南京市高二下学期期中数学试卷(理科)C卷(测试)
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷(理科)
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 为虚数单位，已知复数满足，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2015·岳阳模拟) 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A . ①②③B . ②①③C . ②③①D . ③②①4. （2分）应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用（）①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论.A . ①②B . ②③C . ①②③D . ①②④5. （2分）已知f（x）=3lnx，则f'（e）=（）A .B .C . 3eD . 06. （2分） (2015高二上·龙江期末) 用数学归纳法证明1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，从n=k到n=k+1，左边需增添的代数式是（）A . 2k+2B . 2k+3C . 2k+1D . （2k+2）+（2k+3）7. （2分）定积分|x2﹣2x|dx=（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分）(2013·辽宁理) 设等比数列{an}中，前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7，则a7+a8+a9=（）A .B . -C .D .9. （2分） (2016高二下·信阳期末) 若函数f（x）=sin1﹣cosx，则f′（1）=（）A . sin1+cos1B . cos1C . sin1D . sin1﹣cos110. （2分）(2017·邯郸模拟) 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·安阳期中) 已知f（x）=x2﹣xf′（0）﹣1，则f（2017）的值为（）A . 2013×2015B . 2014×2016C . 2015×2017D . 2016×201812. （2分）(2017·大连模拟) 已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f （x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A . （﹣∞，0）B .C .D . （1，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）复数z1=3+i，z2=1﹣i，则 =________．14. （1分） (2015高二下·哈密期中) （2x﹣4）dx=________．15. （1分）勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2+b2=c2 ．类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d 的长方体中，有________．16. （1分） (2015高二下·徐州期中) 利用数学归纳法证明“ ”，从n=k推导n=k+1时原等式的左边应增加的项数是________项．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2019高二下·徐汇月考) 已知复数、满足，，，求．18. （10分） (2016高二下·洞口期末) 已知函数f（x）= 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2∈[e2，+∞），有| |＞，求实数k的取值范围．19. （10分）已知．（1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．20. （15分）如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC= CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若E是PC的中点，求三棱锥D﹣PEB的体积．（3）若E在CP上且二面角E﹣BD﹣C所成的角为45°，求CE的长．21. （10分）(2014·新课标II卷理) 已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．（1）证明{an+ }是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）证明： + +…+ ＜．22. （10分）(2016·运城模拟) 设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e），求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：＞﹣．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省高二下学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年南京市中华中学高二下期中考试卷一．单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知直线与平行，则之间的距离为（ ）1:230l x y ++=2:10l x ay --=12,l l A. 1 B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】由两直线平行，可知其斜率相等，即可求出，然后再根据平行直线间的距离公式即可求解. a 【详解】由题意知，，，因为，所以，所以， 12k =-21k a =12l l ∥12k k =12a =-所以，即，所以21:102l x y +-=2:220l x y +-=d2. 已知圆与圆只有一个公共点，则2214850:O x y x y ++--=2222(2)(0:)O x y r r ++=>r =（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 1或9【答案】D 【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意两圆相内切，则圆心距等于半径之差的绝对值，即可得到方程，解得即可.【详解】圆，即，圆心为，半径2214850:O x y x y ++--=()()222425x y ++-=()12,4O -15r =，圆，圆心，半径为，2222(2)(0:)O x y r r++=>()22,0O -r 所以124O O ==因为两圆只有一个公共点，所以两圆相外切或相内切， 显然两圆不能相外切，所以，即，解得或. 211r O r O =-54r -=1r =9r =故选：D3. 在54张扑克牌中取出13张红桃，按大小排好，现取出梅花插入红桃牌中，则15张扑克牌的排,Q K 法种数是（ ） A. 12B. 182C. 210D. 364【解析】【分析】利用倍缩法求解即可.【详解】由题意，15张扑克牌的排法种数是.15151313A 210A =故选：C .4. 能源是一个国家发展的基础，火力发电是现今社会能源来源的主要途径，但火力发电影响全球气候变暖等有关问题．为了提高火电厂一次能源的使用效率，有效推动社会的可持续发展，必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为（图纸上的尺寸单位：），图纸中单叶双曲面的方程为1:20m （如图2），则该冷却塔占地面积为（ ）22140(32)6x y z z +--=-≤≤A. B. C. D.270πm 21400πm 2200πm 2140πm 【答案】B 【解析】【分析】令，可得，求出底面圆的半径，乘以比例尺，即可求出占地面积作答. 3z =-2272x y +=【详解】令，得方程为的圆，而比例尺为， 3z =-2272x y +=1:20因此圆的实际半径为，所以冷却塔占地面积为． 22π1400π(m )⨯=故选：B 5. 已知，则（ ）1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++- A. B. 012101024a a a a ++++= 101a =-C. D. 15120a =-1012021012221024a a a a ++++= 【答案】C【分析】对A ，只需取代入即可；对B ，把看成求其展开式的第11项即可0x =10(1)x +()1021x --⎡⎤⎣⎦求得；对C ，把看成求其展开式的第2项即可求得；对D ，令，即可10a 10(1)x +()1021x --⎡⎤⎣⎦1a 12x =得. 101012021031(22221024a a a a =++++≠ 【详解】对A ，时，原始右边=，所以A 错误； 0x =100121011a a a a ++++== 对B ，，，，所以B 错误；()1010(1)21x x ⎡⎤+=--⎣⎦()()101010010101C 21a x x -=⋅⋅--⎡⎤⎣⎦101a ∴=对C ，同上，，，C 正确； ()()()11919110101C 21C 21a x x x -=⋅⋅--=-⋅⋅-⎡⎤⎣⎦90111C 25120a -⋅=-∴=对D ，令，则 12x =10210012101111(1)(1(1)(12222a a a a +=+-+-++- ，10210012103111()()()(2222a a a a ∴=++++ 则，所以D 错误. 10101202103122221024a a a a ⎛⎫=++++≠ ⎪⎝⎭故选：C.6. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第10行所有数字的平方和等于（ ）A. B. C. D.1020C 1120C 1020A 1120A 【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到第10行的所有数字的平方和为，结合的展()()()2220110101010C C C +++ 2(1)nx +开式中，得到，即可求解.n x 00112C C C C C C C n n nn n n n n n n =+++ 【详解】由题意，可得第10行的所有数字的平方和为，()()()222110101010C C C +++ 因为20101(1)(1)(1)(C C C )(C C C )nn n n n n nn n n n n n x x x x x x x +=+⋅+=++++++ ， 01100011(C C C C C C )(C C C C C C )n n n n n n nn n n n n n n n n n n n x x -=+++++=+++++ 所以展开式中的系数，n x 0011C C C C C C n nn n n n n n +++又因为，可得展开式中的系数，201222222(1)C C C C nn n n n n n n n x x x x +=+++++ nx 2C n n 所以，00112C C C C C C C n n nn n n n n n n =+++ 所以.()()()2221101010101020C C C C +++= 故选：A.7. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两个不同的点，．如果2y ax =F (12y x =+-A B ，，成等差数列，那么等于（ ）AF 2BF a A. B.C.D.1-248【答案】C 【解析】【分析】只有项是负的，代入发现，对于A 、C 、D 选项：，利用抛物线定义以及等差中A Δ0<0a >项可求参数的值.a 【详解】对于选项：若，A 1a =-，，，不符合题意. 2(12y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩2(120y y +++=18(10∆=-+<对于B 、C 、D 选项：，0a >直线与抛物线交于两个不同的点，． (12y x =-A B 设， ，11(,)A x y 22(,)B x y 因为，，成等差数列，所以，AF 2BF 4AF BF +=设直线为抛物线的准线，根据抛物线定义，CD AF BF AC BD +=+因为抛物线，所以， 2y ax =1242aAF BF AC BD x x +=+=++=，， 2(12y x y ax ⎧=-⎪⎨=⎪⎩22(14(140x a x ⎡⎤+-+++=⎣⎦令，则，则直线过定点，其在抛物线内部，且0y =1x ==(12y x =+-)1,0，则该直线与抛物线必有两交点，(10+>， 12x x +=12x x =，解得. 42a=4a =故选：C.8. 已知关于的方程在上解的个数为（ ） x e sin 1x x x =-(0,π)A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A 【解析】【分析】在同一坐标系内作出与在上的图像，观察图像交点个数，即可得到关1()ex x h x -==sin y x (0,π)于的方程在上解的个数.x e sin 1x x x =-(0,π)【详解】关于的方程在上解的个数， x e sin 1x x x =-(0,π)即为关于的方程在上解的个数， x 1sin ex x x -=(0,π)令，，则， 1()e x x h x -=π()0,x ∈2()exxh x -'=π()0,x ∈则当时，单调递增； (0,2)x ∈()0h x '>1()ex x h x -=当时，单调递减. (2,π)x ∈()0h x '<1()ex x h x -=又，， (1)0h =21(2)e h =π1()0πeπh =>-在同一坐标系内作出与在上的图像，两图像有1个交点 1()ex x h x -==sin y x (0,π)则关于的方程在上解的个数为1.x e sin 1x x x =-(0,π)故选：A.二．多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知数列前项和为，，则下列正确的是（ ） {}n a n n S 12211,2,320n n n a a a a a ++==-+=A. 数列为等比数列 {}1n n a a +-B.1001002a =C.21n n S =-D. 数列的前项和为 12+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n n S S n 112221n n ++--【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由递推关系可得数列与都为等比数列，然后结合等比数列的通项公式{}1n n a a +-{}n a 以及求和公式即可得到结果.【详解】由可得，，则， 21320n n n a a a ++-+=()2112n n n n a a a a +++-=-2112n n n na a a a +++-=-又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故A 正确；121,2a a =={}1n n a a +-12因为，当时，112n n n a a -+-=2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ，当时，也满足上式，()123112222111212n n n n -----=+++++=+=- 1n =11a =所以，故B 错误；991002a =因为，即数列是以为首项，为公比的等比数列，12n n a -={}n a 12则其前项和，故C 正确；n ()122112nnnS-==--因为，()()111221*********n n n n n n n n S S +++⎛⎫==- ⎪⋅----⎝⎭则其前项和 n 2233411111111121212121212121n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，故D 正确；11122111212n n n +++⎛⎫=-= ⎪-⎝--⎭故选:ACD10. 在 的展开式中，下列结论正确的是（ ）71x ⎫-⎪⎭A. 展开式的二项式系数和是128 B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 的系数是 D. 展开式中的有理项共有3项2x 7-【答案】AC【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征即可判断CD ，由组合数的性质即可判断B,由二项式系数和可判断A.【详解】对于A,二项式系数和为，故A 正确，7228=1对于B ，由于 ,所以第四项与第五项的二项式系数均为最大，故B 错误，4377C =C对于C,的通项为71x ⎫⎪⎭，令()()(){}7737227771C1C 1C ,0,1,2,3,4,5,6,7k k kkkkkkk kk xxx xk ------=--∈=，7321k k -⇒==2所以的系数是，故C 正确，2x ()1171C 7--=当时，为整数，所以有理项有4项，故D 错误，1,3,5,7k =732k-故选：AC11. 在三棱柱中，分别是上的点，且.设111ABC A B C -,M N 111,A B B C 1112,2BM A M C N B N ==，若，则下列说法1,,AB a AC b AA c ===11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠∠∠====== 中正确的是（ ）A.112333MN a b c =++ C.D. 直线与所成的角为11112A B A C ⋅=- 1AB 1BC 30 【答案】BC 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则，可判定A 错误；求得111333MN a b c =++ 定B 正确；根据向量的数量积的运算公式，求得，可判定C 正确；利用向量1111()2A B AC a c b ⋅=+⋅=的夹角公式，可判定D 错误.【详解】由题意，在中，因为，且， 111ABC A B C -1112,2BM A M C N B N ==1,,AB a AC b AA c ===，11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠∠∠====== 对于A 中，根据向量的运算法则，可得1111111111233MN MA A C C N BA A C C B =++=++，所以A 不正确； 12111()()33333c a b a b a b c =-++-=++对于B 中，因为，1111()3333MN a b c a b c =++=++可得222221(222)9MN MN a b c a b a c b c ==+++⋅+⋅+⋅B 正确；22215(1110211cos 60211cos 60)99=++++⨯⨯+⨯⨯= 对于C 中，由，111,A B a c AC b =-=则，所以C 正确；1111()011cos 602A B A C a c b a c b c ⋅=-⋅=⋅-⋅=-⨯⨯=-对于D中，由，11,AB a c BC a b c =+=-++可得11AB BC ===且，()()1111111012222BC a c a b c AB ⋅=+⋅-++=-++-++=则，所以D 错误. 1111111cos ,6BC BC AB BC AB AB ⋅==故选：BC.12. 已知椭圆一个焦点是，过点且垂直轴的直线交椭圆第一象2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,0)F F x 0l 限于点. 直线平行于（为原点），且与椭圆交于两点，与直线交于点（T 1l OT O C ,M N 0l PP 介于两点之间）.则下列正确的是（ ）,M N A. 椭圆的方程为B.C 22184x y +=4TM TN k k ⋅=-C. 面积最大值是D.TMN △||||||||TM PN TN PM ⋅=⋅【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：根据题意列式求解即可；对于B ：利用韦达定理可得，分析判断；,,a b c TM TN k k =-对于C ：利用韦达定理结合二次函数分析求解；对于D ：根据角平分线结合正弦定理分析求解.【详解】对于A ：由题意可得：，解得，22222c ba ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为，故A 正确；C 22184x y +=由题意可知：直线的斜率，1l k =设直线：，1l ()()1122,,,,y x m M x y N x y =+联立方程，消去y 得，22184y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2240x m ++-=则，解得)()()22244280m m ∆=--=->m -<<且， 21212,4x x x x m +==-对于B ：由题意可得：，TM TN k k==则()()()()122112222222TM TNx m x x m x k k x x +-++--⎝⎭⎝⎭+==--，0==所以，TM TN k k =-若，则均为定值，显然不合题意，故B 错误；2TM TN k k =-,TM TN kk 对于C ：，MN ==点到直线直线：的距离(2T 1l 0x +=d 则面积 TMN△1122TMN S MN d =⨯=△当，即时，C 正确； 24m =2m =±TMN △=对于D ：在中，由正弦定理可得， TPM △sin sin TM MPTPM MTP∠=∠在中，由正弦定理可得， TPN △sin sin TN NPT PN NTP∠=∠由选项B 可知：，即直线为的角平分线， TM TN k k =-0l MTN ∠则，即， MTP NTP ∠=∠sin sin MTP NTP ∠=∠又因为，则，πMPT NPT ∠=-∠()sin sin πsin MPTNPT NPT ∠=-∠=∠所以，整理得，故D 正确； TM TNPM PN=||||||||TM PN TN PM ⋅=⋅故选：ACD.三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 已知数列的前项和为，，，则________.{}n a n n S 12a =*10(2,N )n n n S S a n n -+=≥∈n S =【答案】 221n -【解析】【分析】利用与题设条件推得，从而得到是等差数列，进而利用等差数1n n n a S S -=-1111n n S S --=1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭列的通项公式即可得解.【详解】因为，*10(2,N )n n n S S a n n -+=≥∈所以当时，，即，2n ≥110n n n n S S S S --+-=11n n n n S S S S ---=若，则，故，显然与矛盾，故，0n S =10n S -=110a S ==12a =0n S ≠所以，又， 1111n n S S --=111112S a ==所以是以首项为，公差为的等差数列， 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭121所以，故. ()11211122n n n S -=+-⨯=221n S n =-故答案为：. 221n -14. 已知直线与相交于点，过点作圆140l ax y +-=：240l x ay --=：()R a ∈M M 的切线，切点为，则的最大值为___.()()22111C x y +++=：N MN 【答案】7【解析】【分析】先求得点的轨迹方程，再求得圆心到点M 的距离的最大值，进而利用切线长定理即M (1,1)C --可求得的最大值.MN 【详解】当时，直线过定点，斜率0a ≠140l ax y +-=：(0,4)A 1k a =-直线过定点，斜率， 240l x ay --=：(4,0)B 21k a =由，可得两直线垂直； 121()1k k a a=⨯-=-当时直线与直线垂直.0a =140l y -=：240l x -=：综上，直线与直线总垂直.140l ax y +-=：240l x ay --=：则点在以为直径的圆上，圆心，半径为，M AB (2,2)T 圆的圆心，半径为1，()()22111C x y +++=：(1,1)C --则点M 到圆心的距离的最大值为， C TC +则7MN ≤==故答案为：715. 直四棱柱的底面为正方形，分别是上底面、下底面的中1111ABCD A B C D -,E F 1111A B C D ABCD 心，在平面内的射影恰好为的重心，，则________.F BCE BCE 1AB mAA =m =【解析】【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系，设，D 1,,DA DC DD x y z 2AB =求得的重心，再利用求解即可. BCE 52(1,,)33G mFG ⋅ 0BE = 【详解】解：如图示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系：D 1,,DA DC DD x y z设，则有，2AB =(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,0)A B C D ，， 11112222(2,0,),(2,2,),(0,2,),(0,0,A B C D m m m m 2(1,1,),(1,1,0)E F m 则的重心， BCE 52(1,,33G m所以，， 22(0,,)33FG m = 2(1,1,)BE m =-- 由题意可得平面，平面， FG ⊥BCE BE ⊂BCE 所以，即有， FG ⊥BE FG ⊥ BE 所以，FG ⋅ 0BE =即有，又因为，得. 242033m -=0m >m =16. 若直线是曲线与的公切线，则______. y kx b =+()2ex f x -=()2022e 2022x g x +=-k =【答案】 10111012【解析】【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义分别求得在切点处的切线方程，由切线方程相同可构造方程组求得，即为公切线的斜率.22022e x +k 【详解】设与，分别相切于点，， y kx b =+()f x ()g x ()121,e x x -()220222,e 2022x x +-，，，，()2e x f x -'= ()2022e x g x +'=()121e x f x -'∴=()220222e x g x +'=切线方程为，，∴()11221e e x x y x x ---=-()22202220222e 2022e x x y x x -+-+=-即，，()11221e 1e x x y x x --=+-()22202220222e 1e 2022x x y x x ++=+--，即， ()()1212220222202212e e 1e 1e 2022x x x x x x -+-+⎧=⎪∴⎨-=--⎪⎩()21220222122022e 2022x x x x x +-=+⎧⎨-=-⎩解得：，即. 2202220221011e 20241012x +==10111012k =故答案为：. 10111012四．解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某学校高二1班有五名学生报名参加社团活动，社团活动共有“记者在线”、“机器人行动”、“音乐之声”三个项目，每人都要报名且限报其中一项．（1）求“每个项目都有人报名”的报名情况种数；（2）已知其中一项目恰只有三名学生报名，求只有甲同学一人报“记者在线”的概率.【答案】（1）150（2） 115【解析】【分析】（1）5名学生分三组，按人数分为3，1，1或2，2，1分类计算即可；（2）记事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”，事件为“只有甲同学一人报记者在线”，利用条件A B 概率公式计算即可.【小问1详解】“每个项目都有人报名”，则5名学生分三组，即人数分为3，1，1或2，2，1； 故此时报名情况有种. 223335353322C C C A A 150A +=【小问2详解】记事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”，事件为“只有甲同学一人报记者在线”，A B事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”，报名情况有种，A 3332253532C A C C A 120+=所以， ()51203P A =若同时发生，即其中一项目恰只有三名学生报名，且只有甲同学一人报“记者在线”，则有,A B 3242C A 8=种，所以， ()583P AB =所以. ()()()55813|120153P AB P B A P A ===18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，P ABCD -PAD M PA AD BC ∥2AD BC =，，，平面平面．