8、三角形分类

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8字形三角形公式

8字形三角形公式在数学的奇妙世界里，有一种特别的图形——三角形。

而今天咱们要聊的是跟三角形有关的一个有趣公式——8 字形三角形公式。

说起三角形，我想起了之前在课堂上发生的一件小事。

那是一个阳光明媚的上午，我正在给学生们讲解三角形的相关知识。

当讲到这个 8 字形三角形公式时，班上的一个小调皮鬼举起了手，眨巴着大眼睛问我：“老师，这个公式有啥用啊？难道能让我变成数学天才吗？”这突如其来的问题，把全班同学都逗乐了。

咱们先来说说啥是 8 字形三角形。

其实就是两个三角形交叉组成的形状，看起来像个数字 8。

那这个 8 字形三角形公式到底是啥呢？它就是：在 8 字形中，左右两个三角形对应角的外角等于与之不相邻的两个内角之和。

听起来是不是有点绕？别着急，咱们来举个例子。

比如说有一个 8 字形，左边三角形的三个角分别是∠A、∠B、∠C，右边三角形的三个角是∠D、∠E、∠F。

那么根据这个公式，∠A 的外角等于∠E +∠F，∠D 的外角等于∠B + ∠C。

为了让大家更好地理解这个公式，咱们来做几道题试试。

比如说，有这样一个 8 字形，已知∠A = 50°，∠B = 60°，∠D = 70°，求∠E 的度数。

这时候咱们就可以用 8 字形三角形公式啦，因为∠A 的外角等于∠E + ∠D，∠A 的外角是 180° - 50° = 130°，所以 130° = ∠E + 70°，那么∠E 就等于 60°。

再比如说，在另一个 8 字形中，∠C = 80°，∠F = 90°，∠B = 40°，求∠D 的度数。

还是用公式，∠D 的外角等于∠B + ∠C，∠D 的外角是 180° - ∠D，所以 180° - ∠D = 40° + 80°，解得∠D = 60°。

这个 8 字形三角形公式在解决很多几何问题的时候可管用啦！就像上次考试，有一道题是这样的：在一个 8 字形中，给出了两个角的度数，让求另外两个角的和。

三角形分类：三角形分为几种类型？各有何特点？

三角形是数学和几何学中的基础图形，它可以根据不同的特点进行分类。

下面将对三角形的各种分类及其特点进行详细介绍，但由于2000字的要求过于庞大，我将提供一个概要性的描述，并尽量覆盖各个关键点。

一、按照边长分类1. 等边三角形（正三角形）：三边长度相等的三角形。

三个内角也相等，每个内角都是60°。

2. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。

有两个相等的内角，位于这两边的相对顶点。

3. 不等边三角形：三边长度都不相等的三角形。

三个内角也都不相等。

二、按照内角大小分类1. 锐角三角形：三个内角都小于90°的三角形。

2. 直角三角形：有一个内角等于90°的三角形。

根据直角所对的边与斜边的关系，直角三角形又可分为两种：- 锐角直角三角形：除了直角外，其余两个内角都是锐角。

- 钝角直角三角形（也称斜角三角形）：除了直角外，另一个内角大于90°。

3. 钝角三角形：有一个内角大于90°但小于180°的三角形，其他两个内角均为锐角。

三、其他特殊三角形1. 海伦三角形（Heronian Triangle）：已知三边长度，可以通过海伦公式求出面积的三角形。

2. 勾股三角形（Pythagorean Triangle）：满足勾股定理的直角三角形，即直角边的平方和等于斜边的平方。

3. 等角三角形（Isosceles Triangle）：两个对应的非相等边的夹角相等（夹角平分的线是这边的中线）四、特性简介等边三角形的各边长与内角都相等，具有对称性，是特殊的等腰三角形。

等腰三角形有一条对称轴，即过顶点与底边中点的中线，同时等腰三角形中的两个等边所对应的内角也是相等的。

不等边三角形的各边长和角度均不相等，它没有明显的对称性。

直角三角形具有一些独特的性质，如勾股定理（直角边的平方和等于斜边的平方），以及三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

在直角三角形中，直角顶点处的角度为90°，其余两个角为锐角或钝角，这两个角互为补角。

沪科版八年级数学上册期末复习-三角形

沪科版八年级数学上册期末复习2一、三角形1、三角形的分类：（1）按边分类：（2）按角分类：不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形2、三角形三边的关系：三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边.3、三角形内角和定理、外角及其推论：（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.（2）推论1：直角三角形的两个锐角互余.（3）三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与它相邻的内角互补.（4）推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（5）推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.4、三角形中的重要线段（1）在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（2）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.（3）从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.注意：①一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，并且它们都是线段；②三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；而三角形的高未必在三角形内部.5、命题（1）凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题.（2）命题分为真命题和假命题.（3）命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成.（4）几何推理中，把那些从长期实践中总结出来，不需要再作证明的真命题叫做公理. 如：经过两点，有且只有一条直线；两点之间，线段最短；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.（5）正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.如：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；在平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.二、全等三角形1、能够完全重合的两个图形，叫做全等形；能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应的角平分线分别相等；全等三角形的周长相等，面积相等.注：用全等符号“≌”表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.3、全等三角形的判定（1）“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS ）ABC 和△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC ≌△DEF （2）.（ASA ）在△ABC 和△DEF 中，∵ BE BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF（3）“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS ）在△ABC 和△DEF 中，∵B EC F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF（4）“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS ）在△ABC 和△DEF 中，∵AB DEBC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF 另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法. （5对应相等的两个直角三角形全等.（HL ）在Rt △ABC 和Rt △DEF 中， ∵ AB DEAC DF=⎧⎨=⎩∴ Rt △ABC ≌Rt △DEF三、轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.2、轴对称：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称. 这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点.3、轴对称性质与判定：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段. （2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.4、轴对称和轴对称图形的区别与联系四、线段的垂直平分线1、经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线.2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.3、线段垂直平分线的判定定理：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4、三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.五、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等.简称“等边对等角”.（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一）3、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等.简称“等角对等边”.六、等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.2、性质：等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于60°.3、判定：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形. （2）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.七、直角三角形含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.八、角平分线1、性质定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.2、判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.3、三角形三条角平分线的性质：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.【考点习题】一、选择题1、三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是（）A ．36-<<-aB ．5-<a 或2->aC ．52<<aD ．25-<<-a 2、如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、 CE 的中点，且ABC S ∆＝4cm 2，则阴影S 等于( )A ．2cm 2B ．1 cm 2C ．21 cm 2 D ．41 cm 23、如图，a ∥b ，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝（）A 、100°B 、105°C 、110°D 、115°（第2题）（第3题）4、若△ABC 的三个内角满足关系式∠B ＋∠C=3∠A ，则这个三角形（）A ．一定有一个内角为45°B ．一定有一个内角为60°C ．一定是直角三角形D ．一定是钝角三角形 5、下列命题中正确的是（）A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C．三角形外角一定是钝角D．△ABC中，如果∠A>∠B>∠C，那么∠A>60°，∠C<60°6、如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，那么补充一个条件后，仍无法判断△ABE ≌△ACD的是（）A.AD=AEB. ∠AEB=∠ADCC. BE=CDD. AB=AC（第6题）（第7题）（第8题）7、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。

