第2讲空间点线面之间的关系

第2讲 空间点、线、面的位置关系最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．知 识 梳 理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间中两直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎥⎤0，π2． (3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．考点一平面基本性质的应用1. 以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析(1)①正确，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线；②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上，如空间四边形．2．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．答案1或4解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．3．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，∴④不正确．4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案D如图所示，作RG∥PQ交CD1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，∴截面为六边形PQFGRE.5. 如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．答案①②③解析可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．6.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A.点A B.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案 D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.7.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA.①②B.②③C.①④D.③④答案 D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.8.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB ＝90°，BC 綉12AD ，BE 綉12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綉12AD .又BC 綉12AD ，∴GH 綉BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綉12AF ，G 为F A 中点知，BE 綉FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綉CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面；(2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明 (1)连接EF ，CD 1，A 1B .∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，∴EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1，∴E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)∵EF ∥CD 1，EF ＜CD 1，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.考点二空间两条直线的位置关系1.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件答案 A解析“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”.“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”.故选A.2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b() A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c () A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能答案 D 解析当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．4．(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是() A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C，选D.5．(2014·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面答案 D6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案B解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面或平行，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．7．(2014·三亚一模)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()A．AC，BD之一B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直D．AC，BD不一定垂直答案 B解析连接AN，CN，∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB，则AN＝CN，在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.故选B.8．(2014·深圳调研)两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是() A．两条相交直线B．两条平行直线C．两个点D．一条直线和直线外一点答案 C解析如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.9．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．答案 24解析 如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1，CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．答案 ③④解析 A ，M ，C 1三点共面，且在平面AD 1C 1B 中，但C ∉平面AD 1C 1B ，因此直线AM 与CC 1是异面直线，同理AM 与BN 也是异面直线，AM 与DD 1也是异面直线，①②错，④正确；M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线，③正确．11．(2014·北京西城区模拟)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则 ( )A ．EF 与GH 平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上答案 D解析依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．因为EH＝12BD，FG＝23BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．12. 在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．答案②④图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH 与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．13.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：①MN≥1 2(AC＋BD)；②MN>12(AC＋BD)；③MN＝12(AC＋BD)；④MN<12(AC＋BD).其中正确的是________.答案 ④解析 如图，取BC 的中点O ， 连接MO 、NO ， 则OM ＝12AC ，ON ＝12BD ，在△MON 中，MN<OM ＋ON ＝12(AC ＋BD)，∴④正确.14.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( ) A.(0，2) B.(0，3)C.(1，2)D.(1，3)答案 A解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a 的棱长一定大于0且小于 2.选A. 考点三 求异面直线所成的角思路方法；求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.1.a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ③若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 答案 ①解析 由公理4知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故④不正确.2. (2014·余姚模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( ) A ．MN 与CC 1垂直 B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行答案 D 解析 (1)如图，连接C1D ，BD ，AC ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确； ∵CC 1⊥平面ABCD ，∴CC 1⊥BD ， ∴MN 与CC 1垂直，故A 正确；∵AC ⊥BD ，MN ∥BD ，∴MN 与AC 垂直，故B 正确； ∵A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，∴MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误，选D.3. 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A.30° B.45°C.60°D.90°答案 C解析 如图，可补成一个正方体， ∴AC1∥BD 1.∴BA 1与AC 1所成角的大小为∠A 1BD 1. 又易知△A 1BD 1为正三角形，∴∠A 1BD 1＝60°.即BA 1与AC 1成60°的角.4．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为________．答案 55解析 因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角，即为∠P AB .在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55.5．(2015·成都诊断)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，则A 1B 与EF 所成角的大小为________． 答案 π3解析 如图，连接B1D 1，D 1C ，B 1C .由题意知EF 是△A 1B 1D 1的中位线，所以EF ∥B 1D 1，又A 1B ∥D 1C ，即∠B 1D 1C (或其补角)为异面直线A 1B 与EF 所成的角．因为△D 1B 1C 为正三角形，所以∠B 1D 1C ＝π3.故A 1B 与EF 所成角的大小为π3.6. (2014·潍坊一模)已知在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且点M ，N 分别是BC ，AD 的中点．(1)若直线AB 与CD 所成的角为60°，则直线AB 和MN 所成的角为________．(2)若直线AB ⊥CD ，则直线AB 与MN 所成的角为________．答案 (1)60°或30°(2)答案 45°解析 (1)法一 如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM＝12AB，PN∥CD，且PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角．则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN(或其补角)是AB与MN所成的角．又因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上直线AB和MN所成的角为60°或30°.法二由AB＝CD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1－C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，所以MN∥AA1，即∠BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角．连接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD，即∠AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角．所以∠AOA1＝60°或120°，由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1＝60°或30°.所以直线AB和MN所成的角为60°或30°.答案45°取AC的中点P，连接PM，PN，则PM綉12AB，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角，由于AB⊥CD，所以∠MPN＝90°.又AB＝CD，所以PM＝PN，从而∠PMN＝45°，即AB与MN所成的角为45°.7. 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.8.(2015·长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°答案 D解析如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴正确选项为D.9.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对.答案 24解析 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24(对).10.过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 D易错分析 忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.解析 如图，连接体对角线AC1，显然AC 1与棱AB 、AD 、AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC 、BA 、BB 1所成的角都相等， ∵BB 1∥AA 1，BC∥AD，∴体对角线BD 1与棱AB 、AD 、AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C 、DB 1也与棱AB 、AD 、AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1、A 1C 、DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条.11.如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A＝90°，BC ＝2，DA⊥AC，DA⊥AB， 若DA ＝1，且E 为DA 的中点.求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.解 取AC 的中点F ，连接EF ，BF ， 在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF∥CD.∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角. 在Rt△EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE＝52.在Rt△EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF＝22. 在Rt△BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010.∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为10 10.12．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA 的中点．(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，所以，四棱锥O－ABCD的体积V＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知，可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM为直角三角形，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.故异面直线OC与MD所成角的正切值为6 3.13. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与P A 所成角的余弦值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PO ⊥面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与面ABCD 所成的角，即∠PBO ＝60°， 在Rt △ABO 中，AB ＝2，∠OAB ＝30°， ∴BO ＝AB ·sin 30°＝1，∵PO ⊥面ABCD ，OB ⊂面ABCD ，∴PO ⊥OB ， ∴在Rt △POB 中，PO ＝BO ·tan 60°＝3， ∵底面菱形的面积S ＝2×34×22＝2 3.∴四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13×23×3＝2. (2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF ， ∵E 为PB 中点，∴EF ∥P A ，∴∠DEF 为异面直线DE 与P A 所成角(或其补角)． 在Rt △AOB 中，AO ＝AB ·cos 30°＝3＝OP ，∴在Rt △POA 中，P A ＝6，∴EF ＝62.在正△ABD 和正△PDB 中，DF ＝DE ＝3， 在△DEF 中，由余弦定理， 得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝（3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－（3）22×3×62＝6432＝24.即异面直线DE 与P A 所成角的余弦值为24.。