2AB =1,BC AB AD=⊥PAD ⊥ABCD（1）证明：平面；DM ⊥PAB （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. PAB PCM 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面，从而得到，再由线面AB ⊥PAD AB ⊥DM 垂直的判定定理即可得到证明；（2）根据题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，结合空间A ,AB AD ,x y 向量的坐标运算即可得到结果.【小问1详解】证明：因为平面平面，平面平面，，PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =AB AD ⊥平面，所以平面，AB ⊂ABCD AB ⊥PAD 又平面，所以，DM ⊂PAD AB ⊥DM 又因为为等边三角形，为的中点，所以，PAD M PA PA ⊥DM 因为平面，,,AB PA A AB PA ⋂=⊂PAB 所以平面.DM ⊥PAB【小问2详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，A ,AB AD ,x y 则，，(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),A B C DP 1(0,2M 由（1）可知， 平面的一个法向量，DMPAB 30,2DM ⎛=- ⎝ 设是平面的一个法向量，，(,,)n x y z =PCM AP = (2,1,0)AC = 所以，即， n AP n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取，则，所以， z =33,2y x =-=3,2n ⎛=- ⎝ 所以，cos ,n DM n DM n DM⋅==⋅平面与平面 PAB PCM 19. 正项数列的前和为，且．{}n a n n S 22n n n S a a =+()n *∈N （1）求数列的通项公式； {}n a （2）设，求数列的前项和. 311212233333n n n n n n a a a a a b ---=+++++ {}n b n n T 【答案】（1） n a n =（2） 2111834n n n T ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由证明是等差数列，可求通项；11n n n S S a ++-={}n a （2）由错位相减法求的通项，再用分组求和求数列的前项和.{}n b {}n b n n T 【小问1详解】正项数列，当时，由，解得，{}n a 1n =2111122S a a a ==+11a =由，所以， 22n n n S a a =+21112n n n S a a +++=+所以，即， ()22111122n n n n n n n S S a a a a a ++++-==-+-22110n n n n a a a a ++---=，()()1110n n n n a a a a +++--=数列是正项数列，所以，{}n a 11n n a a +-=所以数列是首项为1，公差为1的正项等差数列，{}n a 所以.n a n =【小问2详解】由， 311212233333n n n n n n a a a a a b ---=+++++ 所以， 122123133333n n n n n n b ---=+++++ ，221312333(1)33n n n n b n n --=+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，12313132333(1)33n n n n b n n +-=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ 上面两式相减，得，23123133333n n n n b n -⋅=++++--+⋅ ，即， 1323313n nn n b n ---⋅=⋅-11-1)432n n n b =+（所以， 11111(1)33142213n n n n T n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥=-+⋅⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 2111834n n n T ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭20. 已知函数（为非零常数）. ()3e xf x mx =-m （1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；()f x (0,)+∞m （2）若（）表示的导函数，，当时，设1()n f x +N n ∈()n f x 0()()f x f x =1m =，若的最小值恒大于零，求的最小值.()()()()()232,N n n g x f x f x f x n n =+++≥∈ ()n y g x =n 【答案】（1） m ≤2e 12（2）8【解析】【分析】（1）根据函数在上是增函数，得在上恒成立，分离参数，构造函()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞数，求解函数最值即可得到答案；（2）先通过求导得到函数的解析式，利用导数研究单调性，利用最小值恒大于零解不等式即()n y g x =可.【小问1详解】因为，所以， ()3e x f x mx =-()2e 3xf x mx ='-因为函数在上是增函数，所以，()f x (0,)+∞()2e 30x f x mx =-≥'所以，即， 2e 3x mx ≥2e 3xm x ≥设，，则， ()2e x h x x =x ∈(0,)+∞()()3e 2x x h x x='-令得， ()()3e 20x x x x -'== ，2x =当时，函数是减函数，x ∈0,2（）()0x '< ，()h x 当时，函数是增函数， x ∈∞（2，+）()0x '> ，()h x 所以当时，的最小值为， 2x =()2e x h x x =2e 4所以，即； 3m ≤2e 4m ≤2e 12【小问2详解】由题意，，， ()()30e x f x f x x ==-()()210e 3x f x f x x =-'=，()()21e 6x x f x f x =-'=，()()()()3243e 6,e x x f x f x f x f x ='-=='=当时，， 4n ≥()e xn f x =因为，所以， 23()()()()n n g x f x f x f x =+++ ()()1e 66xn g x n x =---所以， ()()1e 6xn g x n =--'令，得， ()()1e 60x n g x n '=--=6ln 1x n =-当时，函数是减函数， 6ln1x n <-()0n g x '<()n g x 当时，函数是增函数， 6ln 1x n >-()0n g x '>()n g x 所以当时，的最小值为， 6ln1x n =-()n g x 16ln 6n -若，则，所以，所以的最小值为8. 16ln 06n ->116n ->7n >n 21. 已知双曲线，且左焦点到渐近线的()2222:10,0x y C a b a b-=>>0y +=F 直线、经过且互相垂直（斜率都存在），与双曲线分别交于点和，1l 2l F C A B 、M N 、D 、分别为、的中点.E AB MN （1）求双曲线的方程；C （2）证明：（一）直线过定点；DE （二）与的面积之比为定值．DOE DEF 【答案】（1） 2213y x -=（2）（一）证明见解析；（二）证明见解析【解析】【分析】（1）先由题给条件求得的值，进而得到双曲线的方程；,a b C （2）先利用设而不求的方法分别求得两点的坐标，求得直线的方程，进而得到直线过定,D E DE DE 点；分别表示出与的面积，进而得到与的面积之比为定值．(1,0)DOE DEF DOEDEF 【小问1详解】双曲线，所以2222:1x y C a b-=0y +=b a =左焦点，F=222c a b =+联立得，解之得,2222c a b c b ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩12a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以双曲线的方程为. C 2213y x -=【小问2详解】设直线的方程为，令1l ()2(y k x k =+≠1122(,),(,)A x y B x y 联立，整理得，， ()22213y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩2222(3)4430k x k x k ----=所以，所以 212243k x x k +=-2122223x x k k+=-，则， ()1212262423k x x y y k k ++==-+222(3k D k -，26)3k k -设直线的方程为，令 2l()12(y x k k -=+≠3344(,),(,)C x y D x y 联立，整理得， ()221213y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩222(31)4340k x x k ----=所以，所以 342431x x k +=-2342231x x k +=-，，则， ()432341622431x x y y k k k -+-=++=-22(31E k ，-2631k k --当，即时，直线的方程为. 2223k k=-2231k -1k =±DE 1x =当，，时， 1k ≠±k ≠k ≠直线的斜率为， DE 222222662331221331k k k k k k k k k ----=----直线的方程为，即， DE 2222622(313k k k y x k k k-=----22(1)1k y x k =--所以直线过点，又直线过点，DE (1,0)Q 1x =(1,0)Q 综上，直线过定点.DE (1,0)Q 所以与的面积之比为 DOE DEF 112132D E D E y y OQ y y FQ -=-22. 已知函数在点处的切线过点，关于x 的方程有两()21ln f x mx x =++(1,(1))f (1,2)-()0f x n -=个实数根.,()a b a b <（1）证明：()1f x x ≤-（2）证明：12b a n -<-【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用题给条件求得m 的值，进而得到的解析式，构造新函数()f x 并利用导数求得其最大值，即可证明成立；()2ln (0)F x x x x x =-+>()1f x x ≤-（2）由（1）的结论得，构造新函数()10f b b +-≤()()2ln 1G x f x x x x x x ⎛⎫⎛=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，并利用导数求得其最大值，即可得，进而证得成立.()()0G a f a a =-<12b a n -<-【小问1详解】，则， ()21ln f x mx x =++()12f x mx x'=+又，， ()11f m =+()121f m '=+则函数在点处的切线为： ()21ln f x mx x =++(1,(1))f ，()()()1211y m m x -+=+-把点代入得：，(1,2)-()()()212111m m -+=+--解之得，则 1m =-()21ln f x x x =-++由，可得()1f x x ≤-2ln 0x x x -+≤令， ()2ln (0)F x x x x x =-+>则 ()()()()2111210x x F x x x x x+-'=-+=>∵，，0x >210x +>令，则；令，则；()0F x '>01x <<()0F x '<1x >则在上单调递增，在上单调递减，可得，()F x ()0,1()1,+∞()()10F x F ≤=故，即.2ln 0x x x -+≤()1f x x ≤-【小问2详解】由题意可得：， ()()2ln 10f x x x x =-+>则， ())120f x x x x '=-=>∵，，0x>10+>令，解得，解得； ()0f x '>0x <<()0f x '<x >则在上单调递增，在上单调递减，()f x⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭可得，()1ln 22f x f -≤=由关于x 的方程有两个实数根，()f x n =,()a b a b <得， ()()1ln2,0,2n a b f a f b n -<<<<==由（1）得：对恒成立，得，()10f x x +-≤()0,x ∀∈+∞()10fb b +-≤设，()()2ln 1G x f x x x x x x ⎛⎫⎛=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎝⎭则， ()()()121121x x G x x x x x ⎛⎫⎛-+'=--=∈ ⎪⎪⎝⎝⎭∵，则， x ⎛∈ ⎝10x +>令，解得；令，解得， ()0G x '>102x <<()0G x '<12x <<则在上单调递增，在上单调递减，可得， ()G x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛ ⎝()114ln 2024G x G -⎛⎫≤=< ⎪⎝⎭故对恒成立，可得， ()0G x <x ⎛∀∈ ⎝()()0G a f a a =-<所以()()()12121b a n b a n b a f a f b ---=--+=--++，=()()10f a a f b b ⎡⎤⎡⎤-++-<⎣⎦⎣⎦所以 12b a n -<-。
2022-2023学年江苏省南京市高二下学期期中联考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．曲线：在点处的切线方程为（ ）C sin xy x =(),0P πA ．B ．11y x π=-+11y x π=-C ．D ．2y x ππ=-2y x ππ=-+【答案】A【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．【详解】解：的导数为sin xy x =()2sin sin cos sin ,x x x x x x x y x x '-⋅-=''=所以曲线在点处的切线斜率为(),0P π2cos sin 1,k πππππ-==-即曲线：在点处的切线方程为 即为．C sin x y x =(),0P π()1y x ππ=--，11y x π=-+故选：A.2．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（ ）种.A ．B ．C ．D ．34A 344334C 【答案】C【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有种可能433333⨯⨯⨯=故选：C ．3．已知点，则点到直线的距离是（ ）()()()1,0,2,1,1,2,1,1,2A B C --A BC ABCD ．5【答案】B【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可.【详解】设，()2,1,0,(2,0,4),BC AB a BC u BC →==-=-==可求得()2,1,0a u⋅=-⋅=所以d ==故选：B4．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，给出下列4个条件：①a 1=1；②a 4=4； ③S 3=9；④S 5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B【分析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算，对比即可得出结果.【详解】设等差数列{an }的公差为，d ，，，即，11a =4134a a d =+=3113233392S a d a d ⨯=+=+=13a d +=即.511545510252S a d a d ⨯=+=+=，125a d +=当，时，①③④均成立，②不成立.11a =2d =故选：B5．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中1234A a a a a =出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，()1,2,3,4i a i =13231234X a a a a =+++的数学期望（ ）X ()E X =A ．B ．2C ．D ．34383【答案】C【分析】根据二项分布求期望.【详解】由题意，，()44120,1,2,3,4,C 33kkk X P X k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故24,,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()28433E X ∴=⨯=故选:C.6．“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．291811258【答案】A【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书、数学书和语文书，计算出每种情况的概率即可.【详解】设事件A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件表示丢失的一箱为分别表kB ,1,2,3k k =示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得．()()()2223554222219999C C C 11382|2C 5C 10C C 9k k k P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯==∑故选：A7．已知函数，若存在，使不等式成立，则实数()sin f x x x =+[]0,x π∈(sin )(cos )f x x f m x ≤-的最小值为（ ）m A ．B ．C ．D ．1-012π【答案】A【分析】由定义知为奇函数，应用导数研究单调性，将问题转化为上()f x []0,π求的取值范围.min(cos sin )m x x x ≥+m 【详解】由题设，，即在R 上为奇函数；()()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-()f x 在上，故在上递增，易知：在R 上递增，(0,)+∞()1cos 0f x x '=+≥()f x (0,)+∞()f x 又，则，即上；(sin )(cos )f x x f m x ≤-sin cos x x m x ≤-[]0,πmin (cos sin )m x x x ≥+令，则，故上，递增；上，递减，而cos sin y x x x =+cos y x x '=π[0,)20y '≥y (,]2ππ0'<y y ，，此时；0|1x y ==|1x y π==-1m ≥-综上，的最小值为.m 1-故选：A8．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：l …，记此数列的前n 项之和为，则的值为（ ）．1,3,3,4,6,5,10,n S 32SA ．452B ．848C ．984D ．1003【答案】C【分析】观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，分别求奇数项和与偶数项和，从而得到前n 项和.【详解】设数列为，前32项里面有偶数项16项，奇数项16项，当为偶数时，易知{}n a n ，且，所以，所以偶数项之和为，42n n a +=23a =32324182a +==()318161682+⨯=当为奇数时，，，，，…，n 02221C C ==12333C C ==246C =325510C C ==所以，则，232C n n a +=2231331172C C a +==所以前32项里面奇数项和为：，2222232222234517334517C C C C C C C C C C =++++++++++ 又由组合数性质，所以11C C C m m m n n n -++=，22222322222345173345131876C C C C C 81C C C C C C ++++++++++=== 所以.32816168984S =+=故选：C.二、多选题9．在等比数列中，，若对正整数n 都有，那么公比的取值可以是（ ）{}n a 10a <1n n a a +<q A ．B ．C ．D ．12-1213-13【答案】BD 【分析】根据，判断出即，且.进而根据推知则1n n a a +<n n a a q<(1)n a q -0<0q >10,0a q <>，最后可得的范围.0,10n a q <->q【详解】在等比数列中，，若对正整数都有, 则即；{}n a 10a <n 1n n a a +<n n a a q <(1)0n a q -<若 ，则数列 为正负交错数列，上式显然不成立；0q <{}n a 若 ，则 , 故 ，因此 .0q >0n a <10q ->01q <<所以公比的取值可以是，；q 1213故选：BD.10．已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则下列说法正确的是A B A B ()0P A >()0P B >（ ）．A ．B ．()()()P B A P B A P A +=()()1P B A P B A +=C ．若，独立，则D ．若，互斥，则A B ()()P A B P A =A B ()(|)P A B P B A =【答案】BCD【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断．【详解】选项A 中：，故选项A 错误，选项B 正确；()()()()()1()()P AB P AB P A P B A P B A P A P A ++===选项C 中：，独立，则，则，故选项C 正确；A B ()()()P AB P A P B =()()()()P AB P A B P A P B ==选项D 中：，互斥，则，根据条件概率公式，A B ()0P AB =()()0P B A P A B ==故选项D 正确，故选：BCD11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，P ABCD -ABCD π3DAB ∠=22AB AD PD ==底面，则（ ）．PD ⊥ABCDA ．B ．与平面所成角为PA BD⊥PB ABCD π6C ．异面直线与D ．二面角AB PC A PB C --【答案】ABD【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐BD BD AD ⊥标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.【详解】连接，因为，设，BD π3DAB ∠=222AB AD PD a ===由余弦定理得，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅⋅∠所以，则，2222214432BD a a a a =+-⋅=BD =则，即，又底面，底面，222BD AD AB +=BD AD ⊥PD ⊥ABCD ,AD BD ⊂ABCD 所以，,PD AD PD BD ⊥⊥如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，D ,,DA DB DP ,,x y z 则()()()()()0,0,0,,0,0,,0,,0,0,0,D A a B C a P a -对于A ，所以，，则，(),0,PA a a =-()0,,0BD =0000PA BD ⋅=++=所以，故A 正确；PA BD ⊥对于B ，又，因为底面，所以是平面的一个法向(),PB a=-PD ⊥ABCD ()0,0,DP a =ABCD 量，所以，21cos ,22PB DP a PB DP a aPB DP ⋅-===-⋅⋅则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B 正确；PB ABCD 12PBABCD π6对于C ，，()(),0,,AB a PC a a=-=--则，cos ,AB PC AB PC AB PC⋅===⋅则异面直线与，故C 错误；AB PC 对于D ，设平面的法向量为，则，令PAB ()111,,x n yz = 111111110000ax az x z PA n ax x AB n ⎧-==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，则，11y =n =设平面的法向量为，则，令PBC ()222,,m x y z =2222222200000az PB m z x PC m ax az ⎧⎧-=⋅==⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⋅=-+-=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，则，21y=(m =所以cos ,n m n m n m ⋅===⋅令二面角所成角为，则A PBC --()0θθπ≤≤cos θ=则平面与平面PABPBC所以D 正确.sin θ==故选：ABD.12．已知函数，则（ ）()()2e x f x x a =+A ．函数在R 上单调递增，则()f x 1a ≥B ．当时，函数的极值点为－11a =()f x C ．当时，函数有一个大于2的极值点8a <-()f x D ．当时，若函数有三个零点，则0a =()y f x m=-123,,x x x 1233x x x ++<-【答案】ACD【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A ；利用导数与函数的极值点之间的关系判断B ，C ；对于D ，作出函数大致图象，判断的范围，进而根据，可得到123,,x x x 122212e e x x x x =，由此采用换元法并构造函数，从而证明21212lnx x x x -=(),(02)n 1(1l )1t t t t h t =<+<-+，判断D.1233x x x ++<-【详解】对于A ，由可得，()()2e x f x x a =+()()2e 2x f x x x a '=++若函数在R 上单调递增，则恒成立，即恒成立，()f x ()0f x '≥220x x a ++≥故，故，440a ∆=-≤1a ≥经验证时，，仅在时取等号，适合题意，1a =()2e (1)0x f x x '=+≥=1x -故函数在R 上单调递增，则，A 正确；()f x 1a ≥对于B ，当时，，1a =()()2e 1x f x x =+，仅在时取等号，在R 上单调递增，()2e (1)0x f x x '=+≥=1x -()f x 函数无极值点，B 错误；对于C ，由于，()()2e 2x f x x x a'=++当时，，则不妨取，8a <-222(1)10x x a x a ++=++-=1211x x =-=-且或时，函数，1x x <2x x >220y x x a =++>()0f x ¢>当时，函数，，12x x x <<220y x x a =++<()0f x '<故的极小值点，且由于，则，则，C 正确；21x =-()f x 8a <-19a ->22x >对于D ，当时, ,0a =()()22e ,e (2)x x f x x f x x x '=∴=+当或时，，当时，函数，<2x -0x >()0f x ¢>20x -<<()0f x '<则在上单调递增，在上单调递减，且，()f x (,2),(0,)-∞-+∞(2,0)-()0f x ≥故可作出其大致图像如图：函数有三个零点，即函数的图象与直线有三个交点，()y f x m=-123,,x x x ()f x y m =不妨设，由于，而，且，故，123x x x <<()224e f --=()21e 4e f -=>234(e )f x m -=<301x <<由图象可知，122,20x x <--<<考虑到当m 趋近于0时，会趋近于无限小，趋近于0，故猜测，1x 2x 124x x +<-下面给以证明：由题意可知，故，122212e e x x x x =1222212211e ,2ln x x x x x x x x -=∴-=设，则，故，21,01x t t x =<<21x tx =1122ln 2ln (1)2ln ,,11t t t x t t x x t t -=∴==--则，122ln 2ln 2(1)ln 111t t t t tx x t t t ++=+=---要证明，即证，即，124x x +<-2(1)ln 41t t t +<--2(1)ln 01t t t -+<+设，故，(),(02)n 1(1l )1t t t t h t =<+<-+22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t --'=+=>++故在上单调递增，()h t (0,1)故，即成立，故，()(1)0h t h <=2(1)ln 41t tt +<--124x x +<-而，故成立，D 正确，301x <<1233x x x ++<-故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题要综合应用导数与函数的单调性以及极值点之间的关系等知识，同时注意数形结合以及构造函数等方法，难点在于判断时，要首先判断出三者的范围，1233x x x ++<-进而数形结合，合理猜测，进而利用构造函数的方法加以证明.