ON =54,求△MON 面积的最大值.解 (1)设P (x ,y ),则(x -3)2+y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -433=32, 化简,得x 24+y 2=1.即曲线C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧ y =kx +m ,x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0,依题意,得Δ=(8km )2-4(4k 2+1)·(4m 2-4)>0, 化简,得m 2<4k 2+1,①x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1, y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2,若k OM ·k ON =54,则y 1y 2x 1x 2=54,即4y 1y 2=5x 1x 2, ∴4k 2x 1x 2+4km (x 1+x 2)+4m 2=5x 1x 2,∴(4k 2-5)·4(m 2-1)4k 2+1+4km ⎝ ⎛⎭⎪⎫-8km 4k 2+1+4m 2=0, 即(4k 2-5)(m 2-1)-8k 2m 2+m 2(4k 2+1)=0,化简,得m 2+k 2=54,②|MN |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2·64k 2m 2(4k 2+1)2-4·4m 2-44k 2+1=1+k 2·-16m 2+64k 2+16(4k 2+1)2 =1+k 2·4(20k 2-1)(4k 2+1)2,∵原点O 到直线l 的距离d =|m |1+k 2, ∴S △MON =12|MN |·d =12(5-4k 2)(20k 2-1)(4k 2+1)2. 设4k 2+1=t ,由①②得0≤m 2<65,120<k 2≤54,∴65<t ≤6,16≤1t <56,S △MON =12(6-t )(5t -6)t 2 =12-36+36t -5t 2t 2 =3 -⎝ ⎛⎭⎪⎫1t -122+19, ∴当1t =12,即k =±12时,△MON 的面积取得最大值,为1.6.(2022·江苏省南通市高三月考)已知椭圆O :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在椭圆O 上运动,若△P AB 面积的最大值为23,椭圆O 的离心率为12.(1)求椭圆O 的标准方程;(2)过B 点作圆E :x 2+(y -2)2=r 2(0<r <2)的两条切线,分别与椭圆O 交于C ,D 两点(异于点B ),当r 变化时,直线CD 是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.解 (1)由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点(或下顶点)时,S △P AB 最大,此时S △P AB=12×2ab =ab =23,∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab =23,c a =12,a 2-b 2=c 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =3,c =1,∴椭圆O 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设过点B (2,0)与圆E 相切的直线方程为y =k (x -2),即kx -y -2k =0, ∵直线与圆E :x 2+(y -2)2=r 2相切,∴d =|-2-2k |k 2+1=r ,即(4-r 2)k 2+8k +4-r 2=0.设两切线的斜率分别为k 1,k 2(k 1≠k 2), 则k 1k 2=1,设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧ y =k 1(x -2),x 24+y 23=1⇒(3+4k 21)x 2-16k 21x +16k 21-12=0, ∴2x 1=16k 21-123+4k 21,即x 1=8k 21-63+4k 21, ∴y 1=-12k 13+4k 21; 同理,x 2=8k 22-63+4k 22=8-6k 214+3k 21,y 2=-12k 23+4k 22=-12k 14+3k 21;∴k CD =y 2-y 1x 2-x 1=-12k 14+3k 21--12k 13+4k 218-6k 214+3k 21-8k 21-63+4k 21=k 14(k 21+1). ∴直线CD 的方程为y +12k 13+4k 21=k 14(k 21+1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -8k 21-63+4k 21, 整理得y =k 14(k 21+1)x -7k 12(k 21+1)=k 14(k 21+1)·(x -14). ∴直线CD 恒过定点(14,0).。
高中数学选修(2-1)椭圆基础、提高、综合篇

椭圆及其标准方程基础卷一、选择题:1、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为( ) (A )(0, ±3) (B )(±3, 0) (C )(0, ±5) (D )(±4, 0)2、在方程22110064x y +=中,下列a , b , c 全部正确的一项是( ) (A )a =100, b =64, c =36 (B )a =10, b =6, c =8 (C )a =10, b =8, c =6 (D )a =100, c =64, b =36 3、已知a =4, b =1,焦点在x 轴上的椭圆方程是( )(A )2214x y += (B )2214y x += (C )22116x y += (D )22116y x += 4、已知焦点坐标为(0, -4), (0, 4),且a =6的椭圆方程是( )(A )2213620x y += (B )2212036x y += (C )2213616x y += (D )2211636x y += 5、若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6,则点P 到另一个焦点F 2的距离是( ) (A )4 (B )194 (C )94 (D )146、已知F 1, F 2是定点,| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8,则点M 的轨迹是( ) (A )椭圆 (B )直线 (C )圆 (D )线段 二、填空题:7、若y 2-lga ·x 2=31-a 表示焦点在x 轴上的椭圆,则a 的取值范围是 . 8、当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .9、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’,则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .10、经过点M (3, -2), N (-23, 1)的椭圆的标准方程是 .11、椭圆的两焦点为F 1(-4, 0), F 2(4, 0),点P 在椭圆上,已知△PF 1F 2的面积的最大值为12,求此椭圆的方程。
