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2007年天津高考理科数学试卷含答案

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2007年高考试题——数学理(天津卷)学生版

2007年高考试题——数学理(天津卷)学生版

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅰ卷参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}12S x x =∈+≥R ，{}21012T =--，，，，，则S T = （ ）A ．{}2B ．{}12，C ．{}012，， D ．{}1012-，，，（2）设变量x y ，满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14（3） “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4）设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<（5）函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ）A ．24(2)xy x =+> B ．24(0)xy x =+> C ．24(2)x y x =->D ．24(0)xy x =->（6）设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥（7）设双曲线22221(00)x y a b ab-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224xy-= Ｂ．2214896xy-=Ｃ．222133xy -= Ｄ．22136xy-=（8）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6 Ｄ．8（9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数（10）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．[)2+，∞C ．(]02，D ．1⎡⎤⎤-⎣⎦⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：．．．克的苹果数约占苹果总数的 ％．（12）921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．（14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线A B 的方程是 ． （15）在A B C △中，2A B =，3A C =，D 是边B C 的中点，则AD BC =．（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在A B C △中，已知2A C =，3B C =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．（18）（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥底面A B C D ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60A B C ∠=°，P A A B B C ==，E 是P C 的中点．（Ⅰ）求P B 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明A E ⊥平面PC D ；（Ⅲ）求二面角A P D C --的大小．ABCDPE（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（21）（本小题满分14分）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．（22）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1A F 的距离为113O F ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．。

2007年高考.天津卷.理科数学试题及解答

2007年高考.天津卷.理科数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i + Ｂ． 1i -+ Ｃ．1i - Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -= Ｂ．2214896x y -= Ｃ．22213x y -= Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ）Ａ．142(2)xx y x +=->Ｂ．142(1)x x y x +=->Ｃ．242(2)x x y x +=-> Ｄ．242(1)x x y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6 Ｄ．89．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）Ａ．a b c << Ｂ．c b a << Ｃ．c a b << Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ． 14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．ABDC三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立．22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．A BC D P E2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件AB ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==． 故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑x球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P15 715 310130ξ的数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥． AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ． 而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ． 而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则7a PA AD AM a PD ===··． 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小是arcsin 4．解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ． 过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，A BC DP EM故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得132PA a AD PD a CF a FD =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD =∴．于是，14a a FD PA FM a PD ===··． 在CMF Rt △中，1tanaCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， 又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--，即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：x1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞1a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， a ()a +，∞()f x '- 0+-()f x+ 极小值 极大值所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数． 函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =．（2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下A B C DP E F M表：x()a -，∞a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1a - 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞()f x '+0 -0 +()f x极大值极小值所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n *∈N都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn n n na a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ② 当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21aa 最大，下面证明：21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立． 22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F A OF F A=．由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =， 所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =．（Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为00xy -0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412kmx x k +=-+，21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++ 2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =．这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=．综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+． 记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦ 将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=， 整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=，于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=．所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=．。

2007年高考数学天津理科(详细解答)