三、填空题13．若的展开式中第5项的二项式系数最大，写出一个符合条件的n 的值是(2)nx -_________．（写出一个满足条件的n 的值即可）【答案】7（答案不唯一：7，8，9均可）【分析】分为奇数和偶数两种情形，结合二项式系数的特征即可得结果.n 【详解】当为偶数时，若，第5项二次项系数最大；n 8n =当为奇数时，若，第4、5项二次项系数最大，合乎题意；n 7n =若，第5、6项二次项系数最大，合乎题意；9n =故的值为：7，8，9n 故答案为：7（答案不唯一：7，8，9均可）14．某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中_______次．【答案】8或9【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m 次，于是，()(1)()(1)P X m P X m P X m P X m =≥=-⎧⎨=≥=+⎩解出不等式即可得到答案.【详解】投篮命中次数，(14,0.6)X B ~1414()C 0.60.4kk k P X k -==⋅⋅设最有可能命中次，则m 14111514141411131414()(1)C 0.60.4C 0.60.4()(1)C 0.60.4C 0.60.4m m m m m m m m m m m m P X m P X m P X m P X m -----++-⎧⎧=≥=-⋅⋅≥⋅⋅⎪⇒⎨⎨=≥=+⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩⎩，，或．89m ⇒≤≤ m ∈Z ∴8m =9m =最有可能命中8或9次．故答案为：8或9.15．已知数列的项数为，且，则的前n 项和为{}i a ()N n n *∈1C (1,2,)i i n i n a a i n -++== {}i a n S _______．【答案】212n -【分析】根据倒序相加法求得，再根据二项式系数和公式即可求解.121=C +2C C C n nn n n n nS -+++ 【详解】因为，又，121n n n S a a a a -=++++ 121n n n S a a a a -=++++ 所以()()()()1211212n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++ 又因为，1C (1,2,)i i n i n a a i n -++== 所以，即.12112C C 2=C C +n n n n n n n n S -+++=- 12=2n n S -故答案为：.212n -16．设函数，若有且仅有两个整数满足，则实数()()3e 5,Rx f x x tx t t =--+∈(1,2)i x i =()0i f x >的取值范围为_________．t 【答案】e 3,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】设，，利用导数求出的单调区间，即可求出其最大值，依()()3e xg x x =-()()5h x t x =-()g x 题意有且仅有两个整数满足，即可得到且，从而(1,2)i x i =()()i i g x h x >()()110g h ->()()000g h -≤求出参数的取值范围.【详解】设，，则，()()3e xg x x =-()()5h x t x =-()()e 2x g x x '=-，，在上单调递增，(),2x ∴∈-∞()0g x '>()g x (),2-∞，，在上单调递减，()2,x ∈+∞()0g x '<()g x ()2,+∞时函数取极大值即最大值，2x ∴=()g x ()()2max 2e g x g ==又，，，()03g =()12eg =()03g =直线恒过定点且斜率为，()()5h x t x =-()5,0t 要使有且仅有两个整数满足，(1,2)i x i =()0i f x >即有且仅有两个整数满足，(1,2)i x i =()()i i g x h x >且，()()()112e 150g h t ∴-=-->()()()003050g h t -=--≤解得，即.e 325t -<≤-e 3,25t ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦故答案为：．e 3,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦四、解答题17．已知等式．6260126(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++ (1)求的值；3a (2)求的值；0126a a a a ++++ (3)求1236236a a a a ++++ 【答案】(1)160-(2)729(3)6-【分析】（1）令将式子转化为，再写出展开式的通项，1t x =+()62601262t a a t a t a t -=++++ ()62t -即可求出；3a （2）令计算可得；1t =-（3）将两边对求导，再令计算可得.()62601262t a a t a t a t -=++++ t 1t =【详解】（1）因为，6260126(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++ 令，则，1t x =+1x t =-所以，()62601262t a a t a t a t -=++++ 又展开式的通项为，令，解得，()62t -()616C 2rr rr T t -+=-6r 3-=3r =所以.()3336C 2160a =⨯-=-（2）因为展开式的通项为，()62t -()616C 2rr rr T t -+=-所以，，，，，，，00a >20a >40a >60a >10a <30a <50a <所以，01260123456a a a a a a a a a a a +++-+=-++-+ 令可得，1t =-()0124663512729a a a a a a a --++-+=--=所以.0126729a a a a ++++= （3）对两边同时对求导可得，()62601262t a a t a t a t -=++++ t ，()523412346556223456t a a t a t a t a t a t -=+++++令可得.1t =()512362366126a a a a ++++=-=- 18．已知数列的前n 项和为，，且满足．{}n a n S 0n a >()241n n S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设的前n 项和为，求．14nn n n S b a a +=n T n T 【答案】(1)21n a n =-(2)22221n n n T n +=+【分析】（1）先用替换原式中的，然后两式作差，结合与的关系，即可得到为等()1n -n n a n S {}n a 差数列，从而得到其通项；（2）由（1）的结论，求得及，代入化简，得到的式子，再裂项相消即可求出n S 1n a +14nn n n S b a a +=n T 结果.【详解】（1）因为，当时，，两式作差得()241n n S a =+2n ≥()21141n n S a --=+，()()221121241212n n n n n n n a a a a a a a ---=+-=+--+即，又，所以，当时，，221122n n n n a a a a --+=-0n a >2n ≥12n n a a --=又当时，，解得，1n =()21141a a =+11a =可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列，{}n a 所以，即1(1)2n a n =+-⨯21n a n =-（2）由（1）知，所以2(121)2n n n S n +-==，221444111111((21)(21)(21)(21)22121n n n n S n n b a a n n n n n n +-+====+--+-+-+.22111111211(2131112)(1235)2112212n n n n n n T b b n n n n b =+++=-+-+-++=+-=+++-+ 19．设函数．321()(1)32a f x x x a x =-+-(1)若，求函数的单调区间；2a >()f x (2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．()f x a 【答案】(1)递增区间为，，递减区间为；(),1-∞()1,a -+∞()1,1a -(2).443a <<【分析】（1）利用导数研究的符号，即可得的单调区间.()f x '()f x （2）讨论、、，结合的极值，要使恰有一个零点，有极大值小于0或2a >2a =2a <()f x ()f x 极小值大于0，即可求参数范围.【详解】（1）由题设，，而，则，2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---2a >11a ->由于的关系为：(),(),x f x f x 'x(),1-∞1()1,1a -1a -()1,a -+∞()f x '+极大值-极小值+()f x 递增递减递增所以的递增区间为，，递减区间为；()f x (),1-∞()1,a -+∞()1,1a -（2）当时，由（1），极大值，极小值，2a >34(1)6a f -=2(4)(1)(1)6a a f a ---=要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所()f x 34(1)06a f -=<2(4)(1)(1)06a a f a ---=>4a <以；24a <<当时单调递增，显然有且只有一个零点，符合题意；2a =321()3f x x x x =-+当时，递增区间为，，递减区间为；2a <()f x (),1a -∞-()1,+∞()1,1a -极大值，极小值，2(4)(1)(1)6a a f a ---=34(1)6a f -=要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所()f x 2(4)(1)(1)06a a f a ---=<34(1)06a f -=>43a >以；423a <<综上：.443a <<20．如图，四面体中，，，，为的中点．ABCD AD CD ⊥AD CD =ADB BDC ∠=∠E AC(1)证明：平面；AC ⊥BDE (2)设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为DE BE ⊥1DE =60ACB ∠=︒F BD CF ABD点的位置．F 【答案】(1)证明见解析(2)为的四等分点且靠近点位置F BD D【分析】（1）根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，ABD CBD ≅ AB CB =结合线面垂直的判定即可证明；（2）根据已知求证、、两两垂直，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则DE AC BE 进行计算即可.【详解】（1）因为，为的中点，所以，AD CD =E AC AC DE ⊥在和中，ABD △CBD △,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==所以，所以，又为的中点，ABD CBD ≅ AB CB =E AC 所以，又平面，，AC BE ⊥,DE BE ⊂BDE DE BE E ⋂=所以平面.AC ⊥BDE （2）因为，则，，ABD CBD ≅ AB CB =AD CD =由且，所以是等边三角形，60ACB ∠=︒AB CB =ABC 由且，为的中点，AD CD ⊥AD CD =E AC 所以，在等腰直角中，则，ADC △DE =1AE EC ==BE =故，又且，DE AC ⊥BE DE ⊥AC BE ⊥以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，E E xyz -则，所以，，()()()1,0,0,,0,0,1A B D ()()1,0,1,AD AB =-=-()1DB =-设面的一个法向量为，则，取，ABD (),,nx y z = 00n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩y =()n = 又，，()1,0,0C -()1,0,1CD =设，，(),DF DB λλ==-[]0,1λ∈所以，(),1CF CD DF λ=+=-设与平面所成的角的正弦值为，CF ABD π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭因为sin cos ,n θ= 所以，cos ,n CF n CF n CF ⋅=== 所以，解得，()2410λ-=14λ=所以为的四等分点且靠近点位置.F BD D21．甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积03:03:1分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为，乙每3:223局获胜的概率为．13(1)甲、乙两队比赛1场后，求乙队积3分的概率；(2)甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】(1)19(2)11206561【分析】（1）由题意可知乙队以3：0或3：1取胜，分别求出其概率，进而可求出结果；（2）设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，由两队积分相等，可推出i i X i Y 3i i X Y =-1i =，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．123X X +=【详解】（1）（1）由题意可知乙队以3：0或3：1取胜，当乙队以3：0获胜时，，3111()327P ==当乙队以3：1获胜时，，12232112C (()33327P =⨯⨯⨯=所以甲、乙两队比赛1场后，乙队积3分的概率为.1212127279P P P =+=+=（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，A 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，i i X i Y 3i i X Y =-1i =因两队积分相等，所以，即，则，1212X X Y Y +=+1212(3)(3)X X X X +=-+-123X X +=而，()3213121110C 33339P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222421181C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2224212162C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23232122163C 333327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()P A 12121212(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)P X P X P X P X P X P X P X P X ===+==+==+==．1168161681611120927818181812796561=⨯+⨯+⨯+⨯=22．已知函数.()()2ln f x x m x m R =+∈（1）当时，求的最值；1m =-()f x （2）当时，记函数的两个极值点为，，且，求2m =()()()5g x f x ax a =-≥1x 2x 12x x <的最大值.()()21g x g x -【答案】（1），无最大值.（2）min 1ln 2()2f x +=154ln 24-【分析】（1）当时，函数，求出函数的导函数，令，从而得到函数1m =-()2ln f x x x=-()'0f x =的单调区间，求出函数的最值；（2）当时，，求出导函数，由函数有两个极值点，可知，是2m =2()2ln (0)g x x x ax x =+->1x 2x 方程的两个不等实根，由韦达定理可得，，因此2220x ax -+=122ax x +=121=x x ，令，则，依题意可得，则()()2221222212ln g x g x x x x -==-+22t x =()()2112ln g x g x t t t -=-+22x ≥令，，利用导数说明其最值即可；1()2ln h t t t t =-+[)4,t ∈+∞【详解】解：（1）当时，函数的定义域为，1m =-()2ln f x x x =-()0,∞+2121'()2x f x x x x -=-=令，得，()'0f x =x =所以函数在上单调递减，在上单调递增，()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭所以，无最大值.min 1ln 2()2f x f +==（2）当时，，.2m =2()2ln (0)g x x x ax x =+->2'()2g x x a x =-+因为，是方程的两个不等实根，1x 2x 2220x ax -+=所以，，122ax x +=121=x x 因此()()()()22212221112ln 2ln g x g x x ax x x ax x -=-+--+.()()222211212122lnx x x x x x x x =-++-+22222122221212ln 2ln x x x x x x x =-+=-+令，则，22t x =()()2112ln g x gx t t t -=-+因为，22x =≥=所以.[)224,t x =∈+∞令，，1()2ln h t t t t =-+[)4,t ∈+∞则，在上恒成立，222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=--+=-=-<[)4,t ∈+∞所以在上单调递减，1()2ln h t t t t =-+[)4,t ∈+∞故.max 115()(4)42ln 44ln 244h t h ==-+=-即的最大值为.()()21g x g x -154ln 24-【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，单调性以及极值问题，属于中档题.。
江苏省南京市高二数学下学期期中试题 理(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省南京市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上）1．（5分）某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n= 75 ．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量解答：解：设出样本容量为n，∵由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，∴=，∴n=75，故答案为：75点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．2．（5分）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为73 分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：由茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，69，72，78，80，83运动员的平均训练时间为：（64+65+69+72+78+80+83）=73故答案为：73点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．3．（5分）设（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4= 1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：在等式（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中，令x=1可得 a0+a1+a2+a3+a4的值．解答：解：在等式（2x﹣3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中，令x=1可得 a0+a1+a2+a3+a4=1，故答案为 1．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．4．（5分）如图所示的伪代码运行后输出的结果为22 ．x←5y←﹣20If x＜0Thenx←y﹣3Elsey←y+3End IfPrint x﹣y考点：伪代码．专题：图表型．分析：利用条件语句，确定变量的赋值方法，即可求得结论．解答：解：由题意，若x＜0，则将y﹣3赋给x；若x＞0，则将y+3赋给x ∴x=5，y+3=﹣20+3=﹣17，∴x﹣y=5+17=22故答案为：22．点评：本题考查伪代码，考查学生的读图能力，属于基础题．5．（5分）同时掷两颗骰子，得到的点数和为4的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：正确列举基本事件数，找出点数之和为4的，由概率公式可得答案．解答：解：同时掷两颗骰子得到的点数共有36种情况，即（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6），（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6），（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6），而和为4的情况数有3种，即（1，3）（2，2）（3，1）所以所求概率为=，故答案为：点评：本题考查列举法求解等可能事件的概率，属基础题．6．（5分）五个数1，2，3，4，x的平均数是3，则这五个数的标准差是．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：根据平均数公式先求出a，再求出方差，开方得出标准差．解答：解：由已知，1，2，3，4，a的平均数是3，即有（1+2+3+4+x）÷5=x，易得x=5 根据方差计算公式得s2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=×10=2所以标准差s=故答案为：．点评：本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．7．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S= 10 ．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4，又∵1+2+3+4=10故答案为：10．点评：本题考查循环结构，解本题的关键是看懂程序执行的过程，读懂其运算结构及执行次数．8．（5分）从一群游戏的孩子中抽出k人，每人扎一条红带，然后让他们返回继续游戏，一会儿之后，再从中任取m人，发现其中有n人扎有红带，估计这群孩子的人数为．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：本题是一个情景问题，由问题描述知k个小孩在总体中所占的比例是，由此比例关系计算出总共多少人选出正确选项解答：解：由题意，k个小孩在总体中所点的比例是，故总体的人数是k÷=．故答案为：．点评：本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，理解题意，由题中描述得出k个小孩在总体中所点的比例是解题的关键，本题是实际背景的情景的问题，要注意与抽样中样本与总体这些术语的对应，从而得到计算方法．9．（5分）（+x）n展开式中所有奇数项的系数和为512，则展开式中第3项为．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意结合二项式系数的性质求得n=10，再根据二项式展开式的通项公式求得展开式中第3项．解答：解：由于（+x）n展开式中所有奇数项的系数和为512，故所有偶数项的系数和也等于512，故展开式中所有项的系数和为2×512=2n，解得n=10．故展开式的第三项为 T3=••x2=，故答案为．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10．（5分）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数共有108 个．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：若末尾是0，这样的四位数共有个．若末尾是5，则最高位不能是0，共有4=48个，再把这2个值相加，即得所求．解答：解：若末尾是0，则其余的位任意排列，则这样的四位数共有=60个，若末尾是5，则最高位不能是0，故最高位的排法有4种，中间2个位任意排，共有4=48个，综上，能被5整除的数共有 60+48=108个，故答案为 108．点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，分类讨论，属于中档题．11．（5分）1﹣100C+1002 C﹣1003 C+…（﹣1）k100k C+…+10010 C除以97的余数是54 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：所给的式子即（1﹣100）10=（97+2）10=++…++．故展开式中最后一项除以97的余数，即为所求解答：解：由于1﹣100C+1002 C﹣1003 C+…（﹣1）k100k C+…+10010=（1﹣100）10=（97+2）10=++…++．显然，展开式中，除了最后一项外，其余的各项都能被97整除，故展开式中最后一项除以97的余数，即为所求．而展开式中最后一项为1024，它除以97的余数为54，故答案为 54．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现额转化的数学思想，属于中档题．12．（5分）6名同学站成一排合影，若甲乙两名同学之间恰有两名同学，共有144 种不同的排法．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：先排好甲乙，方法有2种；再向甲乙二人之间插入2个同学，方法有种；把这4个人看成一个整体，再与其余的2个人全排列，方法共有种．再根据分步计数原理求得结果．解答：解：先排好甲乙，方法有2种；再向甲乙二人之间插入2个同学，方法有=12种；把这4个人看成一个整体，再与其余的2个人全排列，方法共有=6种．再根据分步计数原理求得所有的排列数共有2×12×6=144种，故答案为 144．点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于中档题．13．（5分）（2013•静安区一模）求和：= n•2n﹣1．（n∈N*）考点：二项式定理．专题：计算题．分析：根据（1+x）n=+++…+，两边同时对x求导，再令 x=1，可得答案．解答：解：∵（1+x）n=+++…+，两边同时对x求导可得 n（1+x）n﹣1=+2+3+…+n．令 x=1可得，n•2n﹣1=，故答案为n•2n﹣1．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，属于中档题．14．（5分）把5名新同学分配到高一年级的A、B、C三个班，每班至少分配1人，其中甲同学已分配到A班，则其余同学的分配方法共有50 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：若A班只有甲一人，则B班可能有1人、二人、三人，分配方案共有++种．若甲班有2人，则B班可能有1人、二人，分配方案共有•+•=24 种．若甲班有3人，则B班只能有1人，分配方案共有种．再把求得的这三个数相加，即得所求．解答：解：若A班只有甲一人，则B班可能有1人、二人、三人，故分配方案共有++=14种．若甲班有2人，则B班可能有1人、二人，则分配方案共有•+•=24 种．若甲班有3人，则B班只能有1人，则分配方案共有=12种．综上，其余同学的分配方法共有50种，故答案为 50．点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，分类讨论，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）15．