广东高考数学考点讲义

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广东高考数学知识点考点

广东高考数学知识点考点广东高考作为中国高等教育的重要一环，对于广东省内的高中生来说，意义重大。

数学作为广东高考的一门必考科目，占据着重要的地位，成为众多考生心中的一块“拦路虎”。

本文将从知识点和考点两个方面来介绍广东高考数学的特点和难点。

一、知识点1.函数与方程函数与方程是数学中的基础概念，也是广东高考数学的重要内容。

考生需要掌握如何求函数的定义域和值域，解方程和不等式等基本技巧。

此外，还需要熟练运用函数与方程的性质来解决实际问题，比如应用到生活中的函数关系、方程求解等。

2.立体几何立体几何是广东高考中常见的考点之一。

主要包括平行四边形、三角形、矩形、圆柱等几何图形的性质和计算，还包括立体的体积和表面积计算等。

考生需要掌握几何图形的性质和计算公式，能够准确应用到解题中。

3.概率与统计概率与统计是广东高考数学中的一部分考点。

考生需要掌握概率的基本概念和计算方法，理解事件的互斥和独立性，还需要学会应用统计的方法对数据进行整理和分析。

此外，对于常见的统计图表，如柱状图、折线图、饼图等，考生也需要进行掌握和运用。

二、考点1.组合数学组合数学是广东高考数学中的难点之一。

考生需要掌握组合数学的基本概念和计算方法，能够灵活运用到实际问题中。

例如，排列组合、二项式定理、鸽巢原理等概念，都是广东高考中常见的考点。

2.导数与微分导数与微分是广东高考数学中的重要考点之一。

考生需要熟练掌握导数和微分的定义和性质，能够灵活运用到实际问题解决中。

例如，函数的导数与极值、最值关系等，都是广东高考中常见的考点。

3.三角函数与向量三角函数与向量是广东高考数学中的基础考点之一。

考生需要掌握三角函数的定义、性质和计算方法，理解向量的基本概念和运算法则。

此外，考生还需要熟练运用三角函数和向量的知识解决相关问题，如平面几何、力学等方面的应用题。

综上所述，广东高考数学考点众多，涉及的知识点较多。

考生只有在平时的学习中扎实掌握相关知识，注重对考点的理解和运用，才能在考试中取得好成绩。

广东高三数学知识点总结

广东高三数学知识点总结广东高三数学知识点总结近年来，广东高三数学考试的难度逐渐增加，题型也更加多样化。

为了帮助广东高三学生更好地备考数学考试，本文将对广东高三数学中的重要知识点进行总结。

希望同学们在复习过程中能够有所收获。

一、函数与方程1. 函数的概念与性质在高三数学中，函数的概念与性质是基础中的基础。

同学们需要掌握函数的定义、函数的图像、函数的值域与定义域等基本概念，并熟练运用函数性质解决实际问题。

2. 一次函数和二次函数一次函数和二次函数是高中数学中的重要内容。

同学们需要熟悉一次函数与二次函数的图像特征、性质和变形规律，能够灵活地利用它们解决各种实际问题。

3. 三角函数三角函数是高中数学不可或缺的一部分。

同学们需要熟悉正弦、余弦和正切函数的周期性、图像特征和性质，并能够根据特定条件下的三角函数值求解相关问题。

二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列等差数列与等比数列是数列中的常见形式，同学们需要掌握它们的通项公式、前n项和、性质等，并能够灵活地运用它们解决各类问题。

2. 数列极限数列极限是数学分析中的重要内容，同学们需要理解数列极限的概念，并能够计算常见数列的极限值，特别是在计算各类无穷数列的极限时，需要运用到高中数学中的各种技巧与方法。

三、解析几何1. 直线与圆的性质直线与圆是解析几何中的关键要素，同学们需要了解直线的斜率、截距和方程等基本概念，同时需要熟悉圆的标准方程、圆心与半径的关系等。

2. 平面与空间几何平面与空间几何是解析几何的拓展内容，同学们需要掌握二维平面与三维空间中的基本几何性质，包括点、线、平面的位置关系、夹角、垂直等。

四、概率与统计1. 概率概率是数学中的重要分支，同学们需要掌握事件、样本空间、概率计算等基本概念，同时需要了解概率的加法定理、乘法定理和条件概率等相关内容。

2. 统计统计是数学中的实用工具，同学们需要熟悉样本调查、频率分布表、直方图、折线图等统计图表的绘制与分析方法，并能够灵活地应用统计学概念解决实际问题。

广东省高考文科数学知识点总结

广东省高考文科数学知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN广东高考高中数学考点归纳第一部分集合1. 自然数集:N 有理数集:Q 整数集:Z 实数集:R 2 . φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n –2个.第二部分函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法(即求最大(小)值)：①利用函数单调性；②导数法③利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤ 3．函数的定义域求法: ① 偶次方根,被开方数0≥ ②分式,分母0≠③对数,真数0>,底数0>且1≠ ④0次方,底数0≠⑤实际问题根据题目求复合函数的定义域求法:① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域.4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再综合各段情况下结论。

