2015年高考数学试题分类汇编5专题五-平面向量

合集下载

2015届高考数学一轮总复习阶段性测试题5(平面向量)

阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知向量a ＝(1，m )，向量b ＝(m,2)．若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－2 B. 2 C ．±2 D ．0[答案] C[解析] ∵a ∥b ，∴1×2－m 2＝0， ∴m ＝±2.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )．若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 [答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)－6(1＋x )＝0，∴x ＝2.2．(2014·威海期中)已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －b |＝( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．8 [答案] A[解析] 由条件知|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝1， ∴|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4，∴|2a －b |＝2.3．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [答案] C[解析] ∵c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，即1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.(理)(2014·营口三中期中)已知a ＋b ＋c ＝0，且a 与c 的夹角为60°，|b |＝3|a |，则cos 〈a ，b 〉等于( )A.32B.22C ．－12D ．－32[答案] D[解析] 设〈a ，b 〉＝α，∵|b |＝3|a |， ∴|b |2＝3|a |2，a ·b ＝3|a |2cos α， a ·c ＝|a |·|c |·cos60°＝12|a |·|a ＋b |.∵a ·c ＝－(a ＋b )·a ＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－3|a |2cos α， |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b＝|a |2＋3|a |2＋23|a |2cos α＝4|a |2＋23|a |2cos α， ∴－|a |2－3|a |2cos α＝12|a |·4|a |2＋23|a |2cos α，∴－3cos α－1＝124＋23cos α，∴cos α＝－32，故选D.4．(2014·泸州市一诊)△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23 C ．－23D ．－13[答案] B[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝3，点P 在AD 上且满足AD →＝3AP →，则DA →·(PB →＋PC →)＝( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12[答案] C[解析] ∵AD ＝3，AD →＝3AP →，∴|AD →|＝3，|AP →|＝1， ∴|PD →|＝2，∵D 为BC 的中点，∴DA →·(PB →＋PC →)＝DA →·2PD →＝－2·|DA →|·|PD →|＝－12.(理)(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB →＋AC →)满足( )A ．最大值为16B ．最小值为4C ．为定值8D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →|·cos α，∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD →|2＝8.6．(2014·辽宁师大附中期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴存在实数k ，使得AB →＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝kμ，∴λμ＝1，故选D.7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] 解法1：∵a －b ＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)，∴|a －b |2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，∴|a －b |＝1，又b ＝1，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－12，∴cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b |a －b |·|b |＝－121×1＝－12，∴〈a －b ，b 〉＝120°.解法2：作单位圆如图，∠AOx ＝75°，∠BOx ＝15°，则OA →＝a ，OB →＝b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∴△AOB 为正三角形，∴∠ABO ＝60°，从而OB →与BA →所成的角为120°，即b 与a －b 所成的角为120°.[点评] 数形结合解答本题显得特别简捷．8．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝( )A ．1 B.89 C.79 D.23[答案] C[解析] ∵AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，∴AR →＝23AB →，RP →＝－13CR →，∴AP →＝AR →＋RP →＝AR →－13CR →＝AR →－13(CA →＋AR →)＝23AR →＋13AC →＝49AB →＋13AC →，∴m ＋n ＝79.9．(文)(2014·营口三中期中)已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ、μ∈R )，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是( )A.33B.22C.23D.34[答案] C[解析] 设D 为△ABC 的边BC 的中点，AG →＝23AD →＝23·12(AB →＋AC →＝13AB →＋13AC →，∴λ＝μ＝13，∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴|AG →|2＝19(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥19×(2|AB →|·|AC →|－4)＝49，∴|AG →|≥23.(理)(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC →＋2PD →|的最小值为( )A ．2B ．4 C.522 D.252[答案] C[解析] ∵AB ＝2，BC ＝1，∠BAC ＝45°，∴AB ·sin ∠BAC ＝BC ，∴AC ⊥BC ，以C 为原点直线BC 与AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则C (0,0)，B (－1,0)，A (0,1)，D (2,1)，∵P 在直线AB ：y －x ＝1上，∴设P (x 0,1＋x 0)，则PC →＋2PD →＝(－x 0，－1－x 0)＋2(2－x 0，－x 0)＝(4－3x 0，－1－3x 0)， ∴|PC →＋2PD →|2＝(4－3x 0)2＋(－1－3x 0)2＝18x 20－18x 0＋17＝18(x 0－12)2＋252， ∴当x 0＝12时，|PC →＋2PD →|min ＝522，故选C.10．(文)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0[答案] A[解析] 由条件知，A 1(－1,0)，F 2(2,0)，∵P 在双曲线右支上，∴P 在上半支与下半支上结论相同，设P (x 0，3x 20－3)，x 0≥1，∴P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－3x 20－3)·(2－x 0，－3x 20－3)＝(－1－x 0)(2－x 0)＋(3x 20－3)＝4x 20－x 0－5＝4(x 0－18)2－8116，∴当x 0＝1时，(P A 1→·PF 2→)min ＝－2，故选A.(理)(2014·浙江省五校联考)已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB ＝120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(0<λ<1)，则CM →·CN →的取值范围是( )A ．[－12，1)B ．[－1,1)C ．[－34，0)D ．[－1,0)[答案] C[解析] 以直线MN 为x 轴，单位圆的圆心O 为原点建立直角坐标系，则M (－1,0)，N (1,0)，∴OM →·ON →＝－1，∵OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，(0<λ<1)， ∴BC →＝λBA →(0<λ<1)，∴C 在线段AB 上(不包括端点)，∵OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝120°，∴|OC →|∈[12，1)，∴CM →·CN →＝(CO →＋OM →)·(CO →＋ON →)＝|CO →|2＋CO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|CO →|2－1∈[－34，0)．11．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量OA →，OB →，它们的夹角是60°，OC →与OA →、OB →向量的夹角都为30°，且|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的值为( )A ．2B ．4C ．2 3D ．4 3[答案] B[解析] 以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，∵OA ＝1，OB ＝1，∠AOB ＝60°，∴OD ＝3，∵OC →与OA →、OB →的夹角都为30°，∴OD →与OC →共线，∴OC →＝2OD →＝2OA →＋2OB →，∴λ＝μ＝2，λ＋μ＝4.12．(2014·枣庄市期中)如图，OA →，OB →分别为x 轴，y 轴非负半轴上的单位向量，点C 在x 轴上且在点A 的右侧，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 上的点．若OE →与OA →＋OB →共线.DE →与OA →共线，则OD →·BC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] 由条件设OE →＝λ(OA →＋OB →)，DE →＝μOA →， ∴OE →＝(λ，λ)，DE →＝(μ，0)，∴OD →＝OE →＋ED →＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，BC →＝(x 0，－1)，x 0>1， ∵BD →与BA →共线，BD →＝OD →－OB →＝(λ－μ，λ－1)，BA →＝OA →－OB →＝(1，－1)， ∴λ－μ1＝λ－1－1，∴2λ－μ＝1，∵BE →与BC →共线，BE →＝OE →－OB →＝(λ，λ－1)， ∴x 0λ＝－1λ－1，∴x 0＝λ1－λ. ∴OD →·BC →＝(λ－μ)x 0－λ＝(λ－μ)λ1－λ－λ＝(1－λ)·λ1－λ－λ＝0.故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是________．[答案] －2[解析] ∵a 与b 的方向相反，∴存在k <0，使a ＝k b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，kx ＝1，∴x 2＝4，∵k <0，∴x ＝－2. (理)(2014·江西临川十中期中)若非零向量a ，b ，c ，满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝________. [答案] 0[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使b ＝λa ，又a ⊥c ，∴a ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝(1＋2λ)a ·c ＝0.14．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] －17[解析] ∵λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)，由条件知(λa ＋b )·(a －2b )＝3λ＋1＋4λ＝0， ∴λ＝－17.(理)(2014·浙江杜桥中学期中)已知a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] 2[解析] ∵a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λ|a |2－2|b |2＋(2λ－3)a ·b ＝3λ－6＝0， ∴λ＝2.15．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a 与b 的夹角为π6，|a |＝3，|b |＝1，则|a －b |＝________；若平行四边形ABCD 满足AB →＝a ＋b ，AD →＝a －b ，则平行四边形ABCD 的面积为________．[答案] 13[解析] 由条件知，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝3－2×3×1×cos π6＋1＝1，|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3＋2×3×1×cos π6＋1＝7，∵AB →·AD →＝(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝2，∴AB →·AD →＝|a ＋b ||a －b |cos 〈AB →，AD →〉＝7cos 〈AB →，AD →〉＝2， ∴cos 〈AB →，AD →〉＝27，sin 〈AB →，AD →〉＝37，∴S ＝|AB →||AD →|sin 〈AB →，AD →〉＝1×7×37＝ 3.(理)(2014·山西曲沃中学期中)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．[答案] [0,1][解析] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∵棱长为1， ∴四边形ABC 1D 1为矩形，AB ＝1，AD 1＝2，又DC →＝AB →，∴DC →·AP →＝AB →·AP →＝|AB →|·|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉，当P 点与D 1点重合时，|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉取最小值0，当P 点与B 点重合时，|AP →|·cos 〈AP →，AB →〉取最大值1， ∴|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉∈[0,1]，又|AB →|＝1，∴DC →·AP →∈[0,1]．16．(文)(2014·湖南省五市十校联考)点M (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3y ≤3x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点，使z ＝y －2x 的值取得最小的点为A (x 0，y 0)，则OM →·OA →(O 为坐标原点)的取值范围是________．[答案] [0,6][解析] 作出可行域Ω为如图四边形OBCD 区域，作直线l 0：y －2x ＝0，平移l 0，当平移到经过点B (3，1)时，z 取最小值，∴A 为B 点，即A (3，1)，∵M 在平面区域Ω内运动，|OA →|为定值， OM →·OA →＝|OA →|·(|OM →|·cos 〈OA →，OM →〉)，∴当M 与O (或C )重合时，|OM →|cos 〈OA →，OM →〉取到最小值(或最大值)，且M 与O 重合时，OM →·OA →＝0，M 与C 重合时，OM →·OA →＝(3，3)·(3，1)＝6，∴0≤OM →·OA →≤6.(理)(2014·襄阳四中、襄阳五中联考)设点P (x ，y )为平面上以A (4,0)，B (0,4)，C (1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O 为原点，且OP →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的取值范围为________．[答案] [14，1][解析] 直线AB ：x ＋y ＝4，直线AC ：2x ＋3y －8＝0，直线BC ：2x ＋y －4＝0， ∴点P 所在的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，2x ＋3y ≥8，2x ＋y ≥4.即△ABC 的内部和边界， ∵OP →＝λOA →＋μOB →＝(4λ，4μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4λ，y ＝4μ.∴λ＋μ＝14(x ＋y )．作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0，可知当平移到经过点C (1,2)时，x ＋y 取最小值3，与直线AB 重合时，x ＋y 取最大值4，从而3≤x ＋y ≤4，∴14≤λ＋μ≤1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a ＋b )·(a －b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值[解析] (1)由条件知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝12，|a |＝1，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4. (2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12， ∴|a －b |＝22， ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52， ∴|a ＋b |＝102，设a －b ，a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. 18．(本小题满分12分)(文)(2014·江西临川十中期中)已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(2)若t 1＝a 2，当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时，求a 的值．[解析] (1)证明：∵当t 1＝1时，AM →＝OM →－OA →＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．(2)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又∵AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2.∴OM →＝(－a 2，a 2)．又∵|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|·S △ABM ＝12， ∴12|AB →|·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.(理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM →＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)，∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714. (2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP →＝(λt ，3λ)，OA →－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)，若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM →＝0，即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在，若t ≠32，则λ＝122t －3， ∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[127，＋∞)． 19．(本小题满分12分)(文)(2014·浙江台州中学期中)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(b ＋a ，c －a )，若m ∥n ，求∠A .[解析] (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin C ，sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ∥n ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b ＋a )＝0，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝－12.∵0<C <π，∴C ＝2π3，又△ABC 为等腰三角形，∴∠A ＝π6. (理)(2014·哈六中期中)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求a ＋c b的取值范围． [解析] (1)∵m ∥n ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)由正弦定理得a ＋c b ＝sin A ＋sin C sin B ＝233(sin A ＋sin C )， ∵C ＋A ＝2π3，∴sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ， ∴a ＋c b ＝2sin(A ＋π6)， ∵A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)， ∴a ＋c b∈(1,2]． 20．(本小题满分12分)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，|m ＋n |＝2.(1)求角A 的大小； (2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A )， ∴4＋4cos(π4＋4)＝4，∴cos(π4＋A )＝0， ∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，∴A ＝π4. (2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4， ∴a 2－82a ＋32＝0，解得a ＝42，∴c ＝8，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16. 21．(本小题满分12分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－sin C 2)，且m 与n 的夹角为π3. (1)求角C 的值；(2)已知c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求a ＋b 的值． [解析] (1)∵|m |＝|n |＝1，∴m ·n ＝|m |·|n |·cos π3＝12，又m ·n ＝cos C 2cos C 2＋sin C 2(－sin C 2)＝cos C ， ∴cos C ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝9，①由S △ABC ＝12ab sin C ＝433，得ab ＝163，② 由①②得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝9＋3ab ＝25，∵a ，b ∈R ＋，∴a ＋b ＝5.(理)(2014·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2)＝3， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形．22．(本小题满分14分)(文)(2014·河南淇县一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的两点A ，B .(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．[解析] (1)由题意知抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：∵直线l 与抛物线交于不同两点，∴直线l 与x 轴不平行，故可设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x 中，消去x 得，y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．(理)(2014·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝m 2＋m ·n －2.(1)求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，角B 为锐角，且f (B )＝1，求1tan A ＋1tan C的值． [解析] (1)f (x )＝m 2＋m ·n －2＝(m ＋n )·m －2＝(sin x ＋3cos x ，－32)·(sin x ，－1)－2 ＝sin 2x ＋3sin x cos x －12＝1－cos2x 2＋32sin2x －12＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)．故f (x )max ＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z . 所以取得最大值时x 的集合为{x |x ＝k π＋π3，k ∈Z }． (2)∵f (B )＝1，∴sin(2B －π6)＝1，又∵0＜B ＜π2，∴－π6<2B －π6<56π. ∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3. ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sin C . ∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.。

