函数的基本性质1

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高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质

高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质1．高中数学必修一函数的基本性质——函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零;(2) 偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数必须大于零;(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)值域补充( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. ( 2 ) . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3. 高中数学必修一函数的基本性质——函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y) 的集合C ，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x ，y) 均满足函数关系y=f(x) ，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y) ，均在C 上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线( 或直线), 也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。

函数的基本性质知识总结

《函数的基本性质》知识总结1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________.单调性的等价定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。

函数的基本性质

函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。

⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。

如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。

本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。

函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。

二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。

在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。

值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。

同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。

三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。

四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。

函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。

函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。

五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

3.4函数的基本性质(1)解析

f (x) g(x) 1 x -1
求f(x)和g(x)的解析式。
(1)设函数f(x)的定义域关于原点对称，判断下列函数的奇偶性： ①F(x)=[f(x)+f(-x)]/2; ②G(x)=[f(x)-f(-x)]/2; (2)试将函数y=2x表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
和函数、积函数的奇偶性
(2)
f
(x)
x4 x2
1 1
(3) f (x) x 2
(42 (5) f (x)
x3 x
课堂小结
1、了解函数奇偶性的几何特征理解函数奇偶性的代数定义
2、证明、判断函数的奇偶性
作业
练习部分习题3.4 A组 1，2，3，4
判断下列函数的单调性
2、奇函数：
对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，那么就把函数y=f(x)叫做奇函数。
f(x)为奇函数，若0∈D,f(0)=0
注意：
①任意的a
②a∈D,-a∈D 定义域关于原点对称
例2：证明奇偶性
y x4 x2
练习：判断并证明奇偶性
(1) f (x) x - 1 x
x(2 x)(x 0) f (x) x(2 x)(x 0)
f (x) ax2 2x
思考
1、已知y=f(x)(x∈D)为奇函数，且0∈D，则f(0 )=
2、奇函数是不是都过原点？偶函数是不是都和y轴相交？举例说明
3、有没有既是奇函数又是偶函数的函数？这样的函数有几个？
4、两个函数分别有奇偶性，问他们的和函数，积函数的奇偶性如何？
两个函数分别有奇偶性，问他们的和函数，积函数的奇偶性如何？
在定义域对称的前提下
f(x) g(x) F(x)=f(x)+g(x) G(x)=f(x)g(x)

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

函数的基本性质ppt课件

答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，可以用逗号或“和”。
例如函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一判断函数的单调性判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图象法：如果 f(x) 是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)。

函数的基本性质之一——函数的增减性

函数的基本性质之一——函数的增减性复习基础知识1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________ 2不看课本，能否写出函数单调性的定义？__________________________________________________________________________________________________________________________________________一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ．如果对于属于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，且21x x <，则（1）()()⇔<21x f x f )(x f 在区间A 上是增函数()()()1212120f x f x x x x x -⇔>≠-；（2）()()⇔>21x f x f )(x f 在区间A 上是减函数()()()1212120f x f x x x x x -⇔<≠-．如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(x f y =的单调区间．注意：（1）单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数；（2）定义中，自变量的大小、函数值的大小、函数的单调性，三者中知道其中两个即可推出另外一个；二、单调函数的图象特征：从左至右增、减函数的图象分别呈上升或下降趋势．三、基本函数的单调性：掌握反比例函数、一次与二次函数、指、对数函数的单调性．四、单调性的判断与证明方法方法一：利用图象的上升、下降趋势加以判断.方法二：利用定义证明：设值21x x <（任意性）→比较)(1x f 、)(2x f 的大小→下结论.常用差值比较法比较)(1x f 、)(2x f 的大小：作差→变形→定号，变形要彻底（常分离出21x x -），定号的论证要充分；下结论时一定指明在某个区间上函数是增函数或减函数．讨论函数)1,1(x 1-x ax)(2-∈=（x f 的单调性，其中a 不等于0【解】设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 12－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 12－1)(x 22－1)，∵－1<x 1<x 2<1，∴|x 1|<1，|x 2|<1，x 2－x 1>0， x 12－1<0，x 22－1<0， |x 1x 2|<1，即－1<x 1x 2<1， ∴x 1x 2＋1>0，∴(x 2－x 1)(x 2x 1＋1)(x 12－1)(x 22－1)>0.因此，当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数为减函数．当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)，此时函数为增函数．【规律小结】用定义证明函数单调性的一般步骤： (1)取值：即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1＜x 2.(2)作差：即f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x 2－x 1的符号，确定差f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．(4)判断：根据定义得出结论若例1中x ∈(－1,1)改为x ∈R ，a ≠0改为a ＞0，结果如何？方法三：利用复合函数的单调性如：设函数)(x g u =在区间[],m n 上是减函数，函数)(u f y =在区间()(),g n g m ⎡⎤⎣⎦上是增函数，则复合函数)]([x g f y =在区间[],m n 上是减函数.已知函数f(x),g(x)在R 上是增函数，求证：f[g(x)]在R 上也是增函数设有x 1,x 2且x 1<x 2∵g(x)在R 上是增函数∴g(x1)<g(x2)又∵f(x)在R 上是增函数 ∴f(g(x1))<f(g(x2))∴f(g(x))在R 上也是增函数同理：f(x)增，g(x)减，则f[g(x)]减f(x)减g(x) 增，则f[g(x)]减 f(x) 减，g(x)减，则f[g(x)] 增规律：同增异减．例3：求函数()f x 的单调区间。