5．函数的奇偶性:⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔⇔图象关于原点对称；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔图象关于y 轴对称.⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性6．函数的单调性: ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；（记忆方法：同不等号为增，不同为减，即同增异减）⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号(五步:设元,作差,变形,定号,单调性)；②导数法（三步:求导,解不等式()0,()0,f x f x ''><单调性） 7．函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

广东省高考文科数学知识点总结

广东省高考文科数学知识点总结一、函数与方程1.一元二次方程及其图象：二次函数、平移、对称、判别式和解的性质、解的个数与情况分类。

2.初等函数：常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的定义、性质与图象。

3.函数的运算：函数的加、减、乘、除及复合运算。

4.反函数：反函数的存在条件、求法及性质。

5.函数的图象：函数与图象的关系、简单函数的图象与性质。

6.函数与方程组：二元一次方程组的解法，一元二次方程的解法、特殊解的性质。

7.应用题：实际问题与数学模型。

二、三角函数1.角度与弧度：角度的定义、正、余、割、余弦、正切、余切与弧度的关系。

2.常用角的三角函数值：30°、45°、60°的正弦、余弦和正切值，0°、90°、180°、270°的三角函数值。

3.三角函数的性质：奇偶性、周期性、界值性质。

4.三角函数的图象：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象。

5.三角函数的计算：三角函数的和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式。

6.解三角形：解直角三角形、一般三角形的问题。

三、数列与数列的应用1.等差数列：通项公式、前n项和公式，等差数列的性质和运算。

2.等比数列：通项公式、前n项和公式，等比数列的性质和运算。

3.数列的运算：数列的加、减、乘、除和复合运算。

4.应用题：数列的应用问题。

四、排列与组合1.排列：全排列、不重复排列、重复排列。

2.基本计数原理：乘法原理、加法原理、容斥原理。

3.组合：组合的定义、性质与证明。

4.二项式展开：二项式定理的证明与应用。

五、概率与统计1.基本概念与定义：概率的定义、概率的性质、事件的关系。

2.条件概率与独立性：条件概率的定义与性质，独立事件的定义与证明。

3.排列与组合中的概率：每种情况的概率，计数的方法。

4.统计与数据分析：频数分布表、条形统计图、带标记的折线统计图。

5.统计指标与描述性统计学：均值、中位数、众数、极差、标准差、方差等。

广东高考高三数学知识点

广东高考高三数学知识点在广东高考中，数学是一门重要的科目。

学生们需要掌握一定的数学知识点，才能在考试中取得优异的成绩。

下面将介绍广东高考高三数学的核心知识点。

1. 函数与方程在高三数学中，函数与方程是一个重要的知识点。

学生们需要理解函数的定义与性质，掌握函数的表示方法、函数的运算、函数的图像以及函数的应用。

此外，方程的解法也是学生们需要掌握的内容，包括一元二次方程、一次方程、高次方程等。

2. 三角函数三角函数在高考数学中占据了很大的比重。

学生们需要了解正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义与性质，掌握它们的图像、周期、幅值等重要特点，同时需要掌握三角函数的变换、图像的平移、伸缩等应用技巧。

3. 数列与数列的极限数列是一个重要的数学概念，也是高考数学中的重点。

学生们需要掌握数列的概念与性质，了解等差数列、等比数列等特殊数列的求和公式，以及数列的极限概念与性质。

4. 导数与微分导数与微分是高三数学中的难点。

学生们需要理解导数的定义与性质，掌握导数的计算公式、导数的运算法则以及导数的应用。

同时，微分的概念与微分公式也是学生们需要熟练掌握的内容。

5. 不等式与函数的最值不等式与函数的最值也是广东高考高三数学中的重要知识点。

学生们需要掌握不等式的性质、不等式的解法以及不等式的应用。

此外，函数的最大值与最小值也是需要注意的内容，学生们需要掌握求函数最值的方法与技巧。

6. 空间几何空间几何是广东高考高三数学中的考点之一。

学生们需要掌握空间几何的基本概念、定理与性质，了解平面与直线的交点、直线与直线的位置关系等重要知识。

同时，立体几何的体积、表面积计算也是学生们需要掌握的内容。

除了以上列举的几个知识点，广东高考高三数学还包含了其他重要的内容，如数论、概率统计等。

学生们在备考过程中，需要全面复习数学知识，掌握重点、难点内容，提高解题能力和应试能力。

总结起来，广东高考高三数学的核心知识点包括函数与方程、三角函数、数列与数列的极限、导数与微分、不等式与函数的最值、空间几何等。

广东高考数学的知识点

广东高考数学的知识点一、函数与方程1. 一次函数- 基本性质- 函数图像- 解一元一次方程2. 二次函数- 基本性质- 函数图像- 解一元二次方程3. 指数函数与对数函数- 指数函数的性质- 对数函数的性质- 指数方程与对数方程的解法二、几何与三角函数1. 平面直角坐标系与直线- 坐标系的建立- 直线的斜率及特殊情况- 直线的方程2. 平面图形- 三角形的性质- 四边形的性质- 圆的性质3. 三角函数- 正弦、余弦、正切函数的定义 - 各函数的性质和图像- 解三角函数方程三、概率与统计1. 概率- 随机事件与概率- 概率的加法与乘法规则- 排列与组合2. 统计- 数据的收集与整理- 参数与统计量的计算- 统计图表的分析与应用四、导数与微分1. 函数的导数- 导数的定义与性质- 常见函数的导数- 导数的应用2. 微分与近似计算- 微分的概念与性质- 微分的计算方法- 近似计算与误差估计五、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列- 数列的概念与性质- 等差数列与等比数列的通项公式 - 数列的求和公式2. 数学归纳法- 归纳法的思想与应用- 数学归纳法的证明过程- 求和公式的证明与应用六、立体几何与空间向量1. 空间几何基础- 空间中的点、直线、平面- 平行与垂直关系- 空间图形的性质2. 空间向量- 向量的定义与性质- 向量的加减与数量积- 平面向量与立体几何的应用以上是广东高考数学的主要知识点。