2015年高考数学平面向量(理)

平面向量1.【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（）（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r (B)1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D)4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1433AB AC -+u u ur u u u r ，故选A.2.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o,则BD CD ⋅=u u u r u u u r （）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a 错误!未找到引用源。

（D ）232a 错误!未找到引用源。

【答案】D【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()22223cos 602BA BC BA a a a +⋅=+=o u u u r u u u r u u u r .故选D.3.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b r r，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ⋅≤r r r rB ．||||||||a b a b -≤-r r r rC ．22()||a b a b +=+r r r r D ．22()()a b a b a b +-=-r r r r r r【答案】B【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=≤r r r r r r r r ，所以选项A 正确；当a r 与b r方向相反时，a b a b -≤-r r r r 不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b a b +-=-r r r r r r ，所以选项D 正确．故选B ．4.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r .若点M ，N 满足3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r ，则AM NM ⋅=u u u u r u u u u r（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+u u u u r u u u ru u u r u u u u r u u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以 221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，选C.5.【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a ||b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（） A.4πB.2πC.34πD.π【答案】A6.【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r，C 2a b A =+u u u r rr ，则下列结论正确的是（）（A ）1b =r （B ）a b ⊥r r （C ）1a b ⋅=r r （D ）()4C a b +⊥B u u u r rr【答案】D【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=u u u r u u u r u u u r r r r r ，则||2b =r ，故A 错误；|2|2||2a a ==r r ，所以||1a =r，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=ou u u r u u u r r r r r r r ，所以1a b ⋅=-r r ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，且AD BC ⊥u u u r u u u r ，而22(2)4AD a a b a b =++=+u u u r r r r r r，所以()4C a b +⊥B u u u r rr ，故选D.7.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =u u u r （，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-u u u r =（，-4)，1PC -u u u r =（，t-4)，因此PB PC ⋅u u u r u u u rxy BCAP11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t +≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t=，即12t =时取等号． 8.【2015高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r ．若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，则x = ；y = ．【答案】11,26-9.【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，则OA OB •=u u u r u u u r .【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，所以OA OB •=u u u r u u u r 93||||)(222===•+=+•OA OB OA OA AB OA OA .10.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的最小值为 .【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=u u u r u u ur 12DC AB =u u u r u u u r ，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AE AB BE AB BC λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒211721172929218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为2918. BAD C E11.【2015高考浙江，理15】已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=r r r r ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r ，则0x = ，0y = ，b =r．【答案】1，2，22.12.【2015高考新课标2，理13】设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．13.【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=L ，则11k =∑(a k g a k+1)的值为【答案】93 【解析】 a k g a k+1(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=+⋅+ (1)(1)(1)coscos (sin cos )(sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=++⋅+(1)(1)(1)(1)(1)(coscos sin sin )(sin cos cos sin )cos cos 6666666666k k k k k k k k k k ππππππππππ+++++=++++22(1)3231cos sincos cos sin cos cos sin66662626266k k k k k k k ππππππππππ+++=++=++- 3231sin (1cos )sin 264343k k k ππππ+=+++-3321(21)sin cos4626k k πππ++=++ 因为21(21)sin cos 626k k πππ++，的周期皆为6，一个周期的和皆为零，因此11k =∑(a k g a k+1)3312934=⨯=. 14.【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. 【答案】3-【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-15.【2015高考湖南，理8】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.。

2015年高考数学(理)试题分类汇编：专题05 平面向量-推荐下载

1.【2015 高考新课标 1，理 7】设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC 3CD ，则（）
（A）
（C）
【答案】A
【解析】由题知
AD
AD

4
1
AB
33
AB
33
AD
【考点定位】平面向量的线性运算

AC

4a

b

C ，故选 D.
【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.
【名师指点】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向

量的差 OA OB BA ，这是一个易错点，两个向量的和 OA OB 2OD （ D 点是 AB 的中点）.另
a
，
b
D、
满足
A

a
2a
b cos
，
a,b
，
AC

2a
（A） b 1
【答案】D 【解析】如图，

b
，则下列结论正确的是（
（B）
a

b

）
（C）
a

b
由题意， BC AC AB (2a b) 2a b ，则| b | 2 ，故 A 错误；| 2a | 2 | a | 2 ，所以| a | 1，
（A） 3 a2 2
【答案】D
【解析】因为 BD CD BD BA
故选 D.
【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.
（B） 3 a2 4

2015年高考平面向量三角函数部分汇编

（A）（B）（C）（D）
12、（2015安徽卷）已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
13、（2015山海卷）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）
A． B． C． D．
15、（2015广东卷）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a= ，sinB= ，C= ，则b =。
15、（2015上海卷）在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和17、过作于，于，则．
三、解答题
1、（2015江苏卷）在中，已知
(1)求BC的长；
（2）求的值。
2、（2015陕西卷）（本小题满分12分）
的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．
求；
若，求的面积．
3、（2015安徽卷）（本小题满分12分）
在中，，点D在边上，，求的长。
4、（2015广东卷）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（，），n=（sin x，cos x），x∈（0，）。
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)若 =1， = 求和的长.
11、（2015浙江卷）（本题满分14分）
在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A= ， = .
（1）求tanC的值；
（2）若 ABC的面积为7，求b的值。
12、（2015重庆卷）（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）
2015年高考平面向量三角函数部分汇编
一、选择题
1、（2015重庆卷）若tan =2tan ，则