初中数学重难点易错专题相似三角形中的“8”字模型(3种题型)(解析版)

相似三角形中的“8”字模型(3种题型)一、【知识梳理】8字_平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字_不平行型条件：∠CDP=∠BAP.结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);二、【考点剖析】8字-平行型1.直接利用“8”字型解题1如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若DE :EC =1:2，则BF :BE =．【答案】3:5．【解析】DE :EC =1:2，可知CE CD =CE AB =23，由CE ⎳AB ，可知BF EF =AB CE=32，故BF :BE =3:5．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型．2如图，P 为▱ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ ∙PI =PR ∙PS ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴RB ⎳DI ，SD ⎳BQ ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PR =PD PB =PS PQ，∴PQ ⋅PI =PR ⋅PS ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．3如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交AD 于点G ．求证：BF 2=FG ∙EF ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴AB ⎳CE ，AG ⎳BC ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF BF =CF AF=BF FG ，∴BF 2=FG ∙EF ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．4如图，点C 在线段AB 上，ΔAMC 和ΔCBN 都是等边三角形．求证：(1)MD DC =AM CN；(2)MD ∙EB =ME ∙DC ．【解析】证明：(1)∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴∠ACM =∠NCB =∠AMC =60°．∵点C 在线段AB 上，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠NCB =60°=∠AMC ．∴AM ⎳CN ，∴MD DC =AM CN．(2)同(1)易证得CM ⎳BN ，则有ME EB =MC NB．∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴MC =AM ，NB =CN ，∴MD DC=ME EB ，∴MD ∙EB =ME ∙DC ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．5如图，已知AB ⎳CD ⎳EF ．AB =m ，CD =n ，求EF 的长．(用m 、n 的代数式表示)．【答案】mn m +n ．【解析】由AB ⎳CD ⎳EF ，则有EF AB =CF BC ，EF CD =BF BC ，即EF m +EF n =1，得EF =mn m +n．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．6如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE EC=13，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求BF :FG 的值．【答案】1:2．【解析】由AF ⎳BC ，可得AF BC =AE EC =13，即AF AD=13，故AF FD =12，由AB ⎳DG ，可得：BF :FG =AF :FD =1:2．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．7如图，l 1⎳l 2，AF :FB =2:5，BC :CD =4:1，求AE :EC 的值．【答案】2:1．【解析】由l 1⎳l 2，得：AG BD =AF FB =25，又BC :CD =4:1，可得AG CD=21，故AE :EC =AG :CD =2:1．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．2.添加辅助线构造“8”字模型解题8过ΔABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．求证：AE ED =2AF FB．【解析】过点D 作DG ⎳AB 交CF 于点G ．∵DG ⎳AB ∴AE ED =AF GD ，DG BF =CD CB ；∵AD 是中线，　∴BC =2CD ，　∴DG BF =12；∴AE ED =2AF BF．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．9如图，AD 是ΔABC 的内角平分线．求证：AB AC=BD DC ．【解析】过点C作CM⎳AB交AD的延长线于点M．∵CM⎳AB　∴AB CM=BDDC，∠BAD=∠M∵AD是角平分线∴∠BAD=∠DAC；∴∠M=∠DAC∴AC=CM∴AB AC=BD DC．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．8字-不平行型1如图，∠BEC=∠CDB，下列结论正确的是()A.EF•BF=DF•CFB.BE•CD=BF•CFC.AE•AB=AD•ACD.AE•BE=AD•DC【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC=∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．【解答】解：∵∠BEC=∠CDB，∠EFB=∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EF DF=FB FC，∴EF•FC=DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴BE CD=BF FC，∴BE•CF=CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC=∠CDB，∠BEC+∠AEC=180°，∠BDC+∠ADB=180°，∴∠AEC=∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴AB AC=AD AE，∴AB•AE=AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．1.【过关检测】一、选择题(共3小题)1(2023•静安区校级一模)如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是()A. B. C. D.【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG=DE：AB=1：2，BG：EG=AB：DE，==，∴DG=AG，∵BG：EG=AB：DE=2：1，∴GB：BE=2：3，∴S△AGB：S△AEB=2：3，∵AE=EC，∴S△AEB=S△ABC，∴S△AGB=S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴==，∴S △CDE =S △ABC ，∴=，结论成立的是=，故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．2(2023•徐汇区一模)如图，点D 在△ABC 边AB 上，∠ACD =∠B ，点F 是△ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且AF =2EF ，则下列选项中不正确的是()A. B. C. D.【分析】过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，由条件可以证明△ACF ≌△GCE (ASA )，得到AF =EG ，CF =CE ，由△ADF ∽△GCF ，再由平行线分线段成比例，即可解决问题．【解答】解：过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，∴∠G =∠BAE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴∠G =∠CAE ，∴CG =CA ，∵∠ACD =∠B ，∠ECG =∠B ，∴∠ACF =∠ECG ，∴△ACF ≌△GCE (ASA )，∴CF =CE ，AF =EG ，∵AF =2FE ，∴EG =2FE ，令EF =k ，则AF =EG =2k ，AE =GF =3k ，∵△ADF∽△GCF，∴AD：CG=AF：FG=2k：(3k)=2：3，∴=，故A正确．∵AB∥CG，∴CE：BE=GE：AE=2k：(3k)=2：3，∴=，故B正确．∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴==，故C正确．∵=，AC和BD不一定相等，∴不一定等于．故选：D．【点评】本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形．3(2022秋•闵行区期末)如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB．如果==3，且量得CD=4cm，则零件的厚度x为()A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵==3，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=2，∵CD=4cm．∴AB=8cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-8)÷2=1(cm)，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．二、填空题(共8小题)4(2022秋•奉贤区期中)如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为4．【分析】由AE∥BC，可得△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD推出==，又有BC的值，再由==1，得出AE=CF，代入即可求解AE的长．【解答】解：∵AE∥BC，∴△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD，∴==，==1，即AE=CF，又BC=8，∴=AE=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．5(2022•浦东新区校级模拟)如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC=2：3，设=，试用向量表示向量，=-　．【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ACB，由DE：BC=2：3，可得DA=CD，即可表示，从而得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∵DE：BC=2：3，∴DA：CA=DE：BC=2：3，∵CD=DA+CA，∴DA=CD，∵=，∴=，∴=-，故答案为：-．【点评】本题考查向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算的解题的关键．6(2022•静安区二模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，AO：OC=1：4，设=，那么=　．(用含向量的式子表示)【分析】由相似三角形性质可得=4=4，再根据梯形中位线定理即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=4=4，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴=(+)=(+4)=，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，平面向量等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．