2007年高考数学天津理科(详细解答)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理 科）全解全析一.选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位32,1i i=- ( )A.1i +B.1i -+C.1i -D.1i --2. 设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为 ( )A.4B.11C.12D.143. 2""3πθ=是"tan 2cos "2πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为 ( )A.2211224y x -= B.2214896y x -= C.222133y x -= D.22136y x -= 5.函数)2log 2(0)y x =>的反函数是( )A.142(2)x x y x +=->B.142(1)x x y x +=->C.242(2)x x y x +=->D.242(1)x x y x +=->6. 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 ( ) A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥ B.若a ∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥7. 在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( )A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数8. 设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( )BACDA.2B.4C.6D.89. 设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22bcaa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<10. 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.11. 若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________.(用数字作答) 12. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积为__________.13. 设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为,n S 则22limn n na n S →∞-=__________. 14. 已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是__________.15. 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC =__________.16. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种(用数字作答).三.解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x =-+∈R . (I)求函数()f x 的最小正周期；(II)求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 18. (本小题满分12分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球. (I)求取出的4个球均为黑色球的概率；(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,,60,ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E 是PC 的中点.(I)证明：CD AE ⊥； (II)证明：PD ⊥平面ABE ；(III)求二面角A PD C --的大小.20. (本小题满分12分) 已知函数2221()(1ax a f x x x -+=∈+R )，其中a ∈R .(I)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(II)当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.21. (本小题满分14分) 在数列{}n a 中,1112,(2)2(n n n n a a a n λλλ++==++-∈N *),其中0λ>. (I)求数列{}n a 的通项公式； (II)求数列{}n a 的前n 项和n S ；(III)证明存在k ∈N *,使得11n k n ka a a a ++≤对任意n ∈N *均成立. 22. (本小题满分14分)设椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F A 是椭圆上的一点,212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为11||3OF .(I)证明：a =；(II)设12,Q Q 为椭圆上的两个动点,12OQ OQ ⊥,过原点O 作直线12Q Q 的垂线,OD 垂足为,D 求点D 的轨迹方程.APEBCD2007年高考数学（天津卷）理科参考答案一．选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBADCDBBAA1．【答案】C【分析】332(1)2(1)211(1)(1)2i i i i i i i i i +-+===-+--+，故选C 2．【答案】B【分析】易判断公共区域为三角形区域，求三个顶点坐标为(0,1)、(2,3)、(1,0)，将(2,3)代入得到最大值为14.故选B 3．【答案】A【分析】22tan tan 3,2cos 2sin()2sin 3323πθπθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知充分，当0θ=︒时tan 0,2cos 02πθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可知不必要.故选A4．【答案】D【分析】由3,c a=21a c =可得3,6, 3.a b c ===故选D5．【答案】C【分析】原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D ，故选C 6．【答案】D【分析】对于A 当,a b 与α均成0︒时就不一定；对于B 只需找个γαβ∥∥，且,a b γγ⊂⊂即可满足题设但,a b 不一定平行；对于C 可参考直三棱柱模型排除，故选D 7．【答案】B【分析】由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右()f x 草图.故选B8．【答案】B【分析】k a 是1a 与2k a 的等比中项可得12k k a a a =⨯(*)，由{}n a 为等差数列可得121(1),(21)k k a a k d a a k d =+-=+-及19a d =代入(*)式可得4k =.故选B9．【答案】A【分析】由122log a a =可知0a >21a ⇒>121log 102a a ⇒>⇒<<，由121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0b >⇒120log 1b <<112b ⇒<<，由21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，从而a b c <<.故选A 10．【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km mk m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A【分析】()621123166()rr rr r r r T Cx ax C x a ----+⎡⎤==⎣⎦，当3r =时得到3x 项的系数336522C a a -=⇒= 12．【答案】14π【分析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R ==2414S R ππ==13．【答案】3【分析】根据题意知11(1)222n a a n n a =+-⨯=+-21,(1)n S n n a =+-代入极限式得22112134(2)(2)lim 3(1)n n a n a n n a →∞+-+-=+- 14．【答案】30x y +=【分析】两圆方程作差得30x y += 15．【答案】83-【分析】由余弦定理得222222cos 22AB AC BC AB AD BD B AB AC AB BD+-+-==⨯⨯⨯⨯可得BC =,3AD =，又,AD BC 夹角大小为ADB ∠，2223298cos 29413791BD AD AB ADB BD AD +-∠==-⨯=-⨯⨯⨯，所以AD BC =8cos 3AD BC ADB ⨯⨯∠=-.16．【标准答案】390【分析】 用2色涂格子有26230C ⨯=种方法，用3色涂格子有()3263382360C C ⨯-⨯=种方法，故总共有390种方法. 三．解答题：17．【分析】()2cos (sin cos )1f x x x x =-+sin 2cos2x x =-2sin 24x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 因此，函数()f x 的最小正周期为π. (II)解法一：因为()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间33,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又3330,2,2sin 2cos 1,884244f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2,最小值为1-. 解法二：作函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间9,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,最小值为314f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωφ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力.18．【分析】(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事件A ，B 相互独立，且2234224612(),()25C C P A P B C C ====.故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=. (II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C ，D 互斥，且211123324422224646.41().,().155C C C C C P C PD C C C C ====. 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. (III)解：ξ可能的取值为0,1,2,3.由(I)，(II)得17(0),(1),515P P ξξ====又13224611(3).,30C P C C ξ===从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==. ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【考点】本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 19．【分析】(I)证明：在四棱锥P ABCD -中， 因PA ⊥底面,ABCD CD ⊂平面,ABCD 故PA CD ⊥. ,,AC CD PA AC A CD ⊥=∴⊥平面PAC .而AE ⊂平面,PAC AE PC ∴⊥.(II)证明：由,60,PA AB BC ABC ==∠=︒可得AC PA =.E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥.由(I)知，,AE CD ⊥且,PCCD C =所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面,PCD AE PD ∴⊥.PA ⊥底面,ABCD PD 在底面ABCD 内射影是,,AD AB AD AB PD ⊥∴⊥.又,ABAE A =综上得PD⊥平面ABE .(III)解法一：过点A 作,AM PD⊥垂足为,M 连结EM .由(II)知，AE ⊥平面,PCD AM 在平面PCD 内的射影是,EM 则EM PD ⊥.因此AM E ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知，得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得,,,.PA a AD PD AE ==在Rt ADP ∆中，,..AM PD AM PD PA AD ⊥∴=.则M APEBCD..aPA ADAMPD==在Rt AEM∆中，sinAEAMEAM==所以二面角A PD C--的大小是acr解法二：由题设PA⊥底面,ABCD PA⊂平面,PAD则平面PAD⊥平面,ACD交线为.AD 过点C作,CF AD⊥垂足为,F故CF⊥平面.PAD过点F作,FM PD⊥垂足为,M连结,CM故.CM PD⊥因此CMF∠是二面角A PD C--的平面角.由已知，可得30CAD∠=︒.设,AC a=可得1,,,,.2PA a AD PD CF a FD===FM D∆∽,.FM FDPADPA PD∆∴=于是，...aFD PAFMPD=在Rt CMF∆中，1tan14aCFCMFFM===所以二面角A PD C--的大小是【考点】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.20．【分析】(I)解：当1a=时，224(),(2).51xf x fx==+又2222222(1)2.2226'(),'(2).25(1)(1)x x x xf x fx x+--===-++所以，曲线()y f x=在点(2,(2))f处的切线方程为46(2),525y x-=--即625320.x y+-=(II)解：22222(1)2(21)'()(1)a x x ax af xx+--+=+222()(1).(1)x a axx--+=+由于0,a≠以下分两种情况讨论.APEBCDMF(1)当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2)当0a <时，令'()0,f x =得到121,x a x a ==-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 【考点】本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 21．【分析】(I)解法一：22222(2)22a λλλλ=++-⨯=+， 2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-⨯=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-⨯=+.由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+. 以下用数学归纳法证明. (1)当1n =时1,2,a =等式成立.(2)假设当n k =时等式成立，即(1)2,k k k a k λ=-+那么，11(2)2k k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2.k k k λ++=+-+ 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n ∈N *都成立.解法二：由11(2)2(n n n n a a n λλλ++=++-∈N *),0,λ>可得111221,n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等数列，其公差为1，首项为0.故21,n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)2.n n n a n λ=-+(II)解：设234123...(2)(1),n n n T n n λλλλλ-=++++-+-① 345123...(2)(1).n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-②当1λ≠时，①式减去②式，得231(1)...(1)n n n T n λλλλλ+-=+++--211(1),1n n n λλλλ++-=---12122122(1)(1).1(1)(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++---+-=-=---这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)2 2.(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--当1λ= 时，(1).2n n n T -=这时数列{}n a 的前n 项和1(1)2 2.2n n n n S +-=+- (III)证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大.下面证明：21214, 2.2n n a a n a a λ++<=≥ ③ 由0λ>知0.n a >要使③式成立，只要212(4)(2).n n a a n λ+<+≥因为222(4)(4)(1)(4)2n n n a n λλλλ+=+-++124.(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+121222, 2.n n n n a n λ+++≥+=>所以③式成立. 因此，存在1,k =使得1121n k n k a a a a a a ++≤=对任意n ∈N *均成立. 【考点】本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.22．【分析】(I)证法一：由题设212AF F F ⊥及12(,0),(,0),F c F c -不妨设点(,),A c y 其中0.y >由于点A在椭圆上，有22221,y c a b+=即22222 1.y a b a b -+=解得2,b y a =从而得到2,.b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭直线1AF 的方程为2(),2b y x c ac=+整理得2220.b x acy b c -+=由题设，原点O 到直线1AF 的距离为11||,3OF 即242234c b a c=+将222c a b =-代入上式并化简得222,a b =即.a证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2,.b c a⎛⎫ ⎪⎝⎭ 过点O 作1,OB AF ⊥垂足为,b 易知1F BO ∆～12,F F A ∆故211||||.||||F A BO OF F A = 由椭圆定义得12||||2,AF AF a +=又11||||,3BO OF =所以2212||||1,3||2||F A F A F A a F A ==- 解得2||,2a F A =而2||,2a F A =而22||,b F A a =得2,2b a a =即.a （II ）解法一：设点D 的坐标为00(,).x y 当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为00,x y -所以直线12Q Q 的方程为0000(),x y x x y y =--+或,y kx m =+其中200000,.x x k m y y y =-=+点111222(,),(,)Q x y Q x y 的坐标满足方程组222,22.y kx m x y b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩①②将①式代入②式，得2222()2.x kx m b ++=整理得2222(12)4220.k x kmx m b +++-=于是1224,12km x x k +=-+ 2212222..12m b x x k -=+ ③由①式得 1212()()y y kx m kx m =++221212()k x x km x x m =+++ 222222224..1212m b km k km m k k --=++++32222.12m b k k -=+ ④ 由12OQ OQ ⊥知12120.x x y y +=将③式和④式代入得222223220,12m b b k k --=+22232(1).m b k =+ 将200000,x x k m y y y =-=+代入上式，整理得222002.3x y b +=当00y =时，直线12Q Q 的方程为0.x x =点110222(,),(,)Q x y Q x y 的坐标满足方程组 0222,22.x x x y b =⎧⎪⎨+=⎪⎩所以1201,2,x x x y ===由12OQ OQ ⊥知12120,x x y y +=即2220020,2b x x --=解得22023x b =这时，点D 的坐标仍满足222002.3x y b += 综上，点D 的轨迹方程为2222.3x y b +=解法二：设点D 的坐标为00(,).x y 直线OD 的方程为000,y x x y -=由12,OD Q Q ⊥垂足为,D 可知直线12Q Q 的方程为220000.x x y y x y +=+记2200m x y =+（显然0).m ≠点110222(,),(,)Q x y Q x y 的坐标满足方程组00222,22.x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 由①式得00y y m x x =- ③由②式得22222200022.y x y y y b += ④ 将③式代入④式得222220002()2,y x m x x y b +-=整理得2222220000(2)4220.x y x mx x m b y +-+-=于是222012220022.2m b y x x x y -=+ ⑤由①式得 00.x x m y y =- ⑥由②式得 22222200022.x x x y x b += ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22,m y y x y x b -+= 整理得2222220000(2)220.x y y my y m b x +-+-=于是22201222002.2m b x y y x y -=+ ⑧由12OQ OQ ⊥知12120.x x y y +=将⑤式和⑧式代入得22222200222200002220,22m b y m b x x y x y --+=++22220032()0.m b x y -+= 将2200m x y =+代入上式，得222002.3x y b += 所以，点D 的轨迹方程为2222.3x y b += 【考点】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.。

