江苏省江阴市华士片九年级数学上学期期中试题 苏科版
【初三数学】江阴市九年级数学上期中考试测试题(解析版)
新九年级（上）期中考试数学试题(含答案)一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．12．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣26．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝75007．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l508．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F 落在OA中点处，则BC的长为（）A．B．2C．D．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B 顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（1）请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式；（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C（1）求a的值．（2）过点B的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为．（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S＝4时，求k的值．△CMN2018-2019学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．1【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．【解答】解：∵x（x+5）＝0∴x2+5x＝0，∴方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是0，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，形式ax2+bx+c＝0（a≠0）这种形式的方程叫一元二次方程的一般形式．2．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴和顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣6），故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形【分析】根据中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、正三角形、正方形的特点求解．【解答】解：A、圆是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项错误；C、正三角形不是中心对称图形，故本选项正确；D、正方形是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝9，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，则方程x2﹣4x+9＝0无实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣2【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2先向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2，再向左平移3个单位得到解析式：y＝﹣（x+3）2+2；故选：A．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”．6．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝7500【分析】设年平均增长率为x，根据青山村种的水稻2016年及2018年平均每公项的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：7500（1+x）2＝8500．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l50【分析】如图作圆周角∠ADB，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可．【解答】解：如图做圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝96°，∴∠D＝∠AOB＝48°，∵A、D、B、C四点共圆，∴∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝132°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．8．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可；【解答】解：A、错误．需要添加此弦非直径的条件；B、错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；C、正确．D、错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；故选：C．【点评】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F 落在OA中点处，则BC的长为（）A．B．2C．D．【分析】连接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF•OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC即可解决问题；【解答】解：连接OC．由翻折不变性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA，∴＝，∴AC＝CE＝CF，∴∠A＝∠AFC，∵OA＝OC＝2，∴∠A＝∠ACO，∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACO，∴AC2＝AF•OA，∵AF＝OF＝1，∴AC2＝2，∵AC＞0，∴AC＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质和等腰三角形的性质，可以求得b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+1，∴x＝0时，y＝1，∴点C的坐标为（0，1），∴OC＝1，∵△OBC为等腰直角三角形，∴OC＝OB，∴OB＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的一个交点为（1，0），∴a+b+1＝0，得a＝﹣1﹣b，设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的另一个交点A为（x1，0），∴x1×1＝，∵△ABD为等腰直角三角形，∴点D的纵坐标的绝对值是AB的一半，∴，∴﹣，解得，b＝﹣2或b＝﹣4，当b＝﹣2时，a＝﹣1﹣（﹣2）＝1，此时y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，与x轴只有一个交点，故不符合题意，当b＝﹣4时，a＝﹣1﹣（﹣4）＝3，此时y＝3x2﹣4x+1，与x轴两个交点，符合题意，故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是4．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，知x＝2是方程的根，代入方程即可求解．【解答】解：∵x＝2是方程的根，由一元二次方程的根的定义代入可得，4﹣c＝0，∴c＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为m≠1．【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，得m≠1，故答案为：m≠1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时的初速度以及刹车时的加速度，由“刹车时间＝初速度÷刹车加速度”求出刹车后汽车行驶的时间．【解答】解：∵汽车刹车后行驶的距离s关于行驶的时间t的函数解析式是s＝15t﹣6t2，∴刹车前的初速度为15m/s，刹车的加速度为﹣12m/s2，∴汽车刹车后行驶的时间为：15÷12＝s，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数关系式找出刹车的初速度以及加速度后计算出刹车时间是解题的关键．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为4或﹣2．【分析】根据二次函数图象的开口方向知道，当x＝0或x＝4时，函数值的最小值是4，结合函数图象得到当x≤0或x≥4时，符合题意．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，＝4．∴当x＝0或x＝4时，y最小值＝4．如图，当x≤0或x≥4时，y最小值∵2﹣a≤x≤4﹣a，∴a＝4或a＝﹣2．故答案是：4或﹣2．【点评】考查了二次函数的最值，解题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B 顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为2．【分析】如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．只要证明△ACH ≌△BCD（SAS），推出∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，由∠AKC＝∠BKH，推出∠KHB＝∠ACB＝60°，求出AH即可解决问题；【解答】解：如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵DC＝DH，∠CDH＝60°，∴△CDH是等边三角形，∴CA＝CB，CH＝CD，∠ACB＝∠HCD＝60°，∴∠ACH＝∠BCD，∴△ACH≌△BCD（SAS），∴∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，∵∠AKC＝∠BKH，∴∠KHB＝∠ACB＝60°，在Rt△AOH中，∵OA＝3，∴AH＝＝2，∴BD＝AH＝2．故答案为2．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方后求解可得．【解答】解：∵x2﹣4x＝4，∴x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，∴x﹣2＝±2，则x＝2±2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．【分析】设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（20﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．【解答】解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则另一边长为（20﹣x）m．根据题意，得（20﹣x）x＝50，解方程，得x＝10．当x＝10时，（20﹣x）＝5．答：矩形的长为10m，宽为5m．【点评】此题不仅是一道实际问题，考查了一元二次方程的应用，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m+2）2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，x﹣1＝0或mx﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．【分析】（1）根据垂径定理可得，可得∠AOC＝∠AOB，根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠ADC；（2）由题意可证AB＝BE＝5，根据勾股定理可求AH＝3，即可求EH的长，根据勾股定理可得AE的长．【解答】证明：（1）如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠AOB＝2∠ADC（2）∵DC＝DE∴∠DCE＝∠DEC∵∠DCE＝∠DAB，∠DEC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DAB，∴AB＝BE＝5∵AH2+BH2＝AB2，OH2+BH2＝OB2，∴AB2﹣AH2＝BH2＝OB2﹣（AO﹣AH）2，∴25﹣AH2＝﹣（﹣AH）2，∴AH＝3，∴BH＝4，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AE＝＝【点评】本题考查圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（1）请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式；（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解可得依次函数解析式；（2）根据“总利润＝每斤的利润×周销售量”可得函数解析式，再利用二次函数的性质结合x的取值范围可得答案；【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得：，则y＝﹣x+800；（2）w＝（x﹣400）（﹣x+500）＝﹣x2+1200x﹣320000，令w＝30000得：30000＝﹣x2+1200x﹣320000，解得：x＝500或x＝700，∵a＝﹣1＜0，∴500≤x≤700时w不小于30000，∵x﹣400≤400×40%，∴x≤560，∴500≤x≤560．【点评】本题主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用的知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、理解题意找到相等关系并列出函数解析式．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为2．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．【分析】（1）由旋转的性质可得：AB＝AC，∠BAC＝60°，即可证△ABC为等边三角形；（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，可得GH＝7，AD＝2，由旋转的性质可得AD＝AE＝2，∠DAE＝60°，可求GE＝1，EH＝6，由锐角三角函数可求CE＝4，根据勾股定理可求等边△ABC的边AC的长；（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，根据特殊三角函数值可求AH ＝4，通过证明△OBC≌△HCA，可求AH＝OC＝4，CE＝1，根据勾股定理可求△ABC 的边AC的长．【解答】解：（1）∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，∵a∥b∥c，∴EH⊥直线c，∵直线a、c之间的距离为7，∴GH＝7∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠DAE＝60°，∵直线a、b之间的距离为2，∴AD＝2＝AE，∵∠GAE＝∠GAD﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴GE＝AE＝1，∠AEG＝60°，∴EH＝7﹣1＝6，∵∠CEH＝180°﹣∠AEC﹣∠AEG，∴∠CEH＝30°，∴cos∠CEH＝∴CE＝4在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，故答案为：2（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，∵AE⊥OP，∠AHO＝60°∴sin∠AHO＝∴AH＝4∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠POQ，∵∠POQ+∠OBC+∠OCB＝180°，∠ACB+∠OCB+∠ACH＝180°，∴∠ACH＝∠OBC，且BC＝AC，∠O＝∠AHC＝60°，∴△OBC≌△HCA（AAS）∴AH＝OC＝4，∴CE＝OE﹣OC＝5﹣4＝1，在Rt△ACE中，AC＝＝＝，∴△ABC的边长为．【点评】本题是几何变换综合题，考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，本题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C（1）求a的值．（2）过点B的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为x＝3或y＝4x﹣12．（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S△CMN＝4时，求k的值．【分析】（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，即可求解；（2）当直线与y轴平行时，直线l的解析式为：x＝﹣3；当直线与y轴不平行时，设：直线1的解析式为：y＝kx+b，由△＝0即可求解；（3）联立得：x2﹣（2+k）x+4＝0，由S△CMN ＝|S△CFN﹣S△CFM|＝×CF×|x M﹣x N|＝4，即可求解．【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，得：0＝9a﹣6﹣3，∴a＝1；（2）当直线与y轴平行时，直线l的解析式为：x＝﹣3当直线与y轴不平行时，设：直线1的解析式为：y＝kx+b，将点B坐标代入上式，解得：b＝﹣3k则直线的表达式为：y＝kx﹣3k…①，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…②，联立①②并整理得：x2﹣（k+2）x+（3k﹣3）＝0，△＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣4（3k﹣3）＝0，解得：k ＝4，故：直线的表达式为：x ＝3或y ＝4x ﹣12；（3）联立得：x 2﹣（2+k ）x +4＝0，x M +x N ＝k +2，x M •x N ＝4，∵S △CMN ＝|S △CFN ﹣S △CFM |＝×CF ×|x M ﹣x N |＝4，∴×4×＝4，即：（k +2）2＝20，解得：k ＝﹣2±2． 【点评】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、根的判别式、三角新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）2＝2（x +1）B ．C ．ax 2+bx +c ＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣12．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0有实根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜3B ．m ≤3C ．m ＜3且m ≠2D ．m ≤3且m ≠23．方程x （x ﹣1）＝x 的根是（ ）A ．x ＝2B ．x ＝﹣2C ．x 1＝﹣2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ．5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+16．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（ ）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x （x +1）＝1035B ．x （x ﹣1）＝1035×2C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最 点，其坐标是 ．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 ．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．。
苏科版九年级上册数学期中考试试卷带答案
苏科版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．方程的解为（ ）A ．x ＝2B ．x 1x 2＝0C ．x ＝0D ．x 1＝2，x 2＝0 2．下列方程中，有实数根的是（ ）A ．x 2﹣x+1＝0B ．x 2﹣2x+3＝0C ．x 2+x ﹣1＝0D ．x 2+4＝03．以下各组数据中，众数、中位数、平均数都相等的是（ ）A ．4，9，3，3B ．12，9，9，6C ．9，9，4，4D ．8，8，4，54．小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差（ ）A ．不变B ．增大C ．减小D ．无法确定5．已知圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ） A ．1.5cm B ．3cm C ．4cm D ．6cm6．已知2222(1)(3)8x y x y ++++= ，则 22x y +的值为（ ）A ．-5或1B ．1C ．5D ．5或-17．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上两点，若40BCD ∠=︒，则ABD ∠的大小为（）A ．60°B ．55°C ．50°D ．45° 8．一元二次方程x 2-2x+1=0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定9．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，D 是AB 的中点，若100AOB ∠=︒，则BCD ∠的度数是A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°10．一元二次方程2230x x +-=的二次项系数是（ ）A ．2B ．1C ．3-D ．0二、填空题11．将一元二次方程(2x-1)(x+1)=1化成一般形式ax 2+bx+c=0为__________．12．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是_____分． 13．已知m 是方程2310x x --=的一个根，则代数式2265m m --的值等于____． 14．关于x 的方程()211420m m x x +-++=是一元二次方程，则m 的值为_______． 15．如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O 到弦BC 的距离是__．16．圆内接四边形ABCD 的内角::2:3:4A B C ∠∠∠=，则D ∠=________度．17．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 、CD 分别是过⊙O 上点B 、C 的切线，且⊙BDC=110°．连接AC ，则⊙A=__________°．18．已知Rt⊙ABC 中，⊙C=90°，AC=3，BC=4，以C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 有两个交点，则r 的取值范围是___________．19．如图，⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为 _______ .三、解答题20．解方程：（1）2(2)3(2)x x -=- （2）2410x x -=+．21．判断关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的根的个数．22．如图，学校打算用16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图，墙长9m ），面积是30m 2．求生物园的长和宽．23．如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，⊙APB ＝60°，求阴影部分的周长．24．某中学开展歌咏比赛，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，复赛成绩（满分为100分）如图所示．（1）根据图示填写表格：（2）已知九年级（2）班复赛成绩的方差为160，计算九年级（1）班复赛成绩的方差，并分析哪个班的复赛成绩稳定．25．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为⊙ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断⊙ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断⊙ABC 的形状，并说明理由．26．阅读下面的例题：解方程220x x --=解：当x≥0时，原方程化为x 2－x －2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝－1（不合题意，舍去）； 当x ＜0时，原方程化为x 2＋ x －2＝0，解得：x 1＝1，（不合题意，舍去）x 2＝－2； ⊙原方程的根是x 1＝2，x 2＝－2． 请参照例题解方程2110x x ---=．27．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，E 为BC 的中点，连接DE ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝BC ，判断四边形OCED 的形状，并说明理由．28．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连接BD ，⊙BAD=105°，⊙DBC=75°．（1）求证：BD=CD ；（2）若圆O 的半径为3，求BC 的长．参考答案1．D2．C3．B4．A5．C6．B7．C8．B9．B10．A11．2x 2+x-2=0【详解】解：()()2111x x -+=，22211x x x +--=，2220x x +-=，故答案为：2220x x +-=．【点睛】题目主要考查将一元二次方程化为一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题关键．12．88【详解】解：⊙笔试按60%、面试按40%计算，⊙总成绩是：90×60%+85×40%=88（分），故答案为：88．13．-3【分析】把x=m 代入方程得出m 2-3m-1=0，求出m 2-3m=1，推出2m 2-6m=2，把上式代入2m 2-6m-5求出即可．【详解】解：⊙实数m 是关于x 的方程x 2-3x-1=0的一根，⊙把x=m 代入得：m 2-3m-1=0，⊙m 2-3m=1，⊙2m 2-6m=2，⊙2m 2-6m-5=2-5=-3，故答案为-3．【点睛】考点: 一元二次方程的解．14．-1【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m 的值，注意二次项的系数不为0．【详解】解：⊙21(1)420+-++=m m x x 是一元二次方程，212m ∴+=解得：1m =±10m -≠1m ∴≠，⊙1m =-，故答案为：-1．15．2【分析】过O 点作OD⊙BC ，D 点为垂足，则DB=DC ，所以OD 为⊙BAC 的中位线，即有OD=12AC ；由AB 为⊙O 的直径，得到⊙ACB=90°，由勾股定理可求得AC ，即可得到OD 的长．【详解】过O 点作OD⊙BC ，D 点为垂足，如图，⊙AB 为⊙O 的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙AB 2=BC 2+AC 2，即AC=4=， 又⊙OD⊙BC ，⊙DB=DC ，而OA=OB ，⊙OD 为⊙BAC 的中位线，即有OD =12AC ， 所以OD=12×4=2，即圆心O 到弦BC 的距离为2，故答案为：2．16．90【分析】设⊙A=2x ，则⊙B=3x ，⊙C=4x ，根据圆内解四边形的性质得⊙A+⊙C=180°，⊙B+⊙D=180°，则2x+4x=180°，解得x=30°，然后计算出⊙B 后利用互补求⊙D 的度数．【详解】解：设⊙A=2x ，则⊙B=3x ，⊙C=4x ．⊙四边形ABCD 内接于⊙O ，⊙⊙A+⊙C=180°，⊙B+⊙D=180°，⊙2x+4x=180°，解得：x=30°，⊙⊙D=180°﹣3x=180°﹣90°=90°．故答案为90．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了方程的思想的运用．17．35【分析】连接OC ，由BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且110BDC ∠=︒，可求得BOC ∠的度数，又由圆周角定理，即可求得结果．【详解】解：连接OC ，⊙BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，⊙OC CD ⊥，OB BD ⊥，⊙90OCD OBD ∠=∠=︒，⊙110BDC ∠=︒，⊙36070BOC OCD BDC OBD ∠=︒-∠-∠-∠=︒，⊙1352A BOC ∠=∠=︒， 故答案为：35．【点睛】题目主要考查了切线的性质及圆周角定理，作出辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键．18．1235r <≤ 【分析】要使圆与斜边AB 有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC ．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可．【详解】如图，⊙BC ＞AC ，⊙以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 有两个交点，则圆的半径应大于CD ，小于或等于AC ，由勾股定理知，．⊙S⊙ABC =12AC•BC=12CD•AB=12×3×4=12×5•CD ， ⊙CD=125， 即R 的取值范围是125＜r≤3． 故答案为125＜r≤3． 【点睛】本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理，以及直角三角形的面积公式求解．特别注意：圆与斜边有两个交点，即两个交点都应在斜边上．19【分析】取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，则OC=12，OP=12，再根据等腰三角形的性质得OM⊙PC ，则⊙CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M 在以OC 为直径的圆上，由于点P 在A 点时，M 点在E 点；点P 在B 点时，M点在F 点，则利用四边形CEOF 为正方得到EF=OC=2，所以M 点的路径为以EF 为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M 运动的路径长．【详解】取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图，⊙在等腰Rt⊙ABC 中，AC=BC=4，⊙OC=12OP=12 ⊙M 为PC 的中点，⊙OM⊙PC ，⊙⊙CMO=90°，⊙点M 在以OC 为直径的圆上，点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，易得四边形CEOF 为正方形，，⊙M 点的路径为以EF 为直径的半圆，⊙点M 运动的路径长=12．．【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M 点的轨迹为以EF 为直径的半圆．20．（1）x 1=2，x 2=5（2）12x =-22x =-【分析】（1）根据本题特点，选用“因式分解法”来解比较简单；（2）根据本题特点，可选用“配方法”或“公式法”来解.【详解】(1)原方程可化为：(2)(23)0x x ---=，⊙20x -=或230x --=，解得1225x x ==，；（2）移项，得241x x +=，配方得：24414x x ++=+，即2(2)5x +=，⊙2x +=⊙．x 1=−2+√5,x 2=−2−√5.21．方程有两个不相等的实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式代入计算即可．【详解】解：220x mx m -+-=，1a =，b m =-，2c m =-，()()2412m m ∆=--⨯⨯-， ()2240m =-+>，所以方程有两个不相等的实数根．【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，熟练运用根的判别式判断根的个数是解题关键．22．围成矩形的长为6m ，宽为5m【分析】首先设生物园的宽为xm ，则长为（16-2x ）m ，根据题意可得等量关系：长方形的长×宽=面积30m 2，由等量关系列出方程求解即可．【详解】解：设宽为x m ，则长为()162m x -，由题意，得 ()16230x x -=，解得 13x =，25x =．当3x =时，162109x -=>，不合题意，舍去，当5x =时，16269x -=<，符合题意．答：围成矩形的长为6 m 、宽为5m ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解．23．（43π）cm ． 【分析】连接OA 、OB ，阴影部分的周长是PA+PB 的长+圆心角为120°的扇形的弧长来求即可．【详解】解：连接OA 、OB ．因为PA 、PB 切⊙O 于A 、B 点，PO=4cm ，⊙APB=60°，所以⊙APO=⊙BPO=30°，⊙AOB=120°，所以AO=2cm ，AP=BP=2，120241803AB ππ⨯⨯==cm ， 阴影部分的周长：43π43π（cm ）． 答：阴影部分的周长是（43π）cm ． 24．（1）九（1）班平均数为85，众数为85，九（2）班中位数为80；（2）70；（3）九年级（1）班复赛成绩的方差为70，九（1）班的方差小，成绩更稳定些．【分析】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数、众数的定义和平均数的求法即可得答案；（2）根据方差公式计算可得九年级（1）班复赛成绩的方差，根据平均数相同，方差越小，成绩越稳定即可得答案．【详解】（1）由图可知：九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100， 九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、75、80、100、100，九（1）班的平均数为（75+80+85+85+100）÷5=85，⊙九（1）班的5个成绩中，85出现2次，⊙九（1）的众数为85，⊙九（2）班的5个成绩中，中间的数是80，⊙九（2）班的中位数为80，填表如下：（2）⊙九（1）班平均数为85，⊙九（1）班方差s 12=15[(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2]=70， ⊙九（2）班的方差为160，70<160，⊙九（1）班的成绩更稳定些．【点睛】本题考查平均数、中位数、众数及方差，将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数；方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小；熟练掌握相关定义及方差公式是解题关键．25．（1）⊙ABC 是等腰三角形，理由见解析；（2）⊙ABC 是直角三角形.理由见解析.【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a ﹣b=0，即a=b ，于是由等腰三角形的判定即可得到⊙ABC 是等腰三角形；（2）由判别式的意义得到⊙=0，整理得222a b c =+，然后由勾股定理的逆定理得到⊙ABC 是直角三角形．试题解析：解：（1）⊙ABC 是等腰三角形．理由如下：⊙x=﹣1是方程的根，⊙（a+c ）×1﹣2b+（a ﹣c ）=0，⊙a+c ﹣2b+a ﹣c=0，⊙a ﹣b=0，⊙a=b ，⊙⊙ABC 是等腰三角形；（2）⊙ABC 是直角三角形．理由如下：⊙方程有两个相等的实数根，⊙⊙=2(2)4()()0b a c a c -+-=，⊙2224440b a c -+=，⊙222a b c =+，⊙⊙ABC 是直角三角形．考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．26．x 1＝1，x 2＝﹣2【分析】根据题干中提供的方法，利用绝对值的性质进行分类讨论，解一元二次方程．【详解】解：⊙当x ﹣1≥0即x≥1时，原方程化为()2110x x ---=，()10x x -=，解得：x 1＝1，x 2＝0（不合题意，舍去）；⊙当x ﹣1＜0即x ＜1时，原方程化为()2110x x +--=，()()210x x +-=， 解得：x 1＝1（不合题意，舍去），x 2＝﹣2，故原方程的根是x 1＝1，x 2＝﹣2．【点睛】本题考查绝对值的性质和解一元二次方程，解题的关键是模仿题干中给出的方法进行计算求解．27．（1）见解析；（2）正方形，理由见解析【分析】（1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到⊙CDB＝90°，E为中点，可得到ED ＝CE，再利用角的和差可求得⊙ODE＝90°，可得DE为切线；（2）由条件可得⊙ODA＝⊙A＝45°，可求得⊙COD＝⊙ODE＝⊙ACB＝90°，且OC＝OD，可知四边形ODEC为正方形．【详解】（1）证明：如图，连接OD、CD，⊙OC＝OD，⊙⊙OCD＝⊙ODC，⊙AC为⊙O的直径，⊙⊙CDB＝90°，⊙E为BC的中点，⊙DE＝CE，⊙⊙ECD＝⊙EDC，⊙⊙OCD+⊙ECD＝⊙ODC+⊙EDC＝90°，⊙⊙ODE＝⊙ACB＝90°，即OD⊙DE，又⊙D在圆O上，⊙DE与圆O相切；（2）若AC＝BC，四边形ODEC为正方形，理由：⊙AC＝BC，⊙ACB＝90°，⊙⊙A＝45°，⊙OA＝OD，⊙⊙ODA＝⊙A＝45°，⊙⊙COD＝⊙A+⊙ODA＝90°，⊙四边形ODEC中，⊙COD＝⊙ODE＝⊙ACB＝90°，且OC＝OD，⊙四边形ODEC为正方形．【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定、圆的性质、三角形的外角、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练运用以上知识证明OD⊙DE以及⊙COD＝⊙ODE＝⊙ACB＝90°，OC＝OD．28．（1）证明过程见解析；（2）π【分析】（1）直接利用圆周角定理得出⊙DCB的度数，再利用⊙DCB=⊙DBC求出答案；（2）首先求出BC的度数，再利用弧长公式直接求出答案．【详解】（1）⊙四边形ABCD内接于圆O，⊙⊙DCB+⊙BAD=180°，⊙⊙BAD=105°，⊙⊙DCB=180°﹣105°=75°，⊙⊙DBC=75°，⊙⊙DCB=⊙DBC=75°，⊙BD=CD；（2）⊙⊙DCB=⊙DBC=75°，⊙⊙BDC=30°，由圆周角定理，得，BC的度数为：60°，故603BC180180n Rπππ⨯===，答：BC的长为π．。