7(2023•静安区校级一模)在矩形ABCD内作正方形AEFD(如图所示)，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，且PE=2，那么PF=　-1．【分析】先根据黄金分割的定义可得=，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF=AE，从而可得=，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，∴==，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF=AE，∴=，∵DC∥AB，∴∠FCP=∠PAE，∠CFP=∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴==，∵PE=2，∴PF=-1，故答案为：-1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．8(2022春•浦东新区校级期中)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是2：3．【分析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，根据已知易得DM=BN，再根据S△BCD=2S△ABD，从而可得BC=2AD，然后再证明8字模型相似三角形△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可得==，从而可得=，最后根据△BOC与△BDC 的高相等，即可解答．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，∵AD∥BC，∴BN=DM，∵S△BCD=2S△ABD，∴BC•DM=2×AD•BN，∴BC=2AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=，∵△BOC与△BDC的高相等，∴==，故答案为：2：3．【点评】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2022秋•虹口区校级月考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E为边BC的中点，点F在边CD上且3CF=CD，EF交对角线AC于点G，则AG：GC=7：2．【分析】如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，首先利用AD∥BC，，点E 为边BC的中点，可以得到AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，然后利用MH∥EF，DH：HF= DM：ME=3：2=6：4，最后利用又3CF=CD即可求解．【解答】解：如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，∵AD∥BC，，点E为边BC的中点，∴△ADM∽△CME，∴AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，∵MH∥EF，∴DH：HF=DM：ME=3：2=6：4，又3CF=CD，∴DF=2CF，∴CF：HF=5：4，∴CG：MG=5：4，∴CG=CM，MG=CM，而AM：CM=3：2，∴AM=CM，∴AG=AM+MG=CM，∴AG：GC=CM：CM=7：2．故答案为：7：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质于判定，同时也利用了平行线的性质，解题的关键是会进行比例线段的转换，有一定的难度．10(2022秋•黄浦区期末)如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去测量零件的内孔直径AB．如果==，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是0.5cm．的值．【解答】解：∵==，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=3，∵CD=3cm．∴AB=9cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-9)÷2=0.5(cm)，故答案为：0.5．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．11(2022春•闵行区校级月考)如图，梯形ABCD中，∠D=90°，AB∥CD，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果AB=4，且=，那么梯形ABCD的中位线等于7．【分析】过点B作BG⊥EC，利用同高的两个三角形的面积的比先求出EF：BF，再利用相似三角形的性质求出ED、EG，最后利用梯形中位线与上下底的关系得结论．【解答】解过点B作BG⊥EC，垂足为G∵=，∴=．∵AB∥CD，∴△EDF∽△BAF．∴==，∴ED=2，=．∵AD∥BG，∴=．∴EG=6．∵CB绕着点B按顺时针方向旋转，点C落在CD延长线上的点E处，∴BE=BC．∵BG⊥EC，∴EG=GC=6．∴DC=DG+CG=4+6=10．∴梯形ABCD的中位线=(AB+CD)=(4+10)=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的三线合一、等高的两个三角形的面积比等于底边的比、梯形的中位线等于上下底的和的一半是解决本题的关键．三、解答题(共12小题)1(2023•普陀区一模)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD=1：3．(1)求的值；(2)联结FC，设，，那么= ，= .(用向量、表示)【分析】(1)根据题意可证明四边形AECD为平行四边形，得到AE=CD，则EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，易证明△BEF∽△DAF，由相似三角形的性质即可求解；(2)由AF=2EF得，，由三角形法则求出和，再求出，最后利用三角形法则即可求出．【解答】解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE=CD，∵EF：CD=1：3，∴EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；(2)联结FC，如图，由(1)可得AF=2EF，∵，∴，，∴=，=，∵，AD=EC，∴，∴==，∴==．故答案为：，．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．2(2023•奉贤区一模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD=∠BDC．(1)求证：AE•BD=AD•DC；(2)如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．【分析】(1)利用平行线的性质证明∠ADB=∠DBC，然后利用已知条件可以证明△ADE∽△DBC，由此即可解决问题；(2)利用(1)的结论和已知条件可以证明△DEF∽△DBC，接着利用相似三角形的在即可求解．【解答】证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠EAD=∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD=DC：BD，∴AE•BD=AD•DC；(2)∵AE：AD=DC：BD，且，∴=，而∠EDF=∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF=∠DBC，∴EF∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例的基本性质，有一定的综合性．3(2023•青浦区一模)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF=2AF．(1)求EA：AB的值；(2)如果，，试用、表示向量．【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，易证△AEF∽△DCF，则=，由DF=2AF即可求解；(2)先算出，再根据即可求解．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF=2AF，∴，∴；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DF=2AF，∴，∵，，∴，，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键．4(2022秋•金山区校级期末)已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC 分别相交于点F、G，AF2=FG•FE．(1)求证：△CAD∽△CBG；(2)联结DG，求证：DG•AE=AB•AG．【分析】(1)通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG=∠E，由平行线的性质可得∠E=∠EBC=∠FAG，且∠ACD=∠BCG，可证△CAD∽△CBG；(2)由相似三角形的性质可得=，且∠DCG=∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得=，由平行线分线段成比例可得=，可得结论．【解答】证明：(1)∵AF2=FG⋅FE．∴=，∵∠AFG=∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG=∠E，∵AE∥BC，∴∠E=∠EBC，∴∠EBC=∠FAG，∵∠ACD=∠BCG，∴△CAD∽△CBG；(2)∵△CAD∽△CBG，∴=，∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴=，∵AE∥BC，∴=，∴=，∴=，∴DG•AE=AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5(2022•松江区二模)已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．(1)求证：；(2)如果BE2=BF•BD，求证：DF=BE．【分析】(1)根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB=∠EBC，=，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得=，即可解答；(2)根据已知易证△BFE ∽△BED ，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF =∠BDE ，进而可得∠DAF =∠BDE ，然后利用(1)的结论可证△ADF ≌△DBE ，再利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：(1)∵DA =DB ，EB =EC ，∴=，∵∠ADB =∠BEC ，∴△DAB ∽△EBC ，∴∠DAB =∠EBC ，=，∴AD ∥EB ，∴∠DAF =∠AEB ，∠ADF =∠DBE ，∴△ADF ∽△EBF ，∴=，∴；(2)∵BE 2=BF •BD ，∴=，∵∠DBE =∠EBF ，∴△BFE ∽△BED ，∴∠BEF =∠BDE ，∵∠DAF =∠AEB ，∴∠DAF =∠BDE ，∵∠ADF =∠DBE ，AD =DB ，∴△ADF ≌△DBE (ASA )，∴DF =BE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6(2023•宝山区二模)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，OB =OC ．(1)求证：AB =CD ；(2)E 是边BC 上一点，联结DE 交AC 于点F ，如果AO 2=OF •OC ，求证：四边形ABED 是平行四边形．