2007年高考理科数学试题及参考答案(天津卷)

2007年高考理科数学试题及参考答案(天津卷)

“讨论”之浅见甘肃省张家川县张川学区上川小学马桂女讨论是小组合作学习的一种重要方式。

怎样讨论？讨论些什么内容？什么时候进行讨论？对这些问题如果教师处理不当，讨论就会失去意见，收效甚微。

在教学实践中，自己通过尝试，谈谈三点体会。

一、要教给学生讨论的方法对于习惯“讲授”模式的学生来说，“什么是讨论？”他们并不明白。

所以教师首先要教给学生讨论的方法。

例如：先建立起四人或六人一组的学习小组，再选拨一名能负起责任的组长。

在明确讨论内容之后，小组内可以由一人发言，其他同学如意见基本相同，可适当给予补充，如有不明白的地方可以质疑，如有不同的观点可以反驳。

要让小组内每个人能充分参与，积极发表意见，直到达成共识，讨论方能结束，小组长经常更换，使每位学生都有锻炼的机会。

二、要精心设计讨论的内容讨论的内容通常是每节课知识的重点或难点，例如：在教学“圆的面积”时，先让学生通过剪、拼、把圆拼成一个近似的长方形后，我让学生观察并说出：拼成的长方形的长与宽分别与圆的什么有关系时？学生众说分纭，又说不清道理，这时，我组织学生对此进行讨论，经过大家你一言我一语的讨论，终于得出了令人满意的答案，即：长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，随即得出圆面积的计算公式。

像这样的例子还有很多，学生在讨论中体验到自己就是学习的主人，一切知识都需要自己的探索才能获得，只要自己肯努力，总会发现别人不知道的事情。

三、要巧妙安排讨论的时机把握好时机就会收到事半功倍的效果，一般来说，在学生意见不统一时，在学生理解上有困难时，在知识深度有待于进一步挖掘时都需要讨论，如有一道判断题：大圆和小圆的半径比是３：２，面积比是３：２，有些同学认为对，有些认为错，争论不休，这时如果让他们静下来听老师讲，可能效果不太好，因此，可以让学生小组合作，互相说说理由，问题越变越明，而且学生印象非常深刻，同时也培养了学生虚心听取别人意见的好习惯，经过这样的讨论，既使学生或得了知识，又发展了学生各方面的能力。