（14分）（2009•泰安一模）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数；（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x﹣y|≤5的事件概率．考点：频率分布直方图；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）由频率分布直方图分析可得后三组的频率，再根据公式：频率=，计算可得答案．（2）由等差数列可算出第六组、第七组人数，再算出小矩形的高度即可补图；（3）本小题是属于古典概型的问题，算出事件|x﹣y|≤5所包含的基本事件个数m，和基本事件的总数n，那么事件的概率P（A）=．解答：解：（1）由频率分布直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9人（2分）这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144人（4分）（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2人，设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，又m+2=2（7﹣m），所以m=4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06，（6分）频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图（8分）（3）由（2）知身高在[180，185]内的人数为4人，设为a，b，c，d．身高在[190，195]的人数为2人，设为A，B．若x，y∈[180，185]时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．若x，y∈[190，195]时，有AB共一种情况．若x，y分别在[180，185]，[190，195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB 共8种情况所以基本事件的总数为6+8+1=15种（12分）事件|x﹣y|≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种，故（14分）点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=，同时还考查了古典概型的计算．16．（14分）设O为坐标原点，点P的坐标为（x﹣2，x﹣y）．（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现随机从此盒中先后连续抽出两张卡片，记两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第一象限的概率；（2）若利用计算机随机在区间[0，3]上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第一象限的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）记抽到的卡片标号为（x，y），先求出所有情况，再求出“点P在第一象限”的情况，利用古典概型公式，可得结论；（2）先确定“点P在第一象限”对应的不等式与面积，再求出所表示的区域面积，利用几何概型的概率公式，可得结论．解答：解：（1）记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为：（x，y）（1，2）（1，3）（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）P（x﹣2，x﹣y）（﹣1，﹣1）（﹣1，﹣2）（0，1）（0，﹣1）（1，2）（1，1）共6种．记事件A为“点P在第一象限”，则由表格可知满足事件A的（x，y）有（3，1），（3，2）两种情况，∴P（A）==；（2）记事件B为“点P在第一象限”，由，可得其所表示的区域面积为3×3=9由题意可得事件B满足，即如图所示的阴影部分，其区域面积为=∴P（B）==．点评：本题考查概率的计算，区分古典概型与几何概型是关键．17．（14分）已知二项式（2+x2）8，求：（1）二项展开式第3项的二项式系数；（2）二项展开式第8项的系数；（3）系数最大的项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由于二项展开式第3项的二项式系数为，运算求得结果．（2）求出二项展开式第8项，即可得到二项展开式第8项的系数．（3）由，解得2≤r≤3，r∈N，所以，r=2 或3，由此可得系数最大的项．解答：解：（1）由于二项展开式第3项的二项式系数为=28．…（3分）（2）二项展开式第8项为 T8=•2•（x2）7=16 x14，故二项展开式第8项的系数为16．…（8分）（3）由…（10分）解得2≤r≤3，r∈N，所以r=2 或3．…（14分）所以，系数最大的项为T3=1792x4，T4=1792x6．…（16分）点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某项的系数，属于中档题．18．（16分）某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值为R（x）=3700x+45x2﹣10x3（万元），成本函数为C（x）=460x+5000（万元）．又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为M f（x）=f（x+1）﹣f（x）求：（1）利润函数p（x）及边际利润函数M p（x）；（2）年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题；导数的概念及应用．分析：（1）由“利润等于收入与成本之差．”可求得利润函数p（x），由“边际函数为Mf （x），定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）”可求得边际函数．（2）由利润函数p（x）是二次函数，故可以求出函数p（x）的最大值p（x）max；边际利润函数为Mp（x）是一次函数，也可以求出其最大值．解答：解：（1）p（x）=R（x）﹣C（x）=﹣10x3+45x2+3240x﹣5000（x∈N，且x∈[1，20]），…（3分）M p（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣30x2+60x+3275，（x∈N，且x∈[1，19]），…（6分）每个定义域（1分）．（2）P′（x）=﹣30x2+90x+3240（x∈[1，20]…（7分）=﹣30（x+9）（x﹣12）…（8分）当1＜x＜12时，P′（x）＞0，P（x）为单调递增；…（11分）当12＜x＜20时，P′（x）＜0，P（x）为单调递减，…（14分）所以x=12时，p（x）取得最大值，…（15分）即年造船12艘时，可使公司造船的年利润最大．…（16分）没答或必要的所有扣（1分）．点评：本题考查了利润函数模型的应用，本题中利润函数是二次函数，利用配方法或图象的对称轴，都可以得出函数的最大值，需要注意自变量的取值是正整数．19．（16分）（2013•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．解答：解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．消去a可得，2b4﹣5b2﹣3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，∴椭圆E 的方程为．（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，∵A，P，M 三点共线，∴，∴，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．（ⅱ）直线BP 的斜率为，直线m 的斜率为，则直线m 的方程为，====，即．所以直线m过定点（﹣1，0）．点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．20．（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；解题方法．分析：（1）当a=﹣2时故函数在（1，+∞）上是增函数．（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．所以此时有最值．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e2．（3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．解答：解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质及研究单调性与函数的最值，还考查求参数的范围，解决此类问题的关键是分离参数后转化为恒成立问题，即求新函数的最值问题，是近年高考考查的热点．2013年9月1日。
江苏省2021版高二下学期期中数学试卷(理科)C卷(模拟)
江苏省2021版高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·宜春期中) 某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供学生选修，其中4﹣1，4﹣2，4﹣4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A . 120B . 98C . 63D . 562. （2分） (2019高二下·新城期末) 如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有（）A . 24种B . 16种C . 12种D . 10种3. （2分） (2019高二下·赤峰月考) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（）A . 0.7B . 0.6C . 0.4D . 0.34. （2分）已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且=0.6826，则=（）A . 0.1588B . 0.1587C . 0.1586D . 0.15855. （2分） (2019高二下·太原月考) 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A . 19B . 26C . 7D . 126. （2分） (2015高二下·营口期中) （3x+ ）8（n∈N+）的展开式中含有常数项为第（）项．A . 4B . 5C . 6D . 77. （2分）在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A . 0.35B . 0.65C . 0.858. （2分）(2020·龙江模拟) 用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·太原模拟) 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X≥4）=0.1587，则P（2＜X ＜4）=（）A . 0.6826B . 0.3413C . 0.4603D . 0.920710. （2分） (2019高二上·奉新月考) 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A .B .C .11. （2分） (2016高二上·襄阳开学考) 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二下·广东月考) 现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A . 120种B . 180种C . 60种D . 48种二、填空题． (共4题；共5分)13. （1分）已知等比数列{an}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7=________14. （2分） (2020高二下·嘉兴月考) 设随机变量，则 ________；________．15. （1分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知正态分布总体落在区间（0.2，+∞）的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x= ________ 时达到最高点．16. （1分） (2020高二下·深圳期中) A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二下·中山期末) 若的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18. （10分） (2020高二下·龙江期末) 2020年4月，受新型冠状病毒疫情的影响，某校初三年级500名学生参加了市里组织的线上联考，这500名学生的数学成绩（满分120分）的频率分布直方图如图所示（用样本的频率作为概率）.（1）由频率分布直方图，可以认为学生成绩z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ2分别取考生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和考生成绩的方差S2 ，请估计该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数（结果四舍五入取整数）.（2）现从该市参加线上联考的学生中随机抽取20名，设其中有k名学生的数学成绩在[100，120]内的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…20），则当P（X＝k）最大时，求k的值.附：①s2＝28.2，；②若z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜z＜μ+3σ）≈0.9973.19. （5分）写出所有由1，2，3，4，5组成的没有重复数字，且个位数字是5的三位数．20. （5分）(2017·鞍山模拟) 2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2017届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？附：p（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821. （10分） (2016高二下·宁波期末) 一个口袋装有大小相同的小球9个，其中红球2个、黑球3个、白球4个，现从中抽取2次，每次抽取一个球．（1）若有放回地抽取2次，求两次所取的球的颜色不同的概率；（2）若不放回地抽取2次，取得红球记2分，取得黑球记1分，取得白球记0分，记两次取球的得分之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．22. （10分） (2017高二下·徐州期中) 阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β=A，α﹣β=β有α= ，β= 代入③得sinA+sinB=2sin cos ．（1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值；（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA﹣cosB=﹣2sin cos ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科)C卷(模拟)
南京市高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·嘉兴期中) 已知复数，其中为虚数单位，则（）A .B .C .D . 22. （2分） (2015高二下·淄博期中) 设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若┐p是┐q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A . [0， ]B . （0，）C . （﹣∞，0]∪[ ，+∞）D . （﹣∞，0）∪（，+∞）3. （2分） (2016高二下·丰城期中) 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A . 假设a，b，c不都是偶数B . 假设a，b，c都不是偶数C . 假设a，b，c至多有一个是偶数D . 假设a，b，c至多有两个是偶数4. （2分）已知是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角的余弦值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 直线y= x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值为（）A . 2B . ln2+1C . ln2﹣1D . ln26. （2分）已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内（）A . (90,110]B . (95,125]C . (100,120]D . (105,115]7. （2分） (2017高二下·临淄期末) 高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（）A . 240B . 188C . 432D . 2888. （2分）如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A . 3﹣1B . 4﹣2C .D . 29. （2分）(2013·四川理) 抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A .B .C . 1D .10. （2分）如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知边长为2的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①A∈l，②C∈α，则B，O两点间的最大距离为（）A . 1+B . 2+C . 1+D . 2+11. （2分）(2017·山东模拟) 若实数a，b均不为零，且x2a= （x＞0），则（xa﹣2xb）9展开式中的常数项等于（）A . 672B . ﹣672C . ﹣762D . 76212. （2分）定义在R上的函数满足，为的导函数，已知函数的图象如图所示.若两正数a,b满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·漳州模拟) 如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成，若在这个几何体内任取一点，则该点取自圆锥内的概率为________．14. （1分）(2018·中山模拟) 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与与的卡片不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．15. （1分） (2017高一上·南昌期末) 函数y=2x2﹣2x﹣3有以下4个结论：①定义域为R，②递增区间为[1，+∞）③是非奇非偶函数；④值域是[ ，∞）．其中正确的结论是________．16. （1分）(2013·上海理) 在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高二上·黄陵期中) 已知命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．18. （10分） (2017高二下·武汉期中) 设函数f（x）=aex（x+2），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣4）上的最小值．19. （5分） (2016高二下·汕头期中) 如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC= AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO= PO．（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．20. （10分）(2018·长安模拟) 为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作.相关统计数据如下表所示：（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．21. （10分）(2018·广州模拟) 已知函数 .（1）若 e，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证：．22. （10分） (2018高二下·盘锦期末) 已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线 .（1）求曲线的方程；（2）是曲线上两点，且，为坐标原点，求面积的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科)C卷(考试)
南京市高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·沈阳模拟) 命题，，则为（）A . ，B . ，C . ，D . ，2. （2分） (2017高二上·临淄期末) 命题p：若x≠0或y≠0，则x2+y2≠0，如果把命题p视为原命题，那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分）曲线的焦点F恰好是曲线的右焦点，且曲线与曲线交点连线过点F,则曲线的离心率是（）A .B .C .D .4. （2分）已知a,b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件.C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2019高二下·上海月考) 若动点P到x轴、y轴的距离之比等于非零常数，则动点P的轨迹方程是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·柳林期末) 椭圆b2x2+a2y2＝a2b2（a＞b＞0）的两个焦点分别是F1、F2 ，等边三角形的边AF1、AF2与该椭圆分别相交于B、C两点，且2|BC|＝|F1F2|，则该椭圆的离心率等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·南山月考) 已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A ， B两点，直线与C交于D ， E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为（）A . 16B . 8C . 1D .8. （2分）对于指数函数则，是“f(x)是R上的单调函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）设椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， P是C上的点，，则C的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·南昌期中) 已知双曲线 =1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·马山期中) 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则此三角形是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·桐乡期中) Sn为等差数列an的前n项和，S2=S6 ， a4=1则a5=________．14. （1分） (2016高二上·陕西期中) 已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：（a＞b ＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆Γ的离心率为________．15. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 已知F1、F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若2∠PF1F2=∠F1PF2 ，那么椭圆的离心率为________．16. （1分）(2017·泰州模拟) 已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二下·邯郸期末) 设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x 满足|x﹣3|≤1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分）在△ABC中，BC=4，AC、AB边上的中线长之和等于9．（1）求△ABC重心M的轨迹方程；（2）求顶点A的轨迹方程．19. （10分） (2015高三上·苏州期末) 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧的中点，坝宽AB为2米．（1）当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？20. （5分）(2017·辽宁模拟) 已知抛物线C：y=2x2 ，直线l：y=kx+2交C于A、B两点，M是AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C于N点．（Ⅰ）证明：抛物线C在N 点处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过N点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21. （15分）(2013·山东理) 椭圆C：的左右焦点分别是F1 ， F2 ，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M （m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．22. （5分） (2016高二上·重庆期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，且F1 ， F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（，）在椭圆C上．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过F2作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求△MNF2面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科) C卷