一轮复习课时训练§8.5:椭圆

第八章§5:椭圆(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100,训练时间45钟一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知F 1、F 2为两定点,|F 1F 2|=4,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=4,则动点M 的轨迹是A .椭圆B .直线C .圆D .线段2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是A .45B .35C .25D .153.设椭圆C 1的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为 A .x 242-y 232=1 B .x 2132-y 252=1C .x 232-y 242=1D .x 2132-y 2122=14.若椭圆上存在点P ,使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1,则此椭圆的离心率的取值范围是A .[14,13]B .[13,12]C .(13,1)D .[13,1)5.设F 1,F 2为椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ,Q 两点,当四边形PF 1QF 2面积最大时,PF 1→·PF 2→的值等于A .0B .2C .4D .-2二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.已知A 、B 为椭圆C :x 2m +1+y 2m=1的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且∠APB 的最大值是2π3,则实数m 的值是__________.7.如图所示,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P 在椭圆上,△POF 2是面积为3的正三角形,则b 2的值是________.8.已知动点P(x ,y)在椭圆x 225+y 216=1上,若A 点的坐标为(3,0),|AM →|=1,且PM →·AM →=0,则|PM →|的最小值是______.三、解答题:本大题共2小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,且经过点P(1,32).(1)求椭圆C 的方程;(2)设F 是椭圆C 的左焦点,判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右焦点,过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60°,F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距;(2)如果AF 2→=2F 2B →,求椭圆C 的方程.参考答案及其解析一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分.1.解析:∵M 到两定点的距离的和等于两定点间的距离,∴应选D 项. 答案:D2.解析:由2a 、2b 、2c 成等差数列,所以2b =a +c.又b 2=a 2-c 2,所以(a +c)2=4(a 2-c 2), 所以a =53c ,所以e =c a =35.答案:B3.解析:设C 1的方程为x 2a 21+y 2b 21=1,由题意知a 1=13,e 1=c 1a 1=513,∴c 1=5.由题意可知C 2为双曲线,且2a 2=8,∴a 2=4. 又c 2=c 1=5,∴b 2=3.故曲线C 2的标准方程为x 216-y 29=1.答案:A4.解析:设P 到两个焦点的距离分别是2k ,k ,根据椭圆定义可知:3k =2a ,又结合椭圆的性质可知,椭圆上的点到两焦点距离之差的最大值为2c , 即k ≤2c ,∴2a ≤6c.即e ≥13.答案:D5.解析:易知当P ,Q 分别在椭圆短轴端点时,四边形PF 1QF 2面积最大.此时,F 1(-3,0),F 2(3,0),P(0,1), ∴PF 1→=(-3,-1),PF 2→=(3,-1), ∴PF 1→·PF 2→=-2. 答案:D二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.解析:由椭圆知识知,当点P 位于短轴的端点时,∠APB 取得最大值,根据题意有tan π3=m +1m m =12.答案:127.解析:由题意S △POF 2=34c 2=3,则c 2=4c =2,即P(1,3),代入椭圆方程x 2b 2+4+y 2b 2=1,得1b 2+4+3b 2=1,解得b 2=2 3.答案:2 38.解析:因为PM →·AM →=0,所以PM →⊥AM →,在直角三角形PAM 中,|PM →|2=|PA →|2-|AM →|2=|PA →|2-1,而A 点为椭圆的右焦点,由椭圆的几何性质可知,当P 为椭圆的右顶点时,|PA →|取得最小值a -c =5-3=2,故|PM →|的最小值为22-1= 3. 答案:3三、解答题:本大题共2小题,共36分.9.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,且经过点P(1,32),∴⎩⎨⎧a 2-b 2a =121a 2+94b 2=1,即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2-4b 2=01a 2+94b2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4b 2=3. ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)∵a 2=4,b 2=3,∴c =a 2-b 2=1. ∴椭圆C 的左焦点坐标为(-1,0).以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2+y 2=4, 圆心坐标是(0,0),半径为2.以PF 为直径的圆的方程为x 2+(y -34)2=2516,圆心坐标是(0,34),半径为54.∵两圆心之间的距离为 (0-0)2+(34-0)2=34=2-54,故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)设焦距为2c ,由已知可得F 1到直线l 的距离3c =23,故c =2. 所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),设y 1<0,y 2>0, 直线l 的方程为y =3(x -2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y =3(x -2)x 2a 2+y 2b 2=1,得(3a 2+b 2)y 2+43b 2y -3b 4=0.解得y 1=-3b 2(2+2a )3a 2+b 2,y 2=-3b 2(2-2a )3a 2+b 2.因为AF 2→=2F 2B →,所以-y 1=2y 2. 即3b 2(2+2a )3a 2+b 2=2·-3b 2(2-2a )3a 2+b 2.得a =3.而a 2-b 2=4,所以b = 5. 故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.。
2022届高考数学一轮复习课时作业椭圆及其性质

椭圆及其性质1.(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆x 2+ky 2=1的焦距为2,则( )A .k =2B .k =2或k =23C .离心率e =22D .离心率e =22或e =332.已知方程x 22-k +y 22k -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2B .(1,+∞)C .(1,2)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,13.(2020·皖南八校联考)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0).过点F 1的直线与C 交于A ,B 两点.若△ABF 2的周长为8,则椭圆C 的标准方程为( )A .x 216+y 215=1 B .x 28+y 27=1 C .x 24+y 23=1D .x 23+y 24=14.(多选)(2020·四川绵阳南山中学月考)设定点F 1(0,-3),F 2(0,3),动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=a +9a (a >0),则点P 的轨迹可能是( )A .椭圆B .圆C .线段D .不存在5.(2020·武邑模拟)点P 在焦点为F 1(-4,0)和F 2(4,0)的椭圆上,若△PF 1F 2面积的最大值为16,则椭圆标准方程为( )A .x 220+y 24=1 B .x 24+y 220=1 C .x 232+y 216=1D .x 210+y 26=16.(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆C :x 2+y 2n =1(n >0)的离心率为32,则n 的值可能是( )A .4B .14C .2D .127.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为________.8.(2019·全国卷Ⅲ)设F 1,F 2为椭圆C :x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限,若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为____________.9.(2020·江苏启东中学月考)已知F 是椭圆5x 2+9y 2=45的左焦点,P 是椭圆上的动点,A (1,1),则|P A |+|PF |的最大值为________,最小值为________.10.已知点P 是圆F 1:(x +1)2+y 2=16上任意一点(F 1是圆心),点F 2与点F 1关于原点对称.线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1,PF 2交于M ,N 两点.求点M 的轨迹C 的方程.11.如图所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB =90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2→=2F 2B →,求椭圆的方程.能力提高1.(2020·潍坊三模)已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2且|F 1F 2|=2,点P (1,1)在椭圆内部,点Q 在椭圆上,给出以下四个结论:①|QF 1|+|QP |的最小值为2a -1; ②椭圆C 的短轴长可能为2;③椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,5-12; ④若PF 1→=F 1Q →,则椭圆C 的长轴长为5+17.则上述结论正确的是( ) A .①②③ B .①②④ C .①③④D .②③④2.(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子中正确的是( )A .a 1+c 1=a 2+c 2B .a 1-c 1=a 2-c 2C .c 1a 2>a 1c 2D .c 1a 1<c 2a 23.(2020·豫州九校联考)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,若点P 为椭圆C 上的任意一点,且P 在第一象限,O 为坐标原点,F (3,0)为椭圆C 的右焦点,求OP →·PF→的取值范围. 扩展应用1.