2007年天津市高考数学试卷(理科)及解析

2007年天津市高考数学试卷(理科)及解析

2007年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i是虚数单位=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．143．（5分）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．5．（5分）函数的反函数是（）A．y=4x﹣2x+1（x＞2）B．y=4x﹣2x+1（x＞1）C．y=4x﹣2x+2（x＞2）D．y=4x ﹣2x+2（x＞1）6．（5分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b7．（5分）在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2﹣x）．若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）（）A．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数8．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）已知a、b、c均为正数，且满足，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c10．（5分）设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（）A．[﹣6，1]B．[4，8]C．（﹣∞，1]D．[﹣1，6]二、填空题（共6小题，每小题4分，满分26分）11．（4分）若（x2+）6的二项展开式中x3的系数为，则a=（用数字作答）．12．（4分）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．13．（4分）设等差数列{a n}的公差d是2，前n项的和为S n，则=．14．（4分）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是．15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则•=．16．（4分）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．18．（12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥AE；（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．20．（12分）已知函数f（x）=（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．21．（14分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明存在k∈N*，使得对任意n∈N*均成立．22．（14分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为．（I）证明：；（II）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．2007年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2007•天津）i是虚数单位=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【分析】化简复数的分子，同时对复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选C．2．（5分）（2007•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．14【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：三个顶点坐标为（0，1）、（2，3）、（1，0），将（2，3）代入z=4x+y得到最大值为11．故选B．3．（5分）（2007•天津）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据当时成立判断是成立的充分条件，当tanθ=0时不成立，进而可判断是成立的不必要条件．【解答】可知充分，当θ=0°时可知不必要．故选A4．（5分）（2010•天津）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．5．（5分）（2007•天津）函数的反函数是（）A．y=4x﹣2x+1（x＞2）B．y=4x﹣2x+1（x＞1）C．y=4x﹣2x+2（x＞2）D．y=4x ﹣2x+2（x＞1）【分析】本题考查指数式与对数式的互化、反函数的求法、函数的值域的求法等相关的知识和方法；可以有两种方法：一种是常规方法，即将看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域；另一种方法是针对选择题的特点，利用其图象关于y=x对称的特征，通过选取特殊点代入的方法进行验证获得．【解答】解：法一：由得：由此解得：x=4y﹣2y+2，即：y=4x﹣2x+2又原函数的定义域为：x＞0∴原函数的值域为：y＞2∴函数的反函数是y=4x﹣2x+2（x＞2）故选C法二：特值排除法，∵原函数过（﹣4，1）∴其反函数过（1，﹣4）从而排除A、B、D，故选C6．（5分）（2007•天津）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b【分析】根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a⊂β或a∥β，再由b⊥β得到结论．【解答】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；D、∵a⊥α，α⊥β，∴a⊂β或a∥β又∵b⊥β∴a⊥b故选D7．（5分）（2007•天津）在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2﹣x）．若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）（）A．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B．在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D．在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数【分析】根据函数的性质，作出函数的草图，观察图象即可得答案．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知f（x）图象关于x=1对称，又∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（x﹣2）∴f（x）为周期函数且周期为2，结合f（x）在区间[1，2]上是减函数，可得f（x）草图．故选B．8．（5分）（2007•天津）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由a k是a1与a2k的等比中项，知a k2=a1a2k，由此可知k2﹣2k﹣8=0，从而得到k=4或k=﹣2．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故选B．9．（5分）（2007•天津）已知a、b、c均为正数，且满足，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c【分析】由对数函数的真数一定大于0确定a、b、c的范围，再由，，对其范围再缩小即可．【解答】解：∵a＞0∴1＜∴0＜a＜∵b＞0∴0＜＜1∴＜b＜1∵0＜∴c＞1∴a＜b＜c故选A．10．（5分）（2007•天津）设两个向量和，其中λ，m，α为实数．若，则的取值范围是（）A．[﹣6，1]B．[4，8]C．（﹣∞，1]D．[﹣1，6]【分析】利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．【解答】解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得（sinα﹣1）2+（16t2+18t+2）=0可得﹣（16t2+18t+2）∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．故选A．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分26分）11．（4分）（2007•天津）若（x2+）6的二项展开式中x3的系数为，则a=2（用数字作答）．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数，列出方程求出a．=C6r•a﹣r x12﹣3r，【解答】解：通项T r+1当12﹣3r=3时，r=3，所以系数为C63•a﹣3=，得a=2．故答案为212．（4分）（2007•天津）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为14π．【分析】由题意可知，长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，求出长方体的对角线长，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，由S=4πR2=14π．故答案为：14π13．（4分）（2007•天津）设等差数列{a n}的公差d是2，前n项的和为S n，则=3．【分析】由首项a1和公差d等于2，利用等差数列的通项公式及前n项和的公式表示出a n和S n，然后把表示的式子代入到极限中，求出极限的值即可．【解答】解：由公差d=2，得到a n=a1+2（n﹣1）=2n+a1﹣2，S n=na1+×2=n2+n（a1﹣1）则===3故答案为3．14．（4分）（2007•天津）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y=0．【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，故答案为x+3y=0．15．（4分）（2007•天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则•=．【分析】法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．法二：由余弦定理得可得分别求得，又夹角大小为∠ADB，，所以=．【解答】解：法一：选定基向量，，由图及题意得，=∴=（）（）=+==法二：由题意可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+1+2=7，∴BC=，∴cosB===AD==，∵，∴=．故答案为：﹣．16．（4分）（2007•天津）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有390种（用数字作答）．【分析】由题意选出的颜色只能是2种或3种，然后分别求出涂色方法数即可．