第四章 线性规划的扩展 (III)

下图表示从起点A到终点E之间各点间的距离。求A 到E的最短路径。
B1
2 10 5 12 14
C1
9
3
6
6
D1
5
A
1
B2
13
10 4
C2
5
8
E D2
10 2
B3
12 11
C3
阶段1
阶段2
阶段3
阶段4
第四章 线性规划的扩展 (III)
每一个阶段都至少有一个起始点－－初始状态（如Bi) 每一个阶段都需要作一个选择－－决策本阶段由初始 状态应演变到下一个阶段的哪一个起始点（本阶段 终点）； 每一个阶段的决策不仅影响到本阶段的效果，还影响 到下一阶段的初始状态，从而也影响到此后的演变 过程； 每一个阶段的决策不能只从这一阶段本身考虑，要考 虑整个过程的最优效果。
第四章 线性规划的扩展 (III)
最优化原理
最佳路径中任一状态（中间某点）到最终状态（最 终点）的路径也是该状态到最终状态一切可能中的 最短路径。
A
阶段1
Bi
阶段2
Cj
阶段3
Dt
阶段4
E
C 'j
·
' Dt
·
第四章 线性规划的扩展 (III)
动态规划的方法（教材P92）
将完整的问题划分成若干个阶段； 明确最终要达到的目的； 从最终结果倒推，逐个阶段地作出决策； 回到出发点，作出最后一个决策，再向前推 可得到每一阶段的最优决策。
应用运筹学
第四章 线性规划的扩展 (III)


目标规划 动态规划
第四章 线性规划的扩展 (III)
目标规划
解决需要考虑多个目标的决策问题 目标规划与线性规划比较： 线性规划 目标规划 问题： 单目标 多目标 约束： 硬约束、矛盾 划分等级 求解： 绝对最优 实际满意 目标规划是在满足现有的一组约束条件下，求出尽 可能接近理想值的解。
第四章 线性规划的扩展 (III)
例4－9 ：引例问题的目标规划模型 在原材料供应严格限制的条件下，考虑：
产品 I 的产量不超过产品 II ； 优先因子 P1 尽可能利用设备，但不希望加班； 优先因子 P2 应尽可能达到（超过）利润指标56元。 优先因子 P3 目标函数： MIN Z = P1d1++P2(d2- + d2+)+P3d3s.t. 2X1 + X2 ≤ 11 X1 X2 + d1- - d1+ = 0 （≤0） X1 + 2X2 + d2- - d2+ = 10 （＝10） 8X1 + 10X2 + d3- - d3+ = 56 （ ≥56） X1 ,X2 ,d1- ,d1+ ,d2-, d2+ , d3- ,d3+ ≥0
95
140 110 伦敦
140 8
110
5
9
阶段4 阶段3 阶段1
第四章 线性规划的扩展 (III)

例4－11 教材P95 实例4.14（资源分配） 一家医院有5位护士要分派到3个病房，不同数量的护 士在每个病房的作用如表，如何分配使总作用最大？ 护士 人数
0 1 2 3 4 5
在病房中的作用 X Y Z
动态规划解决多阶段决策问题
动态规划没有标准模型，没有唯一确定的解法
第四章 线性规划的扩展 (III)
动态规划的基本概念：
阶段k：表示决策顺序的离散量，阶段可按时间或空间划分。
状态Sk：能确定地表示决策过程当前特征的量。状态可以是数 量也可以是字符，数量状态可以是连续的也可以是离散的。
状态变量Xk：表示每一状态可以取不同值的变量。
0 4 6 10 14 16 0 4 8 13 15 16 0 6 9 13 16 17
请思考： 能否用线性规划来做？
动态规划思路：
护士分到X后就不能再分到Y与Z， 因此可考虑先分配给X,再分配给Y， 最后分配给Z。
每一阶段可分配数是前一阶段做
决策时的可分配数减去实际分配数。
剩余
22 4 8 19 15 13 16 4 14 0 23 4 6 10 14 16 3 10 5 0