南京市高二下学期期中数学试卷（理科） C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·绵阳模拟) 若复数满足（是虚数单位），则 =（）A . 1B . -1C .D .2. （2分） (2017高二下·广安期末) 用数学归纳法证明1+2+3+…+n3= ，则当n=k+1时，左端应在n=k 的基础上加上（）A . k3+1B . （k+1）3C .D . （k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+…+（k+1）33. （2分）有一段演绎推理是这样的：“因为对数函数y=logax是增函数；已知y=x是对数函数，所以y=x是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误4. （2分）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）=（）A . 2016B . 2015C . 8D . 06. （2分）已知参数方程（a、b、l均不为零，0≤q≤2p），若分别取①t为参数，②l为参数，③q为参数，则下列结论中成立的是（）A . ①、②、③均直线B . 只有②是直线C . ①、②是直线，③是圆D . ②是直线，①、③是圆7. （2分） (2018高三上·湖北月考) 在等比数列中是函数的极值点，则 =（）A .B .C . 或D . 或无意义8. （2分）(2017·民乐模拟) 已知等比数列{an}，且a6+a8= ，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A . π2B . 4π2C . 8π2D . 16π29. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个10. （2分）(2017·大连模拟) 已知函数f（x）=x2e2x+m|x|ex+1（m∈R）有四个零点，则m的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣e﹣）B . （﹣∞，e+ ）C . （﹣e﹣，﹣2）D . （﹣∞，﹣）11. （2分） (2019高二下·深圳月考) 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是（）．A . f(x)＝sin 2xB . f(x)＝xexC . f(x)＝x3－xD . f(x)＝－x＋ln x12. （2分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）= ，若关于x 的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A . [﹣，﹣）∪（﹣，﹣1]B . （﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）C . （﹣，﹣）D . （﹣，﹣1）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·宜昌期中) 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．14. （1分） (2015高三上·泰州期中) 曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是________．15. （1分） (2016高二上·杨浦期中) 把数列{ }的所有数按照从大到小的原则写成如表数表：第k行有2k﹣1个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A（t，s），则A（11，4）=________．16. （1分） (2016高一下·望都期中) 已知，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题：①若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形②若acoA=bcosB，则△ABC是等腰三角形③若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形④若 = ，则△ABC是等边三角形其中正确命题的序号是________．三、解答题： (共6题；共65分)17. （10分） (2019高二下·上海月考) 定义：复数是（）转置复数，记为，显然，即与互为转置复数.（1）共轭复数的一些运算性质如等，还有一些常用结论，如等，尝试发现两个有关转置复数的运算性质（如：）或其他结论；（2）对任意的两个复数、，定义运算“ ”：，设（），求复平面上的点集所围成区域的面积.18. （5分）已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+ ，且a+b+c=m﹣n，求证：++．19. （10分） (2016高二下·唐山期中) 已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．20. （15分） (2016高一下·石门期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设集合，等差数列{cn}的任意一项cn∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，且110＜c10＜115，求{cn}的通项公式．21. （15分） (2016高二下·佛山期末) 已知函数f（x）=alnx﹣x2 ，a∈R，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（3）设a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x1＜x2，且∃x3∈（x1，x2），使得曲线y=f（x）在x=x3处的切线与直线AB平行，求证：x3＜．22. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷(理科)
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在复平面内，复数满足（为虚数单位），则复数表示的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为（）A . 1B .C . 2D . 43. （2分）(2017·河北模拟) 已知符号函数sgn（x）= ，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（）A .B .C .D .4. （2分）某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ=5”表示的试验结果是（）A . 第5次击中目标B . 第5次未击中目标C . 前4次均未击中目标D . 第4次击中目标5. （2分）直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是（）A . 3x－2y－6＝0B . 2x＋3y＋7＝0C . 3x－2y－12＝0D . 2x＋3y＋8＝06. （2分） (2017高二下·龙海期中) =（）A .B .C . iD . ﹣i7. （2分）(2017·蔡甸模拟) 已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A .B .C .D .8. （2分）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A . －10B . 10C . －5D . 59. （2分）一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是（）A . 0.078B . 0.78C . 0.0078D . 0.0410. （2分） (2017高一下·广东期末) 若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高三上·东莞期末) 在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为（）A . 0.352B . 0.432C . 0.36D . 0.64812. （2分）函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·息县模拟) 设函数f（x）=ax2+b（a≠0），若，x0＞0，则x0=________．14. （1分） (2018高二下·邗江期中) 已知复数（是虚数单位），则| |=________15. （1分）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为________16. （1分） (2015高三上·上海期中) 已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，．当x∈[﹣2，0）∪（0，2]时，，则方程的解的个数为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知复数z与（z﹣3）2+12i都是纯虚数，求z．18. （10分） (2016高二下·邯郸期中) 在10件产品中，有2件一等品，4件二等品，4件三等品，从这10件产品中任取3件，求（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（2）取出的3件产品中至多有1件一等品的概率．19. （10分） (2016高二下·东莞期末) 设f（x）=ex﹣ax（a∈R），e为自然对数的底数．（1）若a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；（2）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．20. （10分）(2016·襄阳模拟) 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．（1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）21. （5分）（Ⅰ）已知向量=（3，1），=（﹣1，），若+λ与垂直，求实数λ；（Ⅱ）已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且=，=，用向量，分别表示向量，，，．22. （5分）求证：--参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科)C卷
南京市高二下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设复数z1 ， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A . -5B . 5C . -4+iD . -4-i2. （2分）已知f′（x）为y=f（x）的导函数，且f′（x0）=a，则 =（）A . aB . ﹣aC . ±aD . 无法确定3. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 等比数列{an}中，a3=6，前三项和S3= 4xdx，则公比q的值为（）A . 1B . ﹣C . 1或﹣D . ﹣1或﹣4. （2分）(2019·广州模拟) 若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·邯郸期末) 定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f （x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）的零点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 已知是函数的导函数，，，，则不等式的解集为（）A .B .C .D .7. （2分）(2016·商洛模拟) 若，则的展开式中的常数项（）A .B . -C . 20D . ﹣158. （2分）观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（）A . 9（n+1）+n=10n+9B . 9（n﹣1）+n=10n﹣9C . 9n+（n﹣1）=10n﹣1D . 9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣109. （2分）用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么a,b,c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）A . 假设a,b,c都是偶数B . 假设a,b,c都不是偶数C . 假设a,b,c至多有一个偶数D . 假设a,b,c至多有两个偶数10. （2分） (2015高二上·船营期末) 函数f（x）=（2πx）2的导数是（）A . f′（x）=4πxB . f′（x）=4π2xC . f′（x）=8π2xD . f′（x）=16πx11. （2分）在复平面内，向量对应的复数是2+i，向量对应的复数是﹣1﹣3i，则向量对应的复数为（）A . 1﹣2iB . ﹣1+2iC . 3+4iD . ﹣3﹣4i12. （2分） (2017高一下·郑州期末) 下列函数中，周期为π，且在（，）上单调递减的是（）A . y=sinxcosxB . y=sinx+cosxC . y=tan（x+ ）D . y=2cos22x﹣1二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·安徽期中) 如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为________m2.14. （1分）（π+ ）dx=________．15. （1分） (2016高二下·泗水期中) 已知x∈（0，+∞），不等式x+ ≥2，x+ ≥3，x+ ≥4，…，可推广为x+ ≥n+1，则a等于________．16. （1分）若函数y=ex与函数y=x2+mx+1的图象有三个不同交点，则实数m的取值范围为________三、解答题： (共6题；共50分)17. （5分）(2017·蚌埠模拟) 已知函数f（x）= （其中e是自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）若曲线f（x）在x=l处的切线与x轴不平行，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的最大值．18. （5分）(2019·北京) 已知函数f（x）= x3-x2+x.（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.19. （20分） (2016高二下·上海期中) 已知z为复数，ω=z+ 为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（3）当﹣4＜ω＜2时，若u= （α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．（4）当﹣4＜ω＜2时，若u= （α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．20. （10分） (2015高二下·沈丘期中) 数列{an}中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn ， Sn+1 ， 2S1成等差数列．（1）计算S1，S2，S3的值；（2）根据以上结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．21. （5分） (2018高二下·大庆月考) 计算由直线曲线以及轴所围图形的面积。
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷(理科)
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·会宁期中) 复数z= 的共轭复数是（）A . 2+IB . 2﹣IC . ﹣1+ID . ﹣1﹣i2. （2分）(2018·全国Ⅲ卷理) 函数的图像大致为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二下·珠海期中) 下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；所以直线b∥直线a，在这个推理中（）A . 大前提正确，结论错误B . 小前提与结论都是错误的C . 大、小前提正确，只有结论错误D . 大前提错误，结论错误4. （2分） (2019高三上·维吾尔自治月考) 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为（）A .B .C .D .5. （2分）已知，，，则的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·重庆模拟) 某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（）A . 36种B . 54种C . 58种D . 72种7. （2分）已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A . -1<a<2B . -3<a<6C . a<-3或a>6D . a<-1或a>28. （2分）(2017·重庆模拟) 某市有6条南北向街道，4条东西向街道，图中共有m个矩形，从A点走到B 点最短路线的走法有n种，则m，n的值分别为（）A . m=90，n=56B . m=30，n=56C . m=90，n=792D . m=30，n=7929. （2分）已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为（）A . 100，0.8B . 20，0.4C . 10，0.2D . 10，0.810. （2分）设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一上·泰安月考) 设＝{1，2，3，4，5};，若＝{2}，，，则下列结论正确的是（）A . 且B . 且C . 且D . 且12. （2分）一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·黔南期末) 在（+2x ）7的展开式中，x5的系数为________．14. （1分）某单位在国庆节7天假期里安排甲、乙、丙三人值班，每天1人，每人至少值2天，则不同的安排方法共有________种．15. （1分）化简逻辑函数式A+B+BC+AB=________16. （1分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高二下·鹤壁期末) 已知f（x）=（2x﹣3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x﹣3）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n（1）求a2的值；（2）求a1+a2+a3+…+an的值．18. （10分） (2017高二下·鸡泽期末) 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b ， g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2．（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥－2时，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．19. （15分）用这六个数字.（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比大的四位数？20. （15分）(2017·陆川模拟) 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100 元．试估计政府执行此计划的年度预算．21. （5分）(2017·成安模拟) 已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．22. （10分）(2018·中山模拟) 中山某学校的场室统一使用“欧普照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布，且使用寿命不少于个月的概率为，使用寿命不少于个月的概率为 .（1）求这种灯管的平均使用寿命；（2）假设一间课室一次性换上支这种新灯管，使用个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
南京市高二下学期期中数学试卷C卷(模拟)
南京市高二下学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若全集,则集合等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·定远期末) 设复数 z 满足，则=（）A .B .C .D . 23. （2分）设是虚数单位，则复数的虚部是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·遵义期末) 若复数z满足（1﹣2i）z=5i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分）已知i是虚数单位，m，n∈R，则“m=n=1”是“m2﹣1﹣2ni=﹣2i”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高一上·石家庄期末) 已知集合A={x|2≤2x≤4}，B={x|0＜log2x＜2}，则A∪B=（）A . [1，4]B . [1，4）C . （1，2）D . [1，2]7. （2分）设有一个线性回归直线方程为，则变量x每增加一个单位时（）A . y平均增加 1.5 个单位B . y平均增加 2 个单位C . y平均减少 1.5 个单位D . y平均减少 2 个单位8. （2分）有下列关系：①正方体的体积与棱长；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是（）A . ①②③B . ①②C . ②③D . ③④9. （2分） (2015高三上·舟山期中) 设全集U=R，集合，P={x|﹣1≤x≤4}，则（∁UM）∩P等于（）A . {x|﹣4≤x≤﹣2}B . {x|﹣1≤x≤3}C . {x|3≤x≤4}D . {x|3＜x≤4}10. （2分） (2017高一下·长春期末) 若，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2015高三上·连云期末) 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为________．12. （1分） (2015高二下·登封期中) 若复数z满足3z+ =1+i，其中i是虚数单位，则z=________．13. （1分）若不等式log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥2恒成立，则实数m的取值范围为________14. （1分）为了调查城市PM2.5的值，按地域把48个城市分为甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为10，18，20．若用分层抽样的方法抽取16个城市，则乙组中应抽取的城市数为________．三、解答题 (共4题；共40分)15. （15分）某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：女47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49男37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：“满意”的人数“不满意”人数合计女16男14合计30（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？（参考数据请看15题中的表）16. （5分）设a为正实数，记函数f（x）=a﹣﹣的最大值为g（a）．（1）设t=+，试把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；（3）问是否存在大于的正实数a满足g（a）=g（）？若存在，求出所有满足条件的a值；若不存在，说明理由．17. （10分）(2018·河北模拟) 已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .（1）求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；（2）设为椭圆上任意一点，求的最大值.18. （10分） (2016高三下·习水期中) 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分) 15-1、15-2、15-3、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、。
江苏省南京三中高二下学期期中考试数学(理)试题.pdf
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分10名同学，他们在一次数学测验中的成绩可用下面的茎叶图表示. 则在这次测验中成绩较好的是 ▲ 组. `2. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果M为 ▲ ．3. 如图矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为120颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ▲ . 4. 如图，当输入的值为4时，输出的结果是 ▲ ．次，命中~环的概率如下图所示： 命中环数环环环环则“射击次，命中不足环”的概率为 ▲ ．3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ▲ . 7. 有一组统计数据共10个，它们是：，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为 ▲ ． ▲种. 9.用数字1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的五位数，且按照从小到大的顺序排成一个数列，35124是这个数列的第 ▲ 项. 10.的展开式中的系数是 ▲ . 11.从编号为1,2，……，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为 ▲ . 12.在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率为，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是 ▲ . 13.已知离散型随机变量的分布列如右表， 若，则 ▲ . 14. 已知函数，若对，使得 ，则实数的取值范围是 ▲ ．、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题满分14分） 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下： 组号分组频数频率第一组80.16第二组①0.24第三组15②第四组100.20第五组50.10合 计501.00(1)写出表中位置的数据； (2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第、、组中用分层抽样抽取6名学生进行第二轮，求第、、组参加人数； (3)，高校决定在6名学生中取2名，求2人中至少有名是第组的概率9这9个自然数中，任取3个数. （1）求这3个数中恰有1个偶数的概率； （2）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值为2）.求随机变量的分布列及其数学期望 18. （本题满分15分） 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1 求展开式中各项系数的和； 求展开式中含的项. 19.（本题满分16分） 在ABC中，A， B，C的对边分别为a，b，c已知＝－＝－（求的值；若＝＝，求△ABC的面积S． 20. （本题满分16分） 已知函数(为实常数)(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围 所以数学期望……………………………14分 18.解： ………………4分 则第五项系数为，第三项的系数为 ………………6分 则有，化简得：，解得或-3（舍） ………………8分 （1）令，得各项系数的和为 ………………10分 （2）令，则， ………………13分 （2），当，． 若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．…………………………………………6分 若，当时，；当时，，此时 是减函数； 当时，，此时是增函数．故 ． 0 1 2 1。
南京市高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷(测试)