2015高考数学(理)真题分类汇编：专题05 平面向量(Word版含解析)

专题五平面向量1.【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD表示为AC CD + ，再用已知条件和向量减法将CD 用,AB AC表示出来.2.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A ）232a - （B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a 【答案】D 【解析】因为()B D C D B D B A B A B C ⋅=⋅=+⋅ ()22223c o s 602B A BC B A a a a +⋅=+=故选D.【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.3.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B【解析】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=≤ ，所以选项A 正确；当a 与b方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b a b +-=- ，所以选项D 正确．故选B ．【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即cos ,a b a b a b ⋅= ，22a a = ．4.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯= ，选C.【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.5.【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a ||b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（） A 、4πB 、2πC 、34πD 、π 【答案】A【考点定位】向量的夹角.【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.6.【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，则||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a = ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，而22(2)4AD a a b a b =++=+ ，所以()4C a b +⊥B，故选D.【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差OA OB BA -=，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD +=（D 点是AB 的中点）.另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.7.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP = （，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t- =（，-4)，1PC - =（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t=-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对ABAB的理解不到位，从而导致解题失败．8.【2015高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC =．若MN xAB y AC =+ ，则x = ；y = ．【答案】11,26-【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.9.【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥ ，||3OA =，则OA OB ∙= .【答案】9【解析】因为OA AB ⊥ ，||3OA =，所以OA OB ∙= 93||||)(222===∙+=+∙OA OB OA OA AB OA OA .【考点定位】平面向量的加法法则，向量垂直，向量的模与数量积.【名师点睛】平面向量是新教材新增内容，而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具.这类问题难度不大，以考查基础知识为主. 10.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅ 的最小值为 .【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ= 12DC AB=，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-== ，AE AB BE AB BCλ=+=+ ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅ 的最小值为2918. BAD C EF【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.11.【2015高考浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= ，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,x y R∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，【答案】1，2，22.【考点定位】1.平面向量的模长；2.函数的最值【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题，分析题意可得问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，这是解决此题的关键突破口，也是最小值的本质，两边平方后转化为一个关于x ，y 的二元二次函数的最值求解，此类函数最值的求解对考生来说相对陌生，此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解，关于二元二次函数求最值的问题，在14年杭州二模的试题出现过类似的问题，在复习时应予以关注.12.【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【考点定位】向量共线．【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．13.【2015江苏高考，14】设向量a k (cos,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+= ，则11k =∑(a k a k+1)的值为【答案】【解析】 a k a k+1(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=+⋅+(1)(1)(1)coscos (sin cos )(sin cos )666666k k k k k k ππππππ+++=++⋅+(1)(1)(1)(1)(1)(coscos sin sin )(sin cos cos sin )cos cos 6666666666k k k k k k k k k k ππππππππππ+++++=++++22(1)21cos sincos cos sin cos sin666666266k k k k k k k ππππππππππ+++=++=+-21sin cos )sin 6343k k k ππππ+=+++-21(21)sin cos626k k πππ++=+ 因为21(21)sin cos 626k k πππ++，的周期皆为6，一个周期的和皆为零，因此11k =∑(a k a k+1)12==【考点定位】向量数量积，三角函数性质【名师点晴】向量数量积在本题中仅是一个表示，实质是三角函数化简求和，首先根据角之间的差别与联系，对通项进行重新搭配，对不可搭配的项再一次展开，重新配角搭配，这样将通项化为一次式，利用三角函数周期性进行求和.作为压轴题，主要考查学生基础题型的识别与综合应用.14.【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. 【答案】3-【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【考点定位】向量相等【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-.向量垂直的充要条件的坐标表示：若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ⊥⇔1212+0x x y y =.15.【2015高考湖南，理8】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B. 【解析】【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.。

2011-2015全国卷平面向量汇编(文科)

第五章平面向量第一节平面向量的线性运算及其坐标表示题型65 平面向量的基本概念题型66 平面向量的线性表示题型67 向量共线的运用题型68 平面向量基本定理及应用1.（2014新课标Ⅰ文6）设F E D ,,分别为ABC △的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （） A. B. AD 21 C. D. BC 21 题型69 向量与三角形的四心2.(2015全国II 文7)已知三点()1,0A ，(B ，(C ，则ABC △外接圆的圆心到原点的距离为（）. A. 35 B. 321 C. 352 D. 34 题型70 平面向量的坐标运算3.(2015全国I 文2) 已知点(0,1),(3,2)A B ，向量()4,3AC =-- ，则向量BC = （）.A. ()7,4--B. ()7,4C. ()1,4-D. ()1,44.(2015全国II 文4)向量()1,1=-a ,()1,2=-b ，则()2+⋅=a b a （）.A. 1-B. 0C. 1D. 2题型71 向量共线(平行)的坐标表示第二节平面向量的数量积题型72 平面向量的数量积5.（2011全国文13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k =．6.（2012全国文15）已知向量,a b 夹角为45 ，且1=a ，2-=a b =b .7.（2013全国I 文13）已知两个单位向量，a b 的夹角为60 ，()1t t =+-c a b ，若0⋅=b c ，则t =.8.（2013全国II 文14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=_______.9.（2014新课标Ⅱ文4）设向量，a b 满足+=a b -=a b ⋅=a b （）A.1B.2C.3D.5 第五章试题详解1.解析设AB =a u u u r ，OP =b u u u r ，则12EB =-+b a uu r ，12FC =-+a b uu u r ，从而()111222EB FC AD ⎛⎫⎛⎫+=-++-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b uu r uu u r uuu r ，故选A. 2.解析因为圆心在直线BC 的垂直平分线1x =上，设圆心()1D b ，，由DA DB =得b =b =所以圆心到原点的距离3d ==. 故选B. 3.解析BA = ()03,12--=()3,1--，()()34,137,4BC BA AC =+=----=-- .故选A.4.解析由向量的坐标表示方法知，22==2a a ，3⋅-a b =.故有()22=2=+⋅+⋅a b a a a b 223=1⨯-.故选C.5.解析因为a 与b 为两个不共线的单位向量，所以1==a b .又k -a b 与+a b 垂直，所以()()0k +⋅-=a b a b ，即220k k +⋅-⋅-=a a b a b b ，所以10k k -+⋅-⋅=a b a b ，即1cos cos 0k k θθ-+-=．（θ为a 与b 的夹角）所以()()11cos 0k θ-+=，又a 与b 不共线，所以cos 1θ≠-，所以1k =．故答案为1．6.分析利用平面向量的数量积概念,模的概念求解.解析因为,a b 夹角为45 ，1=a ,所以cos 45⋅=⋅= a b a b b .2224410-=-+=a b b b ,所以=b 7.分析直接利用平面向量的数量积运算求解.解析：1,,60===︒a b a b .因为()1t t =+-c a b ，所以()21t t ⋅=⋅+-=b c a b b ()1111111222t t t t t ⨯⨯⨯+-⨯=+-=-.因为0⋅=b c ，所以102t -=，所以2t =. 8.分析先建立平面直角坐标系，结合向量数量积知识求解.解析：如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2D ，()1,2E ，所以()1,2AE = ，()2,2BD =- ，所以()12222AE BD ⋅=⨯-+⨯= .9.解析因为+=a b ，所以22210+⋅+=a a b b .①又-=a b ，所以2226-⋅+=a a b b .②-①②，得44⋅=a b ，即1⋅=a b ，故选A.。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题：1.（2015安徽理）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B2、（2015北京文）设a ，b是非零向量，“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<> ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b .而当//a b时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ∙=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.3．（2015福建文）设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb =+ ．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）A．32-B．53-C．53D．32【答案】A考点：平面向量数量积．4．（2015福建理）已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5.（2015广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A = （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（）A、6B、7C、8D、9【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB+取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质7.(2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ()（A）(7,4)--（B）(7,4)（C）(1,4)-（D）(1,4)9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC=-（C ）4133AD AB AC=+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算10.(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A）232a -（B）234a -（C）234a （D）232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD = .若点M，N 满足3BM MC =，2DN NC = ，则AM NM ⋅= （）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝()(A )2(B )3(C )4(D )6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.16.(2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（）(A)3π(B)2π(C)32π(D)65π【答案】C考点：向量的数量积运算及向量的夹角.二、填空题：1.（2015安徽文）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。