江苏省无锡市江阴市华士片 九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是一元二次方程的为（）A. x2+y=3B. x2−2x+5=0C. x2−1x=4D. x−2y=92.下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断，正确的是（）A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等实数根C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根3.如图，已知△ACD∽△ADB，AC=4，AD=2，则AB的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A. 1：4B. 2：3C. 1：3D. 1：25.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k<5B. k>5C. k≤5，且k≠1D. k<5，且k≠16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（）A. 50∘B. 55∘C. 65∘D. 70∘7.下列四个命题：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径必定垂直于这条弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，则可列方程为( )A. 300(1+x％)2=950B. 300(1+x2)=950C. 300(1+2x)=950D. 300(1+x)2=9509.如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，-7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，在Rt△ABC中，BC=3，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动．下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA=33；②若AB平分CO，则AB⊥CO；③C，O两点间的最大距离是6；④斜边AB的中点D运动的路径长是32π，其中正确的有（）A. ①②B. ③④C. ②③④D. ①③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.方程x2=5x的根是______．12.若a−bb=23，则ab=______．13.若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=2，则代数式2a+b+6的值为______．14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=120°，若⊙O的半径为2，则弦BC的长为______．15.用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为______．16.如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB=______°．17.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为______．18.如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.解方程：（1）（x-1）2=4x（x-1）（2）x2-2x-1=0（用配方法解）20.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上．（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；（2）点B的运动路径的长；（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．21.关于x的一元二次方程x2-x-（m+2）=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．22.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE的长．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．24.如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．（1）求灯杆AB的高度；（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．25.百货商店销售某种冰箱，每台进价2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低10元时，平均每天能多售出1台．（销售利润=销售价-进价）（1）如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的销售利润为______元，平均每天可销售冰箱______台；（用含x的代数式表示）（2）商店想要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5600元，且尽可能地清空冰箱库存，每台冰箱的定价应为多少元？26.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为______；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．27.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE=n．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．28.如图1，直线y=-43x+8，与x轴、y轴分别交于点A、C，以AC为对角线作矩形OABC，点P、Q分别为射线OC、射线AC上的动点，且有AQ=2CP，连结PQ，设点P的坐标为P（0，t）．（1）求点B的坐标．（2）若t=1时，连接BQ，求△ABQ的面积．（3）如图2，以PQ为直径作⊙I，记⊙I与射线AC的另一个交点为E．①若PEPQ=35，求此时t的值．②若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为______．（直接写出答案）答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、x2+y=3，是二元二次方程，故此选项错误；B、x2-2x+5=0，是一元二次方程，故此选项正确；C、x2-=4是分式方程，故此选项错误；D、x-2y=9是二元一次方程，故此选项错误；故选：B．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：∵a=1，b=1，c=-3，∴△=b2-4ac=12-4×（1）×（-3）=13＞0，∴方程x2+x-3=0有两个不相等的实数根．故选：A．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x-3=0有两个不相等的实数根．本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵△ACD∽△ADB，∴=，∴AB==1，故选：A．根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE=BC，DE∥BC，∴=，△DOE∽△COB，∴=（）2=（）2=，故选：A．根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可.【解答】解：根据题意得k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，解得：k＜5，且k≠1.故选D.6.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=∠EBC=65°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=65°，∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=50°，∴∠DBC=∠CAD=50°，故选：A．先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC=∠EBC=65°，再根据AC=AD得出∠ACD=∠ADC=65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD=50°，再由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD=50°．本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．7.【答案】D【解析】解：不共线的三点确定一个圆，所以（1）错误；平分弦（非直径）的直径必定垂直于这条弦，所以（2）错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以（3）错误；在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以（4）错误．故选：D．根据确定圆的条件对（1）进行判断；根据垂径定理的推论对（2）进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对（3）进行判断；根据等弧的定义对（4）进行判断．本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8.【答案】D【解析】【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2018地区居民年人均收入，然后根据已知可以得出方程.【解答】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，列出方程为：300（1+x）2=950．故选D.9.【答案】C【解析】解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，∴点B的坐标为（0，-4），又∵点P的坐标为（0，-7），∴BP=3，①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，连接BC，在Rt△BCP中，CP==4；故CD=2CP=8，②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10；所以，8≤CD≤10，综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．故选：C．求出线段CD的最小值，及线段CD的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的整数值．本题考查了垂径定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂直弦的直径平分弦，本题需要讨论两个极值点，有一定难度．10.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∵BC=3，∠BAC=30°，∴AB=6，AC==3，①若C、O两点关于AB对称，∴AB是OC的垂直平分线，则OA=AC=3；所以①正确；②当∠ABO=30°时，∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以②不正确；③取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=AB=3∵OC≤OE+EC，∴当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为6；所以③正确；④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的，则：×2π•3=π，所以④正确；综上所述，本题正确的有：①③④；故选：D．①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；②如图2，当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；③当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；④半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．11.【答案】x1=0，x2=5【解析】解：x2-5x=0，∴x（x-5）=0，∴x=0或x-5=0，∴x1=0，x2=5．故答案为x1=0，x2=5．先把方程变形为x2-5x=0，把方程左边因式分解得x（x-5）=0，则有x=0或x-5=0，然后解一元一次方程即可．本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．12.【答案】53【解析】解：根据=得3a=5b，则=．故答案为：．对已知式子分析可知，原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值．主要考查了灵活利用比例的合比性质的能力．13.【答案】3【解析】解：把x=2代入ax2+bx+6=0得4a+2b+6=0，则2a+b=-3，所以2a+b+6=-3+6=3．故答案为3．根据一元二次方程的解，把x=2代入ax2+bx+6=0可得到2a+b=-3，然后利用整体代入的方法计算代数式2a+b+6的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14.【答案】23【解析】解：作直径BD，连接CD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠D=180°-∠BAC=60°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴BC=BD•sinD=2，故答案为：2．作直径BD，连接CD，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、正弦的定义是解题的关键．15.【答案】15【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=1，所以此圆锥的高==．故答案为．设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后求出r后利用勾股定理计算圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】65【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴∠AOB=180°-∠P=130°，由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=65°，故答案为：65．由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是连接BC、OB，利用直径对的圆周角是直角，切线的性质，圆周角定理解答．17.【答案】9202【解析】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF===2，∵OH∥AE，∴==，∴OH=AE=，∴OF=FH-OH=2-=，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，∴AN=AF=，∴MN=AN-AM=-=．故答案为：．首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．18.【答案】213−2【解析】解：如图：取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD+PG=PD′+PG=D′G由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．∵D′C′=4，OC′=6∴D′O=∴D′G=2∴PD+PG的最小值为2故答案为：2作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．19.【答案】解：（1）（x-1）2-4x（x-1）=0，（x-1）（x-1-4x）=0，x-1=0，x-1-4x=0，x1=1，x2=-13；（2）x2-2x-1=0，x2-2x+1=1+1，（x-1）2=2，x-1=±2，x1=1+2，x2=1-2．【解析】（1）先移项，再提取公因式，利用因式分解法解方程即可求解；（2）在本题中，把常数项-1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．20.【答案】解：（1）△A1B1O如图所示；（2）点B的运动路径的长=90⋅π⋅4180=2π；（3）扫过的面积=S扇形B1OB+S△AOB，=90⋅π⋅42360+12×4×2，=4π+4．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用弧长公式列式计算即可得解；（3）观察图形，△ABO旋转过程中所扫过的面积等于一个扇形的面积加上三角形的面积列式计算即可得解．本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．21.【答案】解：（1）∵方程x2-x-（m+2）=0有两个不相等的实数根，∴（-1）2+4（m+2）＞0，解得m＞−94；（2）∵m＞−94，∴m的最小整数为-2，∴方程为x2-x=0，解得x=0或x=1．【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根，根据判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；（2）由m的取值范围，可求得其最小整数值，代入方程，解方程即可．本题主要考查根的判别式，由根的情况得到关于m的不等式是解题的关键．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∠AFD=∠C∠ADF=∠DEC∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFCD，∴DE=AD⋅CDAF=63×843=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=DE2−AD2=122−(63)2=6．【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．23.【答案】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=12AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴BCCD=CDCE，∴8CD=CD2，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=45同理：△CFD∽△BCD，∴CFBC=CDBD，∴CF8=445，∴CF=855，∴AC=2AF=1655．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．24.【答案】解：（1）∵∠AFB=∠CFD，∠ABF=∠CDF，∴△ABF∽△CDF，∴ABCD=BFDF，∴AB=BFDF•CD=9+33×1.6=6.4．∴灯杆AB的高度为6.4米．（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，如图所示．∵∠AQB=∠C′QD′，∠ABQ=∠C′D′Q=90°，∴△ABQ∽△C′D′Q，∴D′QBQ=C′D′AB，即D′QD′Q+16=1.66.4，∴D′Q=163．同理，可得出△PQN∽△AQB，∴PNAB=QNBQ，即PN6.4=163−9+7163+9+7，∴PN=1．∴小丽的影子不能完全落在地面上，小丽落在墙上的影长为1米．【解析】（1）由∠AFB=∠CFD、∠ABF=∠CDF可得出△ABF∽△CDF，根据相似三角形的性质可求出AB的长度，此题得解；（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，由∠AQB=∠C′QD′、∠ABQ=∠C′D′Q=90°可得出△ABQ∽△C′D′Q，根据相似三角形的性质可求出D′Q的长度，同理可得出△PQN∽△AQB，再利用相似三角形的性质可求出PN的长度，此题得解．本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，解题的关键是：（1）由△ABF∽△CDF利用相似三角形的性质求出AB的长度；（2）由△PQN∽△AQB 利用相似三角形的性质求出PN的长度．25.【答案】（400-x）（8+x10）【解析】解：（1）解：（1）销售1台的利润：2900-2500=400；降价后销售的数量：8+，降价后销售的利润：400-x；故答案是：（400-x）；（8+）．（2）依题意，可列方程：（400-x）（8+）=5600解方程得：x1=120，x2=200因为要尽可能地清空冰箱库存，所以x=120舍去答：应定价2700元．（1）销售利润=销售价-进价；降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”；（2）根据每台的盈利×销售的件数=5600元，即可列方程求解．此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每台的盈利×销售的件数=5600元是解决问题的关键．26.【答案】60°【解析】解：（1）∵点A（2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==4，∴∠ABO=30°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°，∵AB∥CD，∴∠DCB=180°-60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°，故答案为：60°；（2）如图2，∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E．∴D（4，5）或（-2，5）．∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴P'D=3-2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x，如图4，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴BD=3-2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，-1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，-5），∴当-5≤m≤-1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或-5≤m≤-1．（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（-2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x，如图4，同理可得结论．本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q 的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．27.【答案】解：设AE=a，则AD=na，（1）由对称知，AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵GF⊥AF，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF，∴AE=EG；（2）如图1，当点F落在AC上时，由对称知，BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DAC，∴ABDA=AEDC，∵AB=DC，∴AB2=AD•AE=na2，∵AB＞0，∴AB=n a，∴ADAB=nana=n；（3）若AD=4AB，则AB=n4a，如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a，此时n4a=a，∴n=4，∴当点F落在矩形内部时，n＞4，∵点F落在矩形内部，点G在AD上，∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°，①当∠CFG=90°时，如图3，则点F落在AC上，由（2）得，ADAB=n，∴n=16，②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°，∵∠FAG+∠AGF=90°，∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DGC，∴ABDG=AEDC，∴AB•DC=DG•AE，∵DG=AD-AE-EG=na-2a=（n-2）a，∴（n4a）2=（n-2）a•a，∴n=8+42或n=8-42（由于n＞4，所以舍），∴当n=16或n=8+42时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．【解析】（1）直接利用等角的余角相等得出∠FGA=∠EFG，即可得出EG=EF，代换即可；（2）先判断出△ABE∽△DAC，得出比例式用AB=DC代换化简即可得出结论；（3）先判断出只有∠CFG=90°或∠CGF=90°，分两种情况建立方程求解即可．此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出EG=EF，解（2）的关键是判断出△ABE∽△DAC，解（3）的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．28.【答案】8＜t＜14413【解析】解：（1）将x=0代入y=-x+8，得y=8，∴C（0，8），将y=0代入y=-x+8，得x=6，∴A（6，0），∵四边形OABC是矩形，∴B（6，8）；（2）如图1，作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，易证AC=10，sin∠BAC=，∴QH=AQsin∠BAC=，∴S△ABQ=；（3）分类：Ⅰ、如图2，当P在线段OC上，Q在线段AC上时，即3＜＜8时，易证=sin∠EQP=sin∠ACO=，∴∠EQP=∠ACO，∴CP=PQ，∵PE⊥CQ，∴CE=EQ，∴2×（8-t）=10-（16-2t），解得t1=，Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，可得16-2t=10，解得t2=3，Ⅲ、当Q与C重合，P在OC延长线上时，如图4，可得2t-16=10，解得t3=13，Ⅳ、当P在OC延长线上，Q在AC延长线上时，如图5，同Ⅰ，可得∠Q=∠PCQ，∴CP=PQ，∴（2t-16-10）=（t-8），解得t4=33，∴t=或3或13或33；②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，∴OP=t=8，当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，∵PQ是直径，∴QF⊥x轴，∴FQ∥OA，CP=CF=t-8，∴△CQF∽△ACO，∴=，即=，∴t=，∴若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为8＜t＜，故答案为：8＜t＜．（1）将x=0代入y=-x+8，得y=8，将y=0代入y=-x+8，得x=6，于是得到结论；（2）如图1，作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC=，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）Ⅰ、如图2，当P在线段OC上，Q在线段AC上时，解直角三角形得到解得t1=，Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，解得t2=3，Ⅲ、当Q与C 重合，P在OC延长线上时，如图4，解得t3=13，Ⅳ、当P在OC延长线上，Q 在AC延长线上时，如图5，同Ⅰ，解得t4=33；②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，求得OP=t=8，当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，根据相似三角形的性质得到t=，于是得到结论．本题考查了矩形的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．。
苏科版九年级上数学期中试卷一(含答案及解析)
