optics_20

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图 4-20：左，矩孔；右该矩孔的夫琅禾费衍射条纹。衍射装置如图 4-19。特点： 孔径越宽，衍射光场能量集中得越窄；孔径越窄，衍射光场能量散布得越宽。可 以预测一下，单缝衍射条纹的形状如何吗？
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光学讲义 安徽大学 2013-2014 年秋季学期
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(续)讨论：具有一定缝宽的杨氏双缝在此装置下，条纹分布如何？
F
b=f a
θ θ
x
关于几道习题： 例 15：如 4-25：
f
d 2 d 2
sin
π aθ 2π d λ e j λ 2θ π aθ λ
cos
2
a
2
sin
π aθ λ
π aθ 2π d λ e− j λ 2 θ
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（3）主极大
(4)次级大及其位置
图 4-28：条纹中最亮的位置称“主极大” 。出现在衍射条纹的正中。这恰恰是几 何光学预言的像点。 几何光学不正确的地方， 在于它不能预言像点附近也存在光 场分布。事实上，除了主极大，还有次级大…
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4.3.3 单缝衍射因子的特点
极值 条件 ：
d sin δ 2
δ 2
( ) = 0 ⇔ (δ 2) cos (δ 2) − sin (δ 2) = 0, (δ ≠ 0) ; (δ 2 )
sin
π aθ λ
π aθ λ
2
。被包络的明暗相间的条纹，cos
2
2π b πb θ θ ∝ 1 + cos λ λ
，恰
sinα 图 4-35：单元衍射因子为 α ，缝间干涉因子为1+ejβ + ej3β; 故其衍射场为 sinα jβ j3β α （1+e + e ） ，其模即为书上的答案。
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例 8（思考题 4-19）在弗朗禾费衍射中，为保证在衍射场中至少出 现强 度的 一级 极小 ，单 缝的 宽度 不能 小于 多少 ？
（5） 讨论：如果单缝沿垂直于主光轴的平面内移动，条纹如何移 动？
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(1)暗斑位置
（2）亮斑的角宽度
图 4-26：考察衍射因子，知其为 0 的位置在δ = ±2π, ±4π, … ±2nπ…处。这跟刚 才用半波带法给出一个唯像的解释完全一致。
图 4-27：相邻暗条纹的角距离作为其间亮条纹的角宽度。特别地，零级亮斑的 λ 角宽度为：2·a ，为其他亮条纹宽度的 2 倍。
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1 透镜后焦平面上的图案由___点和副___点 图 4-18:夫琅和费衍射印象。请讨论○ 2 图案中唯一的___点应来自于透镜前_________于主轴的_______光；众 构成；○ 3 焦平面的 多的副___点分别来自于透镜前______后不平行于主轴的_______光。 ○ 图案上，有的位置亮，有些位置暗。这些点子的位置，代表其对应的平行光的 ______，它们的亮暗，代表其对应平行光的________。 请务必清晰的理解上述物理图像。 本节只研究单缝和矩孔的衍射。 下面将开始实 际的内容。
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δ=
3π
L or Δ
= 3λ
f
图 4-22：用半波带法可以粗略预测：当焦平面考察点距单缝边缘的位相差相差 3π，5π…时，此时等效半波带剩余仅仅一个，能观察到亮纹；相差 2π，4π…时， 相当于半波带两两抵消，只能观察到暗条纹。这样的分析正确吗？为什么？
2
F
sin
π π π sin aθ aθ 2π d sin aθ − j 2π d θ λ e λ 2 =4 λ λ e j λ 2θ + π π π aθ aθ aθ λ λ λ
2
πa sin x 2 π 2π d λf dθ ∝ x 1 + cos πa λ λf x λf
图 4-34：结论。具有一定缝宽的杨氏双缝，其弗朗禾费衍射条纹的包络为构成 其的单缝的衍射条纹
1.5π
2.5π
δ/2
y = tan δ 2
( )
y =δ 2
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图 4-25：衍射光场（强度）随单缝上下边缘光场振幅叠加时相位差之半（δ/2） δ 的变化。此处的2 可折算成衍射角（及其正弦） 、屏幕的位置等物理量。