在备考和复习过程中，重点理解和掌握各个知识点的概念、性质和应用，通过大量的习题训练提高解题能力和应试能力。

同时，注重思维方法的培养和与数学实际应用的结合，能够更好地应对考试中的各类题型，并取得优异的成绩。

祝你在广东高考数学中取得好成绩！。

新课标广东高考理科数学主要知识点归纳

新课标广东高考理科数学主要学问点归纳一、集合与常用逻辑用语1、子集、真子集、交集、并集、补集 (1)集合12{,,,}n a a a 子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n –2个.2、p ⌝、p q ∨、p q ∧真假性推断ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假3、四种命题〔原、逆、否、逆否〕；原命题⇔逆否命题；逆命题⇔否命题。

原命题〔假设ｐ那么ｑ〕同真假逆否命题〔假设非ｑ那么非ｐ〕否命题〔假设非ｐ那么非ｑ〕同真假逆命题〔假设ｑ那么ｐ〕4、特殊强调：“都是〞否认———“不都是〞； “全是〞否认———“不全是〞 “p q ∨〞否认——“p q ⌝∧⌝〞5、p q ⇒，q p ⇒，p 是q 充分不必要条件； p q ⇒，q p ⇒，p 是q 必要不充分条件；p q ⇒，q p ⇒，p 是q 充要条件； p q ⇒，q p ⇒，p 是q 既不充分也不必要条件。

6、全称命题：,()x M p x ∀∈；特称命题：00,()x M p x ∃∈。

“,()x M p x ∀∈〞否认是 —— “00,()x M p x ∃∈⌝〞 “00,()x M p x ∃∈〞否认是 —— “,()x M p x ∀∈⌝〞二、不等式1、不等式根本性质：〔1〕a b a c b c >⇒+>+； 0a b a b >⇔->〔2〕,0a b c ac bc >>⇒>； ,0a b c ac bc ><⇒<〔3〕0n na b a b >>⇒>； 0nn a b a b >>⇒>〔4〕1100a b a b >>⇒<<； 1100a b a b<<⇒>>2、二次函数：〔1〕解析式三种形式：一般式：c bx ax x f ++=2)( )0(≠a 顶点式：n m x a x f +-=2)()( )0(≠a 顶点坐标：),(n m 零点式：))(()(21x x x x a x f --= )0(≠a ，12,x x 是方程20ax bx c ++=根。

广东高考理科数学知识点

广东高考理科数学知识点在广东省高考理科数学科目中，有一些经典和重要的知识点。

这些知识点不仅在考试中占据着重要的位置，而且在实际生活和职业中也具有广泛的应用。

本文将围绕广东高考理科数学知识点展开探讨，并从不同角度对其进行较为全面的介绍。

一、函数与方程函数与方程是高考数学中的基础知识点之一。

它们涉及到数学中最基本的概念和运算规则。

对于函数而言，广东高考常考的题型有函数的性质判断、函数值求解、函数图像绘制等。

而方程则更多的涉及到方程的解的求解、方程组的解的求解等。

这些知识点需要考生掌握清晰的概念和运算方法，培养良好的逻辑思维能力。

二、几何与三角几何与三角是广东高考理科数学中又一个重要的知识点。

几何部分主要考查平面几何和空间几何的基本概念、定理和运算规则，包括等腰三角形、直角三角形、平行线、垂直线等；而三角部分则考查三角函数的运算和性质，例如正弦定理、余弦定理等。

这些知识点需要考生具备良好的空间想象力和几何推理能力。

三、概率与统计概率与统计是广东高考理科数学中的另一个重要考点。

概率部分主要考查概率的基本概念和运算法则，如概率的加法定理、乘法定理等；而统计部分则考查统计数据的收集、整理和分析能力，包括频率分布表、统计图和统计参数等的计算和解释。

这些知识点需要考生具备良好的计算和分析能力，同时还要具备一定的实际问题解决能力。

四、导数与积分导数与积分是广东高考理科数学中的较为高级和抽象的知识点。

导数部分主要考查导数的定义、性质和运算法则，如导数的求法、导数的运算和导数在几何中的应用等；而积分部分则考查积分的定义、性质和运算法则，如定积分的计算、不定积分的求解和积分在几何中的应用等。

