第一课数值分析10迭代法的收敛性分析
线性方程组迭代法收敛性分析
lim Ak 0 .
k
(2.27)
由定理 2.5 知，
( A k ) Ak ，
即
( A)
由(2.27) 和(2.28)可得
k
Ak .
(2.28)
lim ( A) 0
k k
再由矩阵谱半径的定义可知一定有 ( A) 1 . （必要性） 若 ( A) 1 ，则有定理 2.5 的推论可知至少存在一个 0 使得一种范数
若有
lim x ( k ) x* , 即 lim xi( k ) xi* ,
k k
则有 lim x ( k ) x*
k 2
0.
常见的向量范数有： ① 1-范数
x 1 xi ；
i 1
n
② ∞-范数
x
max xi ；
1 i n
③ 2-范数
x 2 ( x ) ；
lim x x* lim G k x x* 0 ，
k
0
k
k
再由向量范数的定义可知
lim x k x* 0 ，
k
即迭代过程收敛. （必要性） 若迭代公式(2.20)收敛，即满足
lim x x* 0
k k
由此推论可知当 ( A) 1 时，至少存在一种范数 A 1 .
定 理 2.6 设 A R nn ， 则 lim Ak 0 的 充 要 条 件 为 ( A) 1 . （ 其 中
k
Ak AA A）
k
证明： （充分性） 若 lim Ak 0 ，则由矩阵范数的定义可知
数值分析10迭代法的收敛性分析
研究方向
进一步深入研究迭代法的收敛性，探索更有 效的迭代公式和算法，以提高收敛速度和稳 定性。
展望
随着计算技术的发展，迭代法在数值分析中 的应用将更加广泛，其收敛性分析将为解决 实际问题提供更有力的支持。同时，随着数 学理论的发展，迭代法的收敛性分析将更加 深入和完善。
感谢您的观看
THANKS
例如，梯度下降法和牛顿法是两种常见的求解优化问 题的迭代法。通过收敛性分析，可以发现梯度下降法 在一般情况下是收敛的，但可能会遇到收敛速度较慢 或者不收敛的情况；而牛顿法在一般情况下也是收敛 的，且收敛速度可能比梯度下降法更快。因此，在实 际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代 方法。
06
迭代法收敛的充要条件
迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。谱半径是迭代矩阵所有特征值的模的最大值。
收敛性的判定方法
可以通过计算迭代矩阵的特征值来判断迭代法的收敛性，也可以通过迭代矩阵的范数来近似判断。
收敛速度的度量
01
02
03
迭代次数
迭代次数是衡量收敛速度 的一个直观指标，迭代次 数越少，收敛速度越快。
在非线性方程求解中的应用
非线性方程的求解是数值分析中的另一个重 要问题，迭代法也是求解非线性方程的重要 方法之一。与线性方程组求解类似，收敛性 分析在非线性方程求解中也有着重要的作用 。通过收敛性分析，可以判断迭代法的收敛 速度和收敛性，从而选择合适的迭代方法和 参数，提高求解效率。
数值分析PPT教案
遗传算法
模拟生物进化过程的优 化算法，适用于多变量、 非线性、离散的最优化
问题。
数值积分和微分的方法
01
02
03
04
矩形法
将积分区间划分为若干个小的 矩形区域，每个矩形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
梯形法
将积分区间划分为若干个小的 梯形区域，每个梯形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
理解和应用能力。
培养创新思维和解决问题的能力
03
学生应该培养创新思维和解决问题的能力，以便在未来的学习
和工作中更好地应对挑战。
THANK YOU
感谢聆听
误差累积效应
误差的来源和传播
初始误差放大 误差传递规律
误差的度量和控制
绝对误差和 相对误差
误差的估计 和容忍度
提高数据精 度
选择合适的 算法和数值 方法
控制误差的 方法
迭代收敛性 和稳定性分 析
方法的稳定性和收敛性
方法的稳定性 不受初始条件和舍入误差的影响
对输入数据的变化具有稳健性
方法的稳定性和收敛性
课程目标
02
01
03
掌握数值分析的基本概念、原理和方法。
能够运用数值分析方法解决实际问题，提高计算能力 和数学素养。
培养创新思维和实践能力，为后续学习和工作奠定基 础。
02
数值分析基础
数值分析的定义和重要性
数值分析的定义
数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科，旨在解决各 种数学问题，如微积分、线性代数、微分方程等。
电子工程
在电子工程中，数值分析用于 模拟电路的行为和性能。通过 电磁场理论和数值方法，可以 优化电路设计和性能，提高电 子设备的效率和稳定性。
迭代法和其收敛性
(1) xk1 xk2 xk 3, g(x) x2 x 3,
g(x) 2x 1, g(x*) g( 3) 2 3 1 1.
3
3
(2)
xk 1
xk
,
g(x)
, x
g( x)
3 x2
,
g( x*)
1.
(3)
xk 1
xk
1 4
( xk2
3),
g(x)
x
1 4
(x2
3),
g(x) 1 1 x, g(x*) 1 3 0.134 1.