【分析】(1)由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明△AOB 和△DOC 全等，利用全等三角形的性质得结论；(2)先说明△AOB∽△FOD，再说明AB∥DE，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：(1)∵OB=OC，∴∠DBC=∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC．∴∠DAC=∠ADB．∴OA=DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC(SAS)．∴AB=CD．(2)∵AO2=OF•OC，OA=OD，OC=OB，∴AO•OD=OF•OB，即．∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO=∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．7(2022秋•徐汇区期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2=BE•BD．(1)求证：△ABE∽△DCE；(2)AE•CD=BC•ED．【分析】(1)根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC=∠BDC，由此可得出△ABE ∽△DCE；(2)由(1)中的相似可得出AE：DE=BE：CE，再由∠BEC=∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，可得△BCD∽△ADE，进而可得结论．【解答】证明：(1)∵AB2=BE•BD，∴AB：BE=BD：AB，∵∠ABE=∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC=∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=∠BAC，∴△ABE∽△DCE；(2)由(1)中相似可得，AE：DE=BE：CE，∵∠BEC=∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE=CD：ED，AE•CD=BC•ED．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．8(2022春•杨浦区校级期中)如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E=∠ABC．(1)求证：AB2=AC•AE；(2)如图2，D在BC上且BD=3CD，延长AD交BE于F，若=，求的值．【分析】(1)利用两角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；(2)过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，利用(1)的结论可得===，先AC=2a，AB=3a，从而求出AE的长，进而求出的值，再根据已知设CD=m，BD=3m，从而求出BC，BE的长，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性质可得EH=m，再证明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性质可得=，从而求出EF的长，进行计算即可解答．【解答】(1)证明：∵∠E=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△AEB，∴=，∴AB 2=AC •AE ；(2)解：过点E 作EH ∥CB ，交AF 的延长线于点H ，∵△ABC ∽△AEB ，∴===，∴设AC =2a ，AB =3a ，∴=，∴AE =a ，∴==，∵BD =3CD ，∴设CD =m ，则BD =3m ，∴BC =CD +BD =4m ，∴=，∴EB =6m ，∵EH ∥CD ，∴∠ACD =∠AEH ，∠ADC =∠AHE ，∴△ACD ∽△AEH ，∴==，∴EH =m ，∵EH ∥BD ，∴∠BDF =∠DHE ，∠DBF =∠FEH ，∴△BDF ∽△EHF ，∴===，∴EF =BE =m ，∴==，∴的值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2023•崇明区二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．(1)求证：AG2=GF•GM；(2)联结CG，如果∠BAG=∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．【分析】(1)由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性质得结论；(2)利用“两角对应相等”先说明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三线合一说明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得结论．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴=，=．∴=．∴AG2=GF•GM．(2)∵AB∥DM，∴∠BAG=∠M．∵∠BAG=∠BCG，∴∠M=∠BCG．∵∠MGC=∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴=，即CG2=GF•GM．∵AG2=GF•GM，∴CG2=AG2．∴CG =AG ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE =CE ．∴GE ⊥AC ，即BD ⊥AC ．∴平行四边形ABCD 是菱形．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．10(2021秋•虹口区期末)如图，在梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，BC =2AD ，对角线AC 与BD 交于点E ．点F 是线段EC 上一点，且∠BDF =∠BAC ．(1)求证：EB 2=EF •EC ；(2)如果BC =6，sin ∠BAC =，求FC 的长．【分析】(1)先由AD ∥BC 得到△EAD ∽△ECB ，从而得到，然后由∠BDF =∠BAC 、∠AEB =∠DEF 得证△EAB ∽△EDF ，进而得到，最后得到结果；(2)先利用条件得到AC 、AB 的长，然后利用BC =2AD 得到AD 、BD 的长，再结合相似三角形的性质得到EB 、EC 的长，进而得到EF 的长和FC 的长．【解答】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴△EAD ∽△ECB ，∴，即，∵∠BDF =∠BAC ，∠AEB =∠DEF ，∴△EAB ∽△EDF ，∴，∴，∴EB2=EF•EC．(2)解：∵BC=6，sin∠BAC==，BC=2AD∴AC=9，AD=3，∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°，∴AB===3，∴BD===3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC=AC=×9=6，EB=BD=×3=2，∵EB2=EF•EC，即(2)2=6EF，∴EF=4，∴FC=EC-EF=6-4=2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．11(2021秋•嘉定区期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE=2：3，BC=4DE，CE=10．求EH、GE的长．【分析】根据题目的已知并结合图形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC=4DE，∴，∵CE=10，∴HC=10-EH，∴，∴EH=2，∵BC=4DE，DE：AE=2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE=∠GBC，∠GEA=∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE=10，∴GC=10+GE，∴，∴GE=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形，熟练掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD<AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．(1)当点D在边AB上时，①求证：∠AFC=45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；(2)联结CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．【分析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90°-2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；(2)分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：(1)①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∴∠ACE=90°-2α，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠AEC=∠EAC=[180°-(90°-2α)]=45°+α，∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，∴∠AFC=45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由(1)知：∠AFC=45°，∴∠BEF=45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G=∠BCD=∠BAG，∵∠G+∠BAG=∠ABC=45°，∴∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BD，BH=BD，∠BHD=45°，∵∠CDH=∠BHD-∠BCD=45°-22.5°=22.5°=∠BCD，∴CH=DH=BD，∵CH+BH=BC=5，∴BD+BD=5，∴BD==5-5，∴线段BD的长为5-5；(2)Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，∴①AM2+CM2=AC2=25，∵S△ACE=AE•CM=12，∴②AM•CM=12，①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，①-②×2，得：(AM-CM)2=49③，∵CM>AM>0，∴AM=3，CM=4，∴AE=6，由(1)知：∠AFC=45°，BE⊥CF，∴∠BEF=45°，∵∠AFC=∠ABC=45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB=180°，∴∠AFB=90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，设EF=BF=x，则AE=x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(x+6)2+x2=50，解得：x=1或x=-7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×6×1=3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由(1)知：∠AFC=45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF=45°，BF=EF，∴∠EBF=∠BEF=45°，∴∠BFE=90°，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，设BF=EF=y，则AF=8-y，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(8-y)2+y2=50，解得：y=1或y=7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×8×1=4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。