苏科版九年级（上）数学期中试卷一一、选择题（本大题共6 小题，每小题 2 分，共12 分）1．（2分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣2x＝x2+1B．x2+＝1C．（x﹣1）2＝2D．2x2+y﹣1＝02．（2分）已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝3．（2分）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．54．（2分）一元二次方程4x2﹣4x+1＝0的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根5．（2分）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB+CD的值是（）A．14 B．12 C．9 D．76．（2分）若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共20 分）7．（2分）将方程x2﹣2＝7x化成x2+bx+c＝0的形式，则b＝．8．（2分）数学老师计算同学们一学期的平均成绩时，将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90 分、100 分、90 分，则小红一学期的数学平均成绩是分．9．（2分）方程x2﹣1＝0的解为．10．（2分）若三角形ABC的两边长分别是方程x2﹣5x+4＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是．11．（2分）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是．12．（2分）已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为（结果保留π）．13．（2分）在一个不透明的袋子中共装有白球、红球和蓝球200个，这些球除颜色外都相同．小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是25%，则估计这只袋子中有红球个．14．（2分）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，若PA＝3，∠APO＝45°，则⊙O的半径是．15．（2分）⊙O的半径是2，弦AB＝2，点C为⊙O上的一点（不与点A、B重合），则∠ACB的度数为．16．（2分）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为．三、解答题（本大题共11 小题，共88 分）17．（6分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）（x+1）（x﹣2）+2（2﹣x）＝018．（8分）一组数据：2，6，7，7，8（1）求这组数据的平均数；（2）求这组数据的方差．19．（8分）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连接BD、CD、AC、BD交于点E．（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明；（2）若∠D＝45°，BC＝2，求⊙O 的面积．21．（8分）某校在七年级、八年级开展了阅读文学名著知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.七年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80 分及以上）如下表所示：年级平均数中位数众数优秀率七年级84.2 77 74 45%b.八年级学生知识竞赛成绩的扇形统计图如图（数据分为5 组，A：50≤x≤59；B：60≤x≤69；C：70≤x≤79；D：80≤x≤89；E：90≤x≤100）c.八年级学生知识竞赛成绩在D 组的是：87 88 88 88 89 89 89 89根据以上信息，回答下列问题：（1）八年级学生知识竞赛成绩的中位数是分；（2）请你估计该校七、八年级所有学生中达到“优秀”的有多少人？（3）下列结论：①八年级成绩的众数是89 分；②八年级成绩的平均数可能为86 分；③八年级成绩的极差可能为50 分．其中所有正确结论的序号是．22．（8分）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE 交⊙O 于点D．（1）如图1，求∠T 和∠CDB 的度数；（2）如图2，当BE＝BC 时，求∠CDO 的度数．23．（8分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若m 是整数，且方程有两个不相等的整数根，求m 的值．24．（6分）用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”．已知：如图①，四边形ABCD 内接于⊙O．求证：∠B+∠D＝180°．证法1：如图②，作直径DE 交⊙O 于点E，连接AE、CE．∵DE 是⊙O 的直径，∴．∵∠DAE+∠AEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠AEC+∠ADC＝360°﹣∠DAE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°．∵∠B 和∠AEC 所对的弧是，∴．∴∠B+∠ADC＝180°．请把证法1 补充完整，并用不同的方法完成证法2．证法2：25．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E，设BC＝a，AC＝b．（1）请你判断：线段AD 的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0 的一个根吗？说明理由；（2）若线段AD＝EC，求的值．26．（10分）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF 并延长交BC 于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO 的形状，并说明理由；（2）求证：AH 是⊙O 的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH 的长为．27．（10分）如图（1），在△ABC中，如果正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC 上，那么我们称这样的正方形为“三角形内接正方形”小波同学按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图（2），任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC 边上，N′在△ABC 内，连结BN′并延长交AC 于点N，画NM⊥BC 于点M，NP⊥ NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，小波把线段BN称为“波利亚线”，请帮助小波解决下列问题：（1）四边形PQMN 是否是△ABC 的内接正方形，请证明你的结论；（2）若△ABC 为等边三角形，边长BC＝6，求△ABC 内接正方形的边长；（3）如图（3），若在“波利亚线”BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM．当时，猜想∠QEM 的度数，并说明你的理由．苏科版九年级（上）数学期中试卷一参考答案与试题解析一、选择题1.【解答】解：A、由已知方程得到1+2x＝0，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．D、该方程中含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．2.【解答】解：A、两边都除以2y，得＝，故A 符合题意；B、两边除以不同的整式，故B 不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C 不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D 不符合题意；故选：A．3.【解答】解：根据题意知x2+px﹣6＝（x+3）（x﹣2），则x2+px﹣6＝x2+x﹣6，∴p＝1，故选：B．4．【解答】解：∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0∴方程有两个相等的实数根故选：B．5.【解答】解：∵AB、BC、CD、DA 都是⊙O 的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F，∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD+BC＝AF+DF+BH+CH＝AE+BE+DG+CG＝AB+CD，∵AD＝2，BC＝5，∴AB+CD＝AD+BC＝7，故选：D．6.【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2＝12π（cm），∴圆锥的底面半径为12π÷2π＝6（cm），故选：D．二、填空题7.【解答】解：x2﹣2＝7x，整理得x2﹣7x﹣2＝0，则b＝﹣7，故答案为：﹣7．8.【解答】解：根据题意得：＝93（分），答：小红一学期的数学平均成绩是93 分；故答案为：93．9．【解答】解：x2﹣1＝0，（x+1）（x﹣1）＝0，x﹣1＝0，x+1＝0，x1＝1，x2＝﹣1，故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．10．【解答】解：x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，所以x1＝1，x2＝4，当 1 是腰时，三角形的三边分别为1、1、4，不能组成三角形；当4 是腰时，三角形的三边分别为4、4、1，能组成三角形，周长为4+4+1＝9．故答案是：9．1.【解答】解：由题意可得，50（1﹣x）2＝32，故答案为：50（1﹣x）2＝32．12.【解答】解：设扇形的弧长为l，由题意，得l×3＝2π，解得l＝．故答案为π．13.【解答】解：设袋中有x 个红球．由题意可得：＝25%，解得：x＝50，故答案为：50．14.【解答】解：连接OA，∵PA 切⊙O 于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵∠APO＝45°，∴OA＝PA＝3，故答案为：3．15.【解答】解：如图，连接OA，OB．∵AO＝BO＝2，AB＝2，∴△ABO 是等边三角形，∴∠AOB＝60°．若点C 在优弧上，则∠BCA＝30°；若点C 在劣弧上，则∠BCA＝（360°﹣∠AOB）＝150°；综上所述：∠BCA 的度数为30°或150°．故答案为30°或150°．16.【解答】解：如图，连接DE，∵DB′≥DE﹣EB′，DE＝＝＝，EB′＝1，∴DB′≥﹣1，∴当D，B′，E 共线时，DB′的值最小，不妨设此时点B′落在DE 上的点B″处，设BF′＝F′ B″＝x，∵F′D2＝CD2+F′C2＝B″D2+B″F′2，∴22+（4﹣x）2＝（﹣1）2+x2，解得x＝故答案为三、解答题17．【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0 或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1；（2）（x+1）（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x+1﹣2）＝0x﹣2＝0 或x+1﹣2＝0，所以x1＝2，x2＝1．18．【解答】解：（1）∵一组数据：2，6，7，7，8，∴这组数的平均数：＝6，（2）这组数据的方差＝[（2﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝4.419．【解答】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，整理，得：2x2﹣25x+50＝0，解得：x1＝，x2＝10．当x＝10 时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为cm 时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．20．【解答】解：（1）结论：△ABE∽△DCE，证明：在△ABE 和△DCE 中，∵∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE．（2）作⊙O 的直径BF，连接CF，∴∠F＝∠D＝45°，∠BCF＝90°．∴△BCF 是等腰直角三角形．∵FC＝BC＝2，∴BF＝2 ．∴OB＝．∴S⊙O＝OB2•π＝2π．21．【解答】解：（1）∵A，B，C三个组的人数为20×（10%+10%+15%）＝7，D组的人数为8，∴八年级学生知识竞赛成绩的中位数是＝88，故答案为：88；（2）400×45%+400×（40%+25%）＝180+260＝440 人．答：估计该校七、八年级所有学生中达到“优秀”的有440 人；（3）∵①八年级成绩的众数不确定；②八年级成绩的平均数不确定；③八年级成绩的极差可能为50 分；故正确结论的序号是③．故答案为：③．22．【解答】解：（1）如图①，连接AC，∵AT 是⊙O 切线，AB 是⊙O 的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝40°，∴∠T＝90°﹣∠ABT＝50°，由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，∴∠CDB＝∠CAB＝50°；（2）如图②，连接AD，在△BCE 中，BE＝BC，∠EBC＝40°，∴∠BCE＝∠BEC＝70°，∴∠BAD＝∠BCD＝70°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝70°，∵∠ADC＝∠ABC＝40°，∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝70°﹣40°＝30°．23．【解答】解：（1）由题意得：m﹣1≠0且△＞0，m﹣1≠0，解得：m≠1，∵△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣1）×（﹣1）＝m2，∴m2＞0，∴m≠0，∴m 的取值范围为：m≠0 且m≠1；（2）（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0，解得：x＝，∴x1＝﹣1，x2＝，∵m 为m≠0 且m≠1 的整数，且方程有两个不相等的整数根，∴m＝2．24.【解答】解：证法1：如图②，作直径DE 交⊙O 于点E，连接AE、CE．∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DAE+∠DCE＝180°．∵∠DAE+∠AEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠AEC+∠ADC＝360°﹣∠DAE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°．∵∠B 和∠AEC 所对的弧是，∴∠AEC＝∠B．∴∠B+∠ADC＝180°．故答案为：∠DAE＝∠DCE＝180°，∠AEC＝∠B；证法2：如图①，连接OA、OC，∵∠B、∠1 所对的弧是，∠D、∠2 所对的弧是，∴∠B＝∠1，∠D＝∠2，∵∠1+∠2＝360°，∴∠B+∠D＝（∠1+∠2）＝×360°＝180°．25.【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵BC＝a，AC＝b．∴AB2＝a2+b2，方程x2+2ax﹣b2＝0 变形为：x2+2ax+a2＝a2+b2，∴（x+a）2＝AB2，∵BD＝BC＝a，∴（x+BD）2＝AB2，∴线段AD 的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0 的一个根；（2）∵AD＝EC，∴AC＝2AD＝2AE＝b，∴AD＝b，∴AB＝a+ b，∵AB2＝AC2+BC2，∴（a+ b）2＝a2+b2整理得a＝b，∴＝．26.【解答】（1）解：连接AO，四边形AECO 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E 是AB 的中点，∴AE＝AB．∵CD 是⊙O 的直径，∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．∴四边形AECO 为平行四边形．（2）证明：由（1）得，四边形AECO 为平行四边形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD 和△AOF 中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF ∴△AOD≌△AOF（SAS）．∴∠ADO＝∠AFO．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵点F 在⊙O 上，∴AH 是⊙O 的切线．（3）∵CD 为⊙O 的直径，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD，BC 为⊙O 的切线，又∵AH 是⊙O 的切线，∴CH＝FH，AD＝AF，设BH＝x，∵CH＝2，∴BC＝2+x，∴BC＝AD＝AF＝2+x，∴AH＝AF+FH＝4+x，在Rt△ABH 中，∵AB2+BH2＝AH2，∴62+x2＝（4+x）2，解得x＝．∴．故答案为：．27.【解答】解：（1）四边形PQMN是△ABC的内接正方形，理由是：如图2 中，由画图可知∠QMN＝∠PQM＝∠MNP＝∠BM′N′＝90°，∴四边形PNMQ 是矩形，MN∥M′N′，∴△BN′M′∽△BNM，∴同理可得：，∴∵M′N′＝P′N′，∴MN＝PN，∴四边形PQMN 是正方形，即四边形PQMN 是△ABC 的内接正方形；（2）如图1，过A 作AD⊥BC 于D，交PN 于E，设正方形PNMQ 的边长为x，∵△ABC 为等边三角形，边长BC＝6，∴高线AD＝3，∵四边形PNMQ 是正方形，∴PN∥MQ，∴，即，解得：x＝12 ﹣18，答：△ABC 内接正方形的边长是12﹣18；（3）如图3 中，结论：∠QEM＝90°．理由：设MN＝3k，BM＝4k，则BN＝5k，BQ＝k，BE＝2k，∴＝，，∴，∵∠QBE＝∠EBM，∴△BQE∽△BEM，∴∠BEQ＝∠BME，∵NE＝NM，∴∠NEM＝∠NME，∵∠BME+∠EMN＝90°，∴∠BEQ+∠NEM＝90°，∴∠QEM＝90°．。
2023_2024学年江苏省无锡市江阴市九年级上册期中数学模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年江苏省无锡市江阴市九年级上册期中数学模拟测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．B ．C ．D ．223x y +=321x x -=15x x +=236x x -=2．下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．B ．C ．D ．2210x x -+=2210x x --=210x x -+=210x x --=4．一元二次方程配方后可化为（）2410x x -+=A ．B ．C ．D ．()225x -=()223x +=()225x +=()223x -=5．某种服装原价每件160元，经两次降价，现售价每件102.4元．设该服装平均每次降价的百分率为x ，可列方程（）A ．B ．()216012102.4x -=()16012102.4x -=C ．D ．()()160112102.4x x --=()21601102.4x -=6．已知的半径为6cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与的公共点个数为O O （）A ．2个B ．1个C ．0个D ．无法判断7．下列语句：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，PA 、PB 是的切线，切点分别为A 、B ，点C 在上，过点C 的切线分别交O AB PA 、PB 于点D 、E ，若，则的周长为（）1PA =PDE △（第8题图）A B ．2C ．3D ．69．如图，的半径为3，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、L 是它的十二等分点，则O 图中阴影部分（即四边形BCKL 和四边形EFHI ）的面积之和为（）（第9题图）A ．9B ．18C ．D ．10．如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，ABC △()1,0A -()0,1B ()3,2P -若点C 是以点P 为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最小值为（）ABC △（第10题图）A ．B ．CD ．12-32二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．已知关于x 的一元二次方程的一个根为1，则______．250x mx ++=m =12．如图，AB 是的直径，AC 切于A ，BC 交于点D ，若，则O O O 70C ∠=︒的度数为______°．AOD ∠（第12题图）13．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是27100x x -+=______．14．已知关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．220ax bx ++=224b b a =+15．用一个半径为20cm ，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），2300πcm 则圆锥的底面半径r 为______cm ．16．勾股容圆最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”意思是：今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是______步．17．如图，半径为1的与正五边形ABCDE 的边AE 、CD 相切，切点分别是点A 、C ，则劣O 弧AC 的长度为______．（第17题图）18．已知，点，点，直线l 经过点B 且垂直于y 轴，点P 是直线l 上一个动点，()1,0A ()0,1B 的角平分线与直线l 交于点Q ，则的形状一定是______；当点P 运动至某一位POA ∠OPQ △置时，的外接圆与一条坐标轴相切，则所有符合情况的点P 的坐标为______．OPQ △M 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分10分）解方程：（1）；（2）．()()22131x x +=-2420x x -+=20．（本题满分8分）已知一个数的平方与20的差等于这个数与10的和，求这个数．21．（本题满分8分）如图，长5m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离少1m ．求梯子的底端到墙面的距离．（第21题图）22．（本题满分10分）如图，BD 是的角平分线，点O 是BD 上一点，与AB 相切ABC ∠O 于点M ，与BD 交于点E 、F ．（第22题图）（1）求证：BC 是的切线；O （2）连接EM ，若，求的度数．//EM BC ABC ∠23．（本题满分10分）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实()22210x m x m -++=数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m 的值．24．（本题满分10分）如图，在中，，以AB 为直径的圆交BC 于点D ，交ABC △AB AC =AC 于点E ，连接OD ．（第24题图）（1）求证：；//OD AC （2）若，，求BD 的长．8AE =2CE =25．（本题满分10分）一商店销售某种商品，规定：不超过60件，每件售价120元．如果购买商品件数超过60件，每增加一件，所售出的商品每件售价均降低0.5元，但每件商品价格不得少于100元．（1）若购买商品63件，则每件商品的价格为______元；（2）若小明在此商店购买该商品共支付8800元，请问小明共买了多少件商品？26．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD 中，，，点E 从点A 出发以每秒16AB =4AD =个单位长度向点B 运动，同时点F 从点C 出发以每秒1个单位长度向点D 运动，当点E 、F 运动到终点时停止运动．设运动的时间为t 秒．（第26题图）（备用图）（1）当点E 、F 的距离是点E 、A 距离的两倍时，求t 的值；（2）当以EF 为直径的圆与BC 相切时，求t 的值；（3）在运动的过程中，点B 到EF 的最远距离为______．27．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，过点A 、B 的与y 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 上方），连接AC 、BD ，点E 为AC P 中点．（第27题图）（备用图1）（备用图2）（1）连接OE ，求证：；OE BD ⊥（2）若的半径为2，AB 、CD 的平方和等于24，求OP 的长度；P （3）连接PE ，若，点P 在内部，且，则B 点坐标为______．OA OC =AOC △1PE =28．（本题满分10分）平面内一个正n 边形，将平面内与正n 边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n 边形的“伴侣形”．将正n 边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n 边形的“远伴侣形”．【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A 、B 、C 为圆心，AB 长为半径画圆弧，则ABC △三条弧AB ，BC ，AC 及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”．ABC △【判断】（1）______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”；【操作】（2）如图2，边长为1的正方形ABCD ，请作出正方形ABCD 的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形ABCD 的“伴侣形”的周长；图1图2【探究】（3）结合图3分析，若正n 边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为7n =______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；8n =【归纳】（4）边长为1的正n 边形（），其“远伴侣形”的周长为______．7n ≥图3初三数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．D2．C3．C4．D5．D6．A7．B8．B9．A10．B二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分．）11．－6 12．40° 13．12 14．2315．15 16．6 17． 18．等腰三角形；或45π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎭三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（1）解：或，，．131x x +=-113x x +=-11x =20x =（2）解：，，．（公式法判别式算对给2分）()222x-=12x =+22x =-20．解：设这个数为x ，则，∴，．22010x x =+-16x =25x =-21．解：设梯子的底端到墙面的距离为x 米，由勾股定理可得：．解之得：，．()22125x x ++=13x =24x =-∵，∴，答：梯子的底端到墙面的距离为3米．0x >3x =22．证明：（1）连接OM ，过O 作于N ．ON BC ⊥∵AB 与相切于M ，∴．O AB OM ⊥∵BD 是的角平分线，，，ABC ∠ON BC ⊥AB OM ⊥∴半径．∴BC 是的切线．ON OM ==O （2）∵，∴．//EM BD MEB CBO ∠=∠∵BD 是的角平分线，∴，ABC ∠12MBO CBO ABC ∠=∠=∠∴，∵，∴．MEB MBO ∠=∠OE OM =22MOF MEF MBO ∠=∠=∠∵，∴，，AB OM ⊥90MOF MBO ∠+∠=︒390MBO ∠=︒∴，∴．30MBO ∠=︒60ABC ∠=︒23．（1）由题可知：，∴．()224140m m ∆=+->12m >-（2）由题可知：，()22221241216x x m m +=+-=∴，∵，∴．2m =-±12m >-2m =-+24．解：（1）∵AB 为直径，∴．AD BC ⊥∵，∴．AB AC =BAD CAD ∠=∠∵，∴，OA OD =BAD ADO ∠=∠∴．∴．CAD ADO ∠=∠//AC OD （法二：中位线）（2）连接BE ．则．90AEB CEB ∠=∠=︒∵，，∴．8AE =2CE =10AC AB ==∵．由勾股定理得：．90AEB ∠=︒6BE =∵．由勾股定理得：．90CEB ∠=︒BC =∵，∴．AB AC =12CD BD BC ===25．解：（1）118.5．（2）设买了x 件商品．①当时，舍去．60x ≤72008800W =<②当时，．解之得，．60100x <≤()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦180x =2220x =∵每件价格不得少于100元，∴．80x =③当时，舍去．100x >1001008800⨯>答：小明共买了80件商品．26．解：（1）（过程略）．136t =（2）连接AC ，与EF 交于点O ，∵，∴，即EF 的中点为矩形ABCD 中心．AEO CFO △≌△EO FO =∴圆半径为3，则，由勾股定理可得：，6EF =()2226246t -+=解之得，或13t =23t =3t =-3+（3．27．（１）延长EO 交BD 于F ，∵，，∴，∴.90AOC ∠=︒AE CE =OE AE =BOF EOA EAO ∠=∠=∠∵，，ABD ACO ∠=∠90EAO ACO ∠+∠=︒∴，∴.90ABD BOF ∠+∠=︒OE BD ⊥（2）由题可知：，2224AB CD +=过P 作于M ，作于N ．PM AB ⊥PN CD ⊥∴，.12AM AB =12CN CD =由勾股定理可知：，，222AP AM PM =+222CP CN PN =+相加可得：，∴．()2222222184AM PM CN PN AB CD OP =+++=++OP =（3）．)B 28．（1）不是；不是．（2）画出图形（3）（4）2π3π32π3()π63n -。
江苏省无锡市江阴市九年级(上)期中数学试卷
3. ⊙O 的半径为 4cm，若点 P 到圆心的距离为 3cm，点 P 在（ ）
A. 圆内
B. 圆上
C. 圆外
D. 无法确定
4. 两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ）
A. 2：3
B. 2：3
C. 4：9
D. 8：27
5. 已知关于 x 的方程 x2-2x+3k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
成绩 x/分 频数 频率
第 1 段 x＜60
2
0.04
第 2 段 60≤x＜70 6
0.12
第 3 段 70≤x＜80 9
b
第 4 段 80≤x＜90 a
0.36
第 5 段 90≤x≤100 15
0.30
请根据所给信息，解答下列问题： （ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）a=______，b=______； （2）请补全频数分布直方图； （3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第______段； （4）已知该年级有 400 名学生参加这次比赛，若成绩在 90 分以上（含 90 分）的 为优，估计该年级成绩为优的有多少人？
17. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 1，以点 A 为圆心，AB 的 长为半径，作扇形 ABF，则图中阴影部分的面积为______ （结果保留根号和 π）．
18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过 点 A（29，0），直线 y=kx-2k+3 与⊙O 交于 B、C 两点，则 弦 BC 的长的最小值为______．
（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
7. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，若
江苏省无锡市江阴市九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程x2-2x=0的解为（）A. x=0B. x=2C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−22.下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（）A. x2+x+2=0B. x2−x−5=0C. x2+x−3=0D. 2x2−x−1=03.已知xy=52，那么下列等式中不一定正确的是（）A. 2x=5yB. x2x+y=512C. x+yy=72D. x+2y+2=744.若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）A. 30∘B. 50∘C. 40∘D. 70∘5.为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A. 中位数是55B. 众数是60C. 方差是29D. 平均数是546.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AEAB=ADAC=13，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A. 1：3B. 1：3C. 1：8D. 1：97.如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=1x的图象上．若点B在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（）A. −4B. 4C. −2D. 28.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AB=3，则AD的值为（）A. 6B. 35C. 5D. 339.如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，则∠ACB和∠AEB之和为（）A. 45∘B. 90∘C. 60∘D. 75∘10.如图，已知AB=12，点C、D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（）①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；③EF的中点G移动的路径长为4．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.（1）直接写出解：y2-2y+1=0______；（2）若x−yy=53，则xy=______．12.若方程（n-1）x2-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则n______．13.在比例尺为1：5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为______米．14.用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径是______．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，若以点C为圆心，AC为半径作圆，则AB边的中点E与⊙C的位置关系为______．16.如图，将含60°角的直角三角形ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′．若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是______．17.如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF=6，则DF=______．18.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P 也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是___________.三、计算题（本大题共1小题，共16.0分）19.解方程：（1）x2-4x+1=0（用配方法）（2）3x（x-1）=2-2x（3）（x-2）（x-3）=12（4）x2-3x=2四、解答题（本大题共9小题，共68.0分）20.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______；（画出图形）（3）△A2B2C2的面积是______平方单位．21.已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1、x2，并且满足x12+x22=1，求m的值．22.（1）如图①，请用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．23.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）24.在“全民阅读”活动中，某中学社团“海伦读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2013年全校有1000名学生，2014年全校学生人数比2013年增加10%，2015年全校学生人数比2014年增加100人．（1）求2015年全校学生人数；（2）2014年全校学生人均阅读量比2013年多1本，阅读总量比2013年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2013年全校学生人均阅读量；②2013年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2014年、2015年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2015年全校学生人均阅读量比2013年增加的百分数也是a，那么2015年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．