上g存(x在) [a, b]
因 a g，(x)下列b设
及 g(a) ，a定 g(b) b
义函数
f (x) g (x) x.
显然 f (x) C，[a且, b满] 足
f (a) g (a) a 0, f (b)
g(b) b，由0 连续函数性质可知存在
x使* (a, b)
f (x*) ， 0即
L xk1 x * Lk x0 x *.
因 0 L，故1 当 k时序列 收敛{到xk } .
x*
再证明估计式（2.5），由李普希兹条件有
xk1 xk g(xk ) g(xk1) L xk xk1 .
（2.6）
反复递推得
xk 1 xk Lk x1 x0 .
于是对任意正整数 p有
g在(x区) 间3x2 中
[1,2] g(x) 1
10.3 局部收敛性与收敛阶
上面给出了迭代序列 {在xk区} 间 上[旳a, b收]敛性， 一般称为全局收敛性. 定理旳条件有时不易检验，实际应 用时一般只在不动点 x *旳邻近考察其收敛性，即局部收 敛性.
定义7.2.1 设 有(x不) 动点 ，假x *如存在 旳某x个* 邻域 R : x x ，* 对任意 ，迭x0 代（R 2.2）产生旳序列 {xk }，R且收敛到 ，x则*称迭代法（2.2）局部收敛.
数值分析课程教学大纲
数值分析课程教学大纲一、课程简介数值分析课程是计算机科学与工程领域的一门重要基础课程，旨在培养学生使用数值方法解决实际问题的能力。
本课程主要介绍数值计算的基本原理、常用数值方法以及其在实际应用中的使用。
二、教学目标1. 了解数值计算的基本概念与原理；2. 掌握常用数值方法的基本思想和实现过程；3. 能够独立选择和应用合适的数值方法解决实际问题；4. 具备编写简单数值计算程序的基本能力。
三、教学内容1. 数值计算基础1.1 数值误差与有效数字1.2 浮点运算与舍入误差1.3 计算机数制与机器精度2. 插值与逼近2.1 插值多项式的存在唯一性与插值误差2.2 多项式插值的Newton和Lagrange形式2.3 最小二乘逼近与曲线拟合2.4 样条插值与曲线光滑拟合3. 数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念及Newton-Cotes公式 3.2 数值积分的复化方法3.3 高斯积分公式3.4 数值微分的中心差分与向前向后差分公式4. 解非线性方程4.1 迭代法与收敛性分析4.2 函数单调性与零点存在性4.3 牛顿迭代法及其变形法4.4 非线性方程求根方法的比较与选择5. 数值代数方程组的直接解法5.1 矩阵消元与高斯消元法5.2 LU分解方法5.3 矩阵的特征值与特征向量5.4 线性方程组迭代解法6. 数值优化方法6.1 优化问题的基本概念与分类6.2 单变量优化方法6.3 多变量优化方法6.4 无约束优化算法和约束优化算法四、教学方法1. 授课方式：理论讲解与实例演示相结合。
2. 实践环节：布置数值计算作业，让学生进行编程实现，并分析实验结果。
3. 课堂互动：鼓励学生积极提问，与教师及同学进行讨论与交流。
五、评分与考核1. 平时成绩占40%，包括平时作业和课堂表现。
2. 期中考试占30%。
3. 期末考试占30%。
六、参考教材1. 《数值分析(第3版)》，李庆扬，高等教育出版社。
2. 《数值分析(第6版)》，理查德 L.伯登，麦格劳-希尔教育出版公司。
数值分析中的迭代法收敛性分析
数值分析中的迭代法收敛性分析迭代法是数值分析领域中常用的一种数值计算方法，通过迭代逼近的方式求解数值问题。
在使用迭代法时，我们需要关注其收敛性，即迭代过程是否能够逼近问题的解。
本文将探讨数值分析中的迭代法收敛性分析方法。
一、迭代法的基本概念迭代法是一种通过逐次逼近的方式求解数值问题的方法。
在求解问题时，我们通过不断使用公式迭代计算，直到满足某个特定的条件为止。
迭代法在实际应用中广泛使用，例如求解方程组、求解最优化问题等。
二、迭代法的数学模型我们可以用以下数学模型描述迭代法的过程：设迭代公式为：x_(n+1) = g(x_n)，其中x_n表示第n次迭代的结果，g(x)为迭代函数。
三、迭代法的收敛性在使用迭代法时，我们希望迭代过程能够收敛到问题的解。
迭代法的收敛性分析是判断迭代过程是否能够收敛的关键。
1.线性收敛如果迭代法满足以下条件：1）对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*| ≤ C (0 < C < 1)，其中x*为问题的解，那么称迭代法是线性收敛的。
2）线性收敛的迭代法需要满足条件|x_1 - x*| / |x_0 - x*| ≤ C (0 < C <1)。
2.超线性收敛如果迭代法满足以下条件：对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*|^p ≤ C (0 < C < 1, p > 1)，那么称迭代法是超线性收敛的。
3.二次收敛如果迭代法满足以下条件：对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*|^2 ≤ C (0 < C < 1)，那么称迭代法是二次收敛的。
四、判断迭代法的收敛性在实际应用中，判断迭代法的收敛性是非常重要的。
下面介绍几种常用的判断方法。