(2020·北京模拟)已知椭圆G :x 26+y 2b 2=1(0<b <6)的两个焦点分别为F 1和F 2,短轴的两个端点分别为B 1和B 2,点P 在椭圆G 上,且满足|PB 1|+|PB 2|=|PF 1|+|PF 2|,当b 变化时,给出下列三个命题:①点P 的轨迹关于y 轴对称; ②|OP |的最小值为2;③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个, 其中,所有正确命题的序号是________.2.(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为C 上的点,O 为坐标原点.(1)若△POF 2为等边三角形,求C 的离心率;(2)如果存在点P ,使得PF 1⊥PF 2,且△F 1PF 2的面积等于16,求b 的值和a的取值范围.椭圆及其性质1.(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆x 2+ky 2=1的焦距为2,则( )A .k =2B .k =2或k =23C .离心率e =22D .离心率e =22或e =33BD [将椭圆方程化为标准方程x 2+y 21k =1,2c =2,∴c 2=12.当焦点在x 轴上时,a 2=1,b 2=1k ,那么c 2=1-1k =12,∴k =2,此时e =c a =22.当焦点在y 轴上时,a 2=1k ,b 2=1,那么c 2=1k -1=12,∴k =23,此时e =ca =1232=33.故选项BD 正确.]2.已知方程x 22-k +y 22k -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2B .(1,+∞)C .(1,2)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1C[由题意得⎩⎨⎧2-k >0,2k -1>0,2k -1>2-k ,解得1<k <2.故选C.]3.(2020·皖南八校联考)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0).过点F 1的直线与C 交于A ,B 两点.若△ABF 2的周长为8,则椭圆C 的标准方程为( )A .x 216+y 215=1 B .x 28+y 27=1 C .x 24+y 23=1D .x 23+y 24=1C [根据椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a =8, ∴a =2,又c =1,∴b 2=a 2-c 2=3, ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.]4.(多选)(2020·四川绵阳南山中学月考)设定点F 1(0,-3),F 2(0,3),动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=a +9a (a >0),则点P 的轨迹可能是( )A .椭圆B .圆C .线段D .不存在AC [当a >0时,由基本不等式得a +9a ≥2a ×9a =6,当且仅当a =3时等号成立.当a +9a =6时,点P 的轨迹是线段F 1F 2,当a +9a >6=|F 1F 2|时,点P 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的椭圆.故选AC.]5.(2020·武邑模拟)点P 在焦点为F 1(-4,0)和F 2(4,0)的椭圆上,若△PF 1F 2面积的最大值为16,则椭圆标准方程为( )A .x 220+y 24=1 B .x 24+y 220=1 C .x 232+y 216=1D .x 210+y 26=1C [由题意,2c =8,即c =4,∵△ PF 1F 2面积的最大值为16,∴12×2c ×b =16, 即4b =16,b =4,∴a 2=b 2+c 2=16+16=32. 则椭圆的标准方程为x 232+y 216=1.故选C.]6.(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆C :x 2+y 2n =1(n >0)的离心率为32,则n 的值可能是( )A .4B .14C .2D .12AB [当椭圆C 的焦点在x 轴上时,0<n <1,所以a 2=1,b 2=n ,所以c 2=a 2-b 2=1-n ,此时,椭圆C 的离心率e =c a =1-n =32,解得n =14;当椭圆C的焦点在y 轴上时,n >1,所以a 2=n ,b 2=1,所以c 2=a 2-b 2=n -1,此时,椭圆C 的离心率e =ca =n -1n =32,解得n =4.因此,n =14或n =4.故选AB.]7.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为________.(-5,0) [∵圆的标准方程为(x -3)2+y 2=1,∴圆心坐标为(3,0),∴c =3.又b =4,∴a =b 2+c 2=5.∵椭圆的焦点在x 轴上,∴椭圆的左顶点为(-5,0).]8.(2019·全国卷Ⅲ)设F 1,F 2为椭圆C :x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限,若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为____________.(3,15) [不妨令F 1,F 2分别为椭圆C 的左、右焦点,根据题意可知c =36-20=4.因为△MF 1F 2为等腰三角形,所以易知|F 1M |=2c =8,所以|F 2M |=2a -8=4.设M (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x 236+y 220=1,(x +4)2+y 2=64,x >0,y >0,得⎩⎨⎧x =3,y =15,所以M 的坐标为(3,15).]9.(2020·江苏启东中学月考)已知F 是椭圆5x 2+9y 2=45的左焦点,P 是椭圆上的动点,A (1,1),则|P A |+|PF |的最大值为________,最小值为________.6+2 6-2 [椭圆方程可化为x 29+y 25=1. 设F 1是椭圆的右焦点,则F 1(2,0),连接AF 1,PF 1, ∴|AF 1|=2,易知|P A |+|PF |=|P A |-|PF 1|+6.又-|AF 1|≤|P A |-|PF 1|≤|AF 1|(当P ,A ,F 1三点共线时等号成立), ∴6-2≤|P A |+|PF |≤6+ 2.]10.已知点P 是圆F 1:(x +1)2+y 2=16上任意一点(F 1是圆心),点F 2与点F 1关于原点对称.