这些知识点需要考生具备较高的抽象思维能力和推理能力，能够灵活运用数学方法解决问题。

综上所述，广东高考理科数学知识点涵盖了函数与方程、几何与三角、概率与统计以及导数与积分等多个方面。

这些知识点不仅涉及到各种运算和定理的掌握，更需要考生具备一定的数学思维和问题解决能力。

高考数学广东知识点

高考数学广东知识点高考数学作为考生普遍认为较为难以应对的科目之一，对于广东考生而言更是如此。

广东地区的高考数学试卷通常难度较高，知识点较为繁杂。

本文将为广大考生总结广东地区高考数学的重点知识，希望能对考生备考提供一定的指导。

一、函数与图像在高考数学中，函数与图像是一个重要的知识点。

考生需要掌握函数的概念、性质，能够画出各种函数的图像，并能够对函数进行分析与运算。

在广东高考数学试卷中，常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

二、数列与数列的应用数列是高考数学中的另一个重点知识点。

考生需要了解数列的概念、性质，能够求解数列的通项公式、前n项和等相关问题。

在广东高考数学试卷中，数列的应用也经常出现，考生需要能够应用数列解决实际问题，如等差数列与等比数列的应用等。

三、三角函数三角函数是广东高考数学中的难点知识点之一。

考生需要熟练掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质与公式，并能够通过三角函数解决相关的几何问题。

在广东高考数学试卷中，三角函数的应用题也比较常见，考生需要能够将问题转化为三角函数的求解。

四、平面向量平面向量也是高考数学中的一道难题。

考生需要了解平面向量的概念、性质和运算法则，并能够应用平面向量解决有关几何的问题。

在广东高考数学试卷中，平面向量的题目往往需要考生通过坐标系、解析几何等方式进行解答。

五、数学证明与推理数学证明与推理是广东高考数学试卷中的常客。

考生需要掌握数学证明的基本方法和技巧，并能够根据已知条件进行推理和证明。

在广东高考数学试卷中，数学证明与推理的题目经常以证明命题、推导结论等形式出现。

六、立体几何立体几何也是广东高考数学中的重要知识点之一。

考生需要熟练掌握空间图形的性质和计算方法，能够解决与立体几何相关的计算与证明问题。

在广东高考数学试卷中，立体几何的题目经常涉及到体积、表面积等计算问题。

七、平面几何平面几何是高考数学中的基础知识点，对于广东考生而言更是如此。

广东专用2024版高考数学总复习：三角函数与解三角形的综合问题课件

解：（方法一）选条件①.由和余弦定理得 .由及正弦定理得 .于是，由此可得 .由① ，解得， .因此,选条件①时问题中的三角形存在，此时 .选条件②.由和余弦定理得 .由及正弦定理得 .于是，由此可得，， .由② ，得， .因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 .
（1）证明：；
解：证明：因为，所以，所以，即，所以 .
（2）若 , ，求的周长.
[答案] 因为 ,所以由（1）得 .由余弦定理可得，则，所以，故，所以 ,所以的周长为 .
考点三解三角形与恒等变换的综合问题
例3 （2023届辽宁大连滨城联盟高三期中）的内角，，的对边分别为，，，已知．
由余弦定理得，解得．综上,可得．
【点拨】在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形 , , ,可直接将等式两边的边化为角;也能角的范围的限制.
变式3 在中，角，，的对边分别为，，，满足 .
（1）求的值；
解：因为，所以由正弦定理得，所以，故，所以，即，所以 .因为，所以，可得．
（2）若的面积为，且，求的值．
[答案] 由（1）知，又，所以 .因为，所以 .因为，即，所以，整理得 .①当时，，又，所以 .易知在中，，又，可知 , ,可得 .②当时，，由正弦定理得，又，解得， .
考点四开放探索问题
例4 （2020年新高考Ⅰ卷Ⅱ卷）在① ,② ,③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为 , , ，且 , ，__？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