2015年高考数学理一轮复习精品资料专题5.4 平面向量的应用含解析

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第五章平面向量第四节平面向量的应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2013-2014学年广东省云浮市云浮中学高一5月】如图所示，向量OA a OB b OC c === ，A 、B 、C 在一条直线上，且 3 AC BC =，则（）.A 、1322c a b =-+ B 、31 22c a b =-C 、 2 b a c +-=D 、 2 b a c +=2. 【2013-2014学年广东省云浮市云浮中学高一5月】如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =，BA c =，则向量CD =（）．A ．12a c --B ．12a c -+ C ．12a c - D ．12a c +【答案】B【解析】1111()()2222CD CA CB BA BC BC BA BC a b =+=--=-=-+． 3.【2014届四川绵阳高中高三第二次诊断性考试】已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若345OA OB OC ++=0，则△AOC 的面积为( )A ．25 B ．12 C ．310 D ．654.【2014年高考数学人教版评估检测】如图所示,非零向量=a,=b,且BC ⊥OA,C 为垂足,若=λa(λ≠0),则λ=( )5. 【2013-2014学年辽宁省抚顺市六校联合体高一下学期期末】已知)0,3(-A ，)2,0(B ，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且45=∠AOC ，设(1),()OC OA OB R λλλ=+-∈，则λ的值为（）A.51 B.31C.52D.32【答案】C.6. 【2014届浙江省绍兴市第一中学高三上学期期中考试】已知1e 和2e 是平面上的两个单位向量，且121e e +≤，12,OP me OQ ne ==，若O 为坐标原点，,m n 均为正常数，则()2OP OQ +的最大值为( )A ．22m n mn +-B ．22m n mn ++C ．2()m n + D ．2()m n -7.【2014年高考数学（理）二轮复习】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP ＝λAD ＋μAB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ( )．A ．(1,2)B ． (0,3)C ．[1,2]D ．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，8.【2014届四川绵阳高中高三第二次诊断性考试】已知O是锐角△ABC的外心，若OC=xOA yOB+(x，y ∈R)，则（）A．x+y≤-2 B．-2≤x+y<-1 C．x+y<-1 D．-1<x+y<09.【2014届山西省太原市太原五中高三12月月考】△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且OA AB AC++=，则向量CA在CB方向上的投影为( )A．3 C．．-310.【2014届浙江省建人高复高三上学期第二次月考】在ABC ∆中，2,2AB BC A π==∠=，如果不等式BA tBC AC -≥恒成立，则实数t 的取值范围是（） A.[)1,+∞ B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D.(][),01,-∞+∞11.【2014届天津市蓟县高三上学期期中考试】如图A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，(0)AOP θθπ∠=<<,OQ OA OP =+,四边形OAQP 的面积为S ,当OA OP S ⋅+取得最大值时θ的值和最大值分别为( )A.6π3π，1 C.4π2π12.【改编自2013年辽宁五校联考】设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D ∈＋，且()()f x k f x >＋恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a ＝－－，若()f x 为R 上的“2 013型增函数”，则实数a 的取值范围是（） A. 671,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. (),300-∞ C. (300,)+∞ D. 671,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2015年高考数学(新课标Ⅱ版)分项汇编专题05平面向量(含解析)理

专题05 平面向量
一．基础题组
1. 【2012全国，理6】△ABC中，AB边的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
2. 【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
【考点定位】向量共线．
二．能力题组
1. 【2014新课标，理3】设向量a, b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】A
2. 【2010全国2，理8】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于( )
A. a＋b
B. a＋b
C. a＋b
D. a＋b
【答案】：B
3. 【2005全国3，理14】已知向量，且A、B、C三点共线，则k= .
【答案】
【解析】由平面向量共线定理的推论可知：，可得：4=kt-k(1-t)，
5=12t+10(1-t)，解得：，.
三．拔高题组
1. 【2005全国2，理8】已知点，，．设的一平分线与相交于，那么有，其中等于（）
(A) 2 (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
2. 【2013课标全国Ⅱ，理13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________. 【答案】：2。

2015年高考数学真题分类汇编：专题(05)平面向量(文科)及答案

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7.【2015高考陕西，文8】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）
A． B． C． D．
8.【2015高考湖北，文11】.已知向量，，则 _________．
9.【2015高考安徽，文15】是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）
① 为单位向量；② 为单位向量；③ ；④ ；⑤ 。
10.【2015高考山东，文13】过点作圆的两条切线，切点分别为，则 =.
11.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知 , 点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为．
12.【2015高考浙江，文13】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．
第பைடு நூலகம்章平面向量
1.【2015高考新课标1，文2】已知点，向量，则向量 ( )
（A）（B）（C）（D）
2.【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）
A． B． C． D．
3.【2015高考重庆，文7】已知非零向量满足则的夹角为（）
(A) (B) (C) (D)
4.【2015高考新课标1，文8】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.【2015高考福建，文7】设，，．若，则实数的值等于（）
A． B． C． D．
6.【2015高考北京，文6】设，是非零向量，“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

2015年高考数学(理)核按钮：第五章《平面向量》(含解析)