线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1,PF 2交于M ,N 两点.求点M 的轨迹C 的方程.[解] 由题意得F 1(-1,0),F 2(1,0),圆F 1的半径为4,且|MF 2|=|MP |,从而|MF 1|+|MF 2|=|MF 1|+|MP |=|PF 1|=4>|F 1F 2|=2, 所以点M 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的椭圆, 其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为3, 所以点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1.11.如图所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB =90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2→=2F 2B →,求椭圆的方程. [解] (1)若∠F 1AB =90°, 则△AOF 2为等腰直角三角形, 所以有|OA |=|OF 2|,即b =c . 所以a =2c ,e =c a =22.(2)由题意知A (0,b ),F 2(1,0),设B (x ,y ), 由AF 2→=2F 2B →,得⎩⎨⎧2(x -1)=1,2y =-b ,解得x =32,y =-b2.代入x 2a 2+y 2b 2=1,得94a 2+b 24b 2=1. 即94a 2+14=1,解得a 2=3. 所以椭圆方程为x 23+y 22=1.能力提高1.(2020·潍坊三模)已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2且|F 1F 2|=2,点P (1,1)在椭圆内部,点Q 在椭圆上,给出以下四个结论:①|QF 1|+|QP |的最小值为2a -1; ②椭圆C 的短轴长可能为2;③椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,5-12; ④若PF 1→=F 1Q →,则椭圆C 的长轴长为5+17. 则上述结论正确的是( ) A .①②③ B .①②④ C .①③④D .②③④C [因为|F 1F 2|=2,所以F 2(1,0),|PF 2|=1,所以|QF 1|+|QP |=2a -|QF 2|+|QP |≥2a -|PF 2|=2a -1, 当Q ,F 2,P 三点共线时,取等号,故①正确;若椭圆C 的短轴长为2,则b =1,a =2,所以椭圆方程为x 22+y 21=1,12+11>1,则点P 在椭圆外,故②错误;因为点P (1,1)在椭圆内部,所以1a +1b <1,又a -b =1,所以b =a -1,所以1a +1a -1<1,即a 2-3a +1>0,解得a >3+52=6+254=(1+5)24,所以a >1+52,所以e =1a<5-12, 所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,5-12,故③正确;若PF 1→=F 1Q →,则F 1为线段PQ 的中点,所以Q (-3,-1),所以9a +1b =1,又a -b =1,即a 2-11a +9=0,解得a =11+852=22+2854=(5+17)24,所以a =5+172,所以椭圆C 的长轴长为5+17,故④正确.故选C.]2.(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子中正确的是( )A .a 1+c 1=a 2+c 2B .a 1-c 1=a 2-c 2C .c 1a 2>a 1c 2D .c 1a 1<c 2a 2BC [对于A ,因为在椭圆中,a +c 是椭圆上的点到焦点的最大距离,所以a 1+c 1>a 2+c 2,所以A 错误;对于B ,因为在椭圆中,a -c 是椭圆上的点到焦点的最小距离,所以a 1-c 1=a 2-c 2,所以B 正确;对于C ,D ,因为由题图可以看出椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁,所以椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ的离心率大,所以D 是错误的,C 正确.]3.(2020·豫州九校联考)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,若点P 为椭圆C 上的任意一点,且P 在第一象限,O 为坐标原点,F (3,0)为椭圆C 的右焦点,求OP →·PF→的取值范围. [解] 因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列, 所以2a +2c =4b ,即a +c =2b . F (3,0)为椭圆C 的右焦点,所以c =3. 在椭圆中,a 2=c 2+b 2,所以⎩⎨⎧a 2=c 2+b 2a +c =2bc =3,解方程组得⎩⎨⎧a =5b =4c =3,所以椭圆方程为x 225+y 216=1. 设P (m ,n )(0<m <5), 则m 225+n 216=1,则n 2=16-1625m 2.所以OP →·PF →=(m ,n )(3-m ,-n )=3m -m 2-n 2 =3m -m 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫16-1625m 2 =-925m 2+3m -16=-925⎝ ⎛⎭⎪⎫m -2562-394. 因为0<m <5,所以当m =256时,OP →·PF →取得最大值为-394,当m 趋近于0时,OP →·PF→的值趋近于-16. 所以OP →·PF →的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤-16,-394. 扩展应用1.(2020·北京模拟)已知椭圆G :x 26+y 2b 2=1(0<b <6)的两个焦点分别为F 1和F 2,短轴的两个端点分别为B 1和B 2,点P 在椭圆G 上,且满足|PB 1|+|PB 2|=|PF 1|+|PF 2|,当b 变化时,给出下列三个命题:①点P 的轨迹关于y 轴对称;②|OP |的最小值为2;③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个,其中,所有正确命题的序号是________.