广东数学高考知识点

广东数学高考知识点一、平面几何1. 直线与曲线的交点问题1.1 两直线相交1.2 直线与圆的交点1.3 直线与抛物线的交点2. 圆的性质与相关定理2.1 圆的定义与构造2.2 圆心角与弧度制2.3 弧长与扇形面积2.4 切线与切圆定理3. 三角形的性质与相关定理3.1 三角形内角和定理3.2 三边关系与角平分线3.3 三角形的内心、外心与垂心3.4 相似三角形4. 四边形的性质与相关定理4.1 平行四边形4.2 矩形与正方形4.3 菱形与长方形4.4 梯形与直角梯形5. 二次曲线的性质与相关定理5.1 抛物线的定义与性质5.2 椭圆与双曲线的性质5.3 抛物线、椭圆与双曲线的方程二、空间几何1. 空间点、线、面之间的关系1.1 直线与平面的位置关系1.2 平面与平面的位置关系1.3 线线、面面与线面的相交关系2. 空间几何体的性质与相关定理2.1 立体图形的定义与构造2.2 空间向量与平面向量2.3 空间几何体的体积与表面积2.4 空间几何体的投影与旋转3. 空间坐标与空间向量3.1 点的坐标与向量的概念3.2 空间向量的加减与数量积3.3 空间直线与平面的方程3.4 点到直线与点到平面的距离4. 空间平面与空间曲线4.1 空间平面的方程与性质4.2 空间曲线的参数方程与性质4.3 空间曲线的切线、法平面与法线三、概率与统计1. 概率的基本概念与计算方法1.1 概率的定义与性质1.2 事件的概率计算1.3 随机变量与概率分布2. 统计的基本概念与处理方法2.1 数据的收集与整理2.2 统计指标的计算2.3 数据的图表表示与分析3. 概率与统计的应用3.1 抽样与估计3.2 假设检验与推断3.3 数据的拟合与回归四、函数与方程1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义与图像1.2 基本初等函数1.3 函数的运算与性质2. 一元二次函数与二次方程2.1 一元二次函数的图像与性质2.2 二次方程的定义与解法2.3 二次函数与二次方程的应用3. 指数与对数函数3.1 指数函数与对数函数的定义与性质3.2 指数方程与对数方程的解法3.3 指数函数与对数函数的应用4. 三角函数与三角方程4.1 三角函数的定义与性质4.2 三角方程的解法4.3 三角函数与三角方程的应用五、数与数列1. 实数与复数1.1 实数的性质与运算1.2 复数的定义与运算1.3 复数方程的解法与复数的几何意义2. 等差数列与等比数列2.1 等差数列的概念与性质2.2 等比数列的概念与性质2.3 数列的前n项和与通项公式3. 极限与数列极限3.1 极限的基本概念与性质3.2 数列的极限计算与性质3.3 极限的应用与数列的收敛性六、解析几何1. 直线与线段1.1 直线的向量方程与点向式方程1.2 直线与平面的位置关系1.3 线段的长度与分点公式2. 曲线与参数方程2.1 曲线的定义与性质2.2 参数方程的意义与性质2.3 参数方程的图像与参数方程的应用3. 平面与平面曲线3.1 平面的向量方程与一般方程3.2 直线与平面的位置关系3.3 平面曲线的参数方程与平面曲线的图像以上是广东数学高考的主要知识点，希望对你的学习有所帮助。