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j sinα 图 4-36：单元衍射因子依然为 α ，缝间干涉因子变为1 + e λ
为间距为 b，而缝宽为零的理想杨氏双缝在此光路下的干涉条纹。
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例 16：又如 4-26：
例 17：再如，4-27：2N 条平行狭缝：
量的计算方法如图。 单缝衍射因子。还 记得之前在哪见过 吗？
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( )
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的交 点。
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y
-2.5π
-1.5π
−π/2 0 π/2
θsinfFra bibliotekπa θ λ
πa θ πb λ e−j λ θ
d 2
sin
πa θ πb λ ej λ θ πa θ λ
F
1 两个 图 4-32：如前所述，此杨氏双缝在焦平面F 上的的条纹是这样产生的：○ 各自的场表达式为图中的式子所描述。 （可 单缝各自的光扰动衍射至焦平面F 上， 以看出，二者模平方完全相同，因而条纹形状和位置相同。但各自场的相位并非 2 上述上述两个衍射场相干叠加。请见下页… … 一样） ；○
sin
图 4-33： （续）上述两个场量 π a θ 、 π a θ
λ λ
πa θ λ
sin
πa θ πb λ e−j λ θ
相加后（！ ）再取模平方，才
（！ ）是条纹的强度分布。
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图 4-29：对单缝衍射因子求导并令之为 0，可求出次级大的位置（当然，已包含 δ 主极大位置） 。他们是2 = ±1.43π, 2.46π, 3.47π…这跟刚才用半波带法预言这些次 级大出现的位置只是近似，为什么？哪个更严格？
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4.3.2 单缝衍射的强度公式
（1）矢量图解法
图
1 单缝上边 4-23：屏幕上衍射角为 θ 处的点 Pθ 处的相对光强可按如下思路。○
π 2 据此，可认为从 A 缘 A 与下边缘 B 的光场传播至 Pθ 处时的相位差为2λ asinθ ；○
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（2）单缝的夫琅禾费衍射图样及特点
图 4-21：单缝（实际上是比较狭长的矩孔）的夫琅禾费衍射图样，衍射装置图 依旧如图 4-19。当照明光源为点光源时，衍射图样如中，当照明光源为平行于 狭缝的线状光源时，衍射条纹如右。二者的共性是，衍射条纹垂直于狭缝方向的 强度分布相同，如最右边蓝色曲线所示。下面将先定性分析亮、暗条纹的位置， 然后在 4.3.2 节定量分析该强度分布。
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4 .3 夫 琅 禾 费 单 缝 衍 射 和 矩 孔 衍 射
前面已经介绍过菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的异同。 对于前者， 我们已经探讨了 圆孔、圆屏衍射中，轴上强度的分布规律。至于轴外强度的分布，由于不具备稳 定性，且稍复杂。我们在普通光学中就不讨论了。 但对于夫琅和费衍射，则不然。夫琅和费衍射场可认为是一系列平面波的迭加， 衍射条纹的强度分布， 恰恰代表了衍射源的 “平面波组分” 的权重分布。 其本质， 是衍射源场的傅里叶变换。这在光学中占有举足轻重的地位。 下面试图通过一个“八一”军徽的夫琅和费衍射图样，来建立起夫琅禾费衍射物 理内涵的印象。对单缝衍射和矩孔衍射条纹的理解，应比这个例子更简单，需要 熟练掌握。
图 4-30。为保证在衍射场中至少出现强度的一级极小，单缝的宽度不能小于一 个波长。同样的道理，对于类似“视场中最多能出现几条亮条纹、几条暗条纹” 的问题也应掌握计算的方法。
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图 4-31：答： （1）和（2）各自单独开放时，条纹位置重合；故此装置中，衍射 条纹不随单缝的垂直移动而移动。但各自的场量（图中的数学表达式）的相位不 相同，因此当两缝同时开放时，会产生干涉条纹，而非仅仅是两个衍射条纹的简 单叠加。
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