定积分的定义

1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 n
f
2 n
f
n n
极限运算与对数运算换序得
A lim 0 i1
f (i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i n
n
1
sin xdx.
0
i xi
练习题
一、填空题：
1、函数 f ( x) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限，
即 b f ( x)dx _________________ . a
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
i 1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
i 1
1
lim
x
1
x(2x
1)
lim
x
2x 1
1
ln
2,
1
lim n(2n 1) ln 2,
x
n
2 1dx
1x
lim
0
n i 1
1
i
xi
1
lim n(2n 1) ln 2. n
例 3 设函数 f ( x) 在区间[0,1] 上连续，且取正值.
压力P （见教材图 5-3）.
练习题答案
n
一、1、lim 0 i1
f ( i )xi ；
2、被积函数,积分区间,积分变量；
3、介于曲线 y f ( x), x 轴 ,直线x a , x b 之间
各部分面积的代数和；
4、 b dx . a
二、1 (b3 a 3 ) b a. 3
三、1 (b2 a 2 ). 2
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 .
3、定积分的几何意义是_______________________ .
4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
二、利用定积分的定义计算由抛物线y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a) 及横轴所围成的图形的面积 .
因为 f ( x)在区间[0,1]上连续，且 f ( x) 0 所以ln f ( x)在[0,1]上有意义且可积 ,
n
lim ln
n i1
f
i n
1 n
1
0 ln
f ( x)dx
故 lim n f 1 f 2 f n n n n n
1
e0ln f ( x)dx .
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dtຫໍສະໝຸດ Baidu
b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
典型小区间为[qi1 , qi ]，（i 1,2,, n）
小区间的长度xi qi qi1 qi1(q 1),
取i qi1，（i 1,2,, n）
n
i 1
f (i )xi
i
n 1
1
i
xi
n i 1
q1i1q
i
1
(q
1)
n
1
(q 1) n(q 1) 取qn 2 即q 2n
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
n
n
ln
i 1
f
i n
n1
指数上可理解为：ln f ( x)在[0,1] 区间
上的一个积分和． 分割是将[0,1]n 等分
分点为 xi
i ，（i n
1,2,, n）
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ，( a b ) . a
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1
1、
1 x2dx ;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
五、小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
思考题
将和式极限：
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(
n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
五、88.2(千牛).
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n
i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n
1 x2dx
0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3
例2
利用定义计算定积分
2
1
1dx x
.
解 在[1,2]中插入分点 q, q2 ,, qn1 ,
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n 等分，分点为xi
i ，(i n
1,2,, n )
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,, n )
取i xi ，(i 1,2,, n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v( i )ti
i 1
（3）取极限 max{t1,t2 ,,tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入