南京市高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·芒市期中) 设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则|z|=（）A . 4B . 2C .D . 13. （2分） (2016高二上·惠城期中) 如图是计算1+ + +…+ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A . i＞10B . i＜10C . i＞20D . i＜204. （2分）曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形面积为（）A .B .C . 1D . 25. （2分）将一个四棱锥的每个顶点染上种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A . 420B . 340C . 260D . 1206. （2分） (2016高二下·汕头期末) 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分） (2017高一上·黑龙江月考) 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·达州模拟) 如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D . 3π9. （2分） (2016高一下·临川期中) 一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A . 63B . 108C . 75D . 8310. （2分） (2017高二下·赤峰期末) 下列求导数运算正确的是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·德惠期中) 已知函数的导函数，且满足，则（）A . 5B . 6C . 7D . -12二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3 ，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1 ， k2 ，k3 ，那么k1：k2：k3=________．14. （1分） (2017高二下·池州期末) 已知曲线y=2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．15. （1分） (2016高二下·东莞期中) 从0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为________．（用数字作答）16. （1分） (2018高三上·杭州月考) 已知实数，函数在区间上的最大值是2，则 ________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (共6题；共55分)17. （10分）已知集合X={1，2，3}，Yn={1,2,3...,n}(n N*)，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a， a X,b Yn},令f(n)表示集合Sn所包含元素的个数。
2023-2024学年江苏省南京市田家炳高级中学高二(下)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市田家炳高级中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN 与直线2x−y +3=0垂直，则m =( )A. −6B. 73C. 23D. 92.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A 为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B 为“取到的2个为事物谜”，则P(B|A)=( )A. 78B. 67C. 34D. 253.已知圆M ：(x−2)2+y 2=1，则下列说法错误的是( )A. 点(3,2)在圆外 B. 直线2x +y−4=0平分圆MC. 圆M 的周长为2πD. 直线x +3y =0与圆M 相离4.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，M 在线段OA 上，且OA =3AM ，点N 为BC 中点，则MN =( )A. 12a−23b +12c B. −23a +12b +12c C. 12a +12b−12c D. 23a +b−12c5.(x +4x −4)4展开式中的常数项是( )A. −256B. 256C. −1120D. 11206.圆O ：x 2+y 2−4=0与圆C ：x 2+y 2−4x +4y−12=0相交于A 、B 两点，则S △ACB =( )A. 2B. 22C. 32D. 67.直线l 过点(−1,0)且与曲线y =e x 相切，则直线l 的倾斜角为( )A. π6B. π4C. π3D. 3π48.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是( )A. 存在点E，使EF//平面ABCDB. 三棱锥B1−ACE的体积随动点E变化而变化C. 直线EF与AD1所成的角不可能等于30°D. 存在点E，使EF⊥平面AB1C1D二、多选题：本题共3小题，共18分。
2022-2023学年江苏省南京市三校联考高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市三校联考高二（下）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．曲线C ：y =sinxx在点P （π，0）处的切线方程为（ ） A ．y =−1πx +1 B ．y =1πx −1C ．y ＝πx ﹣π2D ．y ＝﹣πx +π22．甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（ ）种 A ．A 43B ．43C ．34D ．C 433．已知点A （1，0，2），B （﹣1，1，2），C （1，1，﹣2），则点A 到直线BC 的距离是（ ） A ．2√55B ．√1055C ．√55D ．54．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，有下列四个等式． 甲：a 1＝1；乙：a 4＝4；丙：S 3＝9；丁：S 5＝25． 如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人．二进制数被广泛应用于电子电路、计算机等领域．某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4，其中a i （i ＝1，2，3，4）出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1+a 2+a 3+a 4，当电路运行一次时，X 的数学期望E （X ）＝（ ） A ．43B ．2C ．83D ．36．“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ） A ．29B ．18C ．112D ．587．已知函数f （x ）＝x +sin x ，若存在x ∈[0，π]使不等式f （x sin x ）≤f （m ﹣cos x ）成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．π28．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为S n ，则S 32的值为（ ）．A ．452B ．848C ．984D ．1003二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．在等比数列{a n }中，a 1＜0，若对正整数n 都有a n ＜a n +1，那么公比q 的取值可以是（ ） A ．−12B ．12C ．−13D ．1310．已知A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，P （A ）＞0，P （B ）＞0，则下列说法正确的是（ ） A ．P （B |A ）+P （B |A ＝P （A ） B ．P （B |A ）+P （B |A ）＝1C ．若A ，B 独立，则P （A |B ）＝P （A ）D ．若A ，B 互斥，则P （A |B ）＝P （B |A ）11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =π3，AB ＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则（ ）A ．P A ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为√55D ．二面角A ﹣PB ﹣C 的正弦值为√21712．已知函数f （x ）＝e x （x 2+a ），则（ ） A ．函数f （x ）在R 上单调递增，则a ≥1 B ．当a ＝1时，函数f （x ）的极值点为﹣1C ．当a ＜﹣8时，函数f （x ）有一个大于2的极值点D ．当a ＝0时，若函数y ＝f （x ）﹣m 有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＜﹣3 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年江苏省南京高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京高二下册期中数学模拟试题一、单选题1．直线l 经过()1,0A -，()1,2B 两点，则直线l 的倾斜角是（）A ．6πB ．4πC ．23πD ．34π【正确答案】B【分析】设出直线的倾斜角α，求出其正切值，即斜率，进而可得出倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为α，由已知可得直线的斜率20tan 111k α-===+，又[)0,απ∈，所以倾斜角是4π，故选：B.2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若23a =，611a =，则8S =（）A ．72B ．64C ．56D ．48【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质得到624a a d =+，然后解方程得到d ，1a ，最后根据前n 项和公式求8S 即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，得624a a d =+，解2d =，故11a =，所以()()()188118474214642a a S a a d ⨯+==⨯++=⨯+=.故选：B.3．已知随机向量X 服从正态分布()31N ,，且()()213P X c P X c >-=<+，则c =（）A ．43B ．4C ．13D ．1【正确答案】A【分析】由正态分布的对称性求解即可.【详解】∵随机变量X 服从正态分布()31N ,，∵()()213P X c P X c >-=<+，∴2136c c -++=，∴43c =.故A.4．由1至6中的质数组成的没有重复数字的整数共有（）A ．3B ．6C ．12D ．15【正确答案】D【分析】找出1至6中的质数，再分类计算组成的没有重复数字的整数即可.【详解】1至6中的质数有2，3，5，组成的没有重复数字的整数共有12333315A A A ++=个.故选：D.5．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB ==，则C 到直线1AB 的距离为（）A．5B．5C．3D．3【正确答案】D【分析】取AC 的中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.【详解】由题意知，12AC AB BB ===，取AC 的中点O，则BO AC BO ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0)(0,1,0)A B C -，，，所以1(0,2,0)AB CA ==-，，所以CA 在1AB上的投影的长度为11CA AB AB ⋅=故点C 到直线1AB 的距离为.3d ==故选：D6．设甲袋中有2个红球和2个黑球，乙袋中有1个红球和2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个黑球的概率为（）A ．1960B ．160C ．760D ．1360【正确答案】A【分析】从甲袋任取2个球的可能性有三种：（1）从甲袋取出的两球都是红球，（2）从甲袋取出的两球都是黑球，（3）从甲袋取出的两球是1红1黑，进而求解即可.【详解】从甲袋任取2个球的可能性有三种：（1）从甲袋取出的两球都是红球时，设A =“从乙袋取出2个黑球”，则()22222245C C 1C C 60P A =⋅=；（2）从甲袋取出的两球都是黑球时，设B =“乙袋取出2个黑球”，则()22242245C C 61C C 6010P B =⋅==；（3）从甲袋取出的两球是1红1黑时，设C =“乙袋取出2个黑球”，()2113222245C C C 121C C 605P C ⋅=⋅==，所以从乙袋中取出两个黑球的概率为()()()1960P A P B P C ++=.故选：A.7．若直线10x ay a +--=与圆22:(2)4C x y -+=交于A ，B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【正确答案】B【分析】化简直线方程化为(1)(1)0x a y -+-=，得到直线恒过定点()1,1M ，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线10x ay a +--=可化为(1)(1)0x a y -+-=，当10x -=且10y -=，即1x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()1,1M ，设圆的圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC ⊥直线AB 时，AB 取得最小值，且最小值为==，此时弦长AB 对的圆心角为2π，所以劣弧长为22ππ⨯=.故选：B.8．已知直线l 与曲线e x y =相切，切点为()11,M x y ，与曲线()23y x =+也相切，切点是()22,N x y 则212x x -的值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【正确答案】D【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解.【详解】设直线l 与曲线e x y =相切于()11,M x y ，又e x y '=，∴直线l 的斜率为1e x k =，∴M 处的切线方程为()111e e x xy x x -=-，即()111e 1e x x y x x =+-；直线l 与曲线()23y x =+相切于()22,N x y ，()23y x '=+，可得切线方程为()()()2222323y x x x x -+=+-，即()222239y x x x =++-.因为直线l 与两条曲线都相切，所以两条切线相同，则()12e 230x x =+>且()12121e 9x x x -=-，则()()21221239x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即()()()()122212333x x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦可得()12213x x -=-，解得2121x x -=，二、多选题9．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记X 为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（）A ．X 的可能取值为0，1，2，3B ．()103P X ==C ． 1.2EX =D ．1425DX =【正确答案】ACD【分析】根据题意分析X 服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.【详解】由题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，故A 正确；分析可得X 服从参数为10，4，3的超几何分布，其分布列为()()346310C C 0,1,2,3C k kP X k k -===，则()0346310C C 10C 6P X ===，故B 错误；341.210EX ⨯==，故C 正确；()()()()1221302222464646333101010C C C C C C 1140 1.21 1.22 1.23 1.26C C C 25DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故D 正确；故选：ACD.10．已知O 为坐标原点，点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A ．C 的准线方程为1x =-B ．若||4AF =，则||OA =C ．若||8AB =，则AB 的中点到y 轴的距离为4D ．4||||9AF BF +≥【正确答案】ABD【分析】利用抛物线的定义可分析A,B 选项，利用直线与抛物线相交结合韦达定理，弦长公式,基本不等式可分析C,D 选项.【详解】因为点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，所以42,p =解得=2p ，所以抛物线方程为24y x =，所以准线方程为12px =-=-，所以A 正确;由抛物线的定义得||4,3,2A A pAF x x =+=∴=由2412A A y x ==,所以||OA ==.所以B 正确;设1122(,),(,),:1A x y B x y AB x my =+，联立2=4,=+1y xx my ⎧⎨⎩整理得2440y my --=，由韦达定理得12124,4y y m y y +==-，所以()2||418AB m ==+=，解得1m =±，212121211()2426x x my my m y y m +=+++=++=+=，所以C 错误;212121212(1)(1)()11x x my my m y y m y y =++=+++=,由抛物线定义知11221,1,22p pAF x x BF x x =+=+=+=+()()2121121212121121111111111x x x x AF BF x x x x x x x x ++++++=+===+++++++，所以()4||4||||4||||5119BF AF B AF AF BF A F AF F BF BF ⎛⎫+=+=+ ⎪ +⎪⎝≥⎭,当且仅当4||,2BF BF AF AFBFAF ==时取得等号，所以D 正确.故选:ABD.11．已知()525012512x a a x a x a x -=++++L ，则下列结论正确的是（）A ．展开式中所有项的二项式系数的和为32B ．01a =C ．024121a a a ++=D ．135122a a a ++=【正确答案】ABC【分析】展开式中所有项的二项式系数的和为5232=可判断A ；令0x =，得01a =可判断B ；令1x =和=1x -得01251a a a a ++++=- ，0125243a a a a -++-= ，两式相加，相减可判断C ，D.【详解】展开式中所有项的二项式系数的和为5232=，故A 正确；令0x =，得01a =，故B 正确；令1x =，得01251a a a a ++++=- ，令=1x -，得501253243a a a a -++-== ，两式相加，得()0242242a a a ++=，∴024121a a a ++=，故C 正确；两式相减，计算可得135122a a a ++=-，故D 不正确.故选：ABC.12．如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面所成的角为60°，且24AB AF ==，G 为CD 的中点，则下列结论正确的有（）A ．AE 与BC 是异面直线B ．AE BG⊥C ．直线BE 与AG 所成角的余弦值是5D ．三棱锥B AGE -【正确答案】ACD【分析】结合图形判断选项A ；以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量方法判断,AE BG 的位置关系；利用空间角的向量求法判断选项B ，C ；等体积转换求得三棱锥B AGE -的体积判断选项D.【详解】对于A ，因为A ∈平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，E ∉平面ABCD ，所以AE 与BC 是异面直线，故A 正确；对于B ，由已知AB AD ⊥，AB AF ⊥，又AF A AD = ，AF ，AD ⊂平面AFD ，所以AB ⊥平面AFD ，以A 为坐标原点，AD ，AB为x ，y轴正方向建立空间直角坐标系，又正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面所成的角为60°，所以60FAD ∠=︒，24AB AF ==，点F 到AD所以()0,0,0A ，()0,4,0B，(F，(1,E ，()4,2,0G ，所以(1,AE = ，()4,2,0BG =- ，所以48040AE BG ⋅=-+=-≠，所以AE ，BG 不垂直，故B 错误；对于C，(BE = ，()4,2,0AG =，所以cos ,BE AG BE AG BE AG ⋅=所以直线BE 与AG故C 正确；对于D ，三棱锥B AGE -的体积114432B AGE E ABG V V --==⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．若32C A m m =，则m =______.【正确答案】8【分析】根据组合数和排列数公式计算求解即可.【详解】()()()3212C A 1,3832m m m m m m m m m --=⇒=->⇒=⨯故8.14．在nx ⎛ ⎝的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含3x 项的系数为______．【正确答案】15【分析】首先根据题意，可得6n =，进而可得其二项式展开式的通项，令x 的指数为3，可得r 的值，最后将r 的值代入通项可得其展开式中的3x 项，即可得答案．【详解】由题知6n =，则()36621661rr r r r rr T C x C x --+⎛=⋅⋅=⋅-⋅ ⎝，令3632r-=，得2r =，所以展开式中3x 的系数为226(1)15C -=.故答案为.1515．已知随机事件A ，B ，1()3P A =，1()4P B =，3()4P AB =∣，则()P B A =∣________.【正确答案】716【分析】首先求出3()4P AB =|，则3()16P AB =，则9()16P BA =∣，最后利用对立事件的求法即可得到答案.【详解】依题意得()3(|)()4P AB P A B P B ==，所以3313()()44416P AB P B ==⨯=故3()916()1()163P AB P B A P A ===∣，所以7(|)1(|)16P B A P B A =-=.故答案为.71616．拓扑空间中满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在0x D ∈，使得()00f x x =，那么我们称函数()f x 为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点.在数学中，这被称为布劳威尔不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L.E.J.Brouwer ），是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.现新定义：已知0x 为函数()f x 的一个不动点，若0x 满足()00f x x '=，则称0x 为()f x 的双重不动点.给出下列三个结论：①()3sin f x x x x =-；②()e e 12x xf x -+=-；③()1e 1xf x x=--.具有双重不动点的函数为是______.【正确答案】①②【分析】对①②：取特值0x =，分析判定；对③：根据函数定义域分析判定即可【详解】对于①：∵()3sin f x x x x =-，则()23sin cos f x x x x x '=--，可得()00f =，()00f '=，∴0为()f x 的双重不动点，故①正确；对于②：∵()e e 12x xf x -+=-，则()e e 2x x f x --'=，可得()00f =，()00f '=，∴0为()f x 的双重不动点，故②正确；对于③：因为()1e 1xf x x=--的定义域为{}0x x ≠，故该函数不连续，故③错误；故①②.方法点睛：对于新定义题意，要准确理解给出的定义，并转化为已学的知识，用已学的知识取解决问题.四、解答题17．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且2a ，3a ，115a 成等差数列，4355S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()31log 3n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)13n n a -=，*n ∈N (2)()()3234212n n T n n +=-++【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，根据2a ，3a ，115a 成等差数列，得到2215q q =+，求得3q =，再由4355S a +=，求得11a =，写出通项公式；（2）由（1）得()()311111log 3222n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）解：由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，∵2a ，3a ，115a 成等差数列，∴321215a a a =+，即2215q q =+，∴3q =，又∵4355S a +=，∴()41211355313a a -+=⋅⋅-，解得11a =，∴11133n n n a --=⋅=，*n ∈N .（2）由（1）得()()311111log 3222n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，∴121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ ()()11113231+22124212n n n n n +⎛⎫=--=- ⎪++++⎝⎭.18．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了传统艺术书画知识趣味竞赛活动.一共3题，答题规则如下，每队2人，其中1人先答题，若回答正确得10分，若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束.已知第一对含有甲、乙两名队员，其中甲答对每道题目的概率为25，乙答对每道题目的概率为23，每道题都是甲先回答，且两人每道题目是否回答正确相互独立.甲乙两人回答正确与否也互相独立.(1)求第一队答对第1题的概率；(2)记X 为第一队获得的总分，求随机变量X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)45(2)分布列见解析，数学期望为45625【分析】（1）根据题意可知答对第一题分为两种情况：甲先答对或甲先答错乙补答对，结合独立事件的乘法公式即可求解；（2）根据题意可得0,10,20,30X =，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，进而求解.【详解】（1）设甲、乙答对每题的事件为A 、B ，则()()22,53P A P B ==，所以()()31,53P A P B ==，答对第一题分为两种情况：甲先答对，甲先答错乙补答对，所以答对第一题的概率为()()()()()23245535P P A P AB P A P A P B =+=+=+⨯=.（2）由题意得，0,10,20,30X =，()()()()3110535P X P AB P A P B ====⨯=，()()()()()414105525P X P A P A P B P AB ⎡⎤==+=⨯=⎣⎦，()()()()()2241162055125P X P A P A P B P AB ⎛⎫⎡⎤==+=⨯=⎪⎣⎦⎝⎭，()()()()33464305125P X P A P A P B ⎛⎫⎡⎤==+==⎪⎣⎦⎝⎭.所以X 的分布列为：X 0123P154251612564125数学期望为()1416644560102030512512512525E X ⨯+⨯+⨯+⨯==.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PBD 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线MN 的方向向量和平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取PA 的中点E ，连接EB 、EM ，因为M 是PD 的中点，所以//EM AD ，且12EM AD =.又因为底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点，所以//BN AD ，且12=BN AD .所以//,EM BN EM BN =.所以四边形MNBE 是平行四边形，所以//MN EB .由于EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（2）因为底面ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD .所以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系.()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，()0,1,1M ，()2,1,0N .()2,2,2PC =-，()2,0,0CD =- ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = .有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x y z x +-=⎧⎨=⎩令1y =，则1z =，所以()0,1,1m = .()2,0,1MN =-.设直线MN 与平面PBD 所成角为θ.有.sin cos ,10MN m MN m MN mθ⋅==⋅所以直线MN 与平面PBD 所成角的正弦值为10.20．人类命运共同体的提法讲中国梦融入世界梦，充分展现了中国的大国担当，中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2023年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构调查了该地区某家企业近5个月的产值情况，如下表，由散点图知，产值y （亿元）与月份代码x 线性相关.月份6月7月8月9月10月月份代码x 12345产值y （亿元）1620273037(1)求y 与x 的线性回归方程，并预测明年2月份该企业的产值；(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动车购买电动车总计男性36642女性331548总计692190以样本的频率估计概率，从该地区所有购车车主中随机选取3位，设X 为3人中购买非电动车的男性人数，求X 的概率分布和数学期望.参考公式：()()()1221121niii nninii ii ii x ynx y bn x x x xy x xy ====-=---=-∑∑∑∑ ，a y bx =-$$.【正确答案】(1)线性回归方程为 5.210.4y x =+，预计明年2月份该企业的产值约为57.2亿元(2)分布列答案见解析，()65E X =【分析】（1）求出x 、y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出b、 a 的值，可得出回归直线方程，并将9x =代入回归直线方程，可得出结果；（2）计算出该地区所有购车车主中，购买非电动车的男性所占的比例，分析可知2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的分布列，利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值.【详解】（1）解：由表格中的数据可得1234535x ++++==，1620273037265y ++++==，51116220327430537442i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，所以，51522215442532652 5.25553105ˆi ii ii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑， 26 5.2310.4a y bx =-=-⨯= ，所以，y 与x 的线性回归方程为 5.210.4y x =+，当9x =时， 5.2910.457.2y =⨯+=（亿元），预计明年2月份该企业的产值约为57.2亿元.（2）解：由表格可知，该地区所有购车车主中，购买非电动车的男性所占的比例为362905=，由题意可知，2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X123P2712554125361258125因此，()26355E X =⨯=.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，1,2P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且12PF =.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线:2l x =-，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，求tan MAN ∠最小值.【正确答案】(1)2212x y+=(2)4【分析】（1）设()1,0(0)F c c ->，根据题中条件12PF =求出1c =，根据椭圆的定义，求出a 的值，再根据222b a c =-即可求出b 的值，即可求出椭圆方程；（2）直线AB 的斜率不存在时直接求出tan MAN ∠，当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则():1AB l y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，以及题中条件，得到tan MNMAN AN ∠=，令2t k =，则0t >，令()()23101t m t t +=>+，则()()29610m t m t -+--=，根据0∆≥，求出m 最小值，即可得解.【详解】（1）由题意，可知()1,0F c -，则11,2PF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12PF == ，解得1c =，∴2221a b c -==，∵点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，∴221112a b +=.联立222211112a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩.∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题意，设()11,A x y ，()22,B x y .则1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭.①当直线AB 的斜率不存在时，则:1AB l x =.此时()2,0M -点N即为右焦点2F ，即()1,0N .2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.此时tan MN MAN AN ∠==.②当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，很明显0k ≠.则():1AB l y k x =-.由题意，联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得()()2222214210k x k x k +-+-=.则()()()4222168211810k k k k ∆=-+-=+>，2122421k x x k +=+，()21222121k x x k -⋅=+.∴21222221x x k k +=+，2121222211222121y y x x k k k k k k ⎛⎫++-⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.∴点N 坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.∵线段AB 的垂直平分线的斜率为1k -，∴线段AB 的垂直平分线的直线方程为222122121k k y x k k k ⎛⎫--=-⋅- ⎪++⎝⎭.设点M 坐标为(),M M x y ∵点M 在直线:2l x =-上，即2M x =-.∴()2222212522212121M k k k y k k k k k ⎛⎫-+=-⋅--+= ⎪+++⎝⎭.∴点M 坐标为()22522,21k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭.∴()()222222222223125212121212121k k k k MN k k k k k k ⎛⎫+⎛⎫+ ⎪=+++=⋅+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∵()())22222221212222212141414212121k k k AB k x x x x k k k k -+⎛⎫=++-=+⋅-⋅= ⎪+++⎝⎭.∴)222121k AN k +=+.在Rt MAN 中，()()()()22222221231131tan 2121k k MN k MAN ANk k k +++∠===⋅++令2t k =，则0t >；令()()2223196101t t t m t t t t+++==>++.则()()29610m t m t -+--=，()()()2Δ64980m m m m =-+-=-≥，解得8m ≥.∴当8m =时，tan MAN ∠4=.此时()()23181t t t +=+，解得1t =，即1k =±.综上所述，可知tan MAN ∠的最小值为4，22．设函数()()e 1x xf x a a -=+>.(1)若e a =，求证()f x 有极值，求方程()2f x =的解；(2)设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有()0,x m n ∈，其中m ，n ∈Z ，求n m -的最小值.【正确答案】(1)见解析；(2)2【分析】（1）利用导数研究函数的单调性和极值；（2）方法一：求出导数，由导数判断出()10f '-<，()10f '>，找到函数的极值点所在区间，从而求出n m -的最小值；方法二：通过证明ln 1k k ≤-，得到0ln 11kx k =->-+，且01x <，得到()01,1x ∈-恒成立，且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-，所以n m -的最小值为2.【详解】（1）当e a =，()e e 2e 10x x xf x x -=+=⇒=⇒=证明：由题意得()e e x xf x -'=-，由()0f x '=，即e e 0--=x x ，解得0x =，当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，因此，当0x =时函数()f x 有极值.（2）方法一由题意得()ln x xf x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln x xae a ae a==.因为1a >，所以1ln 0a>，所以1log ln ae x a =.当1log ln ae x a>时，()()0,f x f x '>单调递增；当1log ln aex a<时，()()0,f x f x '<单调递减.因此，函数()f x 的极值点01log ln ae x a=.因为()ln 1e a f a '-=-，令()ln a g a a =，则()21ln 0aag a '-==，得e a =，当e a >时，()0g a '<，()g a 单调递减，当0e a <<时，()0g a '>，()g a 单调递增，所以()()1e e g a g ≤=，所以()0ln 1e aaf '-=-<，而()0ln 1f a '=-，当2a =时，()00f '<，当3a ≥时，()00f '>，又()e1l 1n f a a '=-，令()()ln ,2a h a a a =≥，则()ln 1a h a =+'，可知()0h a '>，所以()()ln ,2a h a a a =≥为增函数，所以eln 2ln 121a a ≥>>，当2a ≥时，()10f '>，即对任意正整数1a >，都有()10f '-<，()10f '>，所以()01,1x ∈-恒成立，且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-，所以n m -的最小值为2.方法二由题意得()ln x xf x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln xxae a ae a==.因为1a >，所以1ln 0a>，所以1log ln ae x a =.当1log ln ae x a>时，()()0,f x f x '>单调递增；当1log ln aex a<时，()()0,f x f x '<单调递减.因此，函数()f x 的极值点01log ln ae x a=.且()0eln ln 1log ln ln 1a a x a a ==-+，令ln a k =，ln 2k =，ln 3，…，则0ln 01kx k =-=+，得1k =，先证：ln 1k k ≤-，令()ln 1g k k k =-+，则()1kg k k-'=，当1k >时，()0g k '<，当1k <时，()0g k '>，所以()()10g k g ≤=，即ln 1k k ≤-成立，所以0ln 11kx k =->-+，又当ln 3k ≥时，0ln 01k x k =-<+，而2ln 21>，所以11ln 22e >>，所以1e ln 2<，当ln 2k =时，()0ln ln 20ln 21x =->+，且()10ln ln 2ln e 1ln 21ln 21x -=<<++，所以()01,1x ∈-恒成立，且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-.所以n m -的最小值为2.。
2023-2024学年江苏省南京市高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二下学期期中数学模拟试题一、单选题1．已知向量()()21,3,1,2,,a m m b m m =+-=- ，且a //b，则实数m 的值为（）A ．0或32B ．32C ．0或2-D ．2-【正确答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析运算.【详解】显然0,0a b ≠≠r r r r，若a //b，则()2,,a kb k km km ==-r r ，可得22131k m km km m =+⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得322k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.故选：D.2．已知两平面的法向量分别为(0,1,1)m =，(1,1,1)n = ，则两平面所成的二面角的正弦值为（）A．3B．3C ．13D．3【正确答案】B【分析】根据题意求得cos ,3m n =，设两平面所成的二面角为θ，求得sin 3θ=，即可求解.【详解】由两平面的法向量分别为(0,1,1)m =，(1,1,1)n = ，可得cos ,3m n m n m n⋅==，设两平面所成的二面角为θ，其中[0,]θπ∈，可得sin θ=故选：B.3．如图，用4种不同的颜色给图中,,,A B C D 四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A ．48B ．72C ．84D ．108【正确答案】C【分析】根据,A D 区域同色和不同色分类讨论即可得.【详解】,A D 区域同色的方法数为43336⨯⨯=,A D 区域不同色的方法数为432248⨯⨯⨯=，总的方法数为364884+=．故选：C ．4．将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.则异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【正确答案】B【分析】以O 为坐标原点，OA 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可计算出异面直线1B C 与1AA 所成的余弦值，即可得解.【详解】以O 为坐标原点，OA 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A 、()10,1,1A 、11,122B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、1,022C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()10,0,1AA = ，()10,1,1B C =-- ，则()()211001111AA B C ⋅=+⨯-+⨯-=- ，所以1111112cos ,2AA B C AA B C AA B C ⋅<>==-⋅.因此，异面直线1B C 与1AA 所成的角为4π.故选：B.本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的大小，考查计算能力，属于中等题.5．2023年五一假期，小明同学外出去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，小明需从9个外观完全相同的盲盒中，随机抽取3个，已知这9个盲盒中有3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔，另外6个盲盒中各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小明收获奖品的所有情形的种类有（）A ．84B ．86C ．42D ．44【正确答案】C【分析】根据装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分类讨论可得.【详解】由题意装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分别为0,1,2,3,因此小明收获奖品的所有情形的种类个数为32106666C C C C 42+++=.故选：C ．6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC 与1B C 相交于点O ，1160A AB A AC ∠=∠=，90BAC ∠= ，13A A =，2AB =，4AC =，则线段AO 的长度为（）A．2BC．2D【正确答案】A【分析】利用空间向量的数量积求模即可.【详解】由图形易得()()111122AO AB AC AB AC AA =+=++ ，所以()222211112224AO AB AC AA AB AC AB AA AC AA =+++⋅+⋅+⋅ ，()1474169224cos90223cos60243cos6044=⨯+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=即AO =故选：A7．已知函数2e ,0()241,0x x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩若方程()0f x kx +=恰好有三个不等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．()1,0e B ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(e,0)-D ．(),e -∞-【正确答案】D【分析】题意说明直线y kx =-与曲线()y f x =有三个交点，由0x <时，它们一定有且只有一个交点，因此直线y kx =-与e (0)x y x =>有两个交点，求出它们相切时的k -值后可得结论．【详解】作出函数()f x 的图象（示意图），如图，作直线y kx =-，0x ≤时，2()241f x x x =-++是增函数，且(0)1f =，由图可知直线y kx =-与2241(0)y x x x =-++≤始终有一个交点，即()0f x kx +=对任意k 值都有一个负根，由题意直线y kx =-与e (0)x y x =>有两个交点，设直线y kx =-与曲线e x y =的切点为00(,)x y ，e x y =的导函数为e x y '=，由0000e e x x y x x ==得01x =，0e y =，所以e k -=，由图形知e k ->，即e k <-，故选：D ．8．已知正方形ABCD 的中心在坐标原点，四个顶点都在函数()3f x x bx =+的图象上．若正方形ABCD 唯一确定，则实数b 的值为（）A ．2B ．2-C ．22-D ．4-【正确答案】C【分析】法一：设直线AC 的方程为()0y kx k =>，则直线BD 的方程为1=-y x k，讨论得到0b ≥不合要求，即0b <，分别联立曲线方程，得到21x k b =-，221x b k=--，再根据OA OB =得到21120k b k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，换元后必有220t bt -+=有两个相等的实数根，由280b ∆=-=，解得22b =-，检验后得到答案.法二：设出π,02AOx θθ∠=<<，表达出()()cos ,sin sin ,cos A r r B r r θθθθ-，代入曲线方程，得到2tan 2tan 2b θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得到b 的范围，并结合题意得到实数b 的值.【详解】法一：因为四边形ABCD 为正方形，O 为其中心，所以AC ⊥BD 于点O ，且OA OB OC OD ===，不妨设直线AC 的方程为()0y kx k =>，则直线BD 的方程为1=-y x k，设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()()1122,,,C x y D x y ----，当0b ≥时，()230f x x b '=+≥，()f x 在R 上单调递增，与1=-y x k仅有1个交点为原点，不合题意，当0b <时，联立直线AC 与曲线方程，得到3111x bx kx +=，解得21x k b =-，联立直线BD 与曲线方程，得到32221x bx x k +=-，解得221x b k=--，因为OA OB =，所以()()221111k k b b k k ⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22110k b k k k ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21120k b k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()()10t k k k k=->，该函数在()0,∞+上单调递增，值域为R ，要使符合题意的正方形只有1个，则必有220t bt -+=有两个相等的实数根，即280b ∆=-=，解得b =-此时1k k -=-k =所以b =-法二：不妨设点A 在第一象限，且,,,A B C D 四点逆时针排布，设π,02AOx θθ∠=<<，OA OB OC OD r ====，则()()ππcos ,sin ,cos ,sin sin ,cos 22A r r B r r r r θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意得两点存在曲线()3f x x bx =+上，所以3333sin cos cos cos sin sin r r br r r br θθθθθθ⎧=+⎨=--⎩①②，由①得23sin cos cos b r θθθ-=，由②得23cos sin sin b r θθθ+=-，联立两式得444433322sin cos 1tan 2tan 1tan sin cos sin cos tan tan 1tan 2tan b θθθθθθθθθθθθθ+++===-⋅---()222222221tan 2tan 1tan 2tan tan 2tan 222tan 2tan 2tan θθθθθθθθθ⎡⎤-+⎛⎫-=-⋅-+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦212tan 221tan 2tan 2tan 2θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为23sin cos 0cos b r θθθ-=>，23cos sin 0sin b r θθθ+=->，故sin cos 0b θθ->，cos sin 0b θθ+<，又sin 0,cos 0θθ>>，所以只有0b <时，才能使得两式恒成立，故tan 20θ>，由基本不等式可得2tan 2tan 2b θθ⎛⎫=-+≤-=⎪⎝⎭当且仅当2tan 2tan 2θθ=，即tan 2θ=由题意，θ有唯一解，故b =-故选：C正方形ABCD 唯一性转化为根的个数问题，再结合问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等）进行求解，需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方二、多选题9．若211877C C C x x x--=+，则正整数x 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】AC【分析】由组合数的性质得到2188C C x x -=，列出方程，求出答案.【详解】因为1778C C C x x x -+=，所以2188C C x x-=，即21x x -=或218x x -+=，解得1x =或3，经检验均满足要求.故选：AC10．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【正确答案】ACD【分析】A 选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B 选项，利用倍缩法求解；C 选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D 选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案.【详解】A 选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有44A 24=种排法，再将甲、乙两人插空，有25A 20=种排法，则共有2420480⨯=种不同的排法，A 正确；B 选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即6633A 120A =种不同的站法，B 错误；C 选项，6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有2223642333C C C A 90A =种不同的安排方法，C 正确；D 选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有13C 3=种分法；若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有2131C C 3=种分法；共有6种分组方法，D 正确.故选：ACD11．初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数2()(0)f x x x =>，我们可作变形：()ln ln e e xx x x x f x x ===，所以()xf x x =可看作是由函数()e tp t =和()ln g x x x =复合而成的，即()(0)x f x x x =>为初等函数，已知初等函数()(0)x f x x x =>，1()(0)x g x x x =>，则（）A ．()(0)x f x x x =>极小值点为1ex =B ．1()(0)x g x x x =>极小值为1C ．()()f xg x ≥D ．直线:l y x =是曲线()y f x =与()y g x =的一条公切线【正确答案】ACD【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的几何意义判断．【详解】()x f x x ==ln e x x ，设ln t x x =，即()e t f x =，则()(e )e 1ln )(1ln )t tx f x t x x x '''==+=+（，1ln ()ex x xg x x ==，同理12(1ln )()xx x g x x -'=，10e x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以1ex =是()f x 的极小值点，A 正确；0e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，e x >时，()0g x '<，()g x 单调递增，所以()g x 有极大值为1e (e)e g =，无极小值，B 错误；21(1)ln ln ln x x x x x x x --=，01x <<时，210x -<，ln 0x <，2(1)ln 0x x x->，1ln ln x x x x >；1x =时，1ln ln 0x x x x -=，即1ln ln x x x x =；1x >时，210x ->，ln 0x >，2(1)ln 0x x x ->，所以0x >时，1ln ln x x x x>，所以()()f x g x ≥，C 正确；由C 知(1)(1)1f g ==，又(1)(1)1f g ''==，所以直线11y x -=-即直线y x =是曲线()y f x =的切线也是曲线()y g x =的切线，即为它们的一条公切线，D 正确．故选：ACD ．12．如图①，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为CD 的中点将CBE ∆沿直线BE 翻折至1C BE △的位置，使得平面1C BE ⊥平面ABED ，如图②所示，下列说法法正确的有（）A ．平面1C AE ⊥平面1C BEB ．异面直线1C A 与BEC ．点B 到平面1C ADD ．