函数的基本性质

函数的基本性质一．函数的单调性：1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。

对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔>--⇔>--⇔<0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是增加的。

对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔<--⇔<--⇔>0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是减少的。

2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。

（图像在此区间上是增加的）自左向右看图像是下降的。

（图像在此区间上是减少的）3.判断函数单调性的方法：（1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。

（数形结合）解题程序：解析式-----图像-----单调区间（2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。

高中基本初等函数：一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：)0(≠=k x k y ，简单幂函数：3,2,21,1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且， “对勾”函数：)0(>+=a x ax y①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。

②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同；当0<a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相反；③在公共定义域内，增函数)(x f +增函数)(x g 是增函数，减函数)(x f +减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f －减函数)(x g 是增函数，减函数)(x f －增函数)(x g是减函数；④两函数积的单调性：当)(x f ，)(x g 在公共区间上都是增（减）函数。

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。

(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。

3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。

二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。

函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）

函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。

函数的基本性质 (学生版)

函数的基本性质一.考点，难点，热点；1．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． 5．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 6．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .(3)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论M 为最大值M 为最小值7．函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,关于y 轴对称奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数,关于原点对称 8.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、典型例题考点一：函数的定义域、解析式及图像1、函数21x f (x )e -=的部分图象大致是2、函数()2lg 212x y x x=++-的定义域是（）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭3、已知函数2()4f x x =-,()y g x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,2()log g x x =,则函数()()f x g x ⋅的大致图象为4、函数y =lg1|1|x +|的大致图象为考点二：函数的奇偶性与周期性、对称性1、已知函数()f x 是R 上的奇函数,若对于0x ≥,都有()2()f x f x +=,[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时,()()20132012f f -+的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22、已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称,则(2013)f =（）A ．10B ．5-C ．5D ．03、已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+,且(1)f x +为偶函数,则实数a 的值可以是（）A ．23B ．2C ．4D ．64、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当x >0时,()12x f x -=-,则不等式()f x <12-的解集是（）A ．(),1-∞-B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞5、已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,2()21,(log 12)x f x f =-则=A.13B ．43C ．2D ．11三、课堂实战1、函数2ln ||x y x x=+的图象大致为2、已知函数1()()2x xf x e e -=-, 则()f x 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称3、函数y =2x-2x 的图像大致是4、已知函数()2x f x e =-,2()45g x x x =-+-.若有()()f b g a =,则a 的取值范围为（） A ．(1,3)B ．(22,22)-+C ．[22,22]-+D ．[2,3] 5、已知函数()f x 的定义域为[3,6],则函数12(2)log (2)f x y x =-的定义域为（）A ．3[,)2+∞ B ．3[,2)2C ．3(,)2+∞D ．1[,2)26、已知奇函数3(0),()()(0),x a x f x g x x ⎧+=⎨⎩≥＜则(2)g -的值为__________.7、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x,则2(1log 5)f +的值为___________;8、奇函数)(x f y =满足1)3(=f ,且)3()()4(f x f x f -=-,则)2(f 等于（）A ．0B ．1C ．21－D ．21 9、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、已知定义在R 上的函数()f x ,对任意x R ∈,都有()()()63f x f x f +=+成立,若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称,则()2013f = （）A ．0B ．2013C ．3D ．2013-11、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．912、下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是（）A ．3x y =B ．1||+=x yC ．12+-=x y D ．||2x y -=13、下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是（）A ．xx f 1)(=B ．x x f -=)( C ．x x x f 22)(-=-D ．x x f tan )(-=14、定义在R 上的偶函数()f x 满足:对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠都有2121()()0f x f x x x -<-,则有（）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-15、已知)(x f 为奇函数,在[]3,6上是增函数,[]3,6上的最大值为8,最小值为1-,则2(6)(3)f f -+-等于（）A ．15-B ．13-C ．5-D ．516、设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为( ) （）A ．3-B ．3C ．8-D ．817、已知函数()f x 是R 上的偶函数,若对于0≥x ,都有)()2(x f x f =+,且当)2,0[∈x 时,)1(log )(2+=x x f ,则)2012()2011(f f +-的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．218、设奇函数错误！未找到引用源。