1.收敛准则根据数列极限的定义，如果一个数列{x_n}满足：对于任意ε > 0，存在正整数N，当n > N时，有|x_n - x*| < ε，则称{x_n}收敛于x*。
数值分析迭代法的基本原理
数值分析迭代法的基本原理
数值分析迭代法是在数值计算中常用的一种方法，它对于求解非线性方程组和
系统动力学方程组具有广泛的应用，常用来较准确地估算未知量。
迭代法的基本原理是把复杂的问题拆分为一系列实现以求测函数的小过程，将
求解过程的每一步都视为迭代操作。
为了使求解的精度提高，要求每步迭代都可以达到合理的精度，可以使用收敛率来反映求解的精度。
一般的，收敛率大于某一数值（比如0.001）时，认为迭代法已经可以得到较完美的解。
数值分析迭代法还使用了复杂的误差估计方法，通过它可以得到良好的估算未
知量。
为此，迭代模型要加入某种形式的误差估计方法，以衡量求解精度，优化迭代收敛性。
通常，它将利用同伴雅可比（Jocobian）行列式来预估函数的局部变化，从而获得准确的估算未知量。
总的来看，数值分析迭代法广泛应用于工程设计与实验诊断等领域，是计算技
术研究工作者必不可少的一种重要的方法手段，具有解决复杂的非线性方程组、系统动力学方程组的能力。
数值分析中的迭代方法与收敛性分析
数值分析中的迭代方法与收敛性分析迭代方法是数值分析中一种重要的算法，用于求解数值问题。
迭代方法基于一个初始猜测解，并通过不断迭代逼近真实解。
本文将介绍迭代方法的基本原理以及如何进行收敛性分析。
一、迭代方法的原理迭代方法的基本原理是通过不断更新猜测解来逼近真实解。
假设我们要求解一个方程f(x)=0，其中f(x)表示一个函数。
我们可以通过选择一个初始猜测解x0，然后使用迭代公式x_{k+1}=g(x_k)来生成下一个近似解x_{k+1}，其中g(x_k)是一个迭代函数。
通过不断迭代，我们希望逐渐接近真实解。
二、常见的迭代方法在数值分析中，有许多常见的迭代方法被广泛应用于求解不同类型的数值问题。
以下是几种常见的迭代方法：1. 不动点迭代法不动点迭代法通过将方程f(x)=0转化为等价的x=g(x)的形式来求解。
其中g(x)是一个迭代函数，可以通过不断迭代x_{k+1}=g(x_k)逼近真实解。
不动点迭代法的收敛性通常需要满足收敛性条件，如Lipschitz条件或收缩映射条件。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法通过利用函数的导数信息来加速收敛速度。
迭代公式为x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}，其中f'(x_k)表示函数f(x_k)的导数。
牛顿迭代法的收敛性通常需要满足局部收敛性条件，如满足Lipschitz条件和拟凸性条件。
3. 雅可比迭代法雅可比迭代法用于求解线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
迭代公式为x_{k+1}=D^{-1}(b-(L+U)x_k)，其中D、L和U分别是矩阵A的对角线、下三角和上三角部分。
雅可比迭代法的收敛性要求系数矩阵A满足严格对角占优条件。
三、迭代方法的收敛性分析在使用迭代方法求解数值问题时，我们需要进行收敛性分析，以确定迭代方法是否能够逼近真实解。
常用的迭代收敛性分析方法包括：1. 收敛域分析收敛域分析用于确定迭代方法的收敛域，即迭代过程中能够保证收敛的初始猜测解的范围。
数值分析10-方程求根的迭代法
只要二分足够多次（即 k 充分大），便有
x * xk , 这里 为预定的精度.
例3 用二分法求方程 x3 x 1 0 在区间 [1,1.5] 上的根，误差
限为 102，问至少需对分多少次？
解： a 1, b 1.5， 102;
k ln(b a) ln 1
4.1 方程求根与二分法
4.1.1 引言 单变量非线性方程的一般形式
f (x) 0
（1.1）
其中 x R, f (x) C[a, b], [a, b] 也可以是无穷区间.
f(x)是高次多项式函数或超越函数 如果函数 f (x)是多项式函数，即
f ( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an (a0 0), （1.2） 其中 a0 0, ai (i 0,1,, n) 为实数，则称方程(1.1)为n 次代数方程.
• 后来卡当的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程的解法。此成果更 激发了数学家们的情绪，但在以后的二个世纪中，求索工作始终没有 成效，导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。
• 1799年，高斯证明了代数方程必有一个实根或复根的定理，称此为代 数基本定理，并由此可以立刻推理n次代数方程必有n个实根或复根。
超越函数 不能表示为多项式的函数
如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2
高次代数方程
超越方程
如果实数 x *满足 f (x*) 0，则称 x *是方程(1.1)的 根，或称 x *是f (x)的零点.