25.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆弧ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O 内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是奇异三角形．26.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求APPD的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APPD的值为______．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．（1）求APPD的值；（2）若CD=2，则BP=______．27.将一块含有45°的三角板ABC的顶点A放在⊙O上，且AC与⊙O相切于点A（如图1），将△ABC从点A开始，绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜135°），旋转后，AC、AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF（如图2）．已知AC=8，⊙O 的半径为4．（1）在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是______（填序号）；（2）当α=______°时，BC与⊙O相切（直接写出答案）；（3）当BC与⊙O相切时，求△AEF的面积．28.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l 从与AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为______；当t=______秒时，点P与点E重合；（2）当点P在AC边上运动时，连结PE，并过点E作AB的垂线，垂足为H．若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似，试求线段EH的值；（3）当点P在折线AC-CB-BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q．在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0或x-2=0，x1=0或x2=2．故选：C．把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或x-2=0，求出方程的解即可．本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、∵x2+x+2=0，∴△=b2-4ac=-7＜0，∴此方程没有实数根，故此选项错误；B、∵x2-x-5=0，∴△=b2-4ac=21＞0，∴此方程有实数根，x1+x2=1，故此选项错误；C、∵x2+x-3=0，∴△=b2-4ac=10＞0，∴此方程有实数根，根据根与系数的关系可求x1+x2=-1，故此选项正确；D、∵2x2-x-1=0，∴△=b2-4ac=9＞0，∴此方程有实数根，根据根与系数的关系可求x1+x2==，故此选项错误．故选：C．先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用x1+x2=-计算即可．此题考查了根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．以及根的判别式的运用，注意若△＜0，则方程没有实数根；若△≥0，则方程有实数根．3.【答案】D【解析】解：∵=，∴2x=5y，，，∴A、B、C正确，D不一定正确；故选：D．根据已知条件和比例的性质得出A、B、C正确，D不一定正确，即可得出结论．本题考查了比例的性质；此题比较简单，解题的关键是掌握比例的性质与变形．4.【答案】A【解析】解：∵∠A=40°，∠C=110°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-40°-110°=30°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B=30°．故选：A．根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据相似三角形对应角相等解答．本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：用电量从大到小排列顺序为：60，60，60，60，55，55，50，50，50，40．A、月用电量的中位数是55度，故A正确；B、用电量的众数是60度，故B正确；C、用电量的方差是39度，故C错误；D、用电量的平均数是54度，故D正确．故选：C．根据中位数、众数、平均数和方差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、平均数和方差，即可判断四个选项的正确与否．考查了中位数、众数、平均数和方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．6.【答案】C【解析】解：∵==，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=1：9，∴S△ADE：S=1：8，四边形BCED故选：C．易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而的值．求得S△ADE：S四边形BCED此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．7.【答案】A【解析】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴==，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n，因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（-2n，2m），∴k=-2n•2m=-4mn=-4．故选：A．要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x 轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：===2，然后用待定系数法即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，即同弧所对的圆周角相等．先根据∠BAC=120°，AB=AC求出∠ACB的度数，再根据圆周角定理得出∠ADB的度数，由于BD是⊙O的直径，故∠BAD=90°，在Rt△ABD中，AB=3，利用锐角三角函数的定义即可求出AD的值．【解答】解：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ACB=30°，∴∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵AB=3，∴AD===3．故选D．9.【答案】B【解析】解：如右图所示，先设AD=x，∵AC=BC，CD是AB边上的高线，∴BD=AD=x，CD是AB的垂直平分线，又∵2CD=3AB，AE=BE，AF=BF，∴CD=3x，∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，又∵E、F是三等分点，∴CE=EF=DF=x，∴DF=DB，又∵∠CDB=90°，∴△DBF是等腰直角三角形，∴∠DFB=45°，BF=x，∴=，==，∴=，又∵∠EFB=∠BFC，∴△EFB∽△BFC，∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，又∵∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC，∴45°=∠FBE+∠FEB，∴90°=2∠FBE+2∠FEB=2∠BCF+2∠FBC，∴∠ACB+∠AEB=90°．故选：B．先设AD=x，由于AC=BC，CD是AB边上的高线，可知BD=x，且CD是AB 的垂直平分线，利用2CD=3AB，易求CD=3x，再利用垂直平分线的定理易求∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，而E、F是三等分点，那么CE=EF=DF=x，易证△DBF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求BF=x，可求=，而夹角相等易证△EFB∽△BFC，那么有∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，结合三角形外角的性质易证∠ACB+∠AEB=90°．本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质、线段垂直平分线的定理．关键是证明△EFB∽△BFC．10.【答案】C【解析】【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH 的中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN，再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可得③EF的中点G移动的路径长；又由G为EF的中点，∠EPF=90°，可知①△EFP的外接圆的圆心为点G正确；由点P 从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，四边形面积是三个直角三角形的面积和，设CP=x，则四边形面积S=，故可求得②四边形的面积S也会随之变化，可得结论．本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形外接圆的知识以及三角形中位线的性质等知识，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∵G为EF的中点，∴G也为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN，∵CD=12-2-2=8，∴MN=4，即G的移动路径长为4，EF的中点G移动的路径长为4，故③正确；∵G为EF的中点，∠EPF=90°，∴△EFP的外接圆的圆心为点G，故①正确；∵点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，∴四边形面积是三个直角三角形的面积和，设CP=x，则四边形面积S=，∵CP不断增大，∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误．故选：C．11.【答案】y1=y2=1 83【解析】解：（1）由原方程，得（y-1）2=0，则y1=y2=1．故答案是：y1=y2=1；（2）由=，得3x-3y=5y，则3x=8y，所以=．故答案是：．（1）利用完全平方差公式进行变形，然后直接开平方即可解答；（2）根据比例的性质可以求得3x=8y，则易求x与y的比值．本题考查了配方法解一元二次方程和比例的性质．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12.【答案】≠1【解析】解：∵方程（n-1）x2-3x+1=0是一元二次方程，∴n-1≠0，即n≠1．故答案为：n≠1．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的值．本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．13.【答案】1250【解析】解：设它的实际长度为x厘米，则：1：5000=25：x，解得x=125000．125000厘米=1250米．故答案为：1250．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．14.【答案】3【解析】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr=，解得r=3，即这个圆锥的底面圆半径是3．故答案为3．设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.【答案】点E在⊙C外【解析】解：连接CE，如图所示：∵∠C=90°，∴AB===2，∵E为AB的中点，∴CE=AB=＞AC，∴点E在⊙C外；故答案为：点E在⊙C外．连接CE，由勾股定理求出AB=2，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=AB=＞AC，即d＞r，即可得出结果．本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟记d与r的数量关系与点与圆的位置关系是解决问题的关键．16.【答案】π2【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2，∴S△ABC=AC•BC=．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′-S△ABC==．答案为．图中S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′-S△ABC．本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．17.【答案】52【解析】解：∵点F是△ABC的重心，∴EF=BF=×6=3，∵AB=BC，BE是中线，∴AE=AC=×8=4，BE⊥AC，在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF===5，∴DF=AF=．故答案为：．根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质求出AE，BE⊥AC，然后利用利用勾股定理列式求出AF，再次利用三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求解即可．本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半是解题的关键，此内容已经不作要求，此题可斟酌使用．18.【答案】5-1【解析】解：如图：在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE≌∠CDF（SAS），∴∠DAE=∠CDF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CDF+∠AED=90°，∴∠DPE=∠APD=90°，由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC=，∴CP=QC-QP=．故答案为-1．先证得点P在运动中保持∠APD=90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的长．本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．19.【答案】解：（1）∵x2-4x+1=0，∴x2-4x=-1，∴x2-4x+4=-1+4，即（x-2）2=3，则x-2=±3，∴x1=2+3，x2=2-3；（2）∵3x（x-1）=-2（x-1），∴3x（x-1）+2（x-1）=0，则（x-1）（3x+2）=0，∴x-1=0或3x+2=0，解得：x1=1，x2=-32；（3）方程整理为一般式得x2-5x-6=0，则（x-6）（x+1）=0，∴x-6=0或x+1=0，解得：x1=6，x2=-1；（4）整理，得：x2-3x-2=0，∵a=1，b=-3，c=-2，∴△=9-4×1×（-2）=17＞0，则x=3±172．【解析】（1）根据配方法的运算步骤依次计算可得；（2）利用因式分解法求解可得；（3）先整理成一般式，再利用因式分解法求解可得；（4）先整理成一般式，再利用公式法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】（2，-2）（1，0）10【解析】解：（1）在直角坐标系中，图形沿平行于y轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度∴点C1的坐标为（2，-2）故答案为：（2，-2）（2）所求图形如下图所示：即：△A2B2C2为所求作的图形．点C2的坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）（3）S△A 2B2C2的面积=S-S-S△B2NC2=（2+4）×6-×2×4-×2×4=18-4-4=10（平方单位）故答案为：10平方单位（1）在直角坐标系中，图形沿平行于y轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度．（2）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形（3）将△A2B2C2的面积看作是梯形的面积减去两个直角三角形的面积．本题考查了作图-平移变换、作图-位似变换，关键是掌握平移变换与位似变换的特点．21.【答案】解：∵原方程有实数根，∴△=（2m-1）2-4m2≥0，解得m≤14，故m的取值范围是m≤14，又∵方程两实数根分别为x1、x2，则x1+x2=-（2m-1），x1x2=m2，由x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2m2-4m+1=1，解得m=0或m=2，由于m≤14，故实数m的值为0．【解析】先根据方程有实数根求出m的取值范围，根据根与系数的关系得到x1+x2=-（2m-1），x1•x2=m2，再把x12+x22=1变形得到x12+x22=（x1+x2）2-2xx2=2m2-4m+1=1，然后解方程，再确定满足条件的m的值．1本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．22.【答案】解：（1）（2）如图所示．【解析】（1）利用垂径定理的推论作出一条弦的垂直平分线，必过圆心；（2）连接梯形对角线，并延长CA，DB，进而得出两交点，连线即为所求．此题主要考查了应用设计与作图，正确利用垂径定理推论得出是解题关键．23.【答案】（1）证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，∴∠DOC=∠A，∵∠A+∠C=90°，∴∠DOC+∠C=90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠A=60°，∴∠C=30°，∠DOC=60°，在Rt△DOC中，OD=2，∴CD=3OD=23，∴阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE=12×2×23-60⋅π⋅22360=23-2π3．【解析】（1）由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=OD=2，然后利用阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE和扇形的面积公式求解．本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．24.【答案】解：（1）由题意，得2015年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人，故2015年全校学生人数为：1100+100=1200人；（2）①设2013人均阅读量为x本，则2014年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6．答：2013年全校学生人均阅读量为6本；②由题意，得2013年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，2015年读书社人均读书量为15（1+a）2本，2015年全校学生的人均读书量为6（1+a）本，80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25%2（1+a）2=3（1+a），∴a1=-1（舍去），a2=0.5．答：a的值为0.5．【解析】（1）根据题意，先求出2014年全校的学生人数就可以求出2015年的学生人数；（2）①设2013人均阅读量为x本，则2014年的人均阅读量为（x+1）本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论；②由①的结论就可以求出2013年读书社的人均读书量，2015年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由2015年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可．本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据阅读总量之间的关系建立方程是关键．25.【答案】解：（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题，理由是：∵设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，∴符合“奇异三角形”的定义得出：命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；（2）∵∠C=90°，∴a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=2a，c=3a，∴a：b：c=1：2：3；（3）∵①AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵点D是半圆弧ADB的中点，∴弧AD=弧DB，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇异三角形．【解析】（1）设等边三角形ABC饿边长是a，则a2+a2=2a2，根据“奇异三角形”的定义推出即可；（2）根据勾股定理得出a2+b2=c2①，根据奇异三角形得出a2+c2=2b2②，由①②求出b=a，c=a，代入即可求出答案；（3）根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，求出AD=BD，求出AC2+CB2=2AD2，把CB=CE，AE=AD代入求出AC2+CE2=2AE2即可．本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，命题与定理等知识点的综合运用．26.【答案】32 6【解析】解：的值为．提示：易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到==．故答案为：；解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴====．∴的值为；（2）当CD=2时，BC=4，AC=6，∴EC=AC=3，EB==5，∴EF=BE=5，BF=10．∵=（已证），∴=，∴BP=BF=×10=6．故答案为6．易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；（2）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出，就可求出BP的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．27.【答案】①②④90【解析】解：（1）①②④，理由是：如图1，连接OE、OF、过O作OD⊥EF于D，∵∠A=45°，∴∠EOF=2∠A=90°，∵OE=OF=4，∴由勾股定理得：EF==4，∵OD⊥EF，OE=OF，∴ED=DE=EF，∵∠EOF=90°，∴OD=EF=2，所以①②④是不不变量，∠AFE的值随着运动而不断变化的，不能确定，故答案为：①②④；（2）当α=90°时，BC与⊙O相切，理由是：连接OA，∵已知AC和⊙O相切，如图2，∴∠OAC=90°，△ACB绕A点运动到BC和⊙O相切时，如图3，∠ACB=90°，即图2中的AC和图3中的BC互相平行，所以α=∠ACB=90°，故答案为：90；（3）如图3，当BC与⊙O相切时，依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，且点C与点E重合，∵AC为⊙O直径，∴∠AFE=90°，又∵∠BAC=45°，∴∠FCA=45°．∴∠BAC=∠FCA，∴AF=EF，∵AC=8，∴AF=EF=4，∴S△AEF=×（4）2=16．（1）连接OE、OF、过O作OD⊥EF于D，根据圆周角定理求出∠EOF，解直角三角形求出EF，根据直角三角形的性质求出OD即可；（2）根据题意得出旋转后的α=∠ACB，即可得出答案；（3）解直角三角形求出AF和EF，根据三角形的面积公式求出即可．本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．28.【答案】19 3【解析】解：（1）∵AC=6，点P在AC上运动的速度为每秒3个单位，∴6÷3=2秒．∵BC=8，点P在CB上运动的速度为每秒4个单位，∴8÷4=2秒．当t=5秒时，点P运动的路程=6+8+5=19．当运动时间为t秒时，点P与点E重合．根据题意得：4（t-2）=．解得：t=3．故答案为：19；3．（2）∵l∥AC，∴∠A=∠EFH．∴tan∠EFH=tan∠A=．∵△CPE∽EFH，∴或∵CP=6-3t，CE=t，∴=或=．解得：t=或t=．∵当t=时，CE===2．∴BE=BC-EC=8-2=6．在Rt△EHB中，EH=EB×=6×=．∴EH=．∵当t=时，EC===，∴EB=8-=．在Rt△EHB中，EH=EB×=×=．∴EH=．（3）如图1所示：当点P在AC上时，连结PQ．∵四边形PEQF为菱形，∴PQ垂直平分EF．∴∠EOP=90°．∵l∥AC，∠C=90°，∴∠CEO=90°∵∠C=∠CEO=∠EOP=90°，∴四边形CEOP为矩形．∴PC=EO．∴EF=2CP．∵CE=，∴EB=8-．∵在△EFB中，tan∠B=，∴EF=BE=．∵AP=3t，AC=6，∴PC=6-3t．∴（8-t）=2（6-3t）．解得t=＜2，符合题意．当点 P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形．如图2所示：当点 P在BA上运动时．∵四边形PEQF为菱形，∴PE=PF．∴∠PFE=∠PEF．∵∠EFP+∠B=90°，∠FEP+∠PEB=90°，∴∠PEB=∠PBE．∴PB=PE．∴BF=2BP．∵CE=，BC=8，∴BE=8-．在Rt△EFB中，FB==（8-）．由题意可知：PB=5（t-4）．∴（8-t）=2×5（t-4），解得t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，四边形PEQF为菱形．（1）由题意可知点P从A到C需要2秒，从C到B需要2秒，从而可求得t=5时，点P运动的路程，点P与点重合，则点P运动的距离-点E运动的距离=AC，从而可求得点t=3；（2）由l∥AC可知∠A=∠EFH，故tan∠EFH=，由相似三角形的性质可知或，从而求得t=或t=，然后由t的值可求得CE的长，从而可求得BE的长，最后在Rt△EHB中由EH=EB×可求得EH的长；（3）当点P在AC上时，连结PQ．由菱形的性质可知PQ垂直平分EF，从而得到EF=2CP，由题意可知PC=6-3t，在△EFB中，tan∠B=，于是可求得EF=BE=，可求得t=＜2，符合题意；当点P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形；当点P在BA上运动时，由菱形的性质可知PE=PF，然后根据等角的余角相等可知PB=PE，故此可知BF=2BP，由题意可知PB=5（t-4）在Rt△EFB中，FB==（8-），故此可解得t=．本题主要考查的是一次函数的综合应用、相似三角形的性质、轴对称图形的性质、菱形的性质、锐角三角函数的定义，依据点P运动的速度以及特殊锐角三角函数值表示相关线段的长度是解题的关键．。
2019-2020学年江苏省无锡市江阴市华士片九年级(上)期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市江阴市华士片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列各数中，负数是( ) A ．(2)--B ．|2|--C ．2(2)-D ．0(2)-2．（3分）下列计算正确的是( ) A ．235x x x +=B ．236x x x =C ．32x x x ÷=D ．236(2)6x x =3．（3分）在ABC ∆中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( ) A ．必有一个内角等于30︒ B ．必有一个内角等于45︒C ．必有一个内角等于60︒D ．必有一个内角等于90︒4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x 人，则( ) A ．23(72)30x x +-= B ．32(72)30x x +-=C ．23(30)72x x +-=D ．32(30)72x x +-=5．（3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB 和AC 上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则( )A ．AD ANAN AE=B ．BD MNMN CE=C ．DN NEBM MC=D ．DN NEMC BM=6．（3分）用配方法解一元二次方程2410x x -+=时，下列变形正确的是( ) A ．2(2)1x -=B ．2(2)5x -=C ．2(2)3x +=D ．2(2)3x -=7．（3分）如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥，交O 于点C ，连接OA ，OB ，BC ，若20ABC ∠=︒，则AOB ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．70︒D ．80︒8．（3分）关于x 的一元二次方程220(x kx k +-=为实数）根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定9．（3分）给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程2350x x -+=的两根之积为5；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补．其中，真命题为( ) A ．①②④B ．①③④C ．①④D ．①②③④10．（3分）如图．在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =．E 是边AD 的一个动点，将BAE ∆沿BE 对折至BFE ∆的位置，则线段DF 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分）11．（2分）在1:500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长4.5cm ，那么等地铁造好后实际长约为 千米．12．（2分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，若3AD =，2DB =，则:ADE ABC S S ∆∆= ．13．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为 2cm ．（结果保留)π14．（2分）一棵高3米的小树影长为4米，同时临近它的一座楼房的影长是24米，那么这座楼房高 米．15．（2分）已知关于x 的一元二次方程22(1)30a x x a a -++-=的一个解为0，则a = ． 16．（2分）如图，在O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若27AB =，1CD =，则BE 的长是 ．17．（2分）如图，在矩形ABCD 中，43AB cm =，12AD cm =，动点P 以每秒1cm 的速度从点C 沿折线C D A --匀速运动，到点A 运动停止．以P 为圆心作半径为3cm 的P ，当P 与对角线BD 相切时，点P 的运动时间为 s ．18．（2分）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=︒，△A EP '的面积为5，△D PH '的面积为20，则矩形ABCD 的面积等于 ．三、解答题（本大题10小题，计84分） 19．（8分）计算与化简： （1）232|272--+ （2）22(1)()x x x +-- 20．（8分）解方程：（1）2250x x --= （2）224(13)x x =-21．（8分）已知：ABC ∆在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为(0,3)A 、(3,4)B 、(2,2)C （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出ABC ∆向下平移4个单位长度得到的△111A B C ，点1C 的坐标是 ；（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△222A B C ，使△222A B C 与ABC ∆位似，且位似比为2:1，点2C 的坐标是 ；（3）△222A B C 的面积是 平方单位．22．（8分）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两根1x 、2x 是某个等腰三角形的两边长，且该三角形的周长为10，试求m 的值．23．（8分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =． （1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证：HD HG =．24．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E ． （1）求证：BDE CAD ∆∆∽．（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长．25．（8分）如图， 在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，以BC 为直径作O ，交AB 于点D ．（1） 求线段AD 的长度；（2）E 是线段AC 上一动点， 试问当点E 运动到什么位置时， 直线ED 与O 相切， 请写出你的思路 ．26．（8分）某电商平台长期销售A 型商品，2017年以4800元购进该型号商品并且全部售完；2019年，这种型号的商品的进价比2017年下降了9元/件，该平台用3000元购进了与2017年相同数量的该A 型商品也全部售完，这两年A 型商品的售价均为40元/件． （1）2017年A 型商品的进价是多少元/件？（2）若该电商平台每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 27．（10分）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使ABC∆为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且14CF CD=，试判断AEF∆是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点Q是直线3y=上的一点，若在O上存在一点P，使得OPQ∆为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．