第五章平面向量§5.1 平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．4．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义；理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．此部分难度不大，但高考中与之结合的考题难度往往不低，对建立在概念基础上的综合运用及创新意识的考查正成为热点．1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的_________．－a|a |是一个与a ________的单位向量． (4)平行向量：方向________或________的_______向量叫做平行向量．平行向量又叫_______，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度__________且方向_________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和减法 (1)向量的加法三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1)．推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋n n A A 1 ＝____________.图1图2平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2)．在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)； (a ＋b )＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a . (2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；相反 0A ．相等．BE →C ．AD →EF →＝BA →＋AF →－BC →＝OA →＋14AB →＋14OB →.向量的基本概念下列五个命题：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量与b 的方向必不相同；③|a |＞；是共线向量，则50°的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量．①两个向量相等，②若||a ＝③若AB →p . ①PQ →＝③PS →＝．③④ C ．①③PQ →，知PQ →＝32a ＋②错误；PS →＝PT →PT →＋2b ＝32a ＋12b .向量的加法、减法及数乘统称为向量的有了向量的线性运算，平面中的点、就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题或用几何法解决向量问题)奠定了基础．对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从两方面来把握．2013·北京模拟)如图，在DC .若AB →AC ＝b ，则AD →＝( A.23a ＋BC →，又∵AD →＝AB →b .故选C .向量共线的充要条件及其应用是平面内三个不相同的点，是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得AN →＝13AC →AP →＝mAB →＋m 的值为( )|零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量OG → C.FO → ＝FO →，故选C .ABC 所在平面内一点，OB →＋OC →＝0，那么 B.AO →＝2OD →D.AO →＝2DO →BC 边中点可得：OB →A 正确，故选A .AB 是圆O 的直径，点圆弧的两个三等分点，AB →＝a, AC →＝b ，，显然∠BOD ＝∠CAO ，即四边形CAOD 故选D .湖北八校联考)设D ，E ，F 分别是上的点，且DC →＝2BD →，CE →CF 与BC →( )B ．平行且方向相同D ．既不平行也不垂直＋ED →＝13AC →＋23AB →，CD →＋DF →＝23CB →＋13CA →，C 三点共线，可令的中点，所以AM →＝λAB →＋μAC →，所以ABC 中，斜边BC P 满足OP →＝OA →＋12边中点D ，连接＋12(AB →＋AC →)⇒AD →＋DC →＝－a ＋b ＋AN →＝－14a ＋(－AB 和AB 外一点O AB 的中点，则OM →∈R )，则OP →＝(1－证明：(1)如图甲，由三角形法则可得，图甲AM →＋BM →＝2 OM →. 的中点，＝－AM →， .＝2OM →，故OM →＝12(OA →图乙AP →＝tAB →， AP →，D 三点共线，B ，F ，BF →＝μBE →，⎭⎫＋13BC →＝λAB →＋λ3BC →，又＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－μ2AB →＋μ2BC －μ2，，解之得μ＝12.，即F 为线段BE 的中点．项错误；对于选项D ，若§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．向量引入坐标表示后，向量的工具性作用得到了质的提升，向量运算代数化，因而在与几何相关的考题中，向量常常作为条件的载体出现；而对于平面向量的基本定理及坐标运算的考查，在近年高考中也常出现，如利用相关性质和定理求与向量坐标有关的未知量等．1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使___________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝， j ＝，0＝ .4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝_____. (2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝_________. (3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________．※5.线段的分点坐标设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标(x ，y )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ.特别地：①当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中点，其坐标为P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. ②G (x ，y )为△ABC 的重心，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则AB 中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.再由CG →＝2GD →，我们便得到了三角形的重心坐标G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．【自查自纠】1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3．(1)互相垂直(2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0) 4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0A.，，2)，共线，则实数A．－23.故填3.，4)．若A.14解：因为，CD 的中点，，则AH →＝AF →＝－b ＋λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ， ⎭⎫b ＋12a . 因此由平面向量的基本定理有⎩⎨⎧λ＝45，μ＝25.a ＋45b .故选B .分别为水平方向和竖直方向上的正a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－，根据平面向量解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12.所以类型三求向量的坐标设向量a ＝(1，－3)，b ＝－1，－，若表示向量4a ，4b －2的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量A ．(2， B ．(－C ．(2，－6)A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋中，AC 为一条对角线，AB →＝，则BD →＝( )A ．(2，．(3，5) C ．(－3．(－2，－4)故选C .意的a＝(m，n)，b＝(p轴上？P在y轴上？P在＝t(4，4)＝(4t，＝(4t－4，4t)，，0)＝(－2，6)．共线，×(－2)＝0，得t＝＝(3，3)，即P点坐标为2012·安徽)在平面直角坐标系中，点，将向量OP→绕点O，则点Q的坐标是(2) B．(－722) D．(－46，OP→绕点O按逆时针方向旋转§5.3 平面向量的数量积1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．从近几年高考试题来看，有关平面向量数量积的问题一直是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题等．常与函数、三角、解析几何等综合在一起命题．1．数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，我们把数量_________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作，其中θ是a 与b 的夹角，||b cos θ叫向量b 在a 方向上的，即a ·b|a |.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于___________． 2．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：___________________； ②数乘结合律：____________________； ③分配律：_____________________________． (2)常用结论①(a ±b )2＝________________________； ②(a ＋b )·(a －b )＝_________________； ③ a 2＋b 2＝0⇔______________________； ④|||a －||b |________||a ＋||b . 3．数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则① e ·a ＝____________. ② a ⊥b ⇔____________.③当a 与b 同向时，a ·b ＝____________；当a 与b 反向时，a ·b ＝____________.特别地，a ·a ＝___________或||a ＝____________. ④ cos θ＝____________.⑤||a ·b ≤____________. 4．数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ·b ＝_____________；a 2＝_____________； ||a ＝________________.② a ⊥b ⇔____________________.③||x 1x 2＋y 1y 2≤________________________.【自查自纠】 1.||a ||b cos θ a ·b 投影 a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||b cos θ的乘积2．(1)①a ·b ＝b ·a ②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c(2)①a 2±2a ·b ＋b 2 ②a 2－b 2 ③a ＝0且b ＝0 ④≤3．①|a |cos θ ②a ·b ＝0 ③|a ||b | －|a ||b ||a |2 a ·a ④a ·b|a ||b |⑤|a ||b |4．①x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21x21＋y 21②x 1x 2＋y 1y 2＝0 ③x 21＋y 21x 22＋y 22(2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1解：a ·b ＝1×2＋(－1)×x ＝2－x ＝1，∴x ＝1.故选D .(2012·黄冈高三期末)若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解：AB →·BC →＋AB →2＝0⇒AB →·(BC →＋AB →)＝0⇒AB →·AC→与法正确的是①a·b＝②a⊥bx1x2＋y1y2(其中，y2))．其几何的方向上的投影的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，用向量证明：对任意实数x1，x21＋y21·x22＋y 证明：设向量，y2)，a，b 夹角为θ，则|b，x x＋y21·x22＋y22.(1，2)，C(－2方向上的投影为(1523152，∴由向量数1－2e2，________．解：因为c b＋2b)·(a解：(a＋|cosθ－6|.用数量积表示两个平面向量的垂直关系，1)，则A．x＝－＋1，1)，解：a＋＝－12⇒则a与b的夹角为________解：设|2＋a·b且以向量α，BD →，CA →由题知，D 为BC 的中点，为原点，以BC 所在的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，(0，0)，B ⎝⎛－12，0BE →＝⎝⎛⎭⎫56，36，所以·BE →＝⎝⎛AB →＋12BC →已知正方形ABCD 边上的动点．则DE →·CB →的值为____________．△ABC 中，M 是·AC →＝____________＝(AM →＋MB →)·(AM →MB ·MC →＝AM →2＋MB ＋AC →＝2AM →，AB →式分别平方、相减得4AB →·AC →＝4AM →2－＝－16.故填－16.几何图形中向量的数量积问题是近几年作为一类既能考查向量的线性运算、 AB ＝3，BD 解：如图所示，如图，在矩形ABCD 的中点，点F 在边的值是____________为坐标原点，AB →，轴正方向建立直角坐标系，则B 2)．∴AB →＝(2，0)，则由AB →·AF →＝2，得2x ＝2，2)，－2)＋2＝ 2.＝AB →·(AD →＋DF →)BE →)·(BC →＋CF →) CF ＋BE →·BC →＋BE →1)＋1×2＋0＝如图，在平行四边形BD ＝O ，则AC →＝2(AB →＋＝a 2将模的运算转化为向量的数量积．．－1C ．1D ，连接OD ，AD OD ，而AD →＝12(AB →＋＝AD →·BC →＝12(AB →＋－32)＝8，故选是坐标原点，点A (－1≥2，上的一个动点，则 B ．[0D ．[画出不等式组表示的平面区域＋y ，取目标函数的一组平行线，当它经过点有最小值，即z min ＝－1＋1＝有最大值，即z max ＝－0的取值范围是[0，2]，即OA →·____________；－k sinβ)，AD的长分别为2，1，若．§5.4 平面向量的综合应用1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．纵观近年高考真题及模拟题，平面向量一直都是创新改革题型的“试验区”，这些题目往往都具有较好的区分与选拔功能，是考查学生数学素养和能力的极好素材，是近年高考的热点之一．1．用向量法解决几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行关系、垂直关系，及距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量的符号形式及图形形式的重要结论(1)向量的和与差的模：||a ＋b ＝___________，||a －b ＝________________________.(2)①G 为△ABC 重心的一个充要条件： __________________________；②O 为△ABC 外心的一个充要条件： __________________________；③P 为△ABC 垂心的一个充要条件： __________________________.(3)不同的三点A ，B ，C 共线⇔存在α，β∈R ，使得OA →＝αOB →＋βOC →，O 为平面任意一点，且____________．3．向量坐标形式的几个重要结论设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，θ为a 与b 的夹角．(1)长度或模||a ＝____________；||AB →＝__________________. (2)夹角cos θ＝____________＝__________________. (3)位置关系a ∥b ⇔___________(b ≠0且λ∈R ) ⇔__________. a ⊥b ⇔____________⇔____________.【自查自纠】 2．(1)a 2＋2a ·b ＋b 2a 2－2a ·b ＋b 2(2)①GA →＋GB →＋GC →＝0 ②||OA →＝||OB →＝||OC→ ③P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A → (3)α＋β＝13．(1)x 21＋y 21（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2 (2)a ·b||a ||b x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(3)a ＝λb x 1y2－x 2y 1＝0 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0一艘船从点A 出发以4 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船在水流的作用下实际行驶的速度为8 km/h ，则江水的流速的大小为( )A ．2 km/hB．4 km/h C ．3 2 km/hD. 2 km/h解：由向量加法的平行四边形法则及勾股定理知B 正确，故选B .已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则||a －b 的最大值为( )A ．1B. 2C. 3D ．2解：∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)，∴||a －b ＝02＋（sinθ－cos θ）2＝1－sin2θ.∴|a －b |的最大值为 2.故选B .(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10解：∵AC →·BD →＝0，∴对角线AC ，BD 互相垂直，∴S ＝12|AC |·|BD |＝12×5×25＝5(此题亦可用坐标法的作用而处于平衡状态，已知BC →，DB →＝DA →＋AB →θ，则θ＝60°，cos60°BC →)＝AB →2－AB →·BC 故填－32.向量与函数、三角函数已知非零向量a ，b 满足f (x )＝13＋2a ·b x ＋1在x ∈，b 的夹角，则θ的取值范围是( 的奇函数的偶函数的奇函数的偶函数由题图可得A ⎝⎛⎭⎫π2ω，3，B ⎝⎛3π23＝0，又ω>0，∴ωx ，3sin ⎝⎛⎭⎫π2（x ＋1）＝3cos 期为4的偶函数．故选B .＝(sin θ，1)，b ＝(1，，求θ；的最大值．)·(a－x b) A．a⊥C．|a|＝B．4D．－60)，B(3，1)，故(OA→(4cosα，sinα)，b＝(sin2c垂直，求tan(α＋的最大值；＝16，求证：a∥b与b－2c垂直，所以(4cosα，sinα)·(sinβ－8cosαcosβ＋4sinαcos8cos(α＋β)＝0.，因此tan(α＋β)＝心和左焦点，点最大值为(3＝1，解得y2＝3⎝⎛1－与抛物线在第一象限的交点为线的交点为AF→＝FB→，向量在物理中的简单应用如图所示，一条河的两岸平行，河的宽＝500 m一艘船从A点出发航行到河对岸，行速度的大小为10 km/h，水流速度的大小为4 km/h，设的夹角为θ(0°多大时，船能垂直到达对岸？当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最船垂直到达对岸，即v＝，即||v1||v2cosθ＋，解得cosθ＝－设船航行到对岸所需的时间为＝120sinθ.时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最少．图)，将实际问题抽象成纯数学A，B处，在同样的细绳，OC三条绳受的力分别为＝a＋b，||c＝||c′C′中，C→′＝OA→′，||OA→′>||OC→′.即||a>||b，||a>||c，细绳OA受力最大，即对绳的耐力性要求最高．故填OA.充分认识平面向量具有几何形式和代数形式，重视向量的工具作用．利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题．向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量①向量的坐标表示及加、减法，②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题．如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形的夹角，又|b |≠0，∴cos θ＝(x －1)2＋(y －1)2＝1.∵︱广东模拟)设F 为抛物线为该抛物线上三点，若F A →＋FB →的值为____________x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、(x 1－1，y 1)，FB →＝(A →＋FB →＋FC →＝0得x 3＝3.则|F A →|＋|FB →|＋＋AD →)·(－12AB →＋AD →|AB →＝0，解得||AB→1为原点建立坐标系，如图．BAD ＝60°， C ⎝⎛⎭⎫12＋a ，32，E ⎝⎛⎭⎫＋a ，32·⎝⎛12－a 2，321.＝1，解得a ＝12.故填(1，－1)，b ＝(3，－最小时，x ⊥b .＝2sin2x －2cos2F的直线34⎡⎤一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3，4)，c ＝(3，2)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(－15，12)B ．0C ．－3D ．－11解：由已知，得a ＋2b ＝(－5，6)，∴(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3.故选C .2．(2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：设a 与b 的夹角为θ，则|a ·b |＝||a |·|b |cos θ|＝|a |·|b ||cos θ|＝|a |·|b |，则向量a ，b 夹角为0或π或者两个向量a ，b ，至少有一个为0，故a ∥b ，充分性成立；反之，若a ∥b ，则|a ·b |＝|a |·|b |，必要性成立．故选C .3．已知A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上的三点，OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OC →＝( )A ．0B ．1C ．－1D.12解：AB →＝OB →－OA →，则AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OB →＋OA →)＝OB →2－OA →2＝0.故选A .4．(2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则||a ＋b ＝( )A. 5B.10C ．2 5D ．10解：∵a ⊥c ，b ∥c ，∴2x －4＝0，2y ＋4＝0，则x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)．∴||a ＋b ＝32＋（－1）2＝10.故选B .5．(2012·浙江改编)设a ，b 是两个非零向量，下列说法正确的是( )A ．若||a ＋b ＝||a －||b ，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则||a ＋b ＝||a －||bC ．若||a ＋b ＝||a －||b ，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则||a ＋b ＝||a －||b解：对||a ＋b ＝||a －||b 两边平方得a ·b ＝－||a ||b ，故选项A 、B 错，C 正确；至于选项D ，当a ，b 为方向相同的向量时，显然||a ＋b ＝||a －||b 不成立．故选C .6．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(0，a )，a 是正的常数，点P 在线段AB 上，则OA →·OP →的最大值是( )A ．aB ．2aC ．a 2D ．3a解：OA →·OP →＝|OA →||OP →|cos ∠POA ＝a |OP →|cos ∠POA . 据图可知，当P 与A 重合时，取得最大值，即OA →·OP →≤a 2(亦可设出P 点坐标求解)．故选C.7．已知向量a ，b 是平面α内的一组基底，向量c ＝a ＋2b ，对于平面α内异于a ，b 的不共线的向量m ，n 有下列命题：①当m ，n 分别与a ，b 对应共线时，满足c ＝m ＋2n 的向量m ，n 有无数组；②当m ，n 与a ，b 均不共线时，满足c ＝m ＋2n 的向量m ，n 有无数组；③当m 与a 共线，但向量n 与b 不共线时，满足c ＝m ＋2n 的向量m ，n 有无数组．其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：如图，将c 沿OA →和OB →方向分解时，只有一种分解方式，故①错误；当m ，n 与a ，b 均不共线时，m ，n 的变化会引起分解的变化，故②正确；同理，③正确．故选C.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，；当它们两两所成角是120°时，B ．1C ．－33DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，13AB →2＝1，故选B .＝(－1，3)，OA →＝a －b ，O 为直角顶点的等腰直角三角形，则( )立．令f (x )＝x 2－(2＋a已知向量AB →与AP →＝λAB →＋____________．AB ，AP →⊥BC →＋AC →2－AC →·AB ＝－12λ＋7＝本大题共6小题，写出文字说明、证明过程或演算步骤．长春检测)已知向量BC ＝2a ＋8b, 三点共线；＋b 与2a ＋＝BC →＋CD →即⎨⎪⎧cos α＝－cos β，的轨迹方程；和OM →夹角最大时y 0)，M (x ，y )，则OQ ＝(x 0，0)，OM ＝OP →＋OQ →＝(2x 0，0＝12x ，0＝y ，∵x 20＋y 20OM →的夹角为α，OM →OM →|＝2x 20＋y 24x 20＋y 20＝（t ＋2）2＝1t ＋。