若f ( x)可分解为 f (x) (x x*)m g (x), 其中 m为正整数，且 g (x*) 0. 则称 x *为方程(1.1)的m 重根，或 x *为 f (x) 的 m重零点，m 1 时为单根. 结论 若 x *是 f (x)的 m重零点，且 g ( x) 充分光滑，则
数值分析中的迭代法研究
数值分析中的迭代法研究数值分析是数学和计算机科学的交叉学科，研究如何使用数值方法来处理和解决数学问题。
在数值计算中，迭代法是一种常见且重要的方法，用于求解方程组、逼近函数、求极值点等数学问题。
本文将介绍迭代法在数值分析中的应用和研究进展。
1. 迭代法的基本原理迭代法是一种通过逐步逼近的方式来求解数学问题的方法。
它基于以下基本原理：通过不断反复进行计算，使得计算结果逐渐趋近于问题的准确解，直到满足预设的精度要求。
2. 迭代法在方程求解中的应用迭代法在方程求解中有广泛的应用。
例如，对于非线性方程f(x)=0，可以通过迭代来求解。
最简单的迭代公式为x_{n+1} = g(x_n)，其中 g(x) 是一个逼近方程解的函数。
通过不断迭代计算，并选择适当的初始值 x_0，可以得到方程的近似解。
3. 迭代法在函数逼近中的应用函数逼近是数值分析的重要内容之一。
迭代法在函数逼近中可以通过泰勒级数展开和牛顿法等方法实现。
通过不断迭代计算，可以逼近函数的值，并得到一定精度的结果。
4. 迭代法在求极值点中的应用求解函数极值点是数学中的常见问题。
迭代法也可以用来寻找函数的极值点。
通过选择适当的迭代公式和初始值，可以通过迭代逼近的方式找到函数的局部或全局最大或最小值。
5. 迭代法的优缺点及改进方法迭代法作为一种常见的数值方法，具有优点和缺点。
其优点在于可以适用于复杂的数学问题，并且具有较高的灵活性和适应性。
然而，迭代法的收敛速度可能较慢，需要选择合适的初始值和迭代公式。
为了解决这个问题，研究者们提出了一系列改进方法，如加速收敛的算法和自适应调整步长的方法等。
6. 迭代法在实际应用中的案例研究迭代法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在工程领域中，迭代法可以用于计算电路中的稳态工作点，通过不断迭代来找到电流和电压的准确值。
此外，迭代法还可以应用于经济学、物理学、生物学等领域，解决各种实际问题。
7. 迭代法的未来发展趋势随着计算机技术和数值算法的不断进步，迭代法在数值分析中的研究也在不断深入。
数值计算中的迭代方法与收敛性
数值计算中的迭代方法与收敛性迭代方法在数值计算中起着重要的作用，它通过逐步逼近解决了很多复杂的数学问题。
本文将探讨数值计算中的迭代方法以及它们的收敛性。
一、迭代方法的基本原理迭代方法是通过不断重复逼近的过程来求解问题的一种数值计算方法。
其基本原理是从一个初始值开始，通过迭代公式不断逼近目标值，直至满足预设的收敛条件。
通常情况下，迭代方法可以应用于求解方程、优化问题等。
二、常见的迭代方法1. 不动点迭代法不动点迭代法是迭代方法中最常见的一种。
其基本思想是将原问题转化为寻找一个函数的不动点，即函数自身在某点上的取值等于该点本身。
通过选择适当的迭代函数，不动点迭代法可以有效地求解方程或优化问题。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的求解方程的方法。
其核心思想是利用函数的局部线性近似来逼近方程的解。
通过迭代公式不断逼近方程的根，牛顿迭代法可以在较短的时间内获得较高的精度。
3. 雅可比迭代法雅可比迭代法是一种用于线性方程组求解的迭代方法。
它通过将方程组表示为矩阵乘法的形式，将解向量的每个分量都表示为先前迭代解的线性组合。
通过不断迭代更新解向量的各个分量，雅可比迭代法可以逐步逼近方程组的解。
三、迭代方法的收敛性分析迭代方法的收敛性是判断该方法是否能够求解准确解的重要指标。
常用的收敛性分析方法有局部收敛性和全局收敛性。
1. 局部收敛性局部收敛性是指在迭代过程中，当初始值选择在某个特定的范围内时，迭代方法能够收敛到准确解。
局部收敛性通常通过迭代函数的导数来分析，若导数满足一定条件，则可以判断方法具有局部收敛性。
2. 全局收敛性全局收敛性是指迭代方法对于任意初始值都能够收敛到准确解。
全局收敛性是迭代方法的理想性质，但在实际应用中很难满足。
对于某些迭代方法，可以通过收敛域的定义和分析来判断其全局收敛性。
四、迭代方法的应用与改进迭代方法在数值计算中有着广泛的应用，涉及到方程求解、优化、插值等领域。
尽管迭代方法具有很多优点，但也存在一些问题，如收敛速度慢、迭代公式复杂等。
数值分析中的迭代算法优化
数值分析中的迭代算法优化迭代算法在数值分析中是一种重要的计算方法，它通过多次迭代逼近精确解。
然而，迭代算法可能存在收敛速度慢、数值稳定性差等问题，因此优化迭代算法成为了数值分析领域中的重要任务。
本文将介绍数值分析中的迭代算法优化方法，并探讨其在实际应用中的相关问题。
一、收敛速度优化在迭代算法中，收敛速度是指迭代过程中逼近精确解的速度。