初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧

初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧展开全文三角形知识点、概念总结1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形的分类3. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

5. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

6. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

7. 高线、中线、角平分线的意义和做法8. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的内角和是外角和的一半10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

11. 三角形外角的性质（1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；（4）三角形的外角和是360°。

四边形（含多边形）知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。

2. 性质：（1）平行四边形的对边相等且平行（2）平行四边形的对角相等，邻角互补（3）平行四边形的对角线互相平分3. 判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形4. 对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。

八年级数学三角形与全等三角形知识点大全

八年级数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边与腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之与大于第三边，则可说明能组成三角形2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之与3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A与它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角与定理：三角形三个内角的与等于180度。

证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角与为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角与1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。

3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角与：n边形内角与等于（n-2）*1808、多边形的外角与：360度注：有些题，利用外角与，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n 边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线23)-n(n条。

《三角形的分类》数学教案

《三角形的分类》数学教案《三角形的分类》数学教案1前几天的每人一节课上，我教学了《三角形的分类》一课。

课前我认真阅读了教材及教参，查找了一些相关资料，对课堂进行了比较充分的预设，为了让学生研究得合理有序，还特别制作了一些学具，整节课的教学效果较好，学生能够按照三角形的角的特点将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，也能按照三角形的边的特点将三角形分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，并且能够说出每种三角形的特点，认识等腰三角形的各部分名称，知道等边三角形是特殊的等腰三角形。

教学任务已经完成，在这里总结出以下几点改进方案：第一、在学生进行给三角形分类的小组合作学习之前，还应该更明确地给学生一个研究的方向，比如师说：“我们可以主要研究三角形的角，如果要研究三角形的每个角的大小，我们应该选用什么工具进行测量呢？（量角器）如果你们小组想重点研究三角形的边的特点，那么该选用什么工具来测量每边的长度呢？（格尺）”然后再开始小组合作学习，同学们就可以快速选择要研究边还是角，要用格尺还是量角器，并且在老师讲要求的时候也提示到需要测量三角形的每一个角，每一条边，才能找到特点，进行分类，这样的合作学习，一定是合理有序的。

第二、教学的环节比较稳，但没有抓住这节课的一个亮点。

当学生出现⑤号图形测量结果不一致的情况时，应该及时请学生到前边来测量一下，让学生亲自操作，印象深刻，也更有说服力，其实这也正是体现以学生为主体的最好时机。

这个地方的处理还可以让学生把他其实，手里不等边的图形，拿到前边贴到不等边一类中，也是很有说服力的，教学效果会更好。

今天在课堂上出现的不如意的地方，正是我以后需要改进的地方，相信在学校每人一节课的活动中，我们都会慢慢的.成长起来，通过相互听课学习，教学水平会有相应的提高。

我坚信，每天都有收获就是一件快乐的事。

《三角形的分类》数学教案2教学目标：1、会根据三角形的边、角的特点给三角形分类，认识各种三角形。

三角形的分类

三角形的分类三角形是几何学中研究的基本图形之一，根据边长和角度的关系，可以将三角形分为不同的类型。

在本文中，我们将探讨常见的三角形分类及其特点。

一、根据边长分类1. 等边三角形：等边三角形的三条边长度都相等。

由于其特殊的性质，它的三个内角也相等，每个角均为60度。

等边三角形是一种特殊的等腰三角形。

2. 等腰三角形：等腰三角形的两边长度相等，而底边长度不相等。

等腰三角形的两个底角也相等。

3. 等腰直角三角形：等腰直角三角形是一种融合了等腰三角形和直角三角形的特性的三角形。

它的两条直角边长度相等，而斜边的长度与两条直角边长度之比为√2。

4. 普通三角形：普通三角形的三条边长度都各不相等。

它没有特殊的性质，是最一般的三角形形状。

二、根据角度分类1. 直角三角形：直角三角形的一个角为直角（90度），另外两个角为锐角和钝角。

直角三角形是最常见和易于理解的三角形类型，也是勾股定理的基础。

2. 锐角三角形：锐角三角形的三个内角均为锐角，即小于90度。

3. 钝角三角形：钝角三角形的三个内角中，至少有一个是钝角，即大于90度。

三、根据边长和角度综合分类1. 等腰锐角三角形：等腰锐角三角形是一种既有等腰特性又有锐角特性的三角形。

它的两边长度相等，而三个内角均为锐角。

2. 等腰钝角三角形：等腰钝角三角形具有等腰特性和钝角特性。

它的两边长度相等，至少有一个内角是钝角。

3. 等腰直角三角形：已在前面的内容中介绍过，等腰直角三角形是一种融合了等腰三角形和直角三角形的特性的三角形。

三角形的分类不仅仅是对三角形形状的描述，也涉及到其性质和特点。

通过对不同类型三角形的学习，我们可以更深入地了解几何形状及其相关概念。

总结：三角形根据边长和角度的特点可以分为等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形和普通三角形。

根据角度的不同，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

此外，还有一些特殊类型的三角形，如等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰直角三角形。

31.八年级数学三角形(单元小结)(解析版)

第十一章三角形单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一三角形的概念三角形的概念 :由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形特性三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形按边分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。

三角形三边的关系（重点）（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：三角形的稳定性三角形具有稳定性四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

考查题型一三角形的分类典例1（2020·朔州市期末）已知△ABC的一个外角为70°，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【答案】C【详解】∵△ABC的一个外角为70°，∴与它相邻的内角的度数为110°，∴该三角形一定是钝角三角形，故选：C．变式1-1（2020·温州市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不确定【答案】C【分析】根据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再根据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可判断出△ABC的形状．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，∴x+3x+5x=180，解得：x=20，∴∠C=5×20°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．变式1-2（2019·定西市期中）若△ABC中，A:B:C1:2:4∠∠∠=，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形【答案】B【分析】根据三角形内角和180︒，求出最大角∠C，直接判断即可.【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：4．∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°，根据三角形内角和定理得到：x+2x+4x=180,解得：x=1807．则∠C=4×1807= 7207°，则△ABC 是钝角三角形．故选B. 考查题型二三角形的稳定性典例2（2019·唐山市期中）下列图形具有稳定性的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得．【详解】A 、具有稳定性，符合题意；B 、不具有稳定性，故不符合题意；C 、不具有稳定性，故不符合题意；D 、不具有稳定性，故不符合题意，故选A ．变式2-1（2020·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B变式2-2（2020·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A ．两点之间，线段最短B ．垂线段最短C ．三角形具有稳定性D ．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】试题分析：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C考查题型三三角形的三边关系典例3（2019·宜兴市期中）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )A ．4cm 、4cm 、5cmB ．4cm 、6cm 、11cmC ．4cm 、5cm 、6cmD ．5cm 、12cm 、13cm【答案】B【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】A 、4485+=>，∴445cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误； B 、461011+=<，∴4611cm cm cm 、、不能组成三角形，故本选项正确； C 、，∴456cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；D 、5121713+=>，∴51213cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误. 故选：B .变式3-1（2019·邯郸市期中）已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，化简|a ＋b －c|－|c －a －b|的结果为( ) A ．2a ＋2b －2cB ．2a ＋2bC ．2cD ．0 【答案】D【解析】试题解析：∵a 、b 、c 为△ABC 的三条边长，∴a+b-c ＞0，c-a-b ＜0，∴原式=a+b-c+（c-a-b ）=0．故选D ．变式3-2（2019·平顶山市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（） A ．1B ．2C ．8D ．11【答案】C【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此根据选项即可判断.【详解】设第三边长为x ，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，观察只有C 选项符合，故选C.变式3-3（2020·驻马店市期末）已知x ，y 满足40x -+=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案都不对【答案】B【分析】先根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得，4-x=0，y-8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故选B.知识点二与三角形有关的线段三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