①② [椭圆G :x 26+y 2b 2=1(0<b <6)的两个焦点分别为F 1(6-b 2,0)和F 2(-6-b 2,0),短轴的两个端点分别为B 1(0,-b )和B 2(0,b ),设P (x ,y ),点P 在椭圆G 上,且满足|PB 1|+|PB 2|=|PF 1|+|PF 2|,由椭圆定义可得,|PB 1|+|PB 2|=2a =26>2b ,即有P 在椭圆y 26+x 26-b 2=1上, 对于①,将x 换为-x 方程不变,则点P 的轨迹关于y 轴对称,故①正确;对于②,由图象可得,当P 满足x 2=y 2,即有6-b 2=b 2,即b =3时,|OP |取得最小值,可得x 2=y 2=2时,即有|OP |=x 2+y 2=2+2=2取得最小值为2,故②正确;对于③,由图象可得轨迹关于x,y轴对称,且0<b<6,则椭圆G上满足条件的点P有4个,不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个,故③不正确.故答案为①②.]2.(2019·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a 的取值范围.[解](1)连接PF1(图略),由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的离心率为e=ca=3-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在当且仅当12|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,x2a2+y2b2=1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②x2 a2+y2b2=1. ③由②③及a2=b2+c2得y2=b4 c2.又由①知y2=162c2,故b=4.由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4 2. 当b=4,a≥42时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[42,+∞).。
高考数学一轮复习 考点50 椭圆必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

考点50 椭圆1.(市昌平区2019届高三5月综合练习二模理)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中轨道③所示,其近月点与月球表面距离为100公里,远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里,则该椭圆形轨道的离心率约为A.125B.340C.18D.35【答案】B 【解析】如下图,F为月球的球心,月球半径为:12×3476=1738,依题意,|AF|=100+1738=1838,|BF|=400+1738=2138. 2a=1838+2138,a=1988,a+c=2138,c=2138-1988=150,椭圆的离心率为:1503198840cea==≈,选B.2.(某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理)已知椭圆C :22221x y a b+=,()0a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,M 为椭圆上异于长轴端点的一点,12MF F ∆的内心为I ,直线MI 交x 轴于点E ,若2MI IE=,则椭圆C 的离心率是( )A .22B .12C .32D .13【答案】B 【解析】解:12MF F ∆的内心为I ,连接1IF 和2IF , 可得1IF 为12MF F ∠的平分线,即有11MF MI F EIE=,22MF MI F EIE=,可得12122MF MF MI F E F E IE===,即有1212222MF MF aF EEF c===, 即有12e =, 故选:B .3.(某某2019届高三高考一模试卷数学理)以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A .32-B .31-C .22D .32【答案】B 【解析】解:设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =. 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选:B .4.(某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试(6月)数学理)在平面直角坐标系xOy 中,已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点,过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点,线段AP 的中点为M ,若, , Q F M 三点共线,则椭圆C 的离心率为( ) A .13B .23C .83D .32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ,00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5.(某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理)已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点,且2AF x ⊥轴,则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点,且2AF x ⊥轴,可得2AF 的方程为x c =,1AF 的方程()a y x c b =+,可得2(,)acA c b, 1AF 的中点为(0,)acb ,代入直线bx ay ab +=,可得:222ac b c a ==-,1c e a=<, 可得210e e --=,解得12e =.6.