如果迭代速度过慢，可能导致计算效率低下。
为了优化迭代算法的收敛速度，常采用以下方法：1.1 收敛性分析和收敛域了解迭代算法的收敛性和收敛域是优化的前提。
通过对迭代算法进行数学分析，可以推导出收敛性的条件和收敛域的范围，从而找到改进算法的方向。
1.2 初始值的选取初始值的选取对迭代算法的收敛速度有很大影响。
合理选择初始值可以使得算法更快地逼近精确解。
可以根据问题的特点，采用启发式方法或者试-and-error方法确定初始值。
1.3 采用加速技术加速技术是常用的迭代算法优化手段。
例如，牛顿迭代法可以通过引入牛顿步长进行加速；弦截法可以通过斜率信息进行修正。
通过引入加速技术，可以大大提高算法的收敛速度。
二、数值稳定性优化在迭代计算中，数值稳定性是指算法在计算过程中是否能够保持精度和稳定性。
数值稳定性差的迭代算法可能会导致计算结果产生误差，甚至发散。
优化数值稳定性的方法如下：2.1 优化算法表达式对于原有的迭代算法，可以通过数学变换、近似理论等方法优化算法表达式。
通过合理的数学变换，可以减少数值计算过程中的误差传播，提高算法的数值稳定性。
2.2 避免除零和取模运算在迭代算法中，除零和取模运算可能会引发数值不稳定性问题。
为了避免这些问题，可以在计算过程中进行条件判断，或者采用其他替代运算方法。
2.3使用高精度计算对于特别要求精度的迭代算法，可以考虑使用高精度计算方法，如多精度计算、符号计算等。
通过提高计算精度，可以减少舍入误差对算法结果的影响，提高数值稳定性。
三、并行计算优化随着计算机硬件的发展，采用并行计算技术对迭代算法进行优化已成为可行的方法。
迭代法收敛性分析
1||B||
(2) ||X(k)X*| | ||B|k | ||X(1)X(0)||
1||B||
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1133 /18
证 由||B||<1,有
limX(k) X*
B注k+31: X(k) =B X(k-1) + f = B(B X(k-2) + f) + f =····
= Bk X(0) + ( I + B + ····+ Bk-1)f
≈ ( I – B )-1 f
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99/18
例 线性方程组 A X = b, 分别取系数矩阵为
误差估计:
||X(k)X *| | ||B|| ||X(k)X(k1)|| 1||B||
||X(k)X*| | ||B|k | ||X(1)X(0)|| 1||B||
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1155 /18
n
定义4.1 A=(aij)n×n, 如果 | a ii | | a ij |
2 2 0 B1=D\(D-A1); max(abs(eig(B1)))
(BJ)1 Ans= 1.2604e-005
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1100 /18
0 2 2 BS 0 2 3
0 0 2
DL=tril(A1) B1=DL\(DL-A1) max(abs(eig(B1)))
迭ห้องสมุดไป่ตู้法
《迭代法及其收敛性》课件
2 建立迭代公式
根据问题的特性和已 知条件，建立迭代公 式。
3 判断迭代是否收敛
判断迭代得到的解是 否足够接近真实解， 停止迭代。
迭代法的例子
牛顿迭代法
用于求解方程的数值方 法，通过不断迭代逼近 方程的根。
埃特金迭代法
用于求解线性方程组的 数值方法迭代法
用于求解线性方程组的 数值方法，通过不断迭 代逼近方程组的解。
迭代法的收敛性
收敛性是指迭代得到的解越来越接近真实解，而收敛速度是指迭代得到的解 的收敛速度有快有慢。
收敛速度的度量方法
1 零点误差
迭代得到的解与真实 解之间的差距。
2 牛顿数列
迭代得到的解之间的 差值的变化规律。
3 收敛阶
《迭代法及其收敛性》 PPT课件
迭代法及其收敛性
迭代法是一种求解数值问题的方法，通过反复迭代得到更精确的解。这个PPT 课件将讲解迭代法的定义、步骤、例子以及收敛性的度量方法。
什么是迭代法？
迭代法是一种求解某些数值问题的方法，从一个猜测的解开始，通过反复迭 代得到更精确的解。
迭代法的步骤
1 猜测初始解
迭代得到的解的收敛 速度的量化指标。
如何判断迭代是否收敛？
1 绝对误差减小
迭代得到的解的绝对 误差逐渐减小。
2 相对误差减小
迭代得到的解的相对 误差逐渐减小。
3 后验估计准则
通过计算后验估计准 则判断迭代的结果是 否满足要求。
总结
1 迭代法是一种常用的数值求解方法 2 收敛性和收敛速度是迭代法的重要评价指标 3 判断迭代收敛的方法有多种，需要根据问题具体情况选择
迭代法原理
迭代法原理迭代法是一种常见的数值计算方法，也是一种解决问题的有效途径。
它的基本思想是通过不断迭代更新，逐步逼近问题的解。