28．（10分）如图，已知一次函数443y x=-+的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B．（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90︒到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作N．①当N与x轴相切时，求点M的坐标；②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线:(0)m y kx b k=+>过点N，且分别与y轴、直线l交于点P、Q，若有APQ∆与CDE∆相似，试求直线m的解析式．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分） 1．（3分）下列各数中，负数是( ) A ．(2)--B ．|2|--C ．2(2)-D ．0(2)-解：A 、(2)2--=，故此选项错误； B 、|2|2--=-，故此选项正确； C 、2(2)4-=，故此选项错误；D 、0(2)1-=，故此选项错误；故选：B ．2．（3分）下列计算正确的是( ) A ．235x x x +=B ．236x x x =C ．32x x x ÷=D ．236(2)6x x =解：A 、23x x +不能合并，错误； B 、235x x x =，错误； C 、32x x x ÷=，正确；D 、236(2)8x x =，错误；故选：C ．3．（3分）在ABC ∆中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( ) A ．必有一个内角等于30︒ B ．必有一个内角等于45︒C ．必有一个内角等于60︒D ．必有一个内角等于90︒解：180A B C ∠+∠+∠=︒，A C B ∠=∠-∠， 2180C ∴∠=︒， 90C ∴∠=︒，ABC ∴∆是直角三角形，故选：D ．4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x 人，则( ) A ．23(72)30x x +-= B ．32(72)30x x +-=C ．23(30)72x x +-=D ．32(30)72x x +-=解：设男生有x 人，则女生(30)x -人，根据题意可得： 32(30)72x x +-=．故选：D ．5．（3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB 和AC 上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则( )A ．AD ANAN AE=B ．BD MNMN CE=C ．DN NEBM MC=D ．DN NEMC BM=解：//DN BM ， ADN ABM ∴∆∆∽， ∴DN ANBM AM =， //NE MC ，ANE AMC ∴∆∆∽， ∴NE ANMC AM =， ∴DN NEBM MC=． 故选：C ．6．（3分）用配方法解一元二次方程2410x x -+=时，下列变形正确的是( ) A ．2(2)1x -=B ．2(2)5x -=C ．2(2)3x +=D ．2(2)3x -=解：2410x x -+=， 241x x -=-， 24414x x -+=-+，2(2)3x -=，故选：D ．7．（3分）如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥，交O 于点C ，连接OA ，OB ，BC ，若20ABC ∠=︒，则AOB ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．70︒D ．80︒解：20ABC ∠=︒， 40AOC ∴∠=︒，AB 是O 的弦，OC AB ⊥， 40AOC BOC ∴∠=∠=︒， 80AOB ∴∠=︒，故选：D ．8．（3分）关于x 的一元二次方程220(x kx k +-=为实数）根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．不能确定解：由根的判别式得，△22480b ac k =-=+> 故有两个不相等的实数根 故选：A ．9．（3分）给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程2350x x -+=的两根之积为5；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补．其中，真命题为( ) A ．①②④B ．①③④C ．①④D ．①②③④解：①相似三角形的周长之比等于其相似比，是真命题；②方程2350x x -+=，△2(3)415110=--⨯⨯=-<，方程无实根，是假命题； ③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，是假命题； ④圆的内接四边形对角互补，是真命题； 故选：C ．10．（3分）如图．在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =．E 是边AD 的一个动点，将BAE ∆沿BE 对折至BFE ∆的位置，则线段DF 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解：如图，连接BD ，6AB =，8BC =， 10BD ∴=，将BAE ∆沿BE 折叠后得BFE ∆，6AB BF ∴==，AE EF =，90A EFB ∠=∠=︒，在BFD ∆中，DF BD BF -， ∴当点F 在BD 上时，DF 的长最短，1064DF BD BF ∴=-=-=，故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分）11．（2分）在1:500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长4.5cm ，那么等地铁造好后实际长约为 22.5 千米．解：设地铁造好后实际长约x 厘米，则 4.5:1:500000x =，解得2250000x =， 即22.5x =千米．故答案是：22.5．12．（2分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，若3AD =，2DB =，则:ADE ABC S S ∆∆=9:25．解：如图所示：AD DB AB +=，3AD =，2DB =， 5AB ∴=，又//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴35AD AB =， ∴2239()()525ADE ABC S AD S AB ∆∆===， 故答案为9:25．13．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为 3π 2cm ．（结果保留)π 解：圆锥的侧面积212133()2cm ππ==． 故答案为3π．14．（2分）一棵高3米的小树影长为4米，同时临近它的一座楼房的影长是24米，那么这座楼房高 18 米．解：在同一时刻物高与影长成正比例 3:4∴=楼房的高度：24 ∴楼房的高度为18米；故答案为：18．15．（2分）已知关于x 的一元二次方程22(1)30a x x a a -++-=的一个解为0，则a = 0 ． 解：把0x =代入方程22(1)30a x x a a -++-=中，得 20a a -=，解得1a =或0，当1a =时，原方程二次项系数10a -=，舍去， 故答案为：0．16．（2分）如图，在O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若27AB =，1CD =，则BE 的长是 6 ．解：半径OC 垂直于弦AB ， 172AD DB AB ∴===， 在Rt AOD ∆中，222()OA OC CD AD =-+，即222(1)(7)OA OA =-+， 解得，4OA = 3OD OC CD ∴=-=， AO OE =，AD DB =， 26BE OD ∴==，故答案为：617．（2分）如图，在矩形ABCD 中，43AB cm =，12AD cm =，动点P 以每秒1cm 的速度从点C 沿折线C D A --匀速运动，到点A 运动停止．以P 为圆心作半径为3cm 的P ，当P 与对角线BD 相切时，点P 的运动时间为 432-或63 s ．解：四边形ABCD 是矩形，90ADC A ∴∠=∠=︒，43CD AB ==，2222(43)12832BD AB AD AB ∴=+=+==， 30ADB ∴∠=︒，60BDC ∠=︒，①当P 与对角线BD 相切，点P 在CD 上时，如图1所示： 设QD 为E ，连接PE ，则PE BD ⊥， 30DPE ∴∠=︒，313DE PE ∴==， 22PD DE ∴==， 432CP ∴=-，动点P 以每秒1cm 的速度从点C 沿折线C D A --匀速运动， ∴点P 的运动时间为432-（秒)，②当P 与对角线BD 相切，点P 在AD 上时，如图2所示： 设QD 为F ，连接PF ，则PF BD ⊥， 30ADB ∠=︒，223PD PF ∴==， 63CD PD ∴+==，动点P 以每秒1cm 的速度从点C 沿折线C D A --匀速运动， ∴点P 的运动时间为63秒；综上所述，P 与对角线BD 相切时，点P 的运动时间为432-（秒)或63秒； 故答案为：432-或63．18．（2分）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=︒，△A EP '的面积为5，△D PH '的面积为20，则矩形ABCD 的面积等于 50305+ ．解：由折叠可得，90A PF B '∠=∠=︒，90D PH C '∠=∠=︒，而90FPG ∠=︒， 90A PD ''∴∠=︒，90A PE D PH A PE A EP ''''∴∠+∠=∠+∠=︒，A EP D PH ''∴∠=∠，又90A D ''∠=∠=︒， ∴△A EP '∽△D PH '，又△A EP '的面积为5，△D PH '的面积为20， ∴△A EP '与△D PH '的面积之比为1:4，相似比为1:2，设AB A P x '==，则CD D P x '==， 2D H x '∴=，12A E x '=， △A EP '的面积为5， ∴11522x x ⨯⨯=， 解得25x =，5A E AE '∴==5A P D P ''==，45D H DH '==， Rt ∴△A EP '中，5EP =，Rt △D PH '中，10PH =，5510451555AD AE EP PH HD ∴=+++=++=+，∴矩形ABCD 的面积等于(1555)2550305AD AB ⨯=+⨯=+，故答案为：50305+．三、解答题（本大题10小题，计84分） 19．（8分）计算与化简： （1）232|272--+ （2）22(1)()x x x +-- 解：（1）原式123334=- 9434=-；（2）原式2221x x x x =++-+ 31x =+．20．（8分）解方程： （1）2250x x --= （2）224(13)x x =- 解：（1）225x x -=，2(1)6x ∴-=，则16x -=±161x =+，261x =+；（2）224(13)x x =-， 213x x ∴=-，213x x =-+，解得：115x =，21x =．21．（8分）已知：ABC ∆在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为(0,3)A 、(3,4)B 、(2,2)C （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出ABC ∆向下平移4个单位长度得到的△111A B C ，点1C 的坐标是 (2,2)- ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△222A B C ，使△222A B C 与ABC ∆位似，且位似比为2:1，点2C 的坐标是 ；（3）△222A B C 的面积是 平方单位．解：（1）如图所示：1(2,2)C -； 故答案为：(2,2)-；（2）如图所示：2(1,0)C ； 故答案为：(1,0)； （3）22220A C =，22220B C =，22240A B =，∴△222A B C 是等腰直角三角形，∴△222A B C 的面积是：120102⨯=平方单位．故答案为：10．22．（8分）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两根1x 、2x 是某个等腰三角形的两边长，且该三角形的周长为10，试求m 的值．【解答】（1）证明：△2224[(21)]4()10b ac m m m =-=-+-+=> ∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：2112m x +±=， 1x m ∴=，21x m =+， 12x x ∴≠①若1x 为腰，2x 为底边，得3110m +=，3m =； ②若2x 为腰，1x 为底边，得3210m +=，83m =；综上所述，3m =或83m =．23．（8分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =． （1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证：HD HG =．解：（1）设正方形CEFG 的边长为a ， 正方形ABCD 的边长为1， 1DE a ∴=-，12S S =，21(1)a a ∴=⨯-，解得，15122a =--（舍去），25122a =-，即线段CE 的长是5122-； （2）证明：点H 为BC 边的中点，1BC =， 0.5CH ∴=，2251052DH ∴=+=， 0.5CH =，5122CG =-， 52HG ∴=， HD HG ∴=．24．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E ． （1）求证：BDE CAD ∆∆∽．（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长．解：（1）AB AC =，BD CD =，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠，DE AB ⊥， DEB ADC ∴∠=∠， BDE CAD ∴∆∆∽．（2）AB AC =，BD CD =，AD BC ∴⊥，在Rt ADB ∆中，222213512AD AB BD =-=-=， 1122AD BD AB DE =， 6013DE ∴=．25．（8分）如图， 在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，以BC 为直径作O ，交AB 于点D ．（1） 求线段AD 的长度；（2）E 是线段AC 上一动点， 试问当点E 运动到什么位置时， 直线ED 与O 相切， 请写出你的思路 ．解： （1） 连接CD ，BC 为O 的直径90CDB ∴∠=︒，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，225()AB AC BC cm ∴=+=，1122ABC S AC BC CD AB ∆==， 125AC BC CD AB ∴==， 又在Rt ADC ∆中，222AD AC CD =-，21299()()55AD cm ∴=-=；（2） 如图， 连接ED ，EO ，ED 与O 相切，90EDO ECO ∴∠==︒，ED ∴，EC 是切线长，CD EO ∴⊥，CD AB ⊥，//AB EO ∴，::CO OB CE AE ∴=，OC OB =，AE CE ∴=，即E 是AC 的中点 ．E ∴在AC 的中点处， 直线ED 与O 相切 ．26．（8分）某电商平台长期销售A 型商品，2017年以4800元购进该型号商品并且全部售完；2019年，这种型号的商品的进价比2017年下降了9元/件，该平台用3000元购进了与2017年相同数量的该A 型商品也全部售完，这两年A 型商品的售价均为40元/件．（1）2017年A 型商品的进价是多少元/件？（2）若该电商平台每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 解：（1）设2017年A 型商品的进价是x 元/件480030009x x =- 解得24x =，经检验：24x =是原方程的解；答：2017年A 型商品的进价是24元/件．（2）设利润的年增长率是a2017年与2019年的商品数量均为480024200÷=件，2200(4024)(1)200(40249)a ⨯-+=⨯-+解得114a =，294a =-（舍去） 答：利润的年增长率是25%．27．（10分）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A 、B 是O 上两点，请在圆上找出满足条件的点C ，使ABC ∆为“智慧三角形”（画出点C 的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且14CF CD =，试判断AEF ∆是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，点Q 是直线3y =上的一点，若在O 上存在一点P ，使得OPQ ∆为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．解：（1）如图1所示：（2）AEF ∆是“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a ， E 是BC 的中点，2BE EC a ∴==，:4:1CD FC =，FC a ∴=，43DF a a a =-=，在Rt ABE ∆中，2222(4)(2)20AE a a a =+=， 在Rt ECF ∆中，2222(2)5EF a a a =+=，在Rt ADF ∆中，2222(4)(3)25AF a a a =+=， 222AE EF AF ∴+=，AEF ∴∆是直角三角形，斜边AF 上的中线等于AF 的一半，AEF ∴∆为“智慧三角形”； （3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得OPQ ∆为直角三角形， 根据题意可得一条直角边1OP =，PQ ∴最小时，POQ ∆的面积最小，即OQ 最小，由垂线段最短可得斜边最小为3，由勾股定理可得PQ == 根据面积得，1122OQ PM OP PQ ⨯=⨯，13PM ∴=⨯÷=，由勾股定理可求得13OM ==，故点P 的坐标(，1)3，，1)3．28．（10分）如图，已知一次函数443y x=-+的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B．（1）求线段AB的长度；（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90︒到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作N．①当N与x轴相切时，求点M的坐标；②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线:(0)m y kx b k=+>过点N，且分别与y轴、直线l交于点P、Q，若有APQ∆与CDE∆相似，试求直线m的解析式．解：（1）由443y x=-+得(0,4)A，(3,0)B4OA∴=，3OB=∴由勾股定理得：5AB=．（2）①如图1中，当N与x轴相切于点E时，作NH y⊥轴于H，MF y⊥轴于F，连接NE．则四边形NHOE为矩形，HO EN AM AN∴===，90HAN OAB∠+∠=︒，90HNA HAN∠+∠=︒，OAB HNA∴∠=∠，AM AN⊥，AOB NHA∴∆∆∽，∴AH HN AN OB AO AB==，设3AH x=，则4HN x=，5AN NE OH x===，OH OA AH=+，345x x∴+=，2x∴=，6AH∴=，8HN=，10AN AM==．AM AN=，OAB HAN∠=∠，Rt HAN Rt FMA(AAS)∴∆≅∆，6FM∴=，8AF=，4OF=，(6,4)M∴-．②如图2中：57CAO CAO ∠+∠=∠+∠，57∴∠=∠，∴只存在CDE APQ ∆∆∽，得46∠=∠ 由题意知，(6,4)M -，(0,4)A ，可得(8,10)N ，(16,16)D ． ∴直线DE 的解析式为216y x =-，得(8,0)E NE ND ∴=，16∴∠=∠又(8,10)N ，//NE y ∴轴，42∴∠=∠46∠=∠，12∴∠=∠，得//DE NP∴直线NP 的解析式为：26y x =-．。
江苏省江阴市华士片九年级数学上学期期中试题 苏科版
江苏省江阴市华士片2017届九年级数学上学期期中试题（考试时间为120分钟， 试卷满分130分.）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1.已知 a 2＝b 5，则b －aa的值为 （ ）A ．32B ．23C ．25D ．522. 如图，已知DE ∥BC ，32==BD AD ，，则△ADE 和△ABC 的面积比是（ ） A. 2∶3B. 2∶5C. 4∶9D. 4∶253. 如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC=40°，则∠BOD= （ ） A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°4.有一块直角边AB=3cm ，BC=4cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若点A (3，－4)、B (－2，m )在同一个反比例函数的图像上，则m 的值为 （ ） A ．6 B ．－6 C ．12 D ．－12 6．下列说法正确的是 （ ） A ．等弧所对的圆心角相等 B ．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C ．经过三点可以作一个圆 D ．相等的圆心角所对的弧相等7．如图，⊙O 的半径OC =5cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于A 、B 两点，AB =8cm ，则l 沿OC所在直线平移后与⊙O 相切，则平移的距离是 （ ） A. 1cm B. 2cm C. 8cm D. 2cm 或8cm8．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（ ）第2题DCBA O第3题第7题第4题A ．2＜r ＜B ．＜r ＜3 C．＜r ＜5 D ．5＜r ＜9． 如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一点，BF =3AF ，则下列四个结论：①△AEF ∽△DCE ；②CE 平分∠DCF ；③点B 、C 、E 、F 四个点在同一个圆上；④直线EF 是△DCE 的外接圆的切线；其中，正确的个数是 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ， AP ＋12BP 的最小值为 （ ）．A. 37B. 6C. 2D. 4二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分11. 在比例尺为1∶50000的地图上，量得A 、B 两地的图上距离AB ＝3cm ，则A 、B 两地的实际距离为 km.12．已知线段AB=10，C 为AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC= ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD 的长为 ．14．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则网球的击球的高度h 为 m ． 15.用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为______________。
江苏省无锡市江阴市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
江苏省无锡市江阴市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．23x y +=B ．321x x -=C ． 15y x =＋D ．236x x -=2．一元二次方程2410x x --=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定3．一元二次方程2410x x ++=配方后可化为（ ）A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x +=C ．2(2)5x +=D ．2(2)3x -=4．某县2016年的GDP 是250亿元，要使2018年的GDP 达到360亿元，求这两年该县GDP 年平均增长率．设年平均增长率为x ，可列方程为（ ）A ．250（1＋2x ）2＝360B ．250（1＋2x ）＝360C ．250（1＋x ）（1＋2x ）＝360D ．250（1＋x ）2＝3605．O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定6．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）A ．12πB ．πC ．3π2D ．3π7．下列语句中正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．在半径为2的⊙O 中，长度为60° C ．直径所对的圆周角是直角 D ．三角形的外心到三角形各边的距离相等8．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b ＝3cm ，则螺帽边长a 等于（ ）AB ．C ．2cmD 9．如图，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 、AB 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为5，AB ＝6，则弦AC 的长为 （ ）A．B ．C ．D ．10．欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程22490x nx m +-=根的图形解法：如图，在⊙O 中，CD 为直径，⊙O 的切线与CD 的延长线交于点B ，切点为A ，连接AC ，使3AB m =，4CD n =，则该方程的一个正根是（ ）A ．BD 的长度B ．BO 的长度C ．BC 的长度D ．AC 的长度二、填空题11．写出一个根是1，另一个根不是1的一元二次方程：______．（写出一个方程即可）12．已知关于x 的一元二次方程230x kx +-=有一个根为1，则k 的值是________．13．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．14．已知圆锥的母线长为4cm ，底面圆的半径为3cm ，则此圆锥的侧面积是_____cm 2．15．如图，已知O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，若65C =︒∠，则BAD ∠的度数是____°．16．已知△ABC 的面积是54cm 2，周长是36cm ，则△ABC 的内切圆半径是______cm ．17．如图，在平面直角坐标系中，Q 与y 轴相切于点A ，与x 轴交于点,B C ，连接BQ 并延长交Q 于点D ，交y 轴于点E ，连接DA 并延长交x 轴于点F ，已知点D 的坐标为()1,6，且点A 是DF 的中点，则点B 的坐标为______．18．如图，AB 是O 的直径，点C 是AB 的中点，点D 是直径AB 所在直线下方一点，连接CD ，且满足60ADB ∠=︒，2BD =， AD =ABD △的面积为______；CD 的长为______．三、解答题19．解方程：(1)2(2)4x -=；(2)x 2－4x －1＝0．20．已知26430x x --=，求22(1)29x x -+-的值．21．已知关于x 的一元二次方程()222110x m x m ++++=有两个不相等的实数根．(1)求实数m 的取值范围；(2)设a 、b 是该方程的两个实数根，且满足a b a b +=-，求实数m 的值．22．如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DB 平分ADC ∠．(1)试判断ABC的形状，并给出证明；(2)若AB=1AD=，求CD的长度．23．如图，已知AB为O的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且2=．AB DE∠的度数；(1)若25∠=︒，求AOCE(2)若AC的度数是BD的度数的m倍，则m＝．24．如图，AB是O为直径，点D是O上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过点D的直=．线与线段AC交于点E，且DE CE(1)猜想直线DE与O的位置关系，并证明；(2)若O的半径是3，30∠=︒，求阴影部分的面积．B25．如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）．(1)用无刻度的直尺和圆规作出过A 、B 、C 三点的⊙P ，求圆心P 的坐标；(2)如图2，若过A 、B 两点的⊙M 恰好与直线l ：y x =-相切，请直接写出圆心M 的坐标：．26．某科研单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的矩形ABCD 空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．(1)如图1，要使种植花草的面积为2532m ，求小道进出口的宽度为多少米；(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，AEQ BGF CMH DPN 、、、均为全等的直角三角形，其中AE BF CM DN ＝＝＝，设EF HG MN PQ a ＝＝＝＝米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2．m ，且竖向道路出口位于MN 和EF 之间，横向弯折道路出口位于PQ 和HG 之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a 的代数式表示）；②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a 的值． 27．已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：(1)如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AB恰好与O相切于点D，则切线长AD=；(2)如图2，将三角板的顶点A在O上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若BC边与O相切于点M，求点B的坐标；(3)请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在O上滑动，直角顶点B恰好落在O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与O的另一交点为H，若1PG=，求GH的长．28．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()点B在y轴的正半轴上，且30∠︒，以点B为ABO＝圆心，1为半径画B，与y轴交于点C（点C在点B的下方），点Q是AB的中点，点P是B上的一个动点，从点C开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为t秒．(1)如图1，连接OQ，当OQ∥BP时，求t的值；△，(2)如图2，点P在运动过程中，连接AP，以AP为边在左侧作等边APDt＝秒时，求点D的坐标；①当12②连接DQ，当DQ最大时，求此时t的值和这个最大值．。
江苏省九年级上册期中考试数学试题(苏教版九年级数学第一学期期中考试测试卷)
苏教版九年级数学第一学期期中试卷（满分150分，考试时间为120分钟）一．选择题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）1．下列方程中有实数根的是（）A．x2+2x+2=0 B．x2﹣2x+3=0 C．x2﹣3x+1=0 D．x2+3x+4=02．等于23圆周的弧是（）A、劣弧B、半圆C、优弧D、圆3．为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表：则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（）A. 3，3B. 3，3.5C. 3.5，3.5D.3.5，34．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（）A．DE=EB B． DE=EB C． DE=DO D．DE=OB5．如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（）A．30cm2B．30πcm2C．60πcm2D．120cm26．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，27．下列语句中正确的是( )A．长度相等的两条弧是等弧B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴8.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则弦所对的圆周角等于（）A. 45°B. 60°或120°C. 135°D. 45°或135°二．填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）：9.若关于x 的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为________________． 10．某天我国6个城市的平均气温分别是 -3℃、5℃、 -12℃、-16℃、22℃、 28℃，则这6个城市平均气温的极差是 ℃．11. 某校甲乙两个体操队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差是S 甲2=1.9，乙队队员身高的方差是S 乙2=1.2，那么两队中队员身高更整齐的是______队．（填“甲”或“乙”） 12．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价百分率是 ．13．已知321,,x x x 的平均数=x 10，方差23S =，则102,102,102321+++x x x 的方差为 . 14. 关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取围 ． 15．已知⊙O 的直径为10cm,若OP=5cm ，那么点P 与⊙O 的位置关系是 16．已知()03)(22=-+-+b a b a ，则=+b a _______________.17.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，连接AC 、BO ，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D= °．18．关于的方程两实根之和为m ，且满足，关于y 的不等于组有实数解，则k 的取值范围是______________________.三．解答题（本大题共有10小题，共96分）： 19．（本题满分8分） 解方程：（1） （X+3）=X （X+3）（因式分解法） （2）2x 2+1=4x （配方法）20．（本题满分8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到△AB ′C ′ （1）在正方形网格中，画出△AB ′C ′；（2）计算线段AB 在变换到AB ′的过程中扫过区域的面积．21．（本题满分8分）某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示。