高考数学复习讲义：对数与对数函数

第五节对数与对数函数[考纲要求]1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象．3．体会对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．突破点一对数的运算[基本知识]1．对数的概念、性质及运算概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a Nlog a1＝0，log a a＝1，a log a N＝_N_运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)(1)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；(2)log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(2)log2x2＝2log2x.()(3)存在这样的M，N使得log2(MN)＝log2M·log2N.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空题1．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________(用p，q表示)．解析：lg 5＝log65log610＝qlog62＋log65＝qp＋q.答案：q p ＋q2．计算：2312log ＋lg 8＋32lg 25＋⎝⎛⎭⎫925-12＝________. 解析：原式＝13＋3(lg 2＋lg 5)＋53＝5.答案：53．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝22a ＝2，∴a ＝12.∴lg x ＝12，∴x ＝10.答案：104．log 225·log 34·log 59＝________.解析：原式＝lg 25lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·2lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝8.答案：8[典例感悟]计算下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.[方法技巧]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.[针对训练]1．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－202．计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.解析：原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝⎛⎭⎫16×0.06 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝ 3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.答案：13．(2019·宁波期末)已知4a ＝5b ＝10，则1a ＋2b ＝________.解析：∵4a ＝5b ＝10，∴a ＝log 410，1a ＝lg 4，b ＝log 510，1b ＝lg 5，∴1a ＋2b ＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.答案：2突破点二对数函数的图象及应用[基本知识]1．对数函数的图象函数y ＝log a x ，a >1y ＝log a x,0<a <1图象图象特征在y 轴右侧，过定点(1,0)当x 逐渐增大时，图象是上升的当x 逐渐增大时，图象是下降的2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 3．指数函数与对数函数的关系指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象不在第二、三象限．( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图象恒过定点(0,0)．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．解析：y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，令x －3＝1，得x ＝4，则y ＝－1. 答案：(4，－1)2．函数y ＝log 3|2x －m |的图象关于x ＝12对称，则m ＝________.答案：13．若f (x )＝log 2x ，则f (x )>0的x 的范围是________．答案：(1，＋∞)[全析考法]考法一对数函数图象的辨析[例1] (2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的大致图象是( )[解析] 法一：函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.法二：||y ＝log a (x ＋1)的图象可由y ＝log a x 的图象左移1个单位，再向上翻折得到，结合选项知选C.[答案] C [方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a >1或0<a <1这两种不同情况．考法二对数函数图象的应用[例2] (2019·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)[解析] 由f (a )＝f (b )得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图象及0<a <b ，得－ln a ＝ln b,0<a <1<b ，1a ＝b .令g (b )＝a ＋4b ＝4b ＋1b ，易得g (b )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (b )>g (1)＝5. [答案] C [易错提醒]应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝log a|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.2.[考法二]已知函数f(x)＝|log12x|的定义域为⎣⎡⎦⎤12，m，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．解析：作出f(x)＝|log12x|的图象(如图)，可知f⎝⎛⎭⎫12＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.答案：[1,2]3.[考法二]使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示)，由图象知使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是(－1,0)．答案：(－1,0)突破点三对数函数的性质及应用[基本知识]对数函数的性质函数y＝log a x(a>0，且a≠1)a>10<a<1性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当x >1时，log a x >0.( )(2)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( ) (3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．函数y ＝log 2x －1的定义域为________．答案：[2，＋∞)2．函数y ＝log 12(3x －1)的单调递减区间为________．答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞3．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________. 答案：2或12[全析考法]考法一与对数有关的函数定义域问题[例1] (2018·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3][解析] 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0，符合题意；当m ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－2m )2－12m <0，解得0<m <3.综上0≤m <3，故选B.[答案] B [方法技巧]已知f (x )＝log a (px 2＋qx ＋r )(a >0，且a ≠1)的定义域为R ，求参数范围时，要注意分p ＝0，p ≠0讨论．同时p ≠0时应结合图象说明成立条件．考法二与对数有关的比较大小问题[例2] (2019·湖北华中师大第一附属中学期中)设a ＝2 01812019，b ＝log 2 018 2 019，c＝log 2 019 2 018，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a[解析] ∵a ＝2 01812019>2 0180＝1,1＝log 2 0182 018>b ＝log 2 018 2 019>log 2 018 2 018＝12，c ＝log 2 019 2 018<log 2 019 2 019＝12，所以a >b >c .故选A. [答案] A[方法技巧] 对数函数值大小比较的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考法三与对数有关的不等式问题[例3] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. [答案] C [方法技巧]简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考法四对数函数性质的综合问题[例4] 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，3B.⎣⎡⎦⎤43，2C.⎣⎡⎭⎫43，2D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ [解析] 由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝ log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2，解得43≤m ＜2.[答案] C [方法技巧]解决对数函数性质的综合问题的3个注意点(1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，ln (3x ＋1)≠0，解得x >－13且x ≠0，故选B.2.[考法二]设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <b <aD ．a >b >c解析：选B a ＝log 50.5>log 50.2＝－1，b ＝log 20.3<log 20.5＝－1，c ＝log 0.32>log 0.3103＝－1，log 0.32＝lg 2lg 0.3，log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2，即c <a ，故b <c <a .故选B.3.[考法三](2019·湛江模拟)已知log a 34<1，那么a 的取值范围是________．解析：∵log a 34<1＝log a a ，故当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，0<a <34；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，a >34，∴a >1.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 4.[考法四](2019·盐城中学月考)已知函数f (x )＝log a1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2.答案： 2[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 2．(2018· 衡水名校联考)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解析：选A 因为a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，所以a ＞b ；又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，c ＞0，所以b ＞c .故a ＞b ＞c .4．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)解析：选D 由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，故选D.5．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 126．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·广东普通高中学业水平考试)对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是( ) A ．lg y －lg x ＝lg yxB ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yC ．lg x 3＝3lg xD ．lg x ＝ln xln 10解析：选B 由对数的运算性质可知lg x ＋lg y ＝lg(xy )，因此选项B 错误． 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .3．已知函数f (x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2，则f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：选A 由函数f (x )的解析式可得：f (x )＋f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2＋lg(1＋4x 2－2x )＋2＝lg(1＋4x 2－4x 2)＋4＝4， ∴f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝f (ln 2)＋f (－ln 2)＝4.故选A. 4．(2019·衡水中学模考)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析：选B 易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数，故排除A ，C ；当x >0时，y ＝ln x ，只有B项符合．故选B.5．(2019·菏泽模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log a x ＋5，x >2(a >0，a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1,2)C ．(1,2]D ．[2，＋∞)解析：选C 当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x >2时，f (x )的取值集合A ⊆[6，＋∞)．当0<a <1时，A ＝(－∞，log a 2＋5)，不符合题意；当a >1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，得1<a ≤2.综上所述，选C.6．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选A ∵a ＞0，∴2a ＞1，∴log 12a ＞1，∴0＜a ＜12.∵b ＞0，∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1，∴0＜log 12b ＜1，∴12＜b ＜1. ∵c ＞0，∴⎝⎛⎭⎫12c ＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1. ∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.7．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1解析：选A 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[ 12，23 ]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1. 8．(2019·六安一中一模)计算：(lg 3)2－lg 9＋1－lg 13＋8130.5 log 5＝________.解析：原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1＋lg 3＋33log 25＝1－lg 3＋lg 3＋25＝26.答案：269．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－a )>1，解得a >4，且0<a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 10．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a >0，且a ≠1)有最小值12，则实数a 的值等于________．解析：令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]．①若a ＞1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值 a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a－6，因此有⎩⎨⎧a ＞1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0＜a ＜1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意．综上，实数a ＝9.答案：911．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x >0，当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．12．(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， ∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a >1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a(3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.[C 级难度题——适情自主选做]1．(2019·长沙五校联考)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：选D 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，所以两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1.2．(2019·安丘一中期中)如图所示，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：因为点A 的纵坐标为2，所以令2x ＝2，解得点A 的横坐标为12，故x D ＝12.令x 12＝2，解得x ＝4，故x C ＝4.所以y C ＝⎝⎛⎭⎫224＝14，故y D＝14，所以D ⎝⎛⎭⎫12，14.答案：⎝⎛⎭⎫12，143．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：9。