在实际应用中，迭代法被广泛应用于数值分析、优化算法、计算机模拟等领域，具有较强的实用性和普适性。
迭代法的原理非常简单，它通过不断重复一个固定的计算过程，直到满足某个终止条件为止。
通常情况下，迭代法的过程可以描述为，首先选取一个初始值作为迭代的起点，然后根据某种规则进行迭代更新，直到满足预设的终止条件为止。
在每一次迭代中，都会根据当前的值计算出下一步的值，然后用新的值替代旧的值，不断迭代更新，直到满足终止条件。
迭代法的核心在于不断重复的更新过程，这种更新过程可以是简单的数值计算，也可以是复杂的函数迭代。
在实际应用中，迭代法通常用于求解方程的近似解、优化问题的最优解等。
通过不断迭代更新，可以逐步逼近问题的解，达到较高的精度要求。
迭代法的原理简单清晰，但在实际应用中需要注意一些问题。
首先，迭代法的收敛性是一个重要的问题，即迭代过程是否能够收敛到问题的解。
在一些情况下，迭代法可能会出现发散的情况，导致无法得到有效的解。
因此，在应用迭代法时，需要对问题的性质和迭代过程进行充分的分析，以确保迭代法能够有效收敛。
其次，迭代法的收敛速度也是一个重要的问题。
在实际应用中，迭代法的收敛速度直接影响到计算的效率和精度。
一般来说，迭代法的收敛速度越快，计算所需的迭代次数就越少，计算效率就越高。
因此，如何提高迭代法的收敛速度，是一个需要重点关注的问题。
总的来说，迭代法作为一种常见的数值计算方法，具有较强的实用性和普适性。
通过不断迭代更新，可以逐步逼近问题的解，解决一些复杂的数值计算和优化问题。
在实际应用中，需要注意迭代法的收敛性和收敛速度等问题，以确保迭代法能够有效地解决问题。
在数值计算、优化算法、计算机模拟等领域，迭代法都发挥着重要的作用，成为解决问题的有效途径。
通过对迭代法原理的深入理解和实际应用，可以更好地利用迭代法解决实际问题，提高计算效率和精度，推动科学技术的发展。
计算方法课件 第10次-线性方程组的迭代法的收敛性
Ax λx
成立，则称 λ 为A的特征值，x为A的对应于 λ 的
特征向量。
A的全体特征值的集合
σ(A) {λ1 , λ2 ,..., λn}
称为矩阵A的谱。
定义A的谱半径为：
ρ(A)
max
1in
λi
A的特征值的求法：解方程
1
2
G1
(D
L)-1U
1 4
1 2
-
1 8
-1 4
00
1
0
2
0 0
- 1 0
0
0
1 4 1
Home
判定迭代法是否收敛的例子
例 8 考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性 方程组Ax=b的收敛性，其中
1 2 - 2
A 1 1
1
2 2 1
1
b
1
1
上次课 已经求 解
x1 -3 x2 3 x3 1
解： 先计算雅可比迭代矩阵B
x1 2x2 2x3 1 x2 x1 - x3 1 x3 2x1 - 2x2 1
0 1
1 12
2
1
1 2
0 1
0
1 2
00
0
0
1
0
1
2
0
1 2
1
-
1 4
-1 4
1 2
0
0 0 1 0
1 2
0 0 1
-
1 4
1 2
-1 -1 84
0
1
2
于是得到：
1
2
0
0
(D L)-1
数值计算方法 迭代法及其收敛性 - 迭代法及其收敛性
x*
lim
k
x
k
1
lim
k
(
xk
)
(lim k
xk
)
( x* )
故k充分大时，xk可作为方程根的近似值
按上述方法构造迭代格式来求解方程的方法称为简单迭代法或逐
次迭代法。
不动点迭代法： 将方程 f ( x) 0 改写为: x ( x).
1 若要求x*满足f ( x* ) 0,则x* ( x* );反之亦然，
重点
实多项式方程
f ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0),
的求根问题.
（其中系数ai (i 0,1,, n)为实数）
若 方程f ( x*) 0, 则x*称为函数f ( x)的零点
1
若方程 f (x) (x x* )m g(x),
其 中m为 正 整 数 ， 且g( x* ) 0.
真真解解：：xx==1.13.234274272
典型例题
例3
用不同方法求方程x2 3 0的根x* 3.
(1) xk1 xk2 xk 3,(x) x2 x 3
(2)
xk 1
3 xk
,(x)
3, x
(3)
xk 1
xk
1 4
( xk2
3), ( x)
x
1 4
(x2
3)
(4)
xk 1
1 2
典型例题
(2)
xk1
3 xk
,(x)
3, x
( x* ) 1
(3)
xk 1
xk
1 4
(
x
2 k
3),( x)
x
1 (x2 4
线性方程组迭代法收敛性分析
k
0
k
k
再由向量范数的定义可知
lim x k x* 0 ，
k
即迭代过程收敛. （必要性） 若迭代公式(2.20)收敛，即满足
lim x x* 0
k k
若有
lim x ( k ) x* , 即 lim xi( k ) xi* ,
k k
则有 lim x ( k ) x*
k 2
0.