江苏省无锡市江阴市 九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知x=2是关于x的一元二次方程x2-x-2a=0的一个解，则a的值为（ ）A. 0B. −1C. 1D. 22.两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（ ）A. 3：2B. 3：2C. 9：4D. 27：83.若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-8x+15=0的一根，则这个三角形的周长为（ ）A. 5B. 3或5C. 13D. 11或134.下列说法正确的是（ ）A. 等弧所对的圆心角相等B. 平分弦的直径垂直于这条弦C. 经过三点可以作一个圆D. 相等的圆心角所对的弧相等5.如图，在△ABC中，点D，E分别在线段AB，AC上，且DE∥BC，若ADDB=23，则DEBC的值为（ ）A. 23B. 25C. 35D. 326.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）A. 1cmB. 2cmC. 8cmD. 2cm或8cm7.如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在MN上，且不与M、N重合，当P点在MN上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（ ）A. 不变B. 变小C. 变大D. 不能确定8.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位阴影部分三角形的面积为8．若置，已知△ABC的面积为18，AA'=1，则A'D等于（ ）A. 3B. 2C. 32D. 239.如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠A=20°，∠B=70°，则∠ACB的度数为（ ）A. 50∘B. 55∘C. 60∘D. 65∘10.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知xy=23，则x−yx+y=______．12.若一元二次方程x2+x-2018=0的解为x1、x2，则x1+x2的值是______．13.圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，那么这个圆锥的侧面积是______cm2．14.在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m的测杆的影长为1m，那么影长为20m的旗杆的高是______m．15.若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，则a的取值范围为______．16.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=26°，则∠D=______．17.如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，-2），（-4，0），则点P4的坐标为______．18.如图，△ABC是等边三角形，AB=3，E在AC上且AE=23AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.已知关于x的一元二次方程x2-（k+1）x+2k-2=0．（1）求证：方程有两个实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.解方程：（1）（x-1）2=4；（2）3（x-2）2=x（x-2）；（3）3x2-6x+1=0（用配方法）．21.如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD．∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）求线段CD的长．22.如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的圆心坐标是______；（2）△ABC外接圆的半径是______；（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是______；（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1．23.已知：△ABC中，∠C=90°．（1）如图1，若AC=8，BC=6，DE⊥AC，且DE=DB，求AD的长；（2）如图2，请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段AB上找一点F，使得点F到边AC的距离等于FB．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）24.万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出．（1）当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；（2）如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？25.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．（1）若∠A=25°，求弧DE的度数；（2）若BC=2，AC=6，求BD的长．26.如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OC的长为半径的⊙O与AB相切于点M．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若AB=2+2，求图中阴影部分面积．27.如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y 关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径．28.已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A-D-C运动，同时点P从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α°（0＜α＜360），直线PF分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α，使△CMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x=2是方程的解，∴4-2-2a=0∴a=1．故选：C．把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值．本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．2.【答案】C【解析】解：因为两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是9：4；故选：C．由两个相似三角形，其相似比3：2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．3.【答案】C【解析】解：由方程x2-8x+15=0可得（x-3）（x-5）=0，∴x=3或x=5，当x=3时，2、3、6构不成三角形，舍去；当x=5时，三角形的周长为2+5+6=13；故选：C．解方程求得根之后，由三角形三边间的关系可得答案．本题主要考查解方程的能力和三角形三边间的关系，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：等弧所对的圆心角相等，A正确；平分弦的直径垂直于这条弦（此弦不能是直径），B错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选：A．根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵=，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=；故选：B．由比例的性质求出的值，由平行线证明△ADE∽△ABC，得出对应边成比例即可．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、比例的性质；证明三角形相似是解决问题的关键．6.【答案】D【解析】解：连接OB，∵AB⊥OC，∴AH=BH，∴BH=AB=×8=4，在Rt△BOH中，OB=OC=5，∴OH==3，又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，∴当向下平移时，直线l平移的距离=5-3=2（cm）；当向上平移时，直线l平移的距离=5+3=8（cm）．故选：D．根据垂径定理得到BH=AB=×8=4，再利用勾股定理计算出OH，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线l平移的距离为半径减去OH；当向上平移时，直线l平移的距离为半径加上OH．本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理．7.【答案】A【解析】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，∴AB=OP=半径，当P点在上移动时，半径一定，所以AB长度不变，故选：A．四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度不变．本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：90°的圆周角所对的弦是直径，垂直于非直径的弦的直径平分弦，三角形的中位线等于第三边的一半．8.【答案】B【解析】解：如图，∵S△ABC=18、S△A′EF=8，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=4，S△ABD=S△ABC=9，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2=，即（）2=，解得A′D=2（负值舍去），故选：B．由S△ABC=18、S△A′EF=8且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=4，S△ABD=S△ABC=9，根据△DA′E∽△DAB知（）2=，据此求解可得．本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．9.【答案】A【解析】解：∵∠O=2∠C，∵∠A+∠O=∠C+∠B，∴∠ACB=∠B-∠A=50°，故选：A．根据圆周角定理得到∠O=2∠C，由三角形的内角和得到∠A+∠O=∠C+∠B，代入数据即可得到结论．本题考查了圆周角定理，找到图中的圆心角和圆周角是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠AED=90°，∴∠BAC=45°，∠EAD=45°，∴∠CAE=180°-45°-45°=90°，即∠CAM=∠DEM=90°，∵∠CMA=∠DME，∴△CAM∽△DEM，故①正确；由已知：AC=AB，AD=AE，∴=，∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD，∴=，即=，即CD=BE，故②错误；∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴=，∴MP•MD=MA•ME，故③正确；由②MP•MD=MA•ME∠PMA=∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD=∠AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB，∴2CB2=CP•CM，故④正确；即正确的为：①③④，故选：C．（1）求出∠CAM=∠DEM=90°，根据相似三角形的判定推出即可；（2）求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC=AB代入，即可求出答案；（3）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（4）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形等知识点，在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．11.【答案】-15【解析】解：由已知，得，即=-．根据合分比定理[如果a：b=c：d那么（a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d））（b、d、a-b、c-d≠0）]来解答即可．本题主要考查的是合分比定理：一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比．这叫做比例中的合分比定理．解：∵方程x2+x-2018=0的解为x1、x2，这里a=1，b=1由根与系数的关系可得x1•x2=-=-1．故答案为：-1．直接利用根与系数的关系求解即可．本题考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=．13.【答案】24π【解析】解：∵圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，∴圆锥的侧面积=•8π•6=24π（cm2）．故答案为：24π．根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=•l•R，（l为弧长）．14.【答案】30【解析】解：设影长为20m的旗杆的高是xm，∵在相同时刻物高与影长成比例，高为1.5m的测杆的影长为1m，∴=，解得x=30（m）．故答案为：30．设影长为20m的旗杆的高是xm，再由同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．15.【答案】-1＜a＜3【解析】解：以A（1，0）为圆心，以2为半径的圆交x轴两点的坐标为（-1，0），（3，0），∵点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，∴-1＜a＜3．故答案为：-1＜a＜3．熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内”即可解答．本题考查了对点与圆的位置关系的判断的知识点，解答本题的关键是理解点B在以A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内的含义，本题比较简单．解：连接OC∵OA=OC∴∠DAC=∠OCA=26°∵∠DOC=∠DAC+∠OCA∴∠DOC=52°∵DC 是⊙O 的切线∴∠OCD=90°∵∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°∴∠ODC=38°故答案为38°由题意可得：∠DAC=∠OCA=26°，即∠DOC=52°，由切线的性质可得∠OCD=90°，根据三角形内角和定理可求∠ODC 的度数．本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．17.【答案】（16，0）【解析】解：∵点P 1，P 2的坐标分别为（0，-2），（-4，0），∴OP 1=2，OP 2=4，∵P 1P 2⊥P 2P 3，P 2P 3⊥P 3P 4，∴∠P 1P 2P 3=∠P 2P 3P 4=90°∴Rt △P 1OP 2∽Rt △P 2OP 3，∴=，即，解得，OP 3=8，∵Rt △P 2OP 3∽Rt △P 3OP 4，∴=，即，解得，OP 4=16，则点P 4的坐标为（16，0），故答案为：（16，0）．根据相似三角形的性质求出OP3的长，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案．本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18.【答案】1+123【解析】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE=∠EHF=90°，∵∠DEF=90°，∴∠EDG+∠DEG=90°=∠HEF+∠DEG，∴∠EDG=∠FEH，又∵EF=DE，∴△DEG≌△EFH（AAS），∴HF=EG，∵△ABC是等边三角形，AB=3，AE=AC，∴AE=2，CE=1，∠AEH=∠CEG=30°，∴CG=CE=，AP=AE=1，∴EG=CG=，∴HF=，∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF=1+，故答案为：1+．过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE=∠EHF=90°，依据△DEG≌△EFH（AAS），即可得到HF=EG，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF=1+．本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可得出点F的运动轨迹．19.【答案】（1）证明：∵△=[-（k+1）]2-4（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，∴方程有两个实数根；（2）解：x2-（k+1）x+2k-2=0，（x-2）（x-k+1）=0，解得x1=2，x2=k-1，当k-1=3时，△ABC是等腰三角形，则k=4；当k-1=2时，△ABC是等腰三角形，则k=3，所以k的值为4或3．【解析】（1）先计算出△=（k-3）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先求出方程的解为x1=2，x2=k-1，然后分类讨论：k-1=3或k-1=2时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程，三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．20.【答案】解：（1）（x-1）2=4，开方得：x-1=2或x-1=-2，∴x1=3，x2=-1；（2）3（x-2）2=x（x-2），3（x-2）2-x（x-2）=0，（x-2）[3（x-2）-x]=0，∴x-2=0或2x-6=0，∴x1=2，x2=3；（3）3x2-6x+1=0，x2-2x=-13，x2-2x+1=-13+1，即（x-1）2=23，则x-1=±63，∴x1=1+63，x2=1-63．【解析】（1）移项，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）把常数项移项、二次项系数化为1后，利用配方法求解即可．本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．21.【答案】解：（1）∵∠ABD=∠C，∠A=∠A（公共角），∴△ABD∽△ACB；（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，∴ADAB=ABAC，即46=64+CD，∴CD=5．【解析】（1）根据∠ABD=∠C，∠A=∠A，即可证得△ABD∽△ACB；（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性质得到=，代入数据即可得到结果．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22.【答案】解：（1）（2，6）；（2）5；（3）（3，6）；（4）如图，△A1B1C1即为所求:【解析】解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC 的外接圆的圆心，O′（2，6）．故答案为（2，6）．（2）连接CO′．CO′==，∴△ABC外接圆的半径是．故答案为．（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．观察图象可知M（3，6）故答案为（3，6）．（4）见答案.（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；（2）利用两点间距离公式计算即可；（3）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F 是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；（4）根据相似三角形的性质求出△A1B1C1的三边即可解决问题；本题属于圆综合题，考查三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】解：（1）∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10∵DE⊥AC，∠C=90°，∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴DEBC=ADAB∵DE=DB∴AB−ADBC=ADAB即10−AD6=AD10∴AD=254（2）如图2所示，作∠B的平分线BG，交AC于G，作BG的垂直平分线MN，交AB 于F，则点F即为所求．【解析】（1）由题意可证：△ADE∽△ABC，可得，即可求AD的长；（2）作∠B的平分线BG，交AC于G，作BG的垂直平分线MN，交AB于F，则点F即为所求．本题考查了作图-复杂作图，勾股定理，相似三角形，熟练运用相似三角形解决问题是本题的关键．24.【答案】解：（1）第二周的销售量为：400+100x=400+100x=400+100×2=600．总利润为：200×（10-6）+（8-6）×600+200（4-6）=1600．答：当单价降低2元时，第二周的销售量为600和售完这批面具的总利润1600；（2）由题意得出：200×（10-6）+（10-x-6）（400+100x）+（4-6）[（1000-200）-（400+100x）]=1300，整理得：x2-2x-3=0，解得：x1=3；x2=-1（舍去），∴10-3=7（元）．答：第二周的销售价格为7元．【解析】（1）第二周的销售量=400+100x．利润=售价-成本价；（2）根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．25.【答案】解：（1）连接CD，∵∠A=25°，∴∠B=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴∠DCE=40°∴DE的度数为40°；（2）延长AC交⊙C与点F，∵∠BCA=90°，BC=2，AC=6，∴AB=210=5，AE=6-2=4．∵AB与AF均是⊙C的割线，∴AD•AB=AE•AF，即210•AD=4×8，解得AD=1016，∴BD=AB-AD=210-1016=311016．【解析】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；（2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．本题考查了勾股定理，割线定理圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．26.【答案】解：（1）连接OM，过O作ON⊥AD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠MAO=∠NAO，∵⊙O与AB相切于点M，∴OM⊥AB，∴∠AMO=∠ANO=90°，在△AMO与△ANO中，∠MAO=∠NAO∠AMO=∠ANOAO=AO，∴△AMO≌△ANO（AAS），∴ON=OM，∴AD与⊙O相切；（2）延长MO交CD于H，延长NO交BC于G，∵AB∥CD，∴MH⊥CD，同理NG⊥BC，∴FG=CG，CH=EH，∴△OCF与△OCE是等腰直角三角形，∴∠EOF=180°，∵AB=2，∴MH=BC=AB=2+2，∵OC=OM=2OH，OM+OH=BC=AB=2+2，∴OH=2，OC=OM=2，∴图中阴影部分面积=12×22π-12×4×2=2π-4．【解析】（1）连接OM，过O作ON⊥AD于N，根据正方形的性质得到∠MAO=∠NAO，根据切线的性质得到OM⊥AB，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）延长MO交CD于H，延长NO交BC于G，根据平行线的性质得到MH⊥CD，同理NG⊥BC，推出△OCF与△OCE是等腰直角三角形，解方程得到OH=，OC=OM=2，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆和三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵AQ⊥AC，∠ACB=90°，∴AQ∥BC，∴AQBC=APBP，∵BC=6，AC=8，∴AB=10，∵AQ=x，AP=y，∴x6=y10−y，∴y=10xx+6(x＞0)；（2）∵∠ACB=90°，而∠PAQ与∠PQA都是锐角，∴要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，即CQ⊥AB，此时△ABC∽△QAC，∴ABAQ=BCAC则10AQ=68，∴AQ=403．故存在点Q，使△ABC∽△QAP，此时AQ=403；（3）∵点C必在⊙Q外部，∴此时点C到⊙Q上点的距离的最小值为CQ-DQ．设AQ=x．①当点Q在线段AD上时，QD=6-x，QC=6-x+8=14-x，∴x2+82=（14-x）2，解得：x=337，即⊙Q的半径为97．②当点Q在线段AD延长线上时，QD=x-6，QC=x-6+8=x+2，∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙Q的半径为9．∴⊙Q的半径为9或97．【解析】（1）先由平行线分线段成比例得出，代值即可得出结论；（2）先判断出要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，进而由相似得出比例式即可得出结论；（3）分点C在⊙O内部和外部两种情况，用勾股定理建立方程求解即可．此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，极值问题，勾股定理，解本题的关键是判断出CQ⊥AB，分点C在圆内和圆外两种情况．28.【答案】解：（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，如图1AQ=AD=6，∴t=6÷1=6（秒）；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，如图2由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，P、Q的速度均为每秒1个单位长度，知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，∴QE∥AD，∵点E是AB的中点，∴此时点Q是CD的中点，可求：AD+DQ=6+3=9，所以t=9÷1=9（秒）；（2）如图3当0＜t≤3时，由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，可求：∠PAG=30°，∵∠APQ=60°，∴∠AGP=90°，由AP=t，可求：PG=12t，AG=32t，∴S=12PG×AG=38t2；当3＜t≤6时，如图4AE=3，AP=t，∴PE=t-3，过点C作AB的垂线，垂足为H，由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，可求：CH=33，BH=3，EH=6，tan∠KEB=32，过点K作KM⊥AB，作CN∥PK交AB的延长线于N，∵△EKP∽△ECN，可得EMCH=EBEN，可求KM=3(t−3)3，∴S△PEK=3(t−3)26，可求∠QAG=30°，又∠AQG=60°，AQ=t，可求∠AGQ=90°，DG=12t，GQ=32t，∴S△AGQ=38t2，等边三角形APD的面积为：3t24∴S=3t24-38t2-3(t−3)26=−324t2+3t−332，当6＜t≤9时如图5与前同理可求：S△FQP=93，S△GQN=3(12−t)28，S△KEP=3(t−3)26，∴S=93-3(12−t)28-3(t−3)26=−7324t2+43t−2132，当9＜t≤12时，如图6求出：S△PQF=93，S△QGH=38(12−t)2S△NEP=36(t−3)2S△KEF=314(t−9)2，∴S=S△PQF-S△QGH-S△NEP+S△KEF=93-38(12−t)2-36(t−3)2+314(t−9)2=5324t2−53t+303；（3）逆时针旋转：①α=150°，如图7此时，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°，可证△ACD∽△APM，∴ADAM=ACAP，易求AP=12，AC=63，AD=6，解得：AM=43，所以，CM=23；②α=105°，如图8此时，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，∴AM=AP=12，在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，可求AC=63，所以，CM=12=63；③α=60°，如图9此时，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，∴BC∥PM，由AB=BP=6可得，CM=AC=63所以：CM=63；④α=15°，如图10此时，易求∠APM=∠M=15°，∴AM=AP=12，所以：CM=AM+AC，CM=12+63．【解析】（1）根据题意求出运动的距离，再除以速度即可求出时间；（2）分当0＜t≤3时，当3＜t≤6时，当6＜t≤9时，当9＜t≤12时，四种情况，分别求出重叠部分面积即可；（3）分交点都在BC左侧，顶角为120°，交点都在BC右侧时，顶角可能为30°和120°；交点在BC两侧时，顶角为150°进行讨论求解即可．此题主要考察四边形动点综合问题，会分析运动情况，用定点研究动点问题，会用变量表示图形面积，会针对等腰三角形进行分类讨论是解题的关键．。
江阴市华西实验学校()九年级上册期中试卷检测题
江阴市华西实验学校()九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D，（1）点C的坐标为；（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2−4m（m＞8）即可；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动．如果 P、 Q分别从 A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．（1）当 t 为何值时，△PBQ的面积等于 35cm2？（2）当 t 为何值时，PQ的长度等2cm？（3）若点 P，Q的速度保持不变，点 P在到达点 B后返回点 A，点 Q在到达点 C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 t为何值时，△PCQ的面积等于 32cm2？【答案】（1）t为5或7；（2）t为45或4；（3）t为4或16【解析】【分析】（1）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用面积公式列方程求解即可．（2）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用勾股定理列方程求解即可．（3）分段要清楚，，P，Q都没有返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程即可得到答案．【详解】解：（1），.根据三角形的面积公式，得，即，整理，得，解得，.故当为5或7时，的面积等于35.（2）根据勾股定理，得，整理，得，解得，.故当为或4时，的长度等于.（3）①当时，，，由题意，得，解得：，（舍去）.②当时，，，由题意，得，次方程无解.③当时，，，由题意，得，解得：（舍去），.综上所述，当为4或16时，的面积等于.【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间界点，才能正确的表示PB，CQ的长．3．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6aa -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣66a -是负整数，即66a -是正整数． ∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．4．如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+a=0的两个实数根． （1）求弦AB 的长度； （2）计算S △AOB ；（3）⊙O 上一动点P 从A 点出发，沿逆时针方向运动一周，当S △POA =S △AOB 时，求P 点所经过的弧长（不考虑点P 与点B 重合的情形）．【答案】（1）AB=2；（2）S △AOB 33）当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π． 【解析】试题分析：（1）OA 和AB 的长度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度；（2）作出△AOB 的高OC ，然后求出OC 的长度即可求出面积； （3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等． 试题解析：（1）由题意知：OA 和AB 的长度是x 2﹣4x+a=0的两个实数根， ∴OA+AB=﹣41-=4， ∵OA=2， ∴AB=2；（2）过点C 作OC⊥AB 于点C ，∵OA=AB=OB=2，∴△AOB 是等边三角形，∴AC=12AB=1， 在Rt△ACO 中，由勾股定理可得：3△AOB =12AB ﹒OC=1233； （3）延长AO 交⊙O 于点D ，由于△AOB 与△POA 有公共边OA ， 当S △POA =S △AOB 时，∴△AOB 与△POA 高相等，由（2）可知：等边△AOB 3P 到直线OA 3，这样点共有3个 ①过点B 作BP 1∥OA 交⊙O 于点P 1，∴∠BOP 1=60°， ∴此时点P 经过的弧长为：1202180π⨯=43π， ②作点P 2，使得P 1与P 2关于直线OA 对称，∴∠P 2OD=60°， ∴此时点P 经过的弧长为：2402180π⨯=83π， ③作点P 3，使得B 与P 3关于直线OA 对称，∴∠P 3OP 2=60°， ∴此时P 经过的弧长为：3002180π⨯ =103π， 综上所述：当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识．涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，能综合运用所学知识，选择恰当的方法进行解题是关键．5．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）2cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．（1）当y0＝﹣1时，求m的值．（2）求y0的最大值．（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是．（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）51或﹣1；（2）14；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞43或23≤m＜1【解析】【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝512+或512-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m 51+或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1，综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．