二两角1D C AE --【正确答案】ABD【分析】对于A 项，通过勾股定理证得AE BE ⊥，再结合面面垂直的性质定理证得⊥AE 平面1C BE ，再运用面面垂直的判定定理证得平面1C AE ⊥平面1C BE .建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角公式、点到面的距离公式及二面角公式计算可分别判定B 项、C 项、D 项.【详解】对于A项，如图所示，在Rt ADE △中，1AD DE ==，所以AE =在1Rt BC E △中，111BC C E ==，所以BE ，又因为2AB =，所以222AE BE AB +=，所以AE BE ⊥，又因为平面1C BE ⊥平面ABED ，平面1C BE平面ABED BE =，AE ⊂平面1C BE ，所以⊥AE 平面1C BE ，又因为AE ⊂平面1C AE ，所以面1C AE ⊥平面1C BE ，故A 项正确；对于B 项，取BE 中点M ，AB 中点N ，连接1C M 、MN ，则1C M BE ⊥，//MN AE ，由A 项知，⊥AE 平面1C BE ，所以MN ⊥平面1C BE ，所以以点M 为原点，分别以MN 、MB 、1MC 为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0M，1)2C，,0)2A，,0)2B，(0,,0)2E -，(,2D所以1C A =，(0,BE = ，所以111|||cos ,|6||||C A BE C A BE C A BE ⋅<>==，所以异面直线1C A 与BEB 项正确；对于C项，因为1)22C A =--，1()22C D =-，1(0,)22C B =- ，设平面1C AD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111111111100220022y n C A n C D x --=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩-=⎩，取11x =，则11y =-，13z =，所以1(1,1,3)n =-，所以点B 到平面1C AD的距离为111|||2211||C B n d n -⋅==，故C 项错误；对于D 项，由C 项知，平面1C AD 的一个法向量为1(1,1,3)n =-，设平面1C AE 一个法向量为2222(,,)n x y z =，又1(0,)22C E =-- ，则222212122000022y z n C A n C E y z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--=⎪⎩，取21y =，则21z =-，20x =，所以2(0,1,1)n =-，所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=所以12sin ,11n n <= ，所以二面角1D C A E --D 项正确.故选：ABD.三、填空题13．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.【正确答案】36根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，②4位“回文数”中有2个不同的数字，求出每种情况下4位“回文数”的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；②4位“回文数”中有2个不同的数字，有2630A =种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有63036+=个4位“回文数”；故36．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是理解“回文数”的定义，属于基础题．14．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【正确答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从A 点，先到E 点，再到F 点，最后经点G 到B 点即可.第一步：由A 点到E 点，最短路径为4步，最短路径方法种类为1343C C 4⋅=；第二步：由E 点到F 点，最短路径为3步，最短路径方法种类为1232C C 3⋅=；第三步：由F 点经点G 到B 点，最短路径为3步，最短路径方法种类为111121C C C 2⋅⋅=.根据分步计数原理可得，最短路径有43224⨯⨯=种.故24.15．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 上的动点，满足1PC //平面1AED ，若该正方体的棱长为1，则点P 到直线AE 的距离的最小值为__________.【正确答案】13【分析】根据线面平行分析可得：点P 在线段1BC 上，结合异面直线的距离以及垂直关系分析运算.【详解】因为AB //11C D ，11AB C D =，所以11ABC D 为平行四边形，则1AD //1BC ，1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，可得1BC //平面1AED ，故点P 在线段1BC 上（点1C 除外），点P 到直线AE 的距离的最小值为异面直线1,AE BC 之间的距离，如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()111,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,2A B C E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得()111,1,,1,0,12AE BC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭uu u r uuu r，设1,AM AE BN BC λμ==uuu ruu u r uuu ruuu r，可得()11,,,1,1,2M N λλλμμ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1,1,2MN λμλμλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭uuu r ，令()()()1111022102MN AE MN BC λμλμλλμμλ⎧⎛⎫⋅=--+-+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=--+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得8923λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即212,,999MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu r ，此时1,MN AE MN BC ⊥⊥uuu r uu u r uuu r uuu r，符合题意，所以点P 到直线AE的距离的最小值为13MN =uuu r .故答案为.1316．若关于x 的不等式e (2)ln 0x x a x a x -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.【正确答案】()30,e .【分析】令e x t x =，不等式转化为ln 20t a t a -+≥在(0,)t ∈+∞恒成立，令()ln 2f t t a t a =-+，求得()t af t t-'=，当0a ≤时，得到()f t 单调递增，结合0t →时，()f t →-∞，不符合题意；当0a >时，求得函数单调性和最小值()3ln f a a a a =-，得到3ln 0a a a -≥，即可求解.【详解】令e x t x =，由0x >时，可得0t >，则ln ln e ln x t x x x ==+，则不等式()e 2ln 0xx a x a x -+-≥，即为ln 20t a t a -+≥在(0,)t ∈+∞恒成立，令()ln 2f t t a t a =-+，可得()1a t a f t t t-'=-=，当0a ≤时，可得()0f t '>，可得()f t 单调递增，因为0t →时，()f t →-∞，不符合题意，舍去；当0a >时，令()0f t '=，可得t a =，当(0,)t a ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减；当(,)t a ∈+∞时，()0f t '>，()f t 单调递增，所以当t a =时，函数()f t 取得极小值，即为最小值()ln 23ln f a a a a a a a a =-+=-，因为不等式()e 2ln 0xx a x a x -+-≥恒成立，即为()0f t ≥恒成立，则满足3ln 0a a a -≥，即3ln 0a -≥，解得30e a <<，所以实数a 的取值范围是()30,e .故答案为.()30,e四、解答题17．已知数列{}n a 满足15a =，123n n n a a +-=（*n ∈N ）.记3nn n b a =-.(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)设n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和.【正确答案】(1)证明见解析(2)()1212n n ++-【分析】（1）由等比数列定义证明1n nb q b +=即可；（2）使用错位相减法求和即可.【详解】（1）由已知，∵123n n n a a +-=，∴132nn n a a +=+，∵3nn n b a =-，∴()11133233223232n n n n n n n n n n n b a a a a b +++=-=+-⨯=-⨯=-=，又∵15a =，∴1113532b a =-=-=，∴易知数列{}n b 中任意一项不为0，∴12n nb b +=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由第（1）问，1222n n n b -=⨯=，∴2nn n c nb n =⋅=，∴设数列{}n c 的前n 项和为n S ，则1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①，①2⨯得，234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②，①-②得，2341222222n n n S n +-=+++++-⋅ ，∴()111212222212n n n n n S n n +++--=-⋅=-+-⋅-，∴()1212n n S n +=+-.∴数列{}n c 的前n 项和为()1212n n ++-.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，PA CD ⊥，1AD =，4CD =.(1)证明：AD ⊥平面PCD ；(2)若3PD =，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）由线线垂直证线面垂直即PD AD ⊥，AD DC ⊥即可证明结论；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.【详解】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊂、平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD DC ⊥，又PA CD ⊥，PA 、PD ⊂平面PAD ，PA PD P = ，所以CD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以CD AD ⊥，DC 、PD ⊂平面PAD ，DC PD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ；（2）由（1）知PD 、DA 、DC 两两垂直，如图所示以D 为中心建立空间直角坐标系，则()()()()1,0,01,4,00,4,00,0,3A B C P 、、、，()()()1,0,31,4,30,4,3PA PB PC =-=-=- 、、，设面PBC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即430430x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令3y =，则4,0z x ==，即()0,3,4n =设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PA θ⋅==⋅19．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =(1cos )B b A =-.(1)求角A 的大小；(2)若AC =D 满足3CB CD = ，点E 满足DE AD =，求sin BEC ∠.【正确答案】(1)π3(2)14【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到1cos A A a =-，因为3a =，求得sin 322A A=，进而求得tan2A =，即可求得A 的大小；（2）在ABC中，由余弦定理求得AB =1233AD AB AC =+，根据向量的数量积的运算公式，求得2AD =，再在ABD中，求得cos 2BAD ∠=，得到π6BAD ∠=，进而得到π6CAD ∠=，分别在ABE 和ACE △中，求得2BE =，CE =，利用余弦定理求得cos BEC ∠=sin BEC ∠的值.【详解】（1(1cos )B b A =-，可得1cos BA b=-，由正弦定理得sin sin a b A B =1cos A =-，又因为3a =1cos A A =-2cos 2sin 222A A A=，因为π0(),22A ∈，所以sin 02A >sin 22A A =，所以tan 2A =又因为π0(),22A ∈，可得π26A =，所以π3A =.（2）解：在ABC中，因为3,a BC AC ===π3A =，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即219322AB AB =+-，即260AB -=，解得AB =AB =（舍去），设,AB a AC b == ，因为3CB CD =，可得12123333AD AB AC b =+=+ ，所以222214412124π36499999939AD AD a b a b ==++⋅=++⨯== ，所以2AD =，即2AD =，又因为DE AD =，所以2DE AD == ，所以4AE =，在ABD 中，可得2223cos 22AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅，可得π6BAD ∠=，因为π3A =，所以π6CAD ∠=，在ABE 中，可得222π32cos 12162234462BE AB AE AB AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以2BE =，在ACE △中，可得222π32cos 316234762CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以7CE =，在BCE 中，可得2224791cos 222727BE CE BC BEC BE CE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以321sin 1cos 14BEC BEC ∠=-∠=20．如图，已知在三棱柱111ABC A B C -中，11A B =，15AA =2AB BC ==，30BAC ∠= ，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求1AA 与BC 所成角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点E ，使得二而角1E BC B --的余弦值为-求出1AE AA 的值，若不存在，说明理由．【正确答案】(2)存在，且113AE AA =．【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成的角；（2）假设存在点E 满足题意，设1AE AA λ=（(01)λ≤≤，由空间向量法求二面角得λ值，从而得出结论．【详解】（1）因为11A B =，1AA =2AB BC ==，30BAC ∠= ，所以22211AA AB A B =+，所以1A B AB ⊥，120ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，以BA 为x 轴，平面ABC 内，过B 与AB 垂直的直线为y 轴，1BA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,0,0)B，(1,C -，1(0,0,1)A ，1(2,0,1)AA =-，(1,BC =-，111cos ,AA BC AA BC AA BC⋅=，所以1AA 与BC（2）假设存在点E 满足题意，设1AE AA λ= （(01)λ≤≤，则(2,0,)AE λλ=-，(22,0,)BE AE BA λλ=+=-，11(2,0,1)BB AA ==- ，设平面EBC 的一个法向量是111(,,)m x y z =，则1111(22)0m BE x zm BC xλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取11y=-，则1x=11)zλλ-=，m=-，设平面11BCC B的一个法向量是222(,,)n x y z=，则2212220n BC xn BB x z⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21y=，则2x=，2z=-，即(n=-，cos,26m nm nm n⋅==，解得13λ=或76λ=（舍去），由图可知当13λ=，二面角1E BC B--是钝二面角，满足题意，此时113AEAAλ==．21．已知()e sin1xf x x ax=+--，a为实数．(1)若(0)0f'=，求a的值，并讨论()f x的单调性；(2)若0x≥时，()0f x≥，求实数a的取值范围；(3)当ea=时，若12π,0,,2x x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12()()f x f x=，且()f x在x t=处取极值，求证：122.x x t+<【正确答案】(1)2a=，()f x的减区间是(,0)-∞，增区间是(0,)+∞；(2)(,2]-∞；(3)证明见解析．【分析】（1）求出()f x'，由(0)0f'=得2a=，再利用()0f x'<得减区间，()0f x'>得增区间，（2）由(0)0f=，()0f x≥在0x≥时恒成立得存在00x>，在(0,)x上()f x单调递增，即()0f x'≥恒成立，由此(0)0f'≥，得必要条件2a≤，然后证明其也是充分条件即可得参数范围；（3）利用导数确定()f x的单调性与极值，得π2t<<，不妨设12x x<有12π2x t x<<<<，从而12πt t x<-<，因此问题转化为只要证11()(2)f x f t x<-，构造函数()()(2)h x f x f t x=--(0)x t<<，利用导数证明()0h x <（需要多次求导），从而得出证明．【详解】（1）由题意()e cos x f x x a '=+-，(0)110f a '=+-=，2a =，即()e cos 2x f x x '=+-，显然0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，令()()e cos 2x g x f x x '==+-（0x ≥），则()e sin x g x x '=-，易知0x ≥时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(0)0f x f ''≥=，所以()f x 单调递增，所以()f x 的减区间是(,0)-∞，增区间是(0,)+∞；（2）()e cos x f x x a '=+-，(0)0f =，因此由题意知存在00x >，在0(0,)x 上()f x 单调递增，即()0f x '≥恒成立，从而(0)0f '≥，所以2a ≤，下证2a ≤时，0x ≥时，()0f x ≥恒成立，由（1）知2a =时，0x ≥时，()0f x ≥恒成立，2a <时，由0x ≥得e sin 1e sin 21x x x ax x x +--≥+--，因此()0f x ≥恒成立，综上，a 的取值范围是(,2]-∞；（3）e a =，()e sin e 1x f x x x =+--，()e cos e x f x x '=+-，由（1）知()f x '在[0,+∞）上是增函数，(0)2e 0f '=-<，π2ππ()e cos e 022f '=+->，所以存在π(0,2t ∈，使得()0f t '=，在(0,)t 上()0f x '<，()f x 单调递增，在π(,)2t 即在(,)t ∞+上，()0f x '>，()f x 单调递增，x t =是()f x 的极值点（极小值点），()f t '=e cos e 0t t +-=．(0)0f =，则()0<f t ，又π2π()e 1e 102f =+-->，因此在π(,)2t 时存在0x ，值得0()(0)0f x f ==，所以由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则12π02x t x <<<<，要证122x x t +<，即证212x t x <-，因为10x t <<，所以122πt t x t <-<<，由()f x 在(0,)+∞上单调递增，且12()()f x f x =，因此只要证11()(2)f x f t x <-，设()()(2)h x f x f t x =--(0)x t <<，2()e sin e e sin(2)e(2)x t x h x x x t x t x -=+----+-，2()e e cos cos(2)2e x t x h x x t x -'=+++--，令()()x h x ϕ'=(0)x t <<，则2()e e sin sin(2)x t x x x t x ϕ-'=--+-，设2()()e e sin sin(2)x t x x x x t x λϕ-'==--+-(0)x t <<，则2()e e cos cos(2)x t x x x t x λ-'=+---0>，()x λ是增函数，即()x ϕ'是增函数，()()0x t ϕϕ''≤=，所以()ϕx 即()h x '是减函数，()()0h x h t ''>=，所以()h x 是增函数，从而()()0h x h t <=，所以()(2)f x f t x <-，即11()(2)f x f t x <-成立，综上，122.x x t +<方法点睛：证明与函数的极值点、方程的根有关的不等式的方法，一般利用导数确定极值点t 的范围，确定相应方程根12,x x 的存在性与范围，同时不妨设12x x <，本题中得出12π02x t x <<<<，这样要证明的不等式变形为212x t x <-，结合21,2x t x -在()f x 的单调增区间上，因此不等式转化为函数不等式21()(2)f x f t x <-，然后由方程根转化为11()(2)f x f t x <-，达到了消元的目的，然后再构造函数()()(2)h x f x f t x =--，利用导数证明()0≤h x 成立，从而得出结论．。
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南京市高二下学期期中数学试卷（理科）C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）以知集合，则=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高二下·柳州月考) 若复数（是虚数单位，），在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（,1），且，则tanθ的值是（）
A .
B . -
C . -
D .
4. （2分）(2018·宣城模拟) 已知实数 ,满足，则的最大值为（）
A . 2
B . 4
C . 8
D . 12
5. （2分）以下命题(其中a ， b表示直线，α表示平面)：
①若a∥b ， b⊂α ，则a∥α；
②若a∥α ，b∥α ，则a∥b；
③若a∥b ，b∥α ，则a∥α；
④若a∥α ， b⊂α ，则a∥b.
其中正确命题的个数是（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
6. （2分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
7. （2分）在等差数列中，已知，则该数列前11项和
A . 196
B . 132
C . 88
D . 77
8. （2分）已知函数，若且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）
A . 2
B .
C .
D . 3
10. （2分）(2016·青海) 已知，，记
则A,B的大小关系是（）
A . A>B
B .
C . A<B
D .
11. （2分）(2017·赣州模拟) 抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A 到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
12. （2分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）
A . f（x）在（0，2）单调递增
B . f（x）在（0，2）单调递减
C . y=f（x）的图象关于直线x=1对称
D . y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分）函数f（x）=aex+x2+x+1（a∈R）的图象M经过点（0，2），若图象M关于直线2x﹣y﹣3=0对称的图象为N，P，Q分别是两图象上的动点，|PQ|的最小值为________．
14. （1分）已知，，m=a+b，则 ________.
15. （2分） (2018高一下·金华期末) 在中，角，，所对的边分别为，， .若
，且，则角 ________，的最大值是________．
16. （1分） (2015高二下·沈丘期中) 观察以下三个等式：
sin215°﹣sin245°+sin15°cos45°=﹣，
sin220°﹣sin250°+sin20°cos50°=﹣，
sin230°﹣sin260°+sin30°cos60°=﹣；
猜想出一个反映一般规律的等式：________．
三、解答题： (共6题；共50分)
17. （10分） (2015高三上·连云期末) 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=
，tan（A﹣B）=﹣．
（1）求tanB的值；
（2）若b=5，求c．
18. （10分） (2015高三上·泰州期中) 在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足．求数列{bn}的前n项和．
19. （5分）(2018·河北模拟) 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.8元/
吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．
（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率；
（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；
（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．
20. （10分）(2017·大庆模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1 ， E、F分别是CC1 ， BC的中点．
（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；
（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．
21. （5分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，1），过焦点且垂直于长轴的弦长为，直线l交椭圆C1于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l的方程；
（Ⅲ）直线l与椭圆C2：+=λ（λ∈R，λ＞1）交于P，Q两点（如图），求证|PM|=|NQ|．
22. （10分） (2017高二下·新余期末) 已知函数f（x）=xex+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题： (共6题；共50分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
20-2、
22-1、22-2、。