第四章 线性规划的扩展 (III)
动态规划举例：例4－10 教材P92 实例4.13
行进方向 起点 寻优方向 205 终点
125 95
110 6 125 95 7 0
305 420
格拉斯哥 130 110 1 310 2
120 105 110 130
3 200 4
235
105
140 130 125 阶段2
剩余 Y 分1个
17 5 16 4 13 3 9 0 4 8 0 2 6 6 13 17
X 分0个
Z
16
分5个
S
5
9
0
F
2
6 1
分5个
0
4
第四章 线性规划的扩展 (III)
优先等级与权系数：要达到的多个目标之间有主次、轻重
缓急之分，因此各目标之间有优先等级。凡第一位要达到的目 标赋予等级系数P1,次位的赋予等级系数P2，以此类推；并规 定Pk>>Pk+1, Pk比Pk+1更大的优先权。相同等级的以不同的权 系数ω 加以区别。
目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各目标
d1F E X1-X2 = 0
C G
D
d1+
8X1+10X2 = 56 X1+2X2 =10
d3+
d2＋
O A
d3
-
H
d2
-
第四章 线性规划的扩展 (III)
例4－10 ：建立目标规划模型并求解
某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电视机需占用装配 线1小时，装配线每周计划开动40小时。预计市场每周彩电的销量是 24台；黑白电视机的销量是30台。该厂确定的目标为： 第一优先级：充分利用装配线，每周计划开动不低于40小时； 第二优先级：允许装配线加班，但加班时间每周尽量不超过10小时。 第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要，因彩电利润高于 黑白电视机，取其权系数为2。
状态转移函数在本例中为距离和最小
第四章 线性规划的扩展 (III)
同样，计算S(B1)又可以归结为性质完全相同，
但规模更小的问题，即分别求C1，C2，C3到E的 最短路径问题S(Ci) (i=1, 2, 3)，而求S(Ci)又可以 归结为求S(D1)和S(D2)这两个子问题。从图中可 以看出，在这个问题中，S(D1)和S(D2)是以知的， 它们分别是： S(D1)=5，S(D2)=2 因而，可以从这两个值开始，逆向递归计算S(A) 的值。
例4－10的图解
X2 X1+X2=40 X2 = 30 D
C
d3H G
第一级： d1－ 取最小为0 第二级： d2+ 取最小为0， 只能在ABCD范围 第三级：d3- 的权数大，先取 取d3- 最小0，范围为ABEF 再取d4-最小，只能是E点
d3+
E
d4+ d4X1+ X2 =50
步骤： 1 先作绝对约束 2 再作d=0时的 目标约束 3 标出d+， d的方向 4 按优先的次序 逐个使目标函 数中的极小偏 差变量取零， 缩小可行域， 找出问题解。
第四章 线性规划的扩展 (III)
目标规划引例
某厂生产I,II两种产品： I 2 1
8
这是一个单目标规划
原材料 设 备 利润
II 1 2
10
拥有量
11 10
线性规划模型： MAX Z ＝ 8X1+10X2 s.t. 2X1+ X2≤11 X1+2X2≤10 X1,X2≥0 最优方案为： X1=4 X2=3
约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每 一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值，因 此目标规划的目标函数只能是 MIN Z = f（d+,d- )。 要求恰好达到目标值（正负偏差都要尽可能地小），这时 MIN Z = f（d+ ＋ d- ) 要求不超过目标值（允许达不到，正偏差要尽可能地小） MIN Z = f（d+ ) 要求不低于(至少达到）目标值： MIN Z = f（d- )
等级 I II III 工资额 （元/年） 2000 1500 1000 现有人数 10 12 15 编制人数 12 15 15
合计
37
42
第四章 线性规划的扩展 (III)

动态规划
将过程按时间、空间等标志分为若干个阶段； 每一个阶段都需要作出决策； 阶段决策依赖于当前状态，又影响以后发展。
决策1 状态1 1 阶段1 状态2 决策2 2 阶段2 状态3 决策3 3 阶段3 状态4 状态n 决策n n 阶段n
决策dk：从某一状态向下一状态过渡时所做的选择。决策是所 在状态变量的函数，记为dk(Xk)。
决策允许集合Dk(xk)：在状态Xk下，允许采取决策的全体。

状态转移方程Xk+1=T(Xk,dk)：某一状态以及该状态下的决策， 与下一状态之间的函数关系。
第四章 线性规划的扩展 (III)
动态规划典型问题－－最短路径
F
d1
X1 = 24 O
+
d2＋ d2-
E(24,26) 是满意解 彩色24台 黑白26台
X1
d1-
A
B
第四章 线性规划的扩展 (III)
练习：建立目标规划模型 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵守以下 规定： 1.不超过年工资总额60000元； 2.每级的人数不超过定编规定的人数； 3.II，III级的升级面尽可能达到现有人数的20％； 4.III级不足编制的人数可录用新职工，又I级的职工中有10％ 要退休。 有关资料汇总于下表中，问该领导应如何拟定一个满意的方案。