高考数学平面向量.docx

第五章平面向量试题部分1.【2015高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( )（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)2.【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ，()D 2,1A =u u u r ，则D C A ⋅A =u u u r u u u r （）A ．2B ．3C ．4D ．53.【2015高考重庆，文7】已知非零向量,a b r r 满足||=4||(+)b a a a b ⊥r r r r r ，且2则a br r 与的夹角为（） (A) 3π (B) 2π (C)32π (D) 65π 4.【2015高考福建，文7】设(1,2)a =r ，(1,1)b =r ，c a kb =+r r r ．若b c ⊥r r ，则实数k 的值等于（）A ．32-B ．53-C ．53D ．325.【2015高考北京，文6】设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a b r r ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.【2015高考陕西，文8】对任意向量,a b r r ，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b •≤r r r rB ．||||||||a b a b -≤-r r r rC ．22()||a b a b +=+r r r rD ．22()()a b a b a b +-=-r r r r r r7.【2015高考湖北，文11】.已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r_________． 8.【2015高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a ρρ、满足a AB ρ2=→，b a AC ρρ+=→2，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）①a ρ为单位向量；②b ρ为单位向量；③b a ρρ⊥；④→BC b //ρ；⑤→⊥+BC b a )4(ρρ。

专题05平面向量(第01期)-决胜高考全国名校试题文数分项汇编(北京特刊)(解析版).doc

第五章平面向量一.基础题组1.(2015年北京市昌平区高三二模文4)已知AABC是等腰直角三角形,D是斜边BC的中点，处二2,则(忑+屁)・巫等于()A. 2B. 2^2C. 4D. V6【答案】C【解析】试题分析：AD = V2,(AB + XC)34P = 2ADTAD = 2 x (V2)2 = 4 ,选C.考点：向量运算.2.(北京市西城区2015届高三二模文2)己知平面向量方，2，方二(一1,1)，方= (2,3)，c = (一2,k),若(a + F)//c,则实数k=()A. 4B. -4C. 8D. -8【答案】C.【解析】试题分析:V^ + 6 = (L4), (：+方)//：,・ \* = 4x(-2) =-8, 故选C.考点：平面向量共线的坐标表示.3.(北京市西城区2015届高三一模考试文9)已知平面向量％满足a = (l,-l),(a + b)丄(a — b)，那么|纠二__ ・【答案】V2【解析】试题分析：(a + b)丄(°一〃)=> (a + b) - (a - b) = 0 => a: = h~ =>|〃冃a |= >/2.考点：向量运算4.(北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习(一)文12)在平面直角坐标系兀O)；中，点A( —1,0), 3(0,希),C(cosx ,sinx),贝J AB 二 _______________ ；若AB // OC ,则tanx =【答案】（M ）； V3.【解析】试题分析：・・・A （ — 1,O ）, 3（0,舲），・••而二（0 + 1,馆一0）= （1,希），-AB//OC^ 考点：向量共线的充要条件.5. （北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文10）已知平面向量a, 〃满足a = b =1 , a 与方的夹角为60°,则a ・（a + 〃）= ______________3【答案】- 2【解析】3试题分析：由题可知，a.（a + b ）=jd|‘+ab = 1+1 a|| cos& =l+cos60° =牙; 考点：向量的数量积二. 能力题组1. （北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文4）如图，在6X6的方格纸中, 若起点和终点均在格点的向量d,h,c 满足c = xd + yb\x,ye R),则％+y=()1 2A. 0B. 1C. 5y/5D.—【答案】D【解析】试题分析:设方格边长为单位长1 •在直角坐标系内,a = （l,2）,b = （2,—l ）,c = （3,4）,由 cosx1 =^> tan x = V3sinxc = xa + yb,(x, y w R)得,(3,4) = x(l, 2) + y⑵一1),(3,4)=(兀 + 2y9 2x一y),考点：1•平面向量的坐标运算；2•平面向量基本定理.2. （北京市延庆县2015届高三3月模拟文5）在边长为2的正方形ABCD 中，E,F 分别为 BC 和DC 的中点，则方E •农二（5 3 A. — B. — C. 4 D. 2 22【答案】C【解析】试题分析:将所求利用正方形的边对应的向重表示，然后利用正方形的性质解答・边长为2的正方形ABCD 中，E, F 分别为BC 和DC 的中点，所以AE 、4F =（AD + DF ）（AB+BE ） =40 •血+»「43 + 加亦 + 莎施=0+2 + 2 + 0 = 4；故选:C考点：平面向量数量积运算3. （北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）文9）已知单位向量4与向量7T* = （1-1）的夹角为上，贝ia-b= _____________ 4【答案】1【解析】ya +乙-2a-b = Vl + 2-2 = 1考点：向量的数量枳、向量的模x + 2y = 3 所以2-二4 11 x =— 5 所以, “尸丁，选D由己知故 «.^lx^xcos- = l4. （北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文12）若非零向量4, 〃满足 a + b = a-b =2 a ,则向量〃与a + b 的夹角为 __________________ .【答案】- 6【解析】试题分析:根据题意！设\a-^b\ = \a-b\ =2\a\ = m ?解得0：：=牛 F = g 沪，则b 与a + b 4 4c 3 2o+-w^ R— ----- =匚，所以方与a + b 的夹角为：.V3 2 2 6——m 考点：1・向量数量积；2.向量夹角.三. 拔高题组1.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）文14）已知梯形ABCD 中，卫” =°£ = £艮=丢48 , p 是BC 边上一点,且丽=xAB + yAD.当P 是BC 中点时, x+y= ___ ；当P 在BC 边上运动时，x+y 的最大值是 ___________ •5 3【答案】—,— 4 2【解析】试题分析：当 P 是 BC 的中点时，22 2 4设 = A? = AB + BP = + = AB + r （BA+AD+DC ）x+y=1+£,1+ia 2 2 2考点：平面向量基本定理的夹角余弦值为:那+& 3—my^m 4。