常见的向量范数有： ① 1-范数
x 1 xi ；
i 1
n
② ∞-范数
x
max xi ；
1 i n
③ 2-范数
x 2 ( x ) ；
考查方程
Ax b ，
建立某种迭代公式
x
k 1
Gx d ,
k
步骤 1：观察系数矩阵 A 是否满足对角占优，满足则迭代法收敛，不满足转步骤
2；
步骤 2：计算迭代矩阵是否存在一种范数满足 G 1 （一般只计算 G 1 , G ） ， 满足则迭代法收敛，不满足转步骤 3； 步骤 3：计算迭代矩阵的谱半径是否满足 (G ) 1 ，满足则迭代法收敛，不满足 则迭代法发散. 有了上面的结论，不仅让我们清楚地认识迭代法的收敛条件，也为我们利用 计算机进行迭代法的编程计算提供了理论依据.
因为 G 1 ，所以有
lim G
k k
k
x 0 x* .
(2.22)
0
(2.23)
由(2.22)和 (2.23)可知
lim x k x* 0
迭代法收敛理论
第三章 线性代数方程组数值解法（迭代法）3．3 迭代法收敛性理论 1．收敛性问题 现在来研究与方程组fBx x +=对应的基本型迭代公式),2,1,0()()1( =+=+k f Bx x k k设*x 是方程组f Bx x +=（也即b Ax =）的就解，即有fBx x +=**要研究由迭代公式f Bx x k k +=+)()1(产生的序列)(k x 当 ∞→k 时是否收敛于*x ,4)()(*)1((*)k k x x B x x -=-+=)()1(*2--k x x B=)()0(*1x x B k -+可见当∞→k 时，是否有*)(x x k →，等价于是否有0→k B （零矩阵，即k B 的每一个元素趋于零） 略证根据线性代数，任何n 阶矩阵B 都存在非奇异矩阵P ，使得 JP P B 1-= P J P B k k 1-= 其中J 为B 的Jordan标准形⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1J J 2Jnn r J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k J J 1kJ 2nn k r J ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i i J λ 1 i λ ii n n i ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤λ1n n ri i =∑=1于是，可得),,2,1;(0)(0)(0r i k J k J k B ki k k =∞→→⇔∞→→⇔∞→→这时，若设⎢⎣⎡=λ2J ⎥⎦⎤λ1 ⎢⎢⎢⎣⎡=λ3J λ1 ⎥⎥⎥⎦⎤λ1 ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λm J λ1 1 λ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤λ1⎢⎣⎡=kkJ λ2⎥⎥⎦⎤-kk k λλ1=⎢⎣⎡kλ⎥⎥⎦⎤-kk kc λλ11⎢⎢⎢⎣⎡=kkJ λ3k k k λλ1-⎥⎥⎥⎦⎤---kk k k k k λλλ122/)1(⎢⎢⎢⎣⎡=kλ k k k c λλ11-⎥⎥⎥⎦⎤--kk k k k c c λλλ1122⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k kmJ λkk k c λλ11-1122--k k k k c c λλ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤+--+--km k k m m k k m c c λλλ2211其中)!(!!m k m k c k m -=于是又可得到),,2,1(1)(0r i k J i k i =<⇔∞→→λ 注意到),,2,1(1r i =<λ，即 1)(<B ρ，于是最后可得 1)()(0<⇔∞→→B k B k ρ由上面就得到下面迭代法的收敛定理。
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简单迭代法 X (k1) X (k ) (b AX (k ) )
迭代矩阵: B I A
设矩阵A对称正定,则特征值 0 ,由于B是A
的多项式,故 B 的特征值为
1 (B) 1 | | 1 0 2/ 当不等式 0 2 / || A || 成立时
平面点列: (x1 , y1),(x2 ,y2), ···, (xk , yk),······
lim(
k
xk
,
yk )
( x* ,
y* )
lim
k
( xk x* )2 ( yk y* )2 0
Xk∈Rn : X1, X2, ···, Xk , ·······
lim
k
X
则称集合 {1 , 2 , , n }
为B 的谱. 记为 ch B
特征值取模最大
矩阵B的谱半径
(B)
max |
1 k n
k
|
注1: 当B是对称矩阵时, ||B||2 = (B)
注2: 对 Rn×n 中的范数|| ·||,有
(B) ≤ || B ||
6/18
定理4.1 迭代法 X(k+1) = B X(k) + f 收敛
简单迭代法收敛.