(某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测(期末)数学(理)已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点,A 是椭圆短轴的一个端点,直线AF 与椭圆另一交点为B ,且2AF FB =,则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -,(),0F c ,作BC y ⊥轴,垂足为C ,如下图所示:则:22AF b c a =+=由2AF FB =得:23AF c ABBC==32BC c ∴=,即:32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知:B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅,整理可得:223a c =213e ∴=,即3e =本题正确结果:337.(某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理)如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”);在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,设图中球1O ,球2O 的半径分别为3和1,球心距离128OO =,截面分别与球1O ,球2O 切于点E ,F ,(E ,F 是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于______.25【解析】如图,圆锥面与其内切球1O ,2O 分别相切与B,A ,连接12,O B O A 则1O BAB ,2O A AB ,过1O 作12O D O A 垂直于D ,连接12,O F O E ,EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ,截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中,2312DO ,22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8.(某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ,离心率为12.直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q .且与椭图E 交于A 、B 两点(点A 在第二象限). (1)求椭圆E 的标准方程; (2)若AP PB λ=,当230t <≤时,求λ的取值X 围. 【答案】(1)22143x y +=(2)35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析:(1).由题意,12c e a ==且3b =2a =,所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.(2).因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ,所以直线l 的斜率为1t -,设1:1l y x t=-+,将其代入椭圆方程22143x y +=中,消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=,当∆>0时,设()11,A x y 、()22,B x y ,则2122634t y y t +=+……①,212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=,所以()()1122,,t x y x t y λ--=-,所以12y y λ=-……③ 联立①②③,消去1y 、2y ,整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-.当0t <≤时,()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-,解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <,故1λ>,所以λ⎛∈ ⎝⎦. 9.(某某省威海市2019届高三二模考试数学理)在直角坐标系xOy 中,设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ,且160AF B ∠=︒,点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点,当OPQ ∆面积取得最大值时,求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒,可得2a b =,①由椭圆C经过点1)2,得2231144b b+=,② 由①②得224,1a b ==,所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=(*),由直线l 与椭圆相切得,()()222264161140k m m k ∆=--+=,整理得2241m k =+,故方程(*)化为2228160m x kmx k ++=,即2(4)0mx k +=, 解得4kx m-=, 设()11,P x y ,则124414km k x k m--==+,故111y kx m m =+=, 因此41(,)k P m m-. 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切,可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+, 由0k >得12k k+≥,所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+,当且仅当1k =时等号成立,即1k =时OPQ S ∆取得最大值.由22415m k =+=,得5m =±, 所以直线l 的方程为5y x =±.10.(某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理)如图,已知椭圆()222210x y E a b a b +=:>>,()4,0A 是长轴的一个端点,弦BC 过椭圆的中心O ,且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-,,.(1)求椭圆E 的方程.(2)过椭圆E 右焦点F 的直线,交椭圆E 于11,A B 两点,交直线8x =于点M ,判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由.【答案】(1)2211612x y +=;(2)是,理由见详解. 