7．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】 【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩，∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2 当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：或m=2．综上所述：m=2-或m=2+或m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-， 当x=2时，有最大值，最大值y=72． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣12c ，∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤，∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9．如图，若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y ＝x ﹣3经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 于点M ，连接PC ．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94即可求解；②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：9303b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：32 cb=-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94，∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝32时，PM最大值为：94；②存在，理由：PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；MC2＝（x﹣3+3）2+x2；（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，解得：x＝0或2（舍去0），故x＝2，故点P（2，﹣3）；（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2， 解得：x ＝0或3±2（舍去0和3+2）， 故x ＝3﹣2，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣42， 故点P （3﹣2，2﹣42）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．10．如图，已知抛物2(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12x =． (1)求抛物线的解析式；(2) 在x 轴上方有一点P ， 连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠， 记PBC ∆的面积为S ， 求当10.5S =时点P 的坐标(3)在(2)的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的10.5S =时点P 的坐标；直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点(C '在B '的左侧)，若以点,,C B P ''为顶点的三角形是直角三角形，求出t 的值．【答案】（1）211322y x x =--（2）(2,6)（3）19或32 【解析】 【分析】（1）确定点A 的坐标，再进行待定系数法即可得出结论；（2）确定直线AP 的解析式，用m 表示点P 的坐标，由面积关系求S 和m 的函数关系式即可求解；（3）先确定点P 的坐标，当'''90B PC ∠=，利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标，利用''2B C PE =建立方程求解，当''''90PC B ∠=时，确定点G 的坐标，进而求出直线''C G 的解析式，得出点''C 的坐标即可得出结论． 【详解】（1）∵OC OB =，且B 点坐标为(3,0)， ∴C 点坐标为(0,3)-．设抛物线解析式为21()2y a x k =-+．将B 、C 两点坐标代入得2504134a k a k ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得12258a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴抛物线解析式为22112511()-322822y x x x =-=--． （2）如图1，设AP 与y 轴交于点'C ．∵PAB CAB ∠=∠，OA OA =，90AOC AOC ∠'=∠=︒， ∴AOC ∆≌AOC ∆'， ∴3OC OC ='=， ∴(0,3)C '． ∵对称轴l 为直线12x =， ∴(2,0)A -， ∴直线AP 解析式为332y x =+， ∵(3,0)B ，(0,-3)C ， ∴直线BC 解析式为-3y x =， ∴313(3)622PF x x x =+--=+， ∴13924PBC S OB PF x ∆=⨯⨯=+， ∵10.5S =，∴3910.54x +=， ∴2x =．此时P 点的坐标为(2,6)．（3）如图2，由211-322332y x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得6,12P （），当90C PB ∠=''︒时，取''B C 的中点E ，连接PE ． 则2B C PE ''=,即224B C PE =''． 设1122(,),(,)B x y C x y ''．由211-322y x x y x t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得23(26)0x x t --+=， ∴12123,(26)x x x x t +==-+， ∴点33(,)22E t +， 222221212121212()()2()2()41666B C x x y y x x x x x x t ⎡⎤=-+-=-+-=+⎣=⎦''，222233261(6)(1221222PE t t t =-+-=-+），∴226116664(21)2t t t +=-+， 解得：19t =或6（舍去），当90PC B ''''∠=︒时，延长C P ''交BC 于H ，交x 轴于G ． 则90,45BHG PGO ∠=︒∠=︒，过点P 作PG x ⊥轴于点Q ，则12GQ PQ ==， ∴(18,0)G ，∴直线C G ''的解析式为18y x =-+，由211-322-18y x xy x⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得725xy=-⎧⎨=⎩或612xy=⎧⎨=⎩（舍去），∴(7,25)C'-'，将(7,25)C'-'代入y x t=+中得32t=．综上所述，t的值为19或32．【点睛】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；【详解】解：（1）证明：如图：∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴△FCB和△BEF都为直角三角形．∵点P是BF的中点，∴CP＝12BF，EP＝12BF，∴PC＝PE．（2）PC＝PE理由如下：如图2，延长CP，EF交于点H，∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴EH//CB，∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，∵点P是BF的中点，∴PF＝PB，∴△CBP≌△HFP(AAS)，∴PC＝PH，∵∠AEF＝90°，∴在Rt△CEH中，EP＝12CH，∴PC＝PE．（3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，在△DAF和△EAF中，DAF,,,EAF FDA FEA AF AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAF≌△EAF(AAS)，∴AD＝AE，在△DAP≌△EAP中，,,,AD AEDAP EAP AP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAP≌△EAP (SAS)，∴PD＝PF，∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，∴FD//BC//PM，∴DM FPMC PB=，∵点P是BF的中点，∴DM＝MC，又∵PM⊥AC，∴PC＝PD，又∵PD＝PE，∴PC＝PE．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．12．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时①证明：△BFC是等腰三角形；②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.【解析】【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=12BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC ，又∵BG=ED ，DE=DA ，∴BG=AD ，又∵BC=AC ， ∴△BCG ≌△ACD （SAS ），∴GC=DC ，∠BCG=∠ACD ， ∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG 是等腰直角三角形，又∵F 是DG 的中点，∴CF ⊥DF 且CF=DF ．点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．13．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
江苏省江阴市要塞片九年级数学上学期期中试题 苏科版-苏科版初中九年级全册数学试题
ABOD C 第8题图第9题图 第10题图某某省江阴市要塞片2017届九年级数学上学期期中试题考试用时： 120分钟 满分：130分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2-的绝对值是（ ▲ ） A ．2-B ．2C ．21-D ．212．下列计算正确的是 （ ▲ ）A. 21a a -=B. 2242a a a +=C. 235a a a ⋅=D. 222()a b a b -=-3．已知x ＝2是关于x 的一元二次方程x 2－x －2a ＝0的一个解，则a 的值为（ ▲ ） A ．0 B ．－1 C ． 1 D ． 24．将161000用科学记数法表示为（ ▲ ）A ．0.161×106B ．1.61×105C ．16.1×104D ．161×1035．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x 2－6x +8=0的一个根，则这个三角形的周长为 （ ▲ ）A ．11B ．12C ．11或 13D ． 136．初三（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为（ ▲ ） A ．16，16 B ．10，16 C ．8，8 D ．8，167．已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的侧面积是（ ▲ ）A ．20 cmB ．20πcm 2C ．40πcm 2D ．40cm 28．如图，点D 是△ABC 的边AC 的上一点，且∠ABD ＝∠C ；如果CD AD ＝31，那么BC BD= （ ▲ ）ABCD A ′B ′E第18题图EDCBA第14题图第15题图A ．21B ．31C ．41D ．439．如图，已知⊙O 的半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB ＝16cm ，CD ＝6cm ，则⊙O 的半径为（ ▲）A ．253cmB ．10cmC ．8 cmD ．193cm10．如图，Rt △ABC 中，AC BC ⊥，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AD ⊥交AB 于点E ，M 为AE 的中点，BF⊥BC 交CM 的延长线于点F ，BD=4，CD=3．下列结论①AED ADC ∠=∠；②34DE DA =；③AC BE 12⋅=；④3BF 4AC =；其中结论正确的个数有（ ▲ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．因式分解：a a 32-=____▲____． 12．函数21-=x y 中，自变量x 的取值X 围是____▲____．13．已知1x 、2x 是一元二次方程0232=--x x 的两根，则21x x +=____▲____．14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝1，AB ＝3，DE ＝2，则BC ＝____▲____．15．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，点C 为圆上异于A 、B 的一点，∠OAB=25°，则∠ACB=____▲____． 16．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为____▲____.17．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为____▲____.18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE=____▲____．（三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心）三、解答题（本大题共10小题，共84分） 19．（本题满分6分）解方程：（1）022=+x x （2）0342=+-x x20．（本题满分8分）已知关于x 的一元二次方程0132=-++m x x 有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值X 围；（2）若m 为负．整数．．，求此时方程的根．21．（本题满分6分）某市中小学全面开展“体艺2＋1”活动，某校根据学校实际，决定开设A ：篮球，B ：乒乓球，C ：声乐，D ：健美操等四中活动项目，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有____▲____人． (2)请你将统计图1补充完整．(3)统计图2中D 项目对应的扇形的圆心角是____▲____度．B CA DMN AB CDEF (4)已知该校学生2400人，请根据调查结果估计该校最喜欢乒乓球的学生人数．22．（本题满分8分）如图矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ． （1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB =6，AD =12 ，BE =8，求DF 的长．23．（本题满分8分）如图，已知AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．过点C 作∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，与BN 交于点N ．（1）求证：△ABC ≌△DCB ； （2）求证：四边形BNCM 是菱形．OBCDAE24．（本题满分8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，过点A 作AE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E ，DA 平分∠BDE ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）已知AE ＝4cm ，CD ＝6cm ，求⊙O 的半径．25．（本题满分10分）某大型水果超市销售某某水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x (元/箱)与销售量y (箱)有如下表关系：每箱售价x (元) 68 67 66 65 …… 40 每天销量y (箱)40455055……180已知y 与x 之间的函数关系是一次函数． （1）求y 与x 的函数解析式；（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%(m<100)，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m 的值.26．（本题满分10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥A C．（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值X围；（2）是否存在点Q ，使△PAQ 与△ABC 相似，若存在，求AQ 的长；若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥AQ ，垂足为D ．将以点Q 为圆心，QD 为半径的圆记为⊙Q ．若点C 到⊙Q 上点的距离的最小值为8，求⊙Q 的半径．27．（本题满分10分）如果一个三角形的三边a ，b ，c 能满足222nc b a =+（n 为正整数），那么这个三角形叫做“n 阶三角形”．如三边分别为1、2、5的三角形满足()2225121⨯=+ ，所以它是1阶三角形，但同时也满足()2221925⨯=+，所以它也是9阶三角形．显然，等边三角形是2阶三角形，但2阶三角形不一定是等边三角形．（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是3阶三角形？（2）若三边分别是a ，b ，c （a ＜b ＜c ）的直角三角形是一个2阶三角形，求a ：b ：c ．（3）如图1，直角△ABC 是2阶三角形，AC ＜BC ＜AB ，三条中线BD 、AE 、CF 所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：A 同学：是2阶三角形但不是直角三角形；B 同学：是直角三角形但不是2阶三角形；C 同学：既是2阶三角形又是直角三角形；D 同学：既不是2阶三角形也不是直角三角形． 请你判断哪位同学猜想正确，并证明你的判断．（4）如图2，矩形OACB 中，O 为坐标原点，A 在y 轴上，B 在x 轴上，C 点坐标是（2，1），反比例函数()0>=k x ky 的图象与直线AC 、直线BC 交于点E 、D ，若△ODE 是5阶三角形，直接写出所有可能的k 的值．CB AQ PA DBC图1图228．（本题满分10分）已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，连接AC、EC．点Q从点A 出发，沿折线A—D—C运动，同时点P从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF恰好经过点E时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值X围；（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α ° (0<α<360°)，直线PF 分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α ，使△CMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．（图1）BCDQP E （F）DBCQP PQF（图2）参考答案：1.B2.C3.C4.B5.D6.D7.B8.A9.A 10.C11.()3-a a 12.2≠x 13.3 14.6 15.65°16.10% 17.6cm 18.4:319. （1）2,021-==x x （2）3,121==x x20. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根,∴94(1)m ∆=--450m =+>，即54m >-.------------ 4分（2）∵m 为负整数，∴1m =-. ∴方程为2320x x ++=，即(1)(2)0x x ++=.解得2,121-=-=x x -------------------8分21.（1）200；---------------------------------1分（2）根据喜欢C 音乐的人数＝200－20－80－40＝60，故C 对应60人，如图所示：-----------2分（3）72；--------------------------4分(4)根据样本中最喜欢乒乓球的学生人数为80人，故该校学生2400人中最喜欢乒乓球的学生人数为：×2400＝960人．答：该校最喜欢乒乓球的学生人数大约为960人．---------------------6分22. 解：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠B=90°， ∴∠AEB=∠DAE，∵DF⊥AE, ∴∠ADF=∠EAB,∴△ABE∽△DFA； ---------------------------------4分（2）∵AB=6，BE=8，∴由勾股定理得AE=10，∵△ABE∽△DFA；∴DF AD AB AE =即：DF 12610=，∴DF=536。
2022-2023学年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期中试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 23x y +=321x x -=15y x =＋236x x -=【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：A 、方程是二元一次方程，故选项错误，不符合题意；23x y +=B 、方程是一元三次方程，故选项错误，不符合题意；321x x -=C 、方程是分式方程，故选项错误，不符合题意； 15y x=＋D 、方程是一元二次方程，故选项正确，符合题意．236x x -=故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．2. 一元二次方程的根的情况是（ ）2410x x --=A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】先计算再作判断即可．()()24411164200,=--⨯⨯-=+= ＞【详解】解：∵，2410x x --=∴()()24411164200,=--⨯⨯-=+= ＞∴原方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“ 一元二次方程有两个不相0, ＞等是实数根”是解本题的关键．3. 一元二次方程配方后可化为（ ）2410x x ++= A.B.2(2)5x -=2(2)3x +=C.D. 2(2)5x +=2(2)3x -=【答案】B【解析】【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：， 2410x x ++= ，241x x ∴+=-则，即，24414x x ++=-+2(2)3x +=故答案为：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤-是解决问题的关键．4. 某县2016年的GDP 是250亿元，要使2018年的GDP 达到360亿元，求这两年该县GDP 年平均增长率．设年平均增长率为x ，可列方程为（ ）A. 250（1＋2x ）2＝360B. 250（1＋2x ）＝360C. 250（1＋x ）（1＋2x ）＝360D. 250（1＋x ）2＝360【答案】D【解析】【分析】2018年的GDP360＝2016年的GDP250×（1＋年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】2017年的GDP 为250×（1＋x ），2018年的GDP 为250×（1＋x ）（1＋x ）＝250×（1＋x ）2，即所列的方程为250（1＋x ）2＝360，故选D ．【点睛】此题考查列一元二次方程解决实际问题；得到2018年GDP 的等量关系是解决本题的关键．5. 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与的位置关系是 O O ()A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l 与O 的位置关系是相交．【详解】∵⊙O 的半径为5，圆心O 到直线的距离为3，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交．故选A ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．6. 若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ） A. B. C. D.12ππ3π23π【答案】B【解析】【分析】根据弧长与圆心角，半径的公式代入数值求解即可． 【详解】∵圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，∴弧长， 603180ππ⨯==故选：B ．【点睛】本题主要考查的是胡长公式，熟练掌握弧长的计算公式是解答本题的关键．7. 下列语句中正确的是（ ）A. 三点确定一个圆B. 在半径为2的⊙O 中，长度为的弦所对的圆周角为60°C. 直径所对的圆周角是直角D. 三角形的外心到三角形各边的距离相等【答案】C【解析】【分析】由圆的确定方法可判断A ，由圆的弦所对的圆周角有两个，可判断B ，由圆周角定理的含义可判断C ，由三角形的外心的性质可判断D ，从而可得答案．【详解】解：A.不在同一直线上的三点确定一个圆，故A 不符合题意；B.如图， 过作于 作所对的两个圆周角， 2,OB OC BC ===O OD BC ⊥,D BC∴ BD CD ==∴ sin 60,BOD BOD ∠=∠=︒∴ 12120,60,120,2BOC BOD BEC BOC BFC ∠=∠=︒∠=∠=︒∠=︒在半径为2的⊙O 中，长度为，故B 不符合题意；60︒C.直径所对的圆周角是直角，表述正确，故C 符合题意；D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆的确定，弦所对的圆周角的大小，圆周角定理的含义，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 8. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b ＝3cm ，则螺帽边长a 等于（ ）C. 2cm cm【答案】A【解析】 【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a ，根据等腰三角形的性质，可得CD 的长，根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理，可得答案．【详解】解：如图，连接AC ，过点B 作BD⊥AC 于D ，由正六边形，得∠ABC＝120°，AB ＝BC ＝a ，∴∠BCD＝∠BAC＝30°，由AC ＝3，得CD ＝1.5，Rt△ABD 中，∵∠BAD＝30°， ∴BD＝AB ＝a ，1212，＝1.5，（cm ），故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，又利用了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形．9. 如图，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 、AB 是⊙O 的两条弦，且CD AB ，若⊙O 的半径为∥5，AB ＝6，则弦AC 的长为 （ ）C. 3【答案】D【解析】 【分析】连接并延长交于点E ，连接，先根据切线的性质得到，则CO AB OA OC CE ⊥利用平行线的性质得到，再根据垂径定理得到垂径定理得，然CE AB ⊥132AE AB ==后利用勾股定理先计算出，再计算的长．OE AC 【详解】解：如图：连接并延长交于点E ，连接，CO AB OA ∵是圆O 的切线，CD ∴，OC CE ⊥∵，AB CD ∴，CE AB ⊥∴， 132AE AB ==在中，RT AOE，4OE ===∴，549CE OC OE =+=+=在中，RT ACE △．AC ===故答案为：D ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．10. 欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程根的图形解法：如图，在⊙O 中，为直径，⊙O 的切线与的延22490x nx m +-=CD CD 长线交于点B ，切点为A ，连接，使，，则该方程的一个正根是AC 3AB m =4CD n =（ ）A. 的长度B. 的长度C. 的长度D. 的BD BO BC AC 长度【答案】A【解析】 【分析】先根据题意得到，，再由勾股定理得到2OD AO n ==AB OA ⊥，由和得到等式222AO AB OB +=3AB m =22490x nx m +-=2224x nx OB AO =-+，然后逆用完全平方公式求解即可．【详解】解：∵，4CD n =∴，2OD AO n ==∵⊙O 的切线与的延长线交于点B ，切点为A ，CD ∴，AB OA ⊥即，222AO AB OB +=∵，22490x nx m +-=∴，2249x nx m +=即，224x nx AB +=∴，2224x nx OB AO =-+∴，()()()4O x x n OB OB AO A +-+=∴，()()()4O x x n BD DO BD D AO O A +++-+=∴，()()44x x n BD n BD +=+⋅∴，x BD =故选A ．【点睛】本题考查了切线的定理，勾股定理，逆用完全平方公式，求出是解题的关键．()()()4O x x n OB OB AO A +-+=二、填空题（本大题共8小题，每题3分，其中第18题第1空1分，第2空2分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11. 写出一个根是1，另一个根不是1的一元二次方程：______．（写出一个方程即可）【答案】（答案不唯一）2320x x -+=【解析】【分析】根据因式分解法写出方程即可．【详解】解：设另外一个根为2，根据题意得，(1)(2)0x x --=∴，2320x x -+=故答案为：（答案不唯一）．2320x x -+=【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义．12. 已知关于x 的一元二次方程有一个根为1，则k 的值是________．230x kx +-=【答案】2【解析】【分析】将x=1代入一元二次方程x 2+kx-3=0，即可求得k 的值，本题得以解决．【详解】解：∵一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，∴12+k×1-3=0，解得，k=2，故答案为：2．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出k 的值．13. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长29180x x -+=为 ．【答案】15【解析】【详解】解：，29180x x -+=解得x 1=3，x 2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15． 故答案是：15．14. 已知圆锥的母线长为4cm ，底面圆的半径为3cm ，则此圆锥的侧面积是_____cm 2．【答案】12π【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．【详解】解：圆锥的侧面积（cm 2）． 12π3412π2=⨯⨯⨯=故答案为:12π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15. 如图，已知 是的外接圆，是的直径，若，则O ABC AD O 65C =︒∠BAD ∠的度数是____°．【答案】25【解析】【分析】根据是的直径可得，根据圆周角定理可得AD O 90ABD Ð=°，即可求得的度数．65BDA BCA ∠=∠=︒BAD ∠【详解】解：如下图所示，连接， BD∵是直径，AD ∴，90ABD Ð=°∵，65BDA BCA ∠=∠=︒∴，906525BAD ∠=︒-︒=︒故答案为：．25【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．16. 已知△ABC 的面积是54cm 2，周长是36cm ，则△ABC 的内切圆半径是______cm ．【答案】3【解析】【分析】根据三角形内切圆的性质可得，即可根据三角形()12ABC S r AB AC BC =⨯++V 的面积和周长即可计算出半径．【详解】解：设圆的半径为， r∵， ()12ABC S r AB AC BC =⨯++V ∴， 154362r =⨯∴cm ，3r =故答案为：3．【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识．17. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点A ，与轴交于点，连接Q y x ,B C BQ 并延长交于点D ，交y 轴于点E ，连接并延长交x 轴于点F ，已知点D 的坐标为Q DA ，且点A 是的中点，则点B 的坐标为______．()1,6DF【答案】()9,0【解析】【分析】由中点坐标含义先求解 连接证明 设再利用()0,3,A ,AB 90,DAB ∠=︒(),0,B m 勾股定理建立方程，再解方程即可．【详解】解：连接 为的中点，,AB ()1,6,0,0,A F D x y A ==DF∴ 设()0,3,A (),0,B m ∵为直径，BD ∴90,DAB ∠=︒∴222,AD AB BD +=∴()()()()22222231063106,x x ++-+-=-+-解得：9.x =∴的坐标为：B ()9,0.故答案为：()9,0.【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，坐标与图形，勾股定理的应用，熟练的利用圆周角定理建立直角三角形是解本题的关键．18. 如图，是的直径，点是的中点，点是直径所在直线下方一点，AB O C AB D AB连接，且满足，， ，则的面积为______；CD 60ADB ∠=︒2BD =AD =ABD △的长为______． CD【答案】 ①.②. 92【解析】 【分析】设交于点，连接，根据含30度角的直角三角形的性质，求得AD O E BE BE ，继而求得的面积，延长交于点，过点作交的延长ABD △DB O F C CG DB ⊥DB 线于，连接，过点作，连接，，根据等面积法求得G AF C CH AF ⊥,OA AC CB AF ，证明四边形是正方形，证明，设，进而根据CHFG Rt Rt AHC BGC ≌CH a =得出,求得的值，在在中，勾股定理即可求AH BG =922a a -=+a Rt CGD △解．