广东高考数学知识点

广东高考数学知识点广东高考数学试卷中的数学知识点非常重要，它们涵盖了数学的各个方面。

在准备考试时，掌握这些知识点将帮助学生更好地应对考试，并取得优异的成绩。

下面将介绍广东高考数学试卷中的一些重要知识点。

一、代数与函数代数与函数是数学中最基础、最重要的部分之一。

在广东高考数学试卷中，常见的代数与函数知识点包括：多项式函数、指数、对数、三角函数、幂函数和根式等。

学生需要熟练掌握如何化简、求解和运算这些函数。

二、几何与图形几何与图形是广东高考数学试卷中的另一个重要知识点。

它包括平面几何和立体几何两部分。

平面几何主要包括点、线、面等基本概念，以及各种图形的性质和计算。

而立体几何则研究三维空间中的物体，如体积、表面积、方位关系等。

学生需要掌握几何的基本概念和性质，并能够灵活运用几何知识解决问题。

三、概率与统计概率与统计是广东高考数学试卷中的另一个重要知识点。

概率研究随机事件发生的可能性大小，而统计则研究对数据进行搜集、整理、分析和解释的方法和技巧。

学生需要掌握如何计算概率、统计数据，并能够运用概率与统计知识进行问题的分析和决策。

四、数与数量关系数与数量关系是广东高考数学试卷中常见的知识点。

它包括数列、数表和函数等内容。

数列是一系列按照一定规律排列的数字组成的序列，数表则是将一系列数据进行整理和展示的形式。

学生需要能够理解和运用数与数量关系的知识，解决与数列、数表和函数相关的问题。

五、解析几何解析几何是广东高考数学试卷中的一项重要内容。

它是几何与代数相结合的学科，通过运用代数的方法研究几何问题。

学生需要学会如何将几何问题转化为代数问题，使用坐标系和方程等工具解决几何问题。

六、数学思想方法数学思想方法是广东高考数学试卷中的一个重要考察点。

它不仅要求学生具备灵活的解题思路和方法，还需要培养学生的逻辑思维和推理能力。

学生需要通过大量的练习和思考，锻炼自己的数学思维，提高解题的准确性和速度。

不同于其他科目，数学是一门需要反复练习和不断思考的学科。

广东高考知识点数学

广东高考知识点数学广东高考数学是高中数学的延续和发展，主要涉及数与代数、几何与空间、函数与分析、数理统计与概率等内容。

下面将就广东高考数学的知识点进行详细介绍。

1.数与代数广东高考数与代数部分主要包括整式与分式、方程与不等式、函数与方程、数列与数和的问题。

(1)整式与分式：高考中常涉及多项式的四则运算、公式的推导与应用、有理根与零点、因式分解与破折号、分式方程等。

(2)方程与不等式：包括一元二次方程的根与解法、一元二次不等式的解法与应用、一次方程组与不等式组的解法等。

(3)函数与方程：主要包括函数的定义与性质、函数图像与性质、函数解析式的确定、函数的运算与组合、函数的极值与最值、函数递增递减性质等。

(4)数列与数和的问题：常见数列的通项公式、数列函数的性质与应用、数列与数和的相互转化、数和之辨等。

2.几何与空间广东高考几何与空间主要包括图形的性质与运动、几何证明与计算、空间图形与立体几何、坐标系与空间向量等。

(1)图形的性质与运动：包括平面图形的性质与判定、线段、角与特殊角的性质等。

(2)几何证明与计算：涉及几何证明的判定和过程，以及平面图形面积和体积的计算。

(3)空间图形与立体几何：包括立体图形的性质与判定、球与圆锥台的表面积和体积计算等。

(4)坐标系与空间向量：主要涉及坐标系的建立与应用，以及空间向量的定义、性质与运算。

3.函数与分析广东高考函数与分析主要包括导数与应用、积分与应用、微分方程与应用等内容。

(1)导数与应用：包括导数的定义、导数的基本运算、导数的几何意义与物理意义，以及导数的计算与应用题。

(2)积分与应用：涉及积分的定义、积分的基本性质、不定积分与定积分的计算，以及应用题。

(3)微分方程与应用：主要包括微分方程的定义、常微分方程的解法与应用等。

4.数理统计与概率广东高考数理统计与概率主要包括数据整理与分析、概率与统计、抽样调查与统计推断等内容。

(1)数据整理与分析：包括数据的搜集整理与分析、数据的描述性统计、频率分布和统计图表等。

广州高考数学知识点

广州高考数学知识点近年来，广州高考考试的数学部分一直备受关注。

作为高考三大科目之一，数学的考试对于考生来说至关重要。

掌握广州高考数学知识点，不仅可以提高考试成绩，还有助于培养学生的逻辑思维能力。

本文将重点介绍广州高考数学的一些重要知识点。

一、函数与方程函数与方程是数学的基础概念，也是广州高考数学考试的重要内容。

函数是描述两个集合之间的对应关系的工具，而方程则是用数学语言表示的等式。

在广州高考中，函数与方程的理解与应用都是需要重点关注的知识点。

1.1 函数函数的概念是理解数学问题的关键。

广州高考数学中，函数的定义、性质、图像以及函数的复合等内容都是需要掌握的。

同时，还需要学会利用函数解决实际问题，例如利用平均速度函数解决相遇问题，利用利润函数解决经济问题等。

1.2 方程方程是数学中常见的问题描述方式。

广州高考数学考试中，方程的解法是重点。

例如一元二次方程的解法，包括配方法、求根公式等。

此外，还有如何应用方程解决实际问题的技巧，例如运用速度、时间、距离的关系，构建方程求解旅行或追及问题等。