【解析】 (1)由2OC OB BC BA -=-,得2B A C C =,即2O A C C =,所以AOC ∆是等腰三角形, 又4a OA ==,∴点C 的横坐标为2;又213cos OACA 〈〉=,, 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+,解得3C y =±, 应取(2,3)C ,又点C 在椭圆上,∴22222314b +=,解得212b =,∴所求椭圆的方程为2211612x y +=;(2)由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ,(2,3)C , 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在, 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-,代入椭圆2211612x y +=并整理,得2222(34)1616480k x k x k +-+-=;设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ,则有21221634k x x k+=+,2122164834k x x k -=+, 可知M 的坐标为(8,6)M k ;∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+,又263222182k k k -=•=--; 所以1322k k k +=,即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列.11.(某某市某某区2019届高三一模数学理)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1,且离心率为(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点,且在直线2:0l x y -+=上存在点M ,使得MPQ 为等边三角形,求直线1l 的方程。
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椭圆综合练习
1.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,左右焦点分别为12,F F ,且12||2F F =,点(1,32
)在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,且2AF B ∆2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.
2.已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为36,长轴长为32,直线m kx y l +=:交椭圆于不同的两点A 、B 。
(1)求椭圆的方程;
(2)求k m 求且,0,1=⋅=的值(O 点为坐标原点);
(3)若坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3,求AOB ∆面积的最大值。
3.已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为
21,且经过点)2
3,1(-,过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)求直线l 的方程以及点M 的坐标; (3))是否存过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ,满足2
PM PB PA =⋅?若存在,求出直线l 1的方程;若不存在,请说明理由.
4.在直角坐标系xOy 中,点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4,点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.
(I )求轨迹C 的方程;
(II )当0=⋅AQ AP 时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点.
5.已知抛物线24y x =,点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ,直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点. (Ⅰ)证明:直线,NA NB 的斜率互为相反数;
(Ⅱ)求ANB ∆面积的最小值;
(Ⅲ)当点M 的坐标为(,0)(0m m >,且1)m ≠.根据(Ⅰ)(Ⅱ)推测并回答下列问题(不必说明理由):
① 直线,NA NB 的斜率是否互为相反数?
② ANB ∆面积的最小值是多少?
6. 椭圆22:1(0)C a b a b +=>>的离心率为2(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ,O 为坐标原点,若OEF ∆为直角三角形,求直线l 的斜率.
7.已知椭圆)0(122>>=+b a b
a 的离心率为.3 (I )若原点到直线0=-+
b y x 的距离为,2求椭圆的方程;
(II )设过椭圆的右焦点且倾斜角为︒45的直线l 和椭圆交于A ,B 两点.
(i )当3||=AB ,求b 的值;
(ii )对于椭圆上任一点M ,若μλ+=,求实数μλ,满足的关系式.
8.已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
0x y -=相切.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设(4,0)P ,A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB 交椭圆C 于另一点E ,证
明直线AE 与x 轴相交于定点Q ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求OM ON ⋅ 的取值范围.
9.已知椭圆C的中心在坐标原点,离心率
2
e=).(I)求椭圆C方程;
(II)设直线
1
:
2
l y x m
=+与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点T.当m变化时,求TAB
∆
面积的最大值.
10.已知O 为平面直角坐标系的原点,过点(20)M -,的直线l 与圆221x y +=交于P ,Q 两点.
(I )若12
OP OQ ⋅=- ,求直线l 的方程; (Ⅱ)若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等,求直线l 的斜率.。