【解答】解：用2色涂格子有C62×2=30种方法，用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，从左至右，第一空3种，第二空2种，第三空分两张情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有3×2（1×1+1×2）=18种，所以涂色方法18×C63=360种方法，故总共有390种方法．故答案为：390三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（2007•天津）已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【分析】（I）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（II）根据正弦函数的单调性和x的范围，进而求得函数的最大和最小值．【解答】解：（I）f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1=sin2x﹣cos2x=．因此，函数f（x）的最小正周期为π．（II）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为﹣1．18．（12分）（2007•天津）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的．（3）ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3．结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望．【解答】解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A•B）=P（A）•P（B）=．（II）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=．（III）ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=．ξ的分布列为ξ0123Pξ的数学期望．19．（12分）（2007•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥AE；（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．【分析】（I）由题意利用线面PA⊥底面ABCD得线线PA⊥CD，进而得线面CD⊥平面PAC，即可得证；（II）由题意可得AE⊥PC，由（I）知，AE⊥CD，进而得到AE⊥平面PCD，在由线线垂直得PD⊥平面ABE；（III）因为AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD．因此∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，然后再在三角形中求出即可．【解答】解：（I）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．而AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD．（II）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由（I）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又AB∩AE=A，综上得PD⊥平面ABE．（III）过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM．由（II）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD．因此∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．由已知，得∠CAD=30°．设AC=a，可得．在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM．PD=PA．AD．则．在Rt△AEM中，．所以二面角A﹣PD﹣C的大小是．20．（12分）（2007•天津）已知函数f（x）=（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（I）把a=1代入，先对函数求导，然后求f（2），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率k=f′（2），从而求出切线方程．（II）先对函数求导，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的极值．【解答】解：（I）解：当a=1时，．又．所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，即6x+25y﹣32=0．（II）解：=．由于a≠0，以下分两种情况讨论．（1）当a＞0时，令f'（x）=0，得到．当x变化时，f'（x），f （x）的变化情况如下表：x a（a，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）↘极小值↗极大值↘所以f（x）在区间，（a，+∞）内为减函数，在区间内为增函数．函数f（x）在处取得极小值，且．函数f（x）在x2=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得到．当x变化时，f'（x），f （x）的变化情况如下表：x（﹣∞，aa）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增所以f（x）在区间（﹣∞，a）内为增函数，在区间内为减函数．函数f（x）在x1=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．函数f（x）在处取得极小值，且．21．（14分）（2007•天津）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明存在k∈N*，使得对任意n∈N*均成立．【分析】（Ⅰ）解法一：由题设条件可猜想出数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．然后用数学归纳法证明．解法二：由a n=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），λ＞0，可知为+1等数列，其公差为1，首项为0．由此可求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+（n﹣2）λn﹣1+（n﹣1）λn，λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+（n﹣2）λn+（n﹣1）λn+1．然后用错位相减法进行求解．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．然后用分析法进行证明．【解答】解：（Ⅰ）解法一：a2=2λ+λ2+（2﹣λ）×2=λ2+22，a3=λ（λ2+22）+λ3+（2﹣λ）×22=2λ3+23，a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2﹣λ）×23=3λ4+24．由此可猜想出数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．以下用数学归纳法证明．（1）当n=1时，a1=2，等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即a k=（k﹣1）λk+2k，=λa k+λk+1+（2﹣λ）2k=λ（k﹣1）λk+λ2k+λk+1+2k+1﹣λ2k=[（k+1）﹣1]λk+1+2k+1．那么，a k+1这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式a n=（n﹣1）λn+2n 对任何n∈N*都成立．解法二：由a n=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），λ＞0，可得+1，所以为等差数列，其公差为1，首项为0．故，所以数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．（Ⅱ）解：设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+（n﹣2）λn﹣1+（n﹣1）λn①λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+（n﹣2）λn+（n﹣1）λn+1．②当λ≠1时，①式减去②式，得（1﹣λ）T n=λ2+λ3+…+λn﹣（n﹣1）λn+1=，．这时数列{a n}的前n项和．当λ=1时，．这时数列{a n}的前n项和．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．下面证明：．③由λ＞0知a n＞0．要使③式成立，只要2a n+1＜（λ2+4）a n（n≥2）．因为（λ2+4）a n=（λ2+4）（n﹣1）λn+（λ2+4）2n＞4λ．（n﹣1）λn+4×2n=4（n﹣1）λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2a n+1，n＞2．所以③式成立．因此，存在k=1，使得对任意n∈N*均成立．22．（14分）（2007•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为．（I）证明：；（II）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．【分析】（1）先求得A点的坐标，再求得直线AF1的方程，利用点到直线的距离结合条件得到一个关于a，b的关系式，化简即得；（2）设点D的坐标为（x0，y0）．欲求其轨迹方程，即寻找x，y的关系式，由直线Q1Q2的方程和椭圆的方程组成方程组，结合向量的垂直关系即可找到找x，y 的关系式，从而问题解决．【解答】解：（I）由题设AF2⊥F1F2及F1（﹣c，0），F2（c，0），不妨设点A（c，y），其中y＞0．由于点A在椭圆上，有，即．解得，从而得到．直线AF1的方程为，整理得b2x﹣2acy+b2c=0．由题设，原点O到直线AF1的距离为，即，将c2=a2﹣b2代入上式并化简得a2=2b2，即．（II）设点D的坐标为（x0，y0）．当y0≠0时，由OD⊥Q1Q2知，直线Q1Q2的斜率为，所以直线Q1Q2的方程为，或y=kx+m，其中．点Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组将①式代入②式，得x2+2（kx+m）2=2b2．整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2b2=0．于是，．③由①式得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2==．④由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0．将③式和④式代入得，3m2=2b2（1+k2）．将代入上式，整理得．当y0=0时，直线Q1Q2的方程为x=x0．点Q1（x1，y0），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组所以．由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0，即，解得这时，点D的坐标仍满足．综上，点D的轨迹方程为．。