三角形的分类

三角形的分类发表时间：2017-09-15T11:01:50.563Z 来源：《中国科技教育（理论版）》2017年3月作者：李霄辉李红[导读] 先按角分，再按边分。

就新课改提倡的理念来说，这个设计更符合要求，更能凸显数学本质。

设计者：黑龙江省农垦红兴隆管理局局直第一小学教师点评：黑龙江省农垦红兴隆管理局局直第一小学教师课标要求及分析：《三角形的分类》与数学课程标准第二学段的“二、图形与几何中的（一）图形的认识中的7．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形有关，课标要求的维度目标是结果目标，行为动词是认识，学习水平为理解。

学习内容是等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

教材分析：《三角形的分类》人教版数学四年级下册第五单元的内容。

本课是在学生认识了直角、钝角、锐角和三角形的特征基础上展开学习的，教材分为两个层次：一是三角形按角分类，分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，并通过集合图形象地揭示三角形按角分得的三种三角形之间的关系，并体现分类的不重复和不遗漏原则；二是三角形按边分类，不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形里又包含等边三角形。

按边分类较难一些，教材不强调分成几类，着重引导学生认识等腰三角形、等边三角形边和角的特征。

学情分析：优势：学生在学习此内容之前，已经学习了三角形的认识，能够在物体的面中找出三角形，学习了角的知识，认识了常见的角，为学生学习三角形的特征从角和边的不同角度对三角形进行分类做好了有力的知识支撑。

劣势：空间与图形受孩子的见识和阅历的限制，抽象分类的时候会有一定的难度。

教学重、难点：课标要求“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

”教材要求“通过分类活动，从不同角度为三角形分类。

”所以确定本科的教学重点是：通过分类、操作等活动，分别从三角形的角和边两个方面特征，对三角形准确地进行分类。

教学难点是：掌握各种三角形的特征以及各类三角形之间内在联系。

三角形的分类

腰
底角底角
顶角底
腰底角
三边都相等
边边
边
等边三角形（正三角形）
找出图片中的三角形，并说说是什么三角形？
找出图片中的三角形，并说说是什么三角形？
P
锐角三角形（3）（4）（5）等腰三角形（4）
钝角三角形（2）等边三角形（5）
直角三角形
（1）
不等边三角形 (1)(2)(3)
人教版小学数学四年级下册
三角形的分类
卢氏县东城学校沈江涛
你还记得它们的名字吗？
锐角
小于90°
直角
等于90°
钝角
大于90°而小于18面的三角形分成三类，摆在方框内。
①
②
③
④
⑤
⑥
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是锐角
有一个角是直角
有一个角是钝角
连一连
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
填一填：
1.三角形按角分类，可分为锐角（）三角形、直角（）三角形钝角（）三角形。
三角形
锐角三角形直角三角形
钝角三角形
按角分红领巾和小红旗分别是什么三角形？
找出图片中的三角形，并说说是什么三角形？
找出图片中的三角形，并说说是什么三角形？
对的打“√” 错的打“×”
（1）
（2）
思考题
)个钝角三 2
1 图（1）中分别有（）锐角三角形， ( 2 角形，（）个直角三角形。 2 图（2）中分别有（）锐角三角形， ( 4 三角形，（）个直角三角形。
)个钝角 2
谢
谢
制作：沈江涛

直角三角形的分类及其性质

直角三角形的分类及其性质一、直角三角形的定义直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角，即90度的角。

直角三角形的其他两个角分别是锐角和钝角。

锐角是指小于90度的角，钝角是指大于90度小于180度的角。

二、直角三角形的性质1.直角三角形的内角和为180度，其中有一个角是90度，所以其他两个角的和必须是90度。

2.在直角三角形中，直角所对的边被称为斜边，它是最长的一条边。

3.直角三角形中，除了斜边以外的两边被称为直角边。

直角边的长度可以通过勾股定理来计算，即直角边的平方和等于斜边的平方。

4.直角三角形的面积可以通过直角边的长度来计算，面积等于直角边的长度之积除以2。

5.直角三角形的两条直角边互相垂直，即它们之间的夹角是90度。

三、直角三角形的分类1.等腰直角三角形：这是一种特殊的直角三角形，其中两条直角边的长度相等。

等腰直角三角形的斜边长度等于直角边长度的平方根的两倍。

2.含30度角的直角三角形：在这种直角三角形中，有一个角是30度。

这种三角形的其他两个角分别是60度和90度。

根据特殊角的三角函数值，可以得出这种三角形中各边的长度比例。

3.含45度角的直角三角形：在这种直角三角形中，有一个角是45度。

这种三角形的其他两个角分别是45度和90度。

由于45度角是特殊角，可以通过特殊角的三角函数值来计算各边的长度。

四、直角三角形的应用1.测量和计算：直角三角形在测量和计算中有着广泛的应用，例如测量长度、角度和距离等。

2.建筑设计：在建筑设计中，直角三角形可以用于计算建筑物的尺寸和角度。

3.工程计算：在工程领域，直角三角形可以用于计算力学、电学等方面的参数。

4.导航和航海：在导航和航海中，直角三角形可以用于计算航向和距离。

通过掌握直角三角形的分类和性质，学生可以更好地理解和应用这一重要的几何概念。

习题及方法：1.习题：一个直角三角形的两个直角边分别是6厘米和8厘米，求斜边的长度。

解题方法：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于直角边长度的平方和的平方根。

三角形的分类和命名

三角形的分类和命名在几何学中，三角形是指由三条线段组成的图形。

根据三角形的特性和各边长度、角度之间的关系，我们可以将三角形进行分类和命名。

本文将介绍三角形的不同分类及其命名方法。

1. 根据边长分类1.1 等边三角形等边三角形是指具有三条边长度相等的三角形。

根据等边三角形的特性，我们可以简单地命名为“等边三角形”。

1.2 等腰三角形等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个等边一般称为腰，而不等边称为底边。

