卡车更新问题

卡车更新问题 (第二届选拔赛第三题)
【试题】某人购置了一辆新卡车, 从事个体运输业务. 给定以下各有关数据:
R[t], t=1,2,...,k, 表示已使用过 t 年的卡车, 再工作一年所得的运费, 它
随 t 的增加而减少, k (k≤20) 年后卡车已无使用价值.
U[t], t=1,...,k, 表示已使用过 t 年的卡车, 再工作一年所需的维修费, 它
随 t 的增加而增加.
C[t], t=1,2,...,k, 表示已使用过 t 年的旧卡车, 卖掉旧车, 买进新车, 所
需的净费用, 它随 t 的增加而增加. 以上各数据均为实型, 单位为"万元".
设某卡车已使用过 t 年,
①如果继续使用, 则第 t+1 年回收额为 R[t]-U[t],
②如果卖掉旧车,买进新车, 则第 t+1 年回收额为 R[0]-U[0]-C[t] .
该运输户从某年初购车日起,计划工作 N (N<=20) 年, N 年后不论车的状态如
何,不再工作. 为使这 N 年的总回收额最大, 应在哪些年更新旧车? 假定在这 N
年内, 运输户每年只用一辆车, 而且以上各种费用均不改变.
输入: 用文件输入已知数据, 格式为:
第 1 行: N (运输户工作年限)
第 2 行: k (卡车最大使用年限, k≤20 )
第 3 行: R[0] R[1] ... R[k]
第 4 行: U[0] U[1] ... U[k]
第 5 行: C[0] C[1] ... C[k]
输出: 用文本文件按以下格式输出结果:
第 1 行: W ( N 年总回收额 )
第 2--N+1 行: 每行输出 3 个数据:
年序号 ( 从 1 到 N 按升序输出 );
是否更新 ( 当年如果更新,输出 1, 否则输出 0);
当年回收额 ( N 年回收总额应等于 W ).
例: 设给定以下数据:
N=4, k=5,
i: 0 1 2 3 4 5
R[i]: 8 7 6 5 4 2
U[i]: 0.5 1 2 3 4 5
C[i]: 0 2 3 5 8 10
则正确的输出应该是
24.5
1 0 7.5
2 1 5.5
3 1 5.5
4 0 6.0
【分析】这是动态规划的一个典型的例题.由题意可知,用过t年的卡车,继续使用一年的收益为d[t]=R[t]-U[t],更换新车后一年的收益为e[t]=R[0]-U[0]-C[t]. 我们采用倒推分析的方法.F[j,t]表示已经使用了t年的卡车, 在第j年不论继续使用还是更新,到第N 年
为止,可能得到的最大收益. 规定当j>N时, F[j,t]≡0. 如果在第j年更新,则收益为
p=e[t]+F[j+1,1]; 如果仍使用旧车,则收益为 q=d[t]+F[j+1,t+1]. 这里,e[t]或d[t]为
第j年的收益, F[j+1,1]或F[j+1,t+1]为从第j+1年到第N年在不同条件下的最大收益.显然,F[j,t]=Max(p,q).这就是所需要的计算公式.
在下面的程序中,数组g[j,t]用于记录使用过t年的车,在第j年的选择方案,g[j,t]=1 表示更换新车,g[j,t]=0表示仍使用旧车.
【参考程序】
program tjcoi2_3; { Write By Li Xuewu }
type arr20=array[0..20] of real;
var rr,uu,cc,d,e:arr20;
f:array [0..22,0..21] of real;
g:array [0..22,0..21] of integer;
i,j,k,k2,n,t:integer;
file1:string[20];
p,q:real;
text2,text3:text;
procedure init;
var i:integer;
begin
writeln('Input filename:');
readln(file1);
assign(text2,file1); reset(text2);
readln(text2,n); readln(text2,k);
for i:=0 to k do read(text2,rr[i]); readln(text2);
for i:=0 to k do read(text2,uu[i]); readln(text2);
for i:=0 to k do read(text2,cc[i]); readln(text2);
close(text2);
for i:=0 to k do
begin d[i]:=rr[i]-uu[i]; e[i]:=d[0]-cc[i]; end;
end;
procedure result3;
var i:integer;
begin
writeln('enter filename for output:');
readln(file1);
assign(text3,file1); rewrite(text3);
writeln(text3,f[1,1]:8:3);
writeln(text3,' 1 0', e[0]:8:2); t:=1;
for i:=2 to n do
if g[i,t]=1 then
begin writeln(text3,i:2,' 1',e[t]:8:2); t:=1 end
else
begin writeln(text3,i:2,' 0',d[t]:8:2); t:=t+1; end ;
writeln(f[1,1]:8:3);
writeln(' 1 0',e[0]:8:2); t:=1;
for i:=2 to n do
if g[i,t]=1 then
begin writeln(i:2,' 1',e[t]:8:2); t:=1 end
else
begin writeln(i:2,' 0',d[t]:8:2); t:=t+1; end ; close(text3);
end;
begin {main}
init;
for i:=0 to n do
for j:=0 to k do g[i,j]:=1;
for i:=0 to k do f[n+1,i]:=0;
for i:=1 to n+1 do f[i,k+1]:=-100;
for j:=n downto 2 do
begin
k2:=k;
if j<k then k2:=j-1;
for t:=1 to k2 do
begin
p:=e[t]+f[j+1,1]; q:=d[t]+f[j+1,t+1];
f[j,t]:=p; g[j,t]:=1;
if q>p then
begin g[j,t]:=0; f[j,t]:=q; end;
end;
end;
f[1,1]:=d[0]+f[2,1];
result3;
end.
end.。