18/18
14/18
所以 || X (k ) X * || 1 || X (k1) X (k ) ||
1 || B ||
X(k+1)–X(k) =B(X(k) – X(k-1) )
||X(k+1)–X(k)|| ≤ ||B || || X(k) – X(k-1) ||
误差估计:
|| X (k) X * ||
|a11| > |a12| + |a13| |a22| > |a21| + |a23| |a33| > |a31| + |a32|
16/18
定理4.3 若Ax=b的系数矩阵A是严格对角占优 矩阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛
证: 由于矩阵A严格对角占优
n
| aii | | aij | j1 ji
X = ( I – B )-1 f
注2: 若 lim Bk 0 则 k ( I - B)-1 = I + B + B2 + ······+ Bk + ······
事实上 ( I - B)( I + B + B2 + ······+ Bk ) =I –
B注k+31: X(k) =B X(k-1) + f = B(B X(k-2) + f) + f =···· = Bk X(0) + ( I + B + ····+ Bk-1)f ≈ ( I – B )-1 f
(BJ ) 1.1180 Ans= 1.1180
11/18
0 BS 0
0
1/ 2 1/ 2
0
1/ 2 1 / 2 1 / 2
(BS ) 1/ 2
DL=tril(A2) B2=DL\(DL-A2) max(abs(eig(B2)))
Ans= 1/2
k
X*
lim ||
k
Xk
X*
||2
0
利用向量范数等价性, 对任意范数 || ·||
lim
k
X
k
X*
lim
k
||
Xk
X*
||
0
2/18
原方程: A X = b 计算格式: X(k+1) = B X(k) + f
设方程组的精确解为 X*,则有 X* = B X* + f
X(k+1) – X*= B(X(k) – X*)
迭代法
x(k+1) = B x(k) + f 收敛 <=> lim Bk 0 k lim J k 0 k
lim
k
i
k
0
(i = 1, 2,···, r)
| i | 1
max |
1 i r
i
|
1
(i = 1, 2,···, r)
谱半径 (B) < 1
8/18
注1: AX = b X = BX + f ( I – B )X = f
( k = 1, 2, 3, ······ )
|| (k)|| ≤ || B||k || (0)||
|| B|| < 1 所以
lim || (k) || lim || B ||k || (0) || 0
k
k
lim (k) 0
k
5/18
矩阵B 的谱
设n阶方阵B 的n个特征值为: 1 , 2 , , n
k
k
(2)
lim [X (k) X *] 0
k
lim X (k) X *
k
迭代格式 X(k+1) = B X(k) + f 收敛 ！
4/18
命题 若||B||<1,则迭代法 X(k+1) =B X(k) +f 收敛
证: 由(k) = B (k-1),得 || (k)|| ≤ || B|| || (k-1)||
DL=tril(A1) B1=DL\(DL-A1) max(abs(eig(B1)))
(BS ) 2 Ans= 2
(2) A2=[2, -1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, -2]
0 1/ 2 1/ 2
BJ
1
0
1
1 / 2 1 / 2 0
D=diag(diag(A2)) B2=D\(D-A2) max(abs(eig(Bj)))
|| B ||
|| X (k ) X (k1) ||
1 || B ||
|| X (k ) X * || || B ||k || X (1) X (0) || 1 || B ||
15/18
n
定义4.1 A=(aij)n×n, 如果 | aii | | aij |
j1
则称A为严格对角占优阵.
对矩阵A1,求A1 X = b 的Jacobi迭代法收敛, 而Gauss-Seidel迭代法发散;
对矩阵A2,求A2 X = b 的Jacobi迭代法发散, 而Gauss-Seidel迭代法收敛.
除非BJ是非负矩阵时,两种迭代法有联系。
12/18
误差估计定理 定理4.2 :设X*为方程组 AX=b 的解 若||B||<1,则对迭代格式 X(k+1) = B X(k) + f 有
ji
例4.1
9 x1 x2 x3 7 x1 10x2 x3
8
9 A 1
1 10
1 1
x1 x2 15x3 13
1 1 15
9 > |-1| + |-1| 10 > |-1| + |-1| 15 > |-1| + |-1|
谱半径ρ(B) < 1 证: 对任何 n 阶矩阵B都存在非奇矩阵P使
B = P –1 J P
其中, J 为B的 Jordan 标准型
J1
J
J2
J
r
nn
其中, Ji 为Jordan块
i 1
Ji
1
i ni ni
7/18
其中,λi 是矩阵B的特征值, 由 B = P –1 J P B k = (P –1 J P) (P –1 J P) ···(P –1 J P)= P –1 J k P
(BJ ) 1
2 A1=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1] 1 D=diag(diag(A1)); 0 B1=D\(D-A1);
max(abs(eig(B1)))
Ans= 1.2604e-005
10/18
0 2 2 BS 0 2 3
0 0 2
k
X(k+1)–X* =B(X(k) – X* )
|| X(k+1) – X* || ≤ ||B|| || X(k) – X* ||
||X(k+1) – X(k) ||= ||(X*– X(k)) – (X* – X(k+1))|| ≥||(X*– X(k)) || – ||(X* – X(k+1))|| ≥ ||(X*– X(k))|| –||B|| ||(X* – X(k))|| = ( 1 - || B ||) ||(X* – X(k))||
(1) || X (k) X * || || B || || X (k ) X (k1) ||
1 || B ||
(2) || X (k ) X * || || B ||k || X (1) X (0) ||
1 || B ||
13/18
证 由||B||<1,有
lim X (k) X *
9/18
例 线性方程组 A X = b, 分别取系数矩阵为
1 2 2
A1 1 1
1
2 2 1
2 1 1
A2 1 1
1
1 1 2
试分析Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法的敛散性