我们可以根据等腰三角形的特性将其命名为“等腰三角形”。

1.3 普通三角形普通三角形是指没有任何边长度相等的三角形。

由于没有特殊性质，普通三角形一般不特别命名。

2. 根据角度分类2.1 直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

直角三角形的特殊性质使其在命名时通常会提及。

例如，我们可以命名直角三角形为“直角三角形ABC”。

2.2 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角度大于90度的三角形。

与直角三角形一样，钝角三角形的命名通常也会在名称中体现。

2.3 锐角三角形锐角三角形是指其中所有角度都小于90度的三角形。

与前面两种三角形不同，锐角三角形的命名一般不会在名称中特别提及。

3. 根据边长和角度综合分类3.1 直角等腰三角形直角等腰三角形是指既是直角三角形又是等腰三角形的三角形。

我们可以根据其特性将直角等腰三角形命名为“直角等腰三角形ABC”。

3.2 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指既是等腰三角形又是锐角三角形的三角形。

根据特性，我们可以将等腰锐角三角形命名为“等腰锐角三角形ABC”。

4. 其他分类和命名方法除了以上常见的三角形分类和命名方法，还有其他特殊的三角形，如等腰直角三角形、等边等腰三角形等。

这些三角形根据其特殊性质可以使用相应的名称进行命名。

总结：综上所述，根据三角形的特性和各边长度、角度之间的关系，我们可以将三角形进行分类和命名。

常见的分类包括根据边长、角度、以及边长和角度综合来命名三角形。

三角形分类

三角形分类三角形分类三角形是平面几何中最基础的图形之一，由三条线段组成，形成三个内角和三个外角。

根据三角形的不同性质和特征，可以将其分为以下几类：等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

1.等边三角形等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

由于它的三条边相等，所以它的三个内角也相等，每个角都是60度。

等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的高、中线、角平分线、垂直平分线、中心线等都重合，是一种十分对称美观的图形。

2.等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

由于它的两条边相等，所以它的两个内角也相等。

等腰三角形的高从顶点垂直于底边，垂足到底边的距离称为高。

等腰三角形的中线从顶点垂直于底边，将底边平分，中点到顶点的距离称为中线。

等腰三角形的角平分线从顶点到底边上某一点，将底边上的角平分成两个相等的角。

3.直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。

直角三角形中最长的一条边称为斜边，而另外两条边则分别称为直角边。

直角三角形的斜边上的高称为斜高，斜高是直角三角形中唯一的高。

直角三角形的两条直角边上分别有相等的中线、垂直平分线、角平分线，直角三角形的中心为斜边的中点，斜边上的高和中线相等。

4.锐角三角形锐角三角形是指三个内角均小于90度的三角形。

锐角三角形中，最长边对应的角称为锐角，其余两个角则称为锐角。

锐角三角形的高从顶点垂直于底边，垂足到底边的距离称为高。

锐角三角形的中线从顶点垂直于底边，将底边平分，中点到顶点的距离称为中线。

锐角三角形的角平分线从顶点到底边上某一点，将底边上的角平分成两个相等的角。

5.钝角三角形钝角三角形是指其中一个内角大于90度的三角形。

钝角三角形中，最长边对应的角称为钝角，其余两个角则称为钝角。

钝角三角形的高从顶点垂直于底边，垂足到底边的距离称为高。

钝角三角形的中线从顶点垂直于底边，将底边平分，中点到顶点的距离称为中线。

钝角三角形的角平分线从顶点到底边上某一点，将底边上的角平分成两个相等的角。

(家教培优专用)人教版数学八年级上册--与三角形有关的线段(基础)知识讲解

与三角形有关的线段（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类】2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ，在△ODC 中有OD+OC ＞CD ，在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ，即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．类型三、三角形中重要线段4. 小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。

人教版八年级数学上学期数学知识点归纳

人教版八年级数学上学期数学知识点归纳八年级数学上册知识点总结第十一章三角形一、知识框架：三角形的分类、三边关系、高、中线、角平分线、内角和、外角和、多边形的内角和。

二、知识清单：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。

三角形用符号“△”加顶点字母表示，如“△ABC”（读作“三角形ABC”）。

2.三角形（按边）分类：三边都不相等的三角形腰与底边不相等的等腰三角形等边三角形3.三角形三边关系（定理）：三角形任意两边的和大于第三边；（推论）三角形任意两边的差小于第三边。

4.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的连线段叫做三角形的高。

（三角形三条高或高所在直线相交于一点，交点称为三角形的垂心）5.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

（三角形的三条中线交于一点，交点叫三角形的重心）6.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的连线段叫做三角形的角平分线。

（三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心）7.三角形的稳定性：三边长度固定的三角形的形状、大小固定不变，这个性质叫三角形的稳定性。

（在所有的多边形中，只有三角形具有稳定性）8.三角形的内角：三角形中，相邻两边组成的角称为三角形的内角，也称为三角形的角。

三角形内角和（定理）：三角形的三个内角和为180°。

直角三角形的两个锐角互余。

9.三角形的外角：由三角形的一条边和相邻边的延长线组成的角称为三角形的外角。

三角形外角和（定理）：三角形三个外角的和为360°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和。

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

10.多边形：在平面内，由不在同一条直线上的n条线段首尾顺次连接组成的图形叫做n边形。

正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。

11.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

八年级数学《三角形》知识点归纳

21D CB AD CBAD CB A八年级数学《三角形》知识点⒈ 三角形的定义三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的“△”没有意义． ⒉ 三角形的分类 (1)按边分类 (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。

④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。

④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B _A③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。