2015届高考数学(文科)一轮总复习平面向量

2015 届高考数学（文科）一轮总复习平面向量第五篇平面向量第 1 讲平面向量的观点及其线性运算基础稳固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1．若 o，E， F 是不共线的随意三点，则 EF→可用 oF→与 oE→表示为 ________．分析由图可知 EF→＝ oF→－ oE→ .答案EF→＝ oF→－ oE→2．(2014 ?汕头二模 ) 如图，在正六边形 ABcDEF中， BA →＋ cD→＋ EF→等于 ________．分析由于 ABcDEF是正六边形，故BA→＋ cD→＋ EF→＝DE→＋ cD→＋ EF→＝ cE→＋ EF→＝ cF→ .答案 cF→3．关于非零向量 a，b，“ a＋b＝ 0”是“ a∥ b”的 ________ 条件．分析若 a＋ b＝ 0，则 a＝－ b，因此 a∥ b. 若 a∥b，则a＝λ b，a＋ b＝ 0 不必定建立，故前者是后者的充足不用要条件．答案充足不用要4．(2013 ?大连联考 ) 已知 oA→＝ a，oB→＝ b，oc→＝ c，oD→＝ d，且四边形 ABcD为平行四边形，则 a、 b、 c、 d 四个向量知足的关系为 ________．分析依题意得， AB→＝ Dc→，故 AB→＋ cD→＝ 0，即oB→－ oA→＋ oD→－ oc→＝ 0，即有 oA→－ oB→＋ oc→－ oD→＝ 0，则 a－b＋ c－ d＝ 0.答案a－ b＋ c－ d＝ 05．(2014 ?宿迁质检 ) 若点是△ ABc 所在平面内的一点，且知足 5A→＝ AB→＋ 3Ac→，则△ AB 与△ ABc 的面积比为________．分析设 AB的中点为D，由 5A→＝ AB→＋ 3Ac→，得 3A →－ 3Ac→＝ 2AD→－ 2A→，即 3c→＝ 2D→ . 如下图，故 c，，D 三点共线，且D→＝35cD→，也就是△AB 与△ ABc 关于边AB的两高之比为3∶ 5，则△AB与△ABc 的面积比为35.答案356．(2014 ?湖州月考 ) 给出以下命题：①向量 AB→的长度与向量 BA→的长度相等；②向量a 与b 平行，则 a 与 b 的方向同样或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必同样；2 / 7④两个有公共终点的向量，必定是共线向量；⑤向量 AB→与向量 cD→是共线向量，则点 A，B， c， D 必在同一条直线上．此中不正确命题的序号是________．分析①中，∵向量AB→与 BA→为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若 a 或 b 为零向量，则知足 a 与 b 平行，但 a 与 b 的方向不必定同样或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点同样，则其终点也必然同样，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有同样的终点，则不必定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向同样或相反的向量，∴若 AB→与cD→是共线向量，则 A，B，c， D 四点不必定在一条直线上，∴该命题错误．答案②④⑤7 ．在 ?ABcD中， AB→＝ a， AD→＝ b， AN→＝ 3Nc→，为 Bc 的中点，则 N→＝ ________.( 用 a， b 表示 )分析由 AN→＝ 3Nc→，得 4AN→＝ 3Ac→＝ 3(a ＋b) ，A →＝ a＋12b，因此 N→＝ AN→－ A→＝ 34(a ＋b) － a＋12b＝－14a＋ 14b.答案－ 14a＋ 14b8．(2014 ?泰安模拟 ) 设 a， b 是两个不共线向量， AB→＝2a＋ pb， Bc→＝ a＋ b， cD→＝ a－ 2b，若 A， B， D 三点共线，则实数 p 的值为 ________．分析∵ BD→＝ Bc→＋ cD→＝ 2a－ b，又 A， B， D 三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λ BD→ . 即 2＝2λ， p＝－λ，∴p＝－ 1.答案－1二、解答题9 ．若 a，b 是两个不共线的非零向量， a 与 b 起点同样，则当 t 为什么值时， a， tb ， 13(a ＋b) 三向量的终点在同一条直线上？解设 oA→＝ a，oB→＝ tb ， oc→＝ 13(a ＋ b) ，∴Ac→＝ oc→－ oA→＝－ 23a＋13b，AB→＝ oB→－ oA→＝tb － a.要使 A，B， c 三点共线，只要Ac→＝λ AB→ .即－ 23a＋ 13b＝λ (tb － a) ＝λ tb －λ a.又∵ a 与 b 为不共线的非零向量，∴有－ 23＝－λ， 13＝λ t ? λ＝ 23， t ＝ 12.∴当 t ＝12 时，三向量终点在同向来线上．10．如图，在平行四边形 oADB中，设 oA→＝ a，oB→＝b， B→＝ 13Bc→， cN→＝ 13cD→ . 试用 a，b 表示 o→， oN→及 N→.解由题意知，在平行四边形oADB中， B→＝ 13Bc→＝16BA→＝ 16(oA →－ oB→ ) ＝ 16(a － b) ＝16a－16b，则 o→＝ oB→＋ B→＝ b＋ 16a－ 16b＝16a＋ 56b.oN →＝ 23oD→＝ 23(oA →＋ oB→ ) ＝ 23(a ＋ b) ＝ 23a ＋23b，N→＝oN→－o→＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.能力提高题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1．如下图，在△ ABc 中，已知点 D 在 AB边上，且 AD→＝ 2DB→， cD→＝ 13cA→＋λ cB，则λ＝ ________.分析由于 cD→＝ cA→＋ AD→＝cA→＋ 23AB→＝ cA→＋ 23(cB →－ cA→ )＝13cA→＋ 23cB→，因此λ＝ 23.答案232 ．在△ ABc 中，点 o 在线段 Bc 的延伸线上，且与点 c 不重合，若Ao→＝xAB→＋(1 －x)Ac →，则实数x 的取值范围是________．分析设 Bo→＝λ Bc→ ( λ＞ 1) ，则 Ao→＝ AB→＋ Bo→＝ AB→＋λ Bc→＝ (1 －λ )AB→＋λ Ac→，又 Ao→＝ xAB→＋(1 － x)Ac →，因此 xAB→＋ (1 － x)Ac →＝ (1 －λ )AB→＋λ Ac→ . 因此λ＝ 1－ x＞ 1，得 x＜ 0.答案( －∞， 0)3．若点 o 是△ ABc 所在平面内的一点，且知足 |oB →－oc→ | ＝|oB →＋ oc→－ 2oA→ | ，则△ ABc 的形状为 ________．分析oB→＋ oc→－ 2oA→＝ oB→－ oA→＋ oc →－ oA→＝AB→＋ Ac→，oB →－ oc →＝ cB→＝ AB→－ Ac→，∴ |AB →＋ Ac→ | ＝|AB →－ Ac→ |.故 A， B，c 为矩形的三个极点，△ ABc 为直角三角形．答案直角三角形二、解答题4．在△ ABc 中， E，F 分别为 Ac， AB 的中点， BE 与 cF 订交于 G点，设 AB→＝ a， Ac→＝ b，试用 a，b 表示 AG→ .解 AG→＝ AB→＋ BG→＝ AB→＋λ BE→＝ AB→＋λ 2(BA→＋ Bc→ )＝1－λ 2AB→＋λ 2(Ac →－ AB→ )＝(1 －λ )AB→＋λ 2Ac→＝ (1 －λ )a ＋λ 2b.又 AG→＝ Ac→＋ cG→＝ Ac→＋ cF→＝ Ac→＋ 2(cA →＋cB→ )＝(1 － )Ac →＋ 2AB→＝ 2a＋ (1 －)b ，∴1－λ＝ 2， 1－＝λ 2，解得λ＝＝ 23，∴ AG→＝ 13a ＋13b.。

打印2015届高考数学一轮总复习阶段性测试题5-_平面向量

1.平面向量【例1】在下列各命题中为真命题的是( ) ①若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ²b =x 1y 1+x 2y 2②若A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则｜AB ｜=221221)()(y y x x -+- ③若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2),则a ²b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0 ④若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④【例2】已知a =(－3,－1), b =(1,3)，那么a ，b 的夹角θ=( )A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°【例3】已知a =(2,1), b =(－1,3),若存在向量c 使得：a ²c =4, b ²c =－9，试求向量c 的坐标、【例4】求向量a =(1,2)在向量b =(2，－2)方向上的投影、【例5】已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高AD ，求AD 及点D 的坐标、【例6】设向量a 、b 满足：｜a ｜＝｜b ｜=1，且a +b =(1，0)，求a ，b 、【例7】对于向量的集合A={v =(x ,y )｜x 2+y 2≤1}中的任意两个向量1v 、2v 与两个非负实数α、β；求证：向量α1v +β2v 的大小不超过α+β、【例8】已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=21AB 、求证：AC ⊥BC【例9】已知A(0，a ),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、【例10】如图，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明 (1)PA=EF (2)PA ⊥EF【例11】已知).1,2(),0,1(==b a① 求|3|b a+；②当k 为何实数时,k -ab与b a3+平行, 平行时它们是同向还是反向？【例12】已知,1||,2||==b a a 与b 的夹角为3π,若向量b k a +2与b a+垂直, 求k.【例13】如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2 + c 2 = 5a 2,BE 、CF 分别为AC 边与AB 上的中线, 求证：BE ⊥CF.【例14】是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?2.平面向量的综合应用1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】已知向量321,,OP OP OP 满足条件0321=++OP OP OP ，1321===OP OP OP ，求证：321P P P ∆是正三角形【例2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例3】已知ABC ∆，AD 为中线，求证()2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=BC AC AB AD 3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例4】已知点O 是，，内的一点，0090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC,,,OA c OC b OB a ===设且,3,1,2===c b a 试用.,c b a 表示和【例5】如图，001,OB 120OC OA 30,OC 5OA OB OA ===与的夹角为，与的夹角为，用OA OB ，表示.OC4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD . (1)求证：C 1C ⊥BD . (2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. 【例7】如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. (1)求BN 的长；(2)求cos<11,CB BA >的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.【例8】求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.【例9】证明: βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例10】证明柯西不等式2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+ 【例11】求x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最值【例12】三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.3.解斜三角形【例1】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值.【例2】在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习平面向量阶段性测试题五北师大版

阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·某某市高三第一次模拟)已知a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－16B.16C ．－17D.17[答案]C[解析]向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则(λa ＋b )(a －2b )＝0，又因为a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，故(3λ＋1，－2λ)(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.2. 已知两非零向量a ，b 则a·b ＝|a ||b |”是“a 与b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]因为a·b ＝|a||b|cos <a ，b>＝|a||b|，所以cos<a ，b >＝1，所以<a ，b >＝0，此时a 与b 共线，若a 与b 共线，则有<a ，b >＝0或<a ，b >＝π，当<a ，b >＝π时，a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b >＝－|a ||b |，所以“a ·b ＝|a ||b |”是“a 与b 共线”的充分不必要条件，选A.3．(2014·某某八校联考)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 [答案]B[解析]由|a －b |＝|a ＋b |，平方得|a －b |2＝|a ＋b |2，a 2－b 2－2a ·b ＝a 2·b 2＋2a ·b ，则a ·b ＝0，则cos θ＝(a ＋b )·a|a ＋b |×|a |＝a 2＋b ·a 2|a |×|a |＝12，θ＝π3.4．(2014·某某月考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y ) ，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A.5B.10 C ．25D ．10 [答案]B[解析]∵向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，∴2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得x ＝2，y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，故有|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10，故选B5．(2014·某某一模)关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°. 其中真命题的序号为( ) A ．①②B ．①③ C ．②③D ．①②③ [答案]C[解析]①当a ＝0时，b ，c 不一定相等，故①不正确；②若a ∥b ，则有1×6－k (－2)＝0，解得k ＝－3，故②正确；③令a ＝OA →，b ＝OB →，则a －b ＝OA →－OB →＝BA →，因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以△OAB 为正三角形．设以OA ，OB 为邻边的平行四边形OACB ，因为△OAB 为正三角形，所以OACB 为菱形且∠AOB ＝60°.由向量加法的平行四边形法则可知a ＋b ＝OC →，所以∠AOC ＝30°，故③正确．6．(2014·某某市调研)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( )A ．－32B.32C ．－1D ．1 [答案]D[解析]根据图形得：DM →＝AM →－AD →＝13AB →－AD →，DB →＝AB →－AD →，故DM →·DB →＝(13AB →－AD →)(AB →－AD →)＝13AB →2＋AD 2→－43AD →·AB → ＝13×22＋12－43×1×2×cos60°＝1. 7．(2014·某某名校联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，(ω>0，－π2<φ<π2)的图像如图示，AB →·BD→＝( )A ．8B ．－8 C.π28－8 D ．－π28＋8 [答案]C[解析]由图可知，T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，故ω＝2，又2·π3＋φ＝π，得φ＝π3，从而A (－π6，0)，B (π12，2)，D (7π12，－2)，所以AB →＝(π4，2)，BD →＝(π2，－4)，AB →·BD →＝(π4，2)(π2，－4)＝π28－8，故选C.8．(2014·某某聊城模拟)设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( )A.π2B ．－π2 C.π4D ．－π4 [答案]A[解析]由|2a ＋b |＝|a －2b |知 3|a |2－3|b |2＋8a ·b ＝0. 而|a |＝1，|b |＝1，故a ·b ＝0，即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，故β－α＝π2，选A.9．(文)(2014某某西工大附中适应性训练)已知向量m ，n 满足m ＝(2,0)，n ＝(32，32)．在△ABC 中，AB →＝2m ＋2n ，AC →＝2m －6n ，D 为BC 边的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案]A[解析]由D 为BC 边的中点得，|AD →|＝12|AB →＋AC →|.又∵12(AB →＋AC →)＝12(4m －4n )＝2m －2n＝(1，－3)，∴|AD →|＝2，故选A.(理)(2014·某某示X 高中联考)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC→＝0，则△ABC 一定是( )A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 [答案]C[解析]∵(AB →＋AC →)·BC →＝0，∴(AB →＋AC →)(AC →－AB →)＝0， ∴AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB →| 又A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°. 从而C ＝A ＝60°.故△ABC 为等边三角形．10．(2014·某某诊断)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，RA →＋RB →＋RC →＝CA →，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:5 [答案]B[解析]由题意可得：2P A →＋PC →＝0，QA →＝－2QB →， RB →＝－2RC →，∵S △PQR ＝S △ABC －(S △PRC ＋S △RQB ＋S △QP A )＝S △ABC －3×29S △ABC ＝13S △ABC ，∴S △PQR S △ABC ＝13. 第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．(文)(2014·某某统考)若A 、B 、C 、D 四点共线，且满足AB →＝(3a,2a )(a ≠0)，CD →＝(2，t )，则t ＝________.[答案]43[解析]因为A 、B 、C 、D 四点共线，所以3at －4a ＝0，又a ≠0，所以t ＝43.(理)(2014·某某模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥b .则锐角θ＝________.[答案]45°[解析]因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，sin θ＝±22，锐角θ为θ＝45°.12．(文)向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________． [答案]－22[解析]向量投影的定义知，向量a 在向量b 方向上的投影是a cos<a ，b >，它还等于a ·b|b |，故所求投影为(3，4)·(1，－1)|(1，－1)|＝3－42＝－22.(理)(2014·某某六校联考) 已知向量a 、b 的夹角为120°，|a |＝2，|b |＝3，则 |2a －b |＝________.[答案]37[解析]由向量a 、b 的夹角为120°，|a |＝2，|b |＝3得a ·b ＝|a |·|b |·cos120°＝－3，故|2a －b |＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝37.13．(2012·某某模拟)已知向量a ＝(sin q ，－2)与b ＝(1，cos q )互相垂直，其中q ∈(0，π2)，则cos q ＝________.[答案]55[解析]由a ⊥b ，∴a ·b ＝0，则sin q －2cos q ＝0，又sin 2q ＋cos 2q ＝1，且q ∈(0，π2)，所以cos q ＝55. 14．(2014·某某市质检)若向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为________．[答案]3π4[解析]因为a ⊥(a ＋b )，所以a ·(a ＋b )＝a 2＋a·b ＝0，所以a ·b ＝－a 2＝－1，所以cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22，所以a 与b 的夹角为3π4. 15．(文)(2014·某某调研)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AB →||AC →|＝________.|BC→|的最小值是________．[答案]2， 6[解析]AB→·AC→＝|AB→||AC→|·cos120°＝－12|AB→||AC→|＝－1，所以|AB→||AC→|＝2，|BC→|2＝|AC→|2＋|AB→|2－2|AB→||AC→|cos120°≥2|AB→||AC→|＋|AB→||AC→|＝3|AB→||AC→|＝6，所以|BC→|≥ 6.(理)(2014·某某质检)如图，在ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋18AC→，则实数m的值为________．[答案]12[解析]因为B，P，N三点共线，所以可设AP→＝λAB→＋(1－λ)AN→，故AP→＝λAB→＋1－λ4·AC→，又AP＝mAB→＋18AC→，所以⎩⎨⎧m＝λ1－λ4＝18，解得m＝12.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，是否能以a，b为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量c用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由．[解析]∵a＝(3，－2)，b＝(－2,1)．∴a·b＝3×1－(－2)×(－2)＝－1≠0.∴a与b不共线，故一定能以a，b作为平面内的所有向量的一组基底．设c＝λa＋ub即(7，－4)＝(3λ，－2λ)＋(－2u，u)＝(3λ－2u，－2λ＋u)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2u＝7－2λ＋u＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，u＝－2.∴c＝a－2b.17．(本小题满分12分)A 、B 、C 是△ABC 的内角，a 、b 、c 分别是其对边，已知m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n ，B 为锐角．(1)求B 的大小；(2)如果b ＝3，求△ABC 的面积的最大值．[解析](1)∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B2－1)－(－3)cos2B ＝0，∴sin2B ＋3cos2B ＝0，∴2sin(2B ＋π3)＝0，∴2B ＋π3＝k π(k ∈Z)，∴B ＝k π2－π6，∵B 为锐角，∴B ＝π3.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴9＝a 2＋c 2－ac ，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤9.等号在a ＝c 时成立， ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×9×32＝934.故△ABC 的面积的最大值为934. 18．(本小题满分12分)(2014·东北三校联考) 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .[解析]AD →·CE →＝(AC →＋12CB →)·(CA →＋23AB →)＝－|AC →|2＋12CB →·CA →＋23AB →·AC →＋13AB →·CB →＝－|AC |2＋12|CB →||CA →|cos90°＋223|AC →|2cos45°＋23|AC →|2cos45°＝－|AC →|2＋|AC →|2＝0，∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .19．(本小题满分12分)(2014·某某调研)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 之间有关系|ka ＋b |＝3|a －kb |，其中k >0，(1)用k 表示a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角的大小． [解析](1)已知|ka ＋b |＝3|a －kb |，两边平方，得|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2k 2a 2＋b 2＋2ka ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2ka ·b )， ∴8k ·a ·b ＝(3k －k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2 a ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 28k ，∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a 2＝1，b 2＝1，∴a ·b ＝3－k 2＋3k 2－18k ＝k 2＋14k .(2)∵k 2＋1≥2k ，即k 2＋14k ≥2k 4k ＝12，∴a ·b 的最小值为12，又∵a ·b ＝|a |·|b |·cos γ，|a |＝|b |＝1， ∴12＝1×1×cos γ，∴γ＝60°，此时a 与b 的夹角为60°.20．(本小题满分13分)(2014·某某四校联考)已知向量O P →＝(2cos(π2＋x )，－1)，O Q →＝(－sin(π2－x )，cos2x )，定义函数f (x )＝O P →·O Q →. (1)求函数f (x )的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，bc ＝8，求△ABC 的面积S .[解析](1)f (x )＝O P →·O Q →＝(－2sin x ，－1)·(－cos x ，cos2x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，∴f (x )的最大值和最小值分别是2和－ 2. (2)∵f (A )＝1，∴sin(2A －π4)＝22.∴2A －π4＝π4或2A －π4＝3π4.∴A ＝π4或A ＝π2.又∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π4，∵bc ＝8，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝12×8×22＝2 2. 21．(本小题满分14分)(2014·某某第二次质检)已知O 为坐标原点，向量O A →＝(sin α，1)，O B →＝(cos α，0)，O C →＝(－sin α，2)，点P 满足A B →＝B P →.(1)记函数f (α)＝P B →·C A →，α∈(－π8，π2)，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域；(2)若O ，P ，C 三点共线，求|O A →＋O B →|的值． [解析](1)A B →＝(cos α－sin α，－1)，设O P →＝(x ，y )，则B P →＝(x －cos α，y )．由A B →＝B P →得x ＝2cos α－sin α，y ＝－1，故O P →＝(2cos α－sin α，－1)．P B →＝(sin α－cos α，1)，C A →＝(2sin α，－1)．word11 / 11 f (α)＝P B →·C A →＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1) ＝2sin 2α－2sin αcos α－1＝－(sin2α＋cos2α) ＝－2sin(2α＋π4)，又α∈(－π8，π2)，故0<2α＋π4<5π4，当0<2α＋π4≤π2，即－π8<α≤π8时，f (α)单调递减；当π2<2α＋π4<5π4，即π8<α<π2时，f (α)单调递增，故函数f (α)的单调递增区间为(π8，π2)，单调递减区间为(－π8，π8]，因为sin(2α＋π4)∈(－22，1]，故函数f (α)的值域为[－2，1)．(2)O P →＝(2cos α－sin α，－1)，O C →＝(－sin α，2)，由O ，P ，C 三点共线可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝43. sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425. ∴|O A →＋O B →|＝(sin α＋cos α)2＋1＝2＋sin2α＝745.。