[实用参考]2007年(理)天津卷

[实用参考]2007年(理)天津卷

20GG 年（理）天津卷第Ⅰ卷一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ6．Ｄ7．Ｂ8．Ｂ9．Ａ10．Ａ一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ）Ａ．1i + Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -Ｄ．1i -- 2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -= Ｂ．2214896x y -=Ｃ．222133x y -= Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)x x y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)x x y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥;Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）Ａ．a b c << Ｂ．c b a << Ｃ．c a b << Ｄ．b a c << 10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台m λ的取值范围是（ ）Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ． Ｄ．第Ⅱ卷二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．212．14π13．314．30x y +=15．83-16．390二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）．12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ． 14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，AB DCD 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC =· ．16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区 间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．x18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==． 故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=．（Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==，13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==． ξ的分布列为ξ的数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，PA ⊥底面A B C ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥； （Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PAAC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =．E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ． 而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴．又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥．因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得332PA a AD PD AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PAAD =∴··， ABCDPEACDPEM则7aPA ADAM aPD===·．在AEMRt△中，sin4AEAMEAM==所以二面角A-arcsin4．解法二：由题设PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，则平面PAD⊥平面ACD，交线为AD．过点C作CF AD⊥，垂足为F，故CF⊥平面PAD．过点F作FM PD⊥，垂足为M，连结CM，故CM PD⊥．因此CMP∠是二面角A PD C--的平面角．由已知，可得30CAD∠=°，设AC a=，可得13326PA a AD PD a CF a FD a=====，，，，．FMD PAD∵△∽△，FD=．于是，14FD PAFM aPD===·．在CMFRt△中，1tanaCMFFM==所以二面角A PD C--的大小是．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax af x xx-+=∈+R，其中a∈R．（Ⅰ）当1a=时，求曲线()y f x=在点(2(2))f，处的切线方程；（Ⅱ）当0a≠时，求函数()f x的单调区间与极值．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）解：当1a=时，22()1xf xx=+，4(2)5f=，又2222222(1)2222()(1)(1)x x x xf xx x+--'==++·，6(2)25f'=-．所以，曲线()y f x=在点(2(2))f，处的切线方程为46(2)525y x-=--，即62320x y+-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a axf xx x+--+--+'==++．由于0a≠，以下分两种情况讨论．ABCDPEFM（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数． 函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =．（2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数．函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．以下用数学归纳法证明． （1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n nn n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21aa 最大，下面证明：21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b -+=． 解得2by a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2by x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF2，将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a 证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A ==-， 解得22a F A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a=（Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD QQ ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，． 将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=，整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k +=-+，21222212m bx x k-=+． 由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=． 当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即200202x -=，解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=．综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD QQ ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组 0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③ 由②式得22222200022y x y y y b +=． ④将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=．整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=，。