【详解】解：如图，设交于点，连接AD O E BE∵是的直径，AB O ∴，BE AD ⊥∵，60ADB ∠=︒2BD AD ==，∴，30EBD ∠=︒∴， 112DE BD ==∴，BE ==∴，BE =∵，AD =∴； 119222ABD AD BE S =⨯=⨯= 延长交于点，过点作交的延长线于，连接，过点DB O F C CG DB ⊥DB G AF C 作，连接，，CH AF ⊥,OA AC CB∵是的直径，AB O ∴，90AFB ∠=︒∴，90HFG G CHF ∠=∠=∠=︒∴四边形是矩形，CHFG ∵点C 是的中点，AB∴，，是等腰直角三角形， 1452AFC AOC ∠=∠=︒AC BC =ABC ∴是等腰直角三角形，HCF ∴四边形是正方形，CHFG ∵，，60ADB ∠=︒90AFB ∠=︒∴，30FAD ∠=︒∴，12DF AD ==∴，92AF ==∵, 2FB FD DB =-=设， CH a =∴,HF FG CG a ===∴， 92AH a =-∵,，,AC BC CH CG ==90G AHC ∠=∠=︒∴，Rt Rt AHC BGC ≌∴，AH BG =∴，922BF FG BG AH a a +===-=-+解得，a =∴CG GD FG DF ==+==在中， Rt CGD△CD === ==故答案为：． 92【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 解方程：（1）；2(2)4x -=（2）x 2－4x －1＝0．【答案】（1），14x =20x =（2）12x =+22x =-【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可；（2）根据配方法解方程即可．【小问1详解】解：∵，2(2)4x -=∴，22x -=±∴，；14x =20x =【小问2详解】解：，2410x x --=∴，244410x x -+--=∴，2445x x +=-∴，()225x -=∴2x -=∴，12x =+22x =【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，包括配方法、直接开平方法等．20. 已知，求的值． 26430x x --=22(1)29x x -+-【答案】 132-【解析】 【分析】先化简代数式，再将一元二次方程进行变形，再代入化简后的代数式中，即可得．【详解】解：， 22222(1)292129328x x x x x x x -+-=-++-=--∵26430x x --=2643x x -=∴， 23322x x -=将代入中， 23322x x -=2328x x --， 2313328822x x --=-=-即． 2213(1)292x x -+-=-【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是正确化简代数式，正确变形一元二次方程．21. 已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根． ()222110x m x m ++++=（1）求实数m 的取值范围；（2）设a 、b 是该方程的两个实数根，且满足，求实数m 的值．a b a b +=- 【答案】（1）； 34＞m （2）．2m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知根的判别式大于0，求出m 的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出与的值，代入进行计算即可．a b +a b a b a b +=- 【小问1详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ()222110x m x m ++++=∴，解得：． ()()22=21410＞m m ∆+-+34＞m 【小问2详解】解：由题意可知：，，()21a b m +=-+2=1a b m + ∵，a b a b +=- ∴， ()()221=1m m -+-+解得：或，0m =2m =∵， 34＞m ∴．2m =【点睛】本题考查根的判别式以及根与系数的关系，熟知，是一元二次方程1x 2x 的两根时，，是解答此题的关键． 20(0)ax bx c a ++=≠12b x x a -+=12c x x a=22. 如图，四边形内接于，为的直径，平分．ABCD O AC O DB ADC ∠（1）试判断的形状，并给出证明；ABC（2）若，求的长度．AB =1AD =CD 【答案】（1）为等腰直角三角形，理由见解析；ABC（2【解析】【分析】（1）为等腰直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角证明ABC 90ABC ∠=︒，再利用得到，即可证明为等腰直角三角形； ADB CDB ∠=∠AB BC =ABC（2）利用勾股定理求出AC ==．CD ==【小问1详解】解：为等腰直角三角形，ABC 理由：∵为的直径，AC O ∴，90ABC ∠=︒∵平分，DB ADC ∠∴，ADB CDB ∠=∠∴，AB BC =∴为等腰直角三角形．ABC 【小问2详解】解：∵为的直径，AC O ∴，90ABC ADC ∠=∠=︒∵为等腰直角三角形，且，ABC AB =∴由勾股定理可得：， AC ==∵，1AD =∴．CD ==【点睛】本题考查直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定，勾股定理，等弧对等角，熟练掌握以上相关知识是解题关键．23. 如图，已知为 的直径，CD 是的弦，、的延长线交于点E ，且AB O O AB CD ．2AB DE =（1）若，求的度数；25E ∠=︒AOC ∠（2）若的度数是的度数的m 倍，则m ＝ ． AC BD【答案】（1）75︒（2）3【解析】【分析】（1）根据得到，根据等腰三角形底角相等得2AB OD =OD DE =，再根据三角形的外角定理得到，从而得到25ODB DEB ∠=∠=︒ODC ∠50OCD ∠=︒，再通过三角形外角定理即可得到的度数．AOC ∠（2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案．【小问1详解】解：如下图所示，连接， OD由题意得，2AB OD =∵，2AB DE =∴，OD DE =∴，25ODB DEB ∠=∠=︒∵，OC OD =∴，OCD ODC ∠=∠∵,50ODC ODE DEO ∠=∠+∠=︒∴，50OCD ∠=︒∵,502575AOC OCE CEO ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴；75AOC ∠=︒【小问2详解】解：∵对应的圆心角，对应的圆心角， AC 75AOC ∠=︒ BD25BOD ∠=︒∴． 75325AOC m BOD ∠︒===∠︒【点睛】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理．24. 如图，是 为直径，点D 是上一点，过点A 的切线与弦的延长线交于AB O O BD 点C ，过点D 的直线与线段交于点E ，且．AC DE CE =（1）猜想直线与的位置关系，并证明；DE O （2）若的半径是3，，求阴影部分的面积．O 30B ∠=︒【答案】（1）是的切线，证明见详解DE O（2） 32π-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，根据切ECD EDC ∠=∠ODB OBD ∠=∠线的性质得到，根据对顶角相等通过等量代换得到90ECD OBD ∠+∠=︒，最后推算出，从而得到，即可证得ECD FDB ∠=∠90FDB ODB ∠+∠=︒OD DE ⊥是的切线；DE O （2）先根据圆周角定理得到，再根据得到60AOD ∠=︒AOE EOD V V ≌30AOE ∠=︒，根据勾股定理计算出直角三角形的边长，计算出三角形的面积，从而得到，再计算出扇形的面积，即可得到阴影部分的面2AEO AEDO S S AE AO ==⨯=V 四边形积．【小问1详解】解：是的切线，DE O 如下图所示，连接，射线为OD DF∵是的切线，AC O ∴，90CAB ∠=︒∴90ECD OBD ∠+∠=︒∵，DE CE =OD OB =∴，ECD EDC ∠=∠ODB OBD ∠=∠∵，EDC FDB ∠=∠∴，ECD FDB ∠=∠∵，90ECD OBD ∠+∠=︒∴，90FDB ODB ∠+∠=︒∴，OD DE ⊥∴是的切线；DE O 【小问2详解】解：如下图所示，连接、，OE OD∵，30B ∠=︒∴，60AOD ∠=︒∵、是的切线， AE DE O∴，90EAO ODE ∠=∠=︒∵ ， OD AO OE OE =⎧⎨=⎩∴，AOE EOD V V ≌∴,30AOE EOD ∠=∠=︒∴，2EO AE =∴,2224EO AO EO +=∵,3AO =∴,EO =∴,2AEO AEDO S S AE AO ==⨯=V 四边形∵， 26033602S r ππ︒==︒扇∴阴影部分的面积为：． 32π【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是数量掌握圆的切线定理和圆周角定理．25. 如图1，平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）．（1）用无刻度的直尺和圆规作出过A 、B 、C 三点的⊙P，求圆心P 的坐标；（2）如图2，若过A 、B 两点的⊙M 恰好与直线l ：相切，请直接写出圆心M 的坐y x =-标： ．【答案】（1）画图见解析，圆心P 的坐标为 314,8⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）或(4,4(4,4+【解析】【分析】（1）作出AB 和AC 的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P ，（2）设⊙M 与直线l ：相切相切与点N ，连接AM ，MN ，根据题意表示出MN 的表达y x =-式，进而得到点N 的坐标，最后根据半径相等列出方程求解即可．【小问1详解】如图所示．作出AB 和AC 的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P ，连接AP ，CP ，AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，∵，A （3，0）、B （5，0）PM AB ⊥∴，即点M 是AB 的中点AM BM =∴M 点坐标为（4，0）∴点P 的横坐标为4，设点P 的坐标为（4，y ）∵PA PC =∴，解得 ()()()()2222430404y y -+-=-+-318y =∴圆心P 的坐标为； 314,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问2详解】如图所示，设⊙M 与直线l ：相切相切与点N ，连接AM ，MN ，y x =-同（1）可得点M 的横坐标为4，∴设点M 的坐标为()4,a ∵⊙M 与直线l ：相切相切与点Ny x =-∴MN ON ⊥∴设MN 所在直线的表达式为y x b =+将点M 代入得，即()4,a 4a b =+4b a =-∴MN 所在直线的表达式为4y x a =+-∴联立得：，解得 4y x a y x =+-⎧⎨=-⎩4242a x a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴点N 的坐标为 44,22a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭∵点A 和点N 都在⊙M 上∴MA MN =∴ ()()222244430422a a a a --⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得28140a a --=解得：4a=+4∴圆心M的坐标为或(4,4-(4,4故答案为：或．(4,4(4,4【点睛】此题考查了确定要圆的条件，一次函数和圆综合题，切线的性质和垂径定理知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．26. 某科研单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的矩形空地，建成一个矩形花园，ABCD 要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．（1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；2532m （2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设AEQ BGF CMH DPN 、、、AE BF CM DN ＝＝＝米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m ，且竖向EF HG MN PQ a ＝＝＝＝道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．MN EF PQ H G ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a 的代数式表示）；②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a 的值．【答案】（1）1米； （2）①；②． 21251682a a -++14a =【解析】【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出x 方程求解即可；（2）①先用a 表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可．【小问1详解】解：设小道进出口的宽度为米，x 依题意得．(302)(20)532x x --=整理，得．235340x x -+=解得，，．11x =234x =（不合题意，舍去）， 3420> ；1x ∴=答：小道进出口的宽度应为1米；【小问2详解】解：①剩余的种植花草区域的面积为：()()()()11130420243020222a a ---⨯⨯-⨯- 21251682a a =-++②由，得： 2110025168420002a a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，2505040a a -+=解得：（舍去）．1214,36a a ==故．14a =【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根．27. 已知平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径的交y 轴的正半轴于点，O 5O P 小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，（1）如图1，将三角板的斜边放置于轴上，边恰好与相切于点，则切线长x AB O D ；AD =（2）如图2，将三角板的顶点在上滑动，直角顶点恰好落在轴的正半轴上，若A O B x 边与相切于点，求点的坐标；BC O M B （3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点继续在上滑动，直角顶点恰好落A O B 在上且在轴右侧，边与轴的正半轴交于点，与的另一交点为，若O y BC y G O H ，求的长．1PG =GH【答案】（1（2） )（3）的长为或GH 3-3【解析】【分析】（1）连接，得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股OD 30DOA ∠=︒定理即可求得的长，继而求得的长；OA AD （2）连接，设线段交于点，过点作于，得出四边形OM AB O E O ON AB ⊥N 是矩形，根据垂径定理以及进行的性质得出，在中，勾ONBM 5,3OE NE ==Rt NEO 股定理求得，中，勾股定理求得，即可求得点的坐标；ON Rt OMB OB B （3）分类讨论，①当在点上方时，过点作于点，连接，根据90G P O OF BC ⊥F AH 度角所对的弦是直径，得出是的直径，进而勾股定理求得，垂径定理求得AH O HB ，在中，得出，在中求得，继而根据即HF Rt HOF OF Rt GFO FG GH FG HF =-可求解；②当点在点下方时，过点作，同一法证明点重合，进而G P O OX HB ⊥,G X垂径定理即可求解．【小问1详解】如图，连接， OD∵边恰好与相切于点，AB O D ∴OD AB ⊥∵9030B ACB ∠=︒∠=︒，∴∥OD BC ∴30DOA ∠=︒∴中，, Rt AOD 5OD =12AD OA =∴ OD ==∴, AD ==； 【小问2详解】如图，连接，设线段交于点，过点作于，OM AB O E O ON AB ⊥N∵边与相切于点，BC O M ∴，OM BC ⊥又，90B Ð=°∴四边形是矩形，ONBM ∴，，5NB OM ==ON MB =∵，ON AE ⊥∴,AN NE =∵58AB AN NE EB AN BN AN =++=+=+=∴3AN NE ==∴8232BE AB AE =-=-⨯=在中，Rt NEO 5,3OE NE ==∴,4ON =∴，4MB ON ==∴中，Rt OMB OB ===∴， )【小问3详解】解：①如图，当在点上方时，过点作于点，连接G P O OF BC ⊥F AH∵90HBA ∠=︒∴是的直径，AH O ∴2510AH =⨯=∵8AB =在中，， Rt ABH △6HB ==∵OF BC ⊥∴,3HF =在中，Rt HOF 4OF ==∵5,1OP PG ==∴6OG =在中， Rt GFO 6,4OG OF ==FG ==∴3GH FG HF =-=②当点在点下方时，如图，G P ∵90HBA ∠=︒∴是的直径，AH O ∴2510AH =⨯=∵8AB =在中，，Rt ABH △6HB ==过点作，O OX HB ⊥∴ HX XB =3=在中，，Rt OXH 4OX ==∵5,1OP PG ==∴ 4OG =∴，即点重合，OX OG =,G X ∴OG HB ⊥∴ 132GH HB ==【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．28. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为点在轴的正半轴上，且A ()0B y ，以点为圆心，1为半径画，与轴交于点（点在点的下方），30＝ABO ∠︒B B y C C B 点是的中点，点是上的一个动点，从点开始以5度/秒的速度沿圆周逆时Q AB P B C 针运动一周，设运动时间为t 秒．（1）如图1，连接，当时，求t 的值；OQ OQ ∥BP （2）如图2，点P 在运动过程中，连接，以为边在左侧作等边， AP AP APD △①当秒时，求点的坐标；12t ＝D ②连接，当最大时，求此时t 的值和这个最大值．DQ DQ【答案】（1）秒或秒642（2）①；②t 的值为36秒，最大值为4 72⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，【解析】【分析】（1）根据直角三角形的斜边中线性质和等腰三角形的性质得到，再根据平行线的性质得到即可求解；30QOB ABO ∠=∠=︒130CBP ∠=︒（2）①根据题意，可求得，则，根据含30度角的直角三角形60CBP ∠=︒90ABP ∠=︒的性质和勾股定理可求得、、，过作⊥轴于，易求出点坐标，AB OB AP P PH y H P ，根据等边三角形的性质和两点距离坐标公式列方程求解即可；(),D x y x y △②以为边在左侧作等边，证明得到，则AB ABE ()EAD BAP SAS ≌1ED BP ==D 的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，连接并延长交圆于，当与重E QE E D ¢D D ¢合时，最大，利用等边三角形的性质和勾股定理求出即可得到最大值，再设圆B DQ EQ 与y 轴交点为，易求得，故当最大时，点从点C 运动到点，求出P 'AD AP ''=DQ P P '此时的t 值即可【小问1详解】解：如图1，∵是的中点，，Q AB 90AOB ∠=︒∴，OQ AQ QB ==∴，30QOB ABO ∠=∠=︒∵，OQ ∥BP ∴，130CBP QOB ∠=∠=︒∵点是上的一个动点，从点开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动， P B C ∴（秒），13056t =÷=∵当从运动到时，也满足，P C 2P OQ ∥BP ∴（秒），230180542t =+÷=（）综上，满足条件的t 值为6秒或42秒；【小问2详解】解：①如图2，当秒时，，12t ＝12560CBP ∠=⨯=∵点的坐标为点在轴的正半轴上，且， A ()B y 30＝ABO ∠︒∴，，又， OA =2AB OA ==90ABP ∠=︒1BP =∴， 3OB ===，AP ===过作⊥轴于，则， P PH y H 30BPH ∠=°∴， 1122BH BP ==∴ PH ==52OH OB BH =-=∴ 52P ⎫⎪⎪⎭，设，(),D x y ∵是等边三角形，ADP △∴，则，AP DP =(222252x y x y ⎛⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎝⎭⎝解得： y =∵即，AP =(2213x y ++=∴， (2213x +=解得：，x =则， 42752y ⎛- ⎝⎭==∴点坐标为； D72⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，②如图3，以为边在左侧作等边，AB ABE 则，BE AE AB ===60EBA EAB DAP ∠=∠=∠= ∴，EAD BAP ∠=∠在和中，EAD BAP △AE AB EAD BAP AD AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，()EAD BAP SAS ≌∴，1ED BP ==∴的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，D E 连接并延长交圆于，当与重合时，最大，QE E D ¢D D ¢DQ ∵是的中点，Q AB ∴， 12AQ AB==90EQA ∠= ∴，3EQ ===∴，即最大值为4， 314D Q '=+=DQ ∴，AD '===设圆与轴交点为，则，B y P '4OP OB BP ''=+=∴， AP ==='∴，AD AP ''=∴当最大时，点从点运动到点，此时，（秒）．DQ P C P '180536t =︒÷=【点睛】本题考查等边三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识、两点距离坐标公式、勾股定理等知识，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，在第（2）②中得到点D 的运动轨迹是关键．。
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江苏省江阴市华士片2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，请将正确结论代号填在对应题号内） 1、-5的倒数是（ ） A 、5 B 、51-C 、 51D 、5-2、下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（ ）A ．x 2+x+2=0B ．x 2－x －5=0C ．x 2+x －3=0D ．2 x 2－x －1=0 3、已知25=yx ，那么下列等式中不一定正确的是（ ）A 、y x 52=B 、1252=+y x x C 、27=+y y x D 、4722=++y x 4、一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是 （ ）A ．100（1＋x ）=121B ． 100（1－x ）=121C ． 100（1＋x ）2=121D ． 100（1－x ）2=1215、如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:96、下列说法正确的是( )A 、平分弦的直径垂直于弦B 、三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C 、相等的圆心角所对的弧相等D 、等弧所对的圆心角相等7、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=3，则⊙O 的直径为（ ） A. 8 B. 10 C.15 D.208、如图，□ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，∠ADC ＝70°，连接AE ，则∠AEB 的度数为（ ）A ．20°B ．24°C ．25°D ．26°9、如图，在△ABC 中，AC=BC ，CD 是AB 边上的高线，且有2CD=3AB ，又E ，F 为CD 的三等分点，则∠ACB 与∠AEB 和为 （ ）A 、45 ° 8、75° C 、90 ° D 、135°10、如图，已知AB=12，点C 、D 在AB 上，且AC=DB=2，点P 从点C 沿线段CD 向点D 运动（运动到点D 停止），以AP 、BP 为斜边在AB 的同侧画等腰Rt △APE 和等腰Rt △PBF ，连接EF ，取EF 的中点G ，下列说法中正确的有（ ）①△EFP 的外接圆的圆心为点G ；②四边形AEFB 的面积不变；③EF 的中点G 移动的路径长为4． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 （本大题共8小题，每空2分，共16分）ABC ED 第5题 第7题 第8题A B C DO E 第9题 第10题11、方程x 2=2的根是_____________12、在比例尺为1:5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为________米13、如果点O 为△ABC 的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC 等于_____________14、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，可添加一个条件________15、将一副三角板按图叠放，∠A=45°，∠D=60°，∠ABC=∠DCB=90°，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__________16、如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O 的直径长为_______17、如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为50dm ，此时汽油桶内液面宽度AB=40dm ，现在从进油孔处倒油，当液面AB=48dm 时，液面上升了__________dm ．18、如图，已知△ABC,外心为O ，BC=6，∠BAC=60°，分别以AB 、AC 为腰向形外作等腰直角三角形△ABD 与△ACE ，连接BE 、CD 交于点P ，则OP 的最小值是_________ 三、解答题19、解下列方程（每题4分,共12分）（1）0652=--x x （2）()()3332-=-x x x （3）0522=--x x （配方法）20、（本题5分）先化简，再计算：)12(122x x x xx x --÷+-，其中x 是方程0222=--x x 的正数根．21、（本题共6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位 的小正方形，A 、B 、C 三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A （1，8），B （3，8），C （4，7）． （1）若D （2，3），请在网格图中画一个格点△DEF ， 使△DEF ∽△ABC ，且相似比为2∶1； （2）求△ABC 中AC 边上的高； （3）若△ABC 外接圆的圆心为P ，则点P 的坐标为 .O y xA BCD第14题 A DO C B第15题 第16题 第17题 第18题O A D B CP O22、（本题共6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处．（1）求证：△BDE ∽△BAC ；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD 的长度．23、（本题共6分）2013年，江阴市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元． （1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 24、（本题共7分）如果一个点与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD 中，点C 与A 、B 两点可构成直角三角形ABC ，则称点C 为A 、B 两点的勾股点，同样，点D 也是A 、B 两点的勾股点．(1)如图①，矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，请在边CD 上作出A 、 B 两点的勾股点（点C 和点D 除外）．（要求：尺规作图，保留作 图痕迹，不要求写作法）(2)如图②，矩形ABCD 中，若AB =3，BC =1，点P 在边CD 上 （点C 和点D 除外），且点P 为A 、B 两点的勾股点，求DP 的长． 25、（本题共10分）如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连AD. （1）求证：AD=AN ；A CE B D（2）若AB=24，ON=1，求⊙O 的半径． （3）若，：△△8:1 ADN CMN S S 且AE=4，求CM26、（本题共8分）阅读下列材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD=1：2，AD 与BE 相交于点P ，求PDAP 的值..小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）.请回答：PDAP 的值为__________参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC=1：2：3 . （1）求PDAP 的值；（2）若CD=2，则BP=_________________ 27、（本题共12分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AB ＝10cm ，AC ∶BC ＝4∶3，点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B →C →A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）设点P 的运动时间为x （秒），△PBQ 的面积为y （cm 2），当△PBQ 存在时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；A（2）当x ＝5秒时，在直线PQ 上是否存在一点M ，使△BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．（3）当点Q 在BC 边上运动时，是否存在x ，使得以△PBQ 的一个顶点为圆心作圆时，另外两个顶点均在这个圆上，若存在，求出 x 的值；不存在，说明理由.28、（本题共12分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） （2）△ABC 中，∠B=30°，AD 和DE 是△ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD=BD ，DE=CE ，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x 所有可能的值；（3）如图3，△ABC 中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B ，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长．Q B P..初三数学期中试卷答案 2015.11 一、选择（每题3分） BCDCC DCACB二、填空（每空2分）2± , 1250米 35°或145° 略 1:3 13 8或22 33-三、解答题 19、每题4分（1）1,621-==x x （2）32,321==x x （3）611+=x ，612-=x20、化简求值（共5分）化简得原式=11-x ----------------2分解方程得0311>+=x ，0311<-=x -------------4分所以原式=33-------------------5分21、（共6分）（1）如图 ……………………(2分)（2）高510………(4分)（3）（2,6）； …………………(6分) 22、（1）证明略----------------2分 （2）DE=3-------------4分 AD=53--------------6分 23、（1）设平均每年下调的百分率为x ，根据题意得：5265)1(65002=-x ------------------------2分 解得：x1=0.1，x2=1.9(舍去) ---------------------3分答：平均每年下调率为10%------------------------------4分（2）2016年房价为：385.47%)101(5265100=-⨯⨯万元 -----------------5分 ∵20+30＞47.385，∴张强的愿望可以实现------------------------6分 24、（1）以线段AB 为直径的圆与线段CD 的交点，或线段CD 的中点-------3分（2）DP=253±-----------------------7分25、（1）证明略----------------------3分OyxAB CDEF（2）∵AB=24，AE ⊥CD ，∴AE=22，-------4分 又∵ON=1，∴设NE=x ，则OE=x-1，NE=ED=x ， r=OD=OE+ED=2x-1连结AO ，则AO=OD=2x-1，∵△AOE 是直角三角形，AE=22，OE=x-1，AO=2x-1，∴222)12()1()22(-=-+x x ----------------------6分解得x=2，∴r=2x-1=3．---------------------------- 7分 （3）∵AD=AN,AB ⊥CD ，∴AE 平分ND ，∴S △ANE=S △ADE∵S △CMN ：S △AND=1:8，∴S △CMN ：S △ANE=1:4，---------------------------8分 又∵△CMN ∽△AEN ，∴41)(2=AE CM ------------------------------------------9分∵AE=4，∴CM=2--------------------------------------10分2分 3分4分6分8分27、解：（1）①当点Q 在边BC 上运动时．y ＝―45x2＋8x （0＜x≤3）， ……………（2分）②当点Q 在边CA 上运动时，y ＝)214(53)10(21x x -⋅-=42551532+-x x （3＜x ＜7）；………（4分） （2）存在．理由：∵AQ ＝14﹣2x ＝14﹣10＝4，AP ＝x ＝5， ∵AC ＝8，AB ＝10，∴PQ 是△ABC 的中位线，∴PQ ∥AB ，∴PQ ⊥AC ，……………………（5分）∴PQ 是AC 的垂直平分线， ∴PC ＝AP ＝5，∴当点M 与P 重合时，△BCM 的周长最小，…………………………………（6分） ∴△BCM 的周长为：MB ＋BC ＋MC ＝PB ＋BC ＋PC ＝5＋6＋5＝16．∴△BCM 的周长最小值为16．…………………………………………………（7分） (3)由题意得△PBQ 为等腰三角形。