二、几何与空间几何与空间是广州高考数学考试中的另一个重要板块。

掌握几何与空间的基本理论与应用，对于解决几何问题和理解空间关系非常有帮助。

2.1 几何基本概念广州高考数学考试中的几何基本概念包括平面几何和立体几何两个方面。

平面几何的基本概念包括点、线、面等，立体几何的基本概念包括立体图形以及与立体图形相关的体积、表面积等。

2.2 几何性质与定理几何性质与定理是解决几何问题的重要工具。

广州高考数学考试中会涉及到一些基本的几何性质与定理，如三角形的性质、四边形的性质等。

同时，还需要学会应用几何性质解决实际问题，如使用相似三角形解决测高问题等。

三、概率与统计概率与统计也是广州高考数学考试中的一大重点内容。

了解概率与统计的基本概念和运算方法，有助于理解随机事件的规律性。

3.1 概率概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。

广州高考数学考试中，概率的基本概念、计算方法以及概率分布等都是需要掌握的知识点。

新课标广东高考理科数学主要知识点讲解归纳

新课标广东高考理科数学主要知识点讲解归纳一、集合与常用逻辑用语1、子集、真子集、交集、并集、补集(1)集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n–1个;非空的真子集有2n –2个.2、p ⌝、p q ∨、p q ∧的真假性判断3⇔否命题。

原命题(若p则q) 同真假逆否命题(若非q则非p)否命题(若非p则非q) 同真假逆命题(若q则p)4、特别强调:“都是”的否定———“不都是”; “全是”的否定———“不全是” “p q ∨”的否定——“p q ⌝∧⌝”5、p q ⇒,q p ⇒,p 是q 的充分不必要条件; p q ⇒,q p ⇒,p 是q 的必要不充分条件;p q ⇒,q p ⇒,p 是q 的充要条件; p q ⇒,q p ⇒,p 是q 的既不充分也不必要条件。

6、全称命题:,()x M p x ∀∈; 特称命题:00,()x M p x∃∈。

“,()x M p x ∀∈”的否定是——“00,()x M p x ∃∈⌝”“00,()x M p x ∃∈”的否定是——“,()x M p x ∀∈⌝”二、不等式1、不等式的基本性质:(1)a b a c b c >⇒+>+; 0a b a b >⇔->(2),0a b c ac bc >>⇒>; ,0a b c ac bc ><⇒<(3)0n n a b a b >>⇒>; 0a b >>⇒>(4)1100a b a b >>⇒<<; 1100a b a b<<⇒>> 2、二次函数:(1)解析式的三种形式: 一般式:c bx ax x f ++=2)( )0(≠a顶点式:n m x a x f +-=2)()( )0(≠a 顶点坐标:),(n m零点式:))(()(21x x x x a x f --= )0(≠a , 12,x x 是方程20ax bx c ++=的根。

广东文科数学高考知识点

广东文科数学高考知识点广东文科高考数学知识点作为广东的一名文科高考生，掌握数学知识点是非常重要的。

数学作为一门基础学科，对于提高整体成绩起着举足轻重的作用。

下面将从几个重要知识点着手，为大家介绍一下广东文科高考数学中的知识点。

第一知识点：函数与方程函数与方程是数学的基础内容，也是高考数学的重点。

文科高考生主要学习的是常见函数和方程，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。

在解题时，要掌握函数的性质、图象以及函数的相关性质和应用。

同时，还要了解方程的解法和应用，包括一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程等。

对于这些知识点的掌握，可以通过大量的练习和实际问题的解答来提高。

第二知识点：数列与数列的应用数列与数列的应用也是文科高考数学的重要内容。

主要涉及等差数列与等比数列的性质和应用。

在解题时，需要熟悉数列的通项公式和各项的求和公式。

同时，还要了解数列在实际问题中的应用，如利润的变化、人口的增长等问题。

在学习这些知识点时，可以通过练习题和习题册的反复训练来提高解题能力。

第三知识点：概率与统计概率与统计是广东文科高考数学的重要知识点之一。

主要包括事件的概率计算、随机变量与概率分布以及统计推断等内容。

在解题时，需要熟悉概率计算的方法和公式，并能够灵活运用。

此外，还要了解随机变量的性质和概率分布的计算。

在统计推断方面，需要掌握样本的统计量、总体参数等概念，并能够根据给定的样本数据进行推断。

这些知识点可以通过大量的练习和实际问题的解答来提高。

第四知识点：三角函数与立体几何三角函数与立体几何是广东文科高考数学的难点知识点。

主要包括三角函数的性质和应用以及立体几何的性质和定理。

在解题时，需要熟悉三角函数的定义和性质，并能够根据给定的条件求解相关的问题。

对于立体几何，需要掌握立体图形的性质和相关的定理，并能够应用到实际问题中。

这些知识点对于提高数学成绩起着重要的作用，可以通过反复练习和实际问题的解答来巩固。