人教版八年级数学上册+第11章+三角形知识点汇总

第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

八年级数学——三角形复习

第十一章三角形一.知识要点1. 三角形的分类（1）按边分类：（2）按角分类：2. 三角形的边的关系三角形任意两边的和第三边；三角形任意两边的差第三边.3. 三角形的三种重要线段三角形的高线、中线、角平分线.5. 三角形的内、外角性质内角性质：三角形三个内角的和为°.外角性质：（1）三角形的一个外角等于（2）三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角；（3）三角形的外角和等于360°.6. 三角形的稳定性：三角形的三边长度确定后，三角形的大小、形状7. 多边形及其内角和（1）n边形的内角和：°（2）多边形的外角和等于°（3）多边形的对角线：①从n边形的一个顶点作对角线有：条；②n边形共有：条对角线.（4）正多边形：多边形叫做正多边形.二、基本图形三、基本练习1. 已知三角形的三边分别为14，4x 和3x ，则x 的取值范围是______________．2. 在△ABC 中，若︒=∠-∠︒=∠-∠60,15B C A B ，则=∠C ___________．3. 直角三角形两个锐角的平分线所形成的角为 __________ 度．4. 等腰三角形一边等于5，另一边等于2，则周长是．5. 在△ABC 中，若∠C +∠A = 2∠B ， ∠C -∠A = 80︒，则∠B= ___________， ∠A 的邻补角为 _________．6. 已知：如图，在△ABC 中， ACB ABC ∠=∠，BD ⊥AC 于D ， ∠A = 80︒，则∠DBC = _______．7. 如果一个多边形的所有对角线的条数是它边数的5倍，此多边形的边数为___． 8. 一个三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，第三边的长为奇数，则第三边的长为________．9. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是_____． 10. 已知：在△ABC 中，AB =AC ，周长为16cm ，AC 边上的中线BD 把△ABC 分成周长差为2cm 的两个三角形，则边AB 、BC 的长分别为． 11. 如右图，AC ⊥BC 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，DE ⊥BC 于E 点，下列说法中不．正确的是（） A ．AC 是△ABE 的高 B ．DE 是△BCD 的高 C ．DE 是△ABE 的高 D ．AD 是△ACD 的高 12. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A ．1cm ， 2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ． 2cm ，3cm ，6cmDEDABCD D CBAAC ABCBABCD第6题图第11题图13. 如图，五边形ABCDE 中，AE //CD ，︒=∠135A ，︒=∠155C ，则=∠B （）A ． ︒60B ．︒70C ．︒80D ．︒9014. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论正确的个数是（）：（1）∠1＝∠2 ；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°． A ．1 B ．2 C ．3 D ．415. 多边形的边数由22边增加到23边，它的内角和增加多少度（） A ．90° B ．270° C ．180° D ．360° 16. 如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两个外角平分线的交点，如果2:3:=∠∠CNB CMB ，则∠CAB 的度数为（）A ．36°B ．42°C ．54°D ．60°17. 一个三角形三边之比为 3 : 4 : 5，则这个三角形三边上的高之比为（） A ．3 : 4 : 5 B ．5 : 4 : 3 C ．20 : 15 : 12 D ．10 : 8 : 218. 一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则另一个为（） A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形19. 已知△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线分别相交于G 1, G 2, G 3, … , G n -1，试猜想：∠BG n -1C 与∠A 的关系．(其中n 是不小于2 的整数) 首先得到：当n = 2时，如图3，∠BG 1C = ______________，当n = 3时，如图4，∠BG 2C = _____________，第14题图第13题图第16题图……如图5，猜想 ∠BG n -1C = ___________________ ．20.已知一个三角形的三条边的长分别为n +2，n +6，3n ． (1)n +2______n +6；(填“>”，“=”或“<”) (2)若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；(3)若这个三角形的三条边都不相等，且n 为正整数，直接写出n 的最大值．21. 如图，△ABC 中，点D 在AB 上，AD =31AB ．点E 在BC 上， BE =41BC ．点F 在AC 上，CF =51CA ．已知阴影部分（即△DEF ）的面积是25cm 2．求△ABC 的面积．(写出简要推理)ABC G 1图3ABC G 1G 2 图4 ……ABCG 1G 2G n -1…图5ABCDEF22. 阅读下面材料：2019年4月底，“百年器象--清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”(图①)，它见证了中国人民解放军海军的发展历程．六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪(图②)按照一定的观测步骤(图③显示的是其中第6步)读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标．请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论(两次反射原理)．已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行(即BC//AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC=ω，观测角为∠SDM．(请注意小贴士中的信息)求证：∠SDM=2ω．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程(后续证明无需标注理由)．证明：∵BC//AE，补全证明过程：∴∠C=∠EAC(______).∵∠EAC=ω，∴∠C=ω(______).∵∠SAN=∠CAD(______)，又∵∠BAC=∠SAN=α(小贴士已知)，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2α．∵∠FBA是△______的外角，∴∠FBA=∠BAC+∠C(______).即β=α+ω．23. 如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线．(1) ∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE的度数；(2) 若B-∠有怎样的数量关系？说明理由．C∠∠，则∠DAE与BC∠>(3) 若点A在AD上移动到点F，FE⊥BC于E，其它条件不变，那么∠EFD与∠C、∠B是否还有(2)中的结论？试说明理由．(如图2)图1 图2BA1BDC24. 已知△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1 .(1) 如图1，写出∠A1与∠A之间的数量关系.(2) ∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与∠A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、……、A n，请写出∠A n与∠A的数量关系.(3) 如图(2)，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A A1 的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并加以证明.图1 图225.已知△ABC，过点B作DE⊥BC于点B，过点C作FH//DE．(1)BC与FH的位置关系是______；(2)如图1，点M在直线DE和FH之间，连接BM，CM.若∠ABM=14∠ABD，∠ACM=14∠ACF，∠BAC=72°，求∠BMC的度数；(3)若∠ABE和∠ACH的平分线交于点N，在图2中补全图形，用等式表示∠BNC与∠BAC的数量关系，并证明．26. 在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在射线DC上，EF⊥BC于点F，EM平分∠AEF交直线AB于点M．(1)如图1，点E在线段DC上，若∠A=90°，∠M=α．①∠AEF=______；(用含α的式子表示)②求证：BD//ME；(2)如图2，点E在DC的延长线上，EM交BD的延长线于点N，用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系，并证明．图1 图227．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°．（1）如图1，点M 在线段CB 上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC . 过点B 作BD ⊥AM ，交AM 延长线于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交AB 于点E ，交AMA 于点F ．判断∠ENB 与∠NAC 有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；（2）如图2，点M 在线段CB 的延长线上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC . 过点B 作BD ⊥AM 于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交BA 延长线于点E ，交MAA 延长线于点F ．①依题意补全图形；②若∠CABA=45°，求证：∠NEA =∠NAE ．图1 图2N28. 已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM 与直线AB交于点E.过点A作AF//CE，AF与BC所在的直线交于点F．(1)如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明：∠ABD=∠CAF；(2)若∠BAC=80°，∠BMC=120°．①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．第 11页共 11页。

四年级《三角形的分类》教学设计（通用8篇）

四年级《三角形的分类》教学设计四年级《三角形的分类》教学设计（通用8篇）作为一名为他人授业解惑的教育工作者，时常需要编写教学设计，教学设计以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。

那么大家知道规范的教学设计是怎么写的吗？以下是小编收集整理的四年级《三角形的分类》教学设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

四年级《三角形的分类》教学设计篇1教学目的：1、通过动手操作，会按角的特征及边的特征给三角形进行分类。

2、培养学生动手动脑及分析推理能力。

教学重点：会按角的特征及边的特征给三角形进行分类。

教学难点：会按角的特征及边的特征给三角形进行分类，。

教学用具：量角器、直尺。

教学过程：一、引入：我们认识了三角形，三角形有什么特征？今天这节课我们就按照三角形的特征对三角形进行分类。

怎样分？二、新课：1小组活动：（1）出示小片子，观察每个三角形。

可以动手量一量，分工合作。

根据你发现的特点将三角形分类。

2按角分的情况引导学生明确：相同点是每个三角形都至少有两个锐角；不同点是还有一个角分别是锐角、钝角和直角。

我们可以根据它们的不同进行分类（1）分类。

根据上边三个三角形三个角的特点的分析，可以把三角形分成三类。

图①，三个角都是锐角，它就叫锐角三角形。

（板书）提问：图②、图③只有两个锐角，能叫锐角三角形吗？（不能）引导学生根据另一个角来区分。

图②还有一个角是直角，它就叫直角三角形，图③还有一个钝角，它就叫钝角三角形。

请同学再概括一下，根据三角形角的特征可以把三角形分成几类？分别叫做什么三角形？教师板书：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

（2）三角形的关系。

我们可以用集合图表示这种三角形之间的关系。

把所有三角形看作一个整体，用一个圆圈表示。

（画圆圈）好像是一个大家庭，因为三角形分成三类，就好象是包含三个小家庭。

8、三角形分类

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