函数的基本性质老师版(部分含答案)

函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。

2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。

）3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加；当0<a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

练习：讨论函数()2-21f x ax x =+在（-1，1）内的单调性。

4．证明方法和步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；⑵作差：)()(21x f x f -；⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；⑸根据定义下结论。

例2、判断函数1()x f x x +=在)0,(-∞上的单调性并加以证明.练习：判断函数2()1x f x x +=-在（-∞，0）上的单调性并加以证明。

[例3] 求证函数f (x )＝x ＋xa (a .,>0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．分析利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形．证明 (1)设0<x 1<x 2≤a ,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x a －x 2－2x a ＝(x 1－x 2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ．因为0<x 1<x 2≤a ，所以x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a .，所以\21x x a >1，所以211x x a -<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，\r(a .,)]上为减函数．(1) 设a ≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ．因为x 1－x 2<0，x 1x 2>a .,，所以\21x x a <1，所以211x x a ->0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

函数的基本性质

函数的基本性质⏹1。

函数的奇偶性⏹（1）函数的奇偶性的定义。

⏹（2）函数的奇偶性的判断与证明。

⏹（3）奇、偶函数图象的特征。

⏹2。

函数的单调性⏹（1）函数的单调性的定义。

⏹（2）函数的单调性的判断与证明。

⏹复合函数的单调性⏹（3）求函数的单调区间。

3．函数的周期性(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。

定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。

(2)最小正周期:(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)4．函数图象的对称性⏹一·中心对称：⏹(1) 奇函数的图象关于原点对称；⏹一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足2b-y=f(2a-x)(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x) ⇔f(a+x)=- f(a-x)(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.二．轴对称：（1）偶函数的图象关于Y轴对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)⇔f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(2a-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称．(3)反函数的图象⏹函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称；⏹函数y=f(x)的图象与y=-f-1 (-x)的图象关于直线y= - x对称；⏹设函数y=f(x)有反函数y=f– 1(x)，则其图象关于直线y=X对称的充要条件是：f(x)=f– 1(x).5．函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：⏹命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修 1 函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f( x)定义域内的任意x 都有 f( － x)= －f(x)，则称 f(x) 为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(－ x)=f (x) ，则称 f(x)为偶函数。

如果函数 f (x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则f( x) 既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－ x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f( x)的关系；○3作出相应结论：若f( － x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0 ，则 f(x)是偶函数；若f( － x) = －f(x) 或 f(－ x)＋f (x) = 0 ，则 f (x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设 f ( x ) ， g ( x ) 的定义域分别是 D 1 , D 2，那么在它们的公共定义域上：奇 +奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1， x2，当 x1 <x2时，都有 f(x1 )<f(x2)（f(x1)>f (x2)），那么就说 f( x) 在区间 D 上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间 D 内的任意两个自变量x1， x2；当 x1<x2时，总有 f(x1 )<f( x2)（2）如果函数y=f(x) 在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f( x)的单调区间。

函数的基本性质1

高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质

函数的基本性质 知识总结

函数的基本性质

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质

3.4函数的基本性质(1)解析

高中数学必修1函数的基本性质

函数的基本性质ppt课件

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质之一——函数的增减性

函数的基本性质

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）

函数的基本性质 (学生版)

函数的基本性质老师版(部分含答案)

函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质

函数的基本性质知识总结