07年高考理科数学试题及参考答案(天津卷)

07年高考理科数学试题及参考答案(天津卷)

2007年天津高考模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z （ ）(A) 12i -- (B) 12i -+ (C) 12i - (D) 12i + (2)设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影．．部分表示的集合为 ( )(A){|1}x x ≥ (B){|12}x x ≤< (C){|01}x x <≤ (D){|1}x x ≤ (3) 设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列选项中不正确．．．的是（ ） (A)当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 (B)当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件 (C)当α⊂m 时，“n //α”是“n m //”必要不充分条件 (D)当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件(4) 已知函数()s i n ()f x A x ωϕ=+的图像如右图所示，又2()23f π=-，那么(0)f 的值为（ ） （A ）23- (B ） 23 (C)12- (D) 12(5)若mx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3213的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） (A)21 (B)21- (C)7 (D)7-(6) 如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ） （A ）63 （B ）93 （C ）123 （D ）183 (7) 两条直线(02)x m m =±<<和直线kx y =把圆422=+y x 分成四个部分，则k 与m 满足的关系为（ ）（A ）22(1)4k m +≥ （B ）24km m ≥- （C ）22(1)4k m +=（D ）22(1)4k m +≤(8)双曲线1322=-y x 的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，则|PF 2|的值为（ ） (A)4 (B)6 (C)8(D)1023o yx 11π127π12π2(第12题)输出S是否 结束开始 S =0 i > 100 i =1i =2i +1 S =S +2 (9) 已知函数f(x)满足f(1)=a ，且⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=+1)(),(21)(,)(1)()1(n f n f n f n f n f n f ，若对任意的*N n ∈，总有f(n+3)=f(n)成立，则a 在(]1,0内的可能值有（ ）个。

2007年高考理科数学试题及参考答案(天津卷)

2007年高考理科数学试题及参考答案(天津卷)

第八套2012年普通高等学校招生全国统一考试语文(银川一中第二次模拟考试)一、现代文阅读(9分，每小题3分)阅读下面的文字，完成1—3题。

当理性精神在北中国节节胜利，从孔子到荀子，从名家到法家，从铜器到建筑，从诗歌到散文，都逐渐摆脱巫术宗教的束缚突破礼仪旧制的时候，南中国由于原始氏族社会结构有更多的保留和残存，依旧强有力地保持和发展着远古传统，依然弥漫在奇异想象和炽烈情感的图腾——神话世界之中，表现在文学领域就是以屈原为代表的楚文化。

儒家在北中国把远古传统和神话、巫术逐一理性化，把神人化，把奇异传说化为君臣父子的世间秩序，例如黄帝四面脸被解释为派四个大臣去“治四方”，黄帝活三百年说成是三百年的影响等等。

在被孔子删定的《诗经》中，已看不见“怪力乱神”的踪迹，然而这种踪迹却非常活泼地保存在以屈原为代表的南国文化中。

《离骚》把最为生动鲜艳、只有在原始神话中才能出现的那种无羁而多义的浪漫想象，与最为炽热深沉、只有在理性觉醒时刻才能有的个体人格和情操，最完满地融成有机整体，开创了中国抒情诗的光辉起点。

《天问》是保留远古神话传统最多而又系统的文学篇章，它表现了当时时代意识因理性的觉醒正在由神话向历史过渡。

《离骚》《天问》《九歌》《九辩》构成了一个相当突出的南方文化的浪漫体系，实质上它们是楚地原始祭神歌舞的延续。

王夫之解释《九辩》说：“辩，犹遍也，效夏启九辩之名，可以被之管弦，其词激宕淋漓，异于风雅，盖楚声也。

后世赋体之兴，皆祖于此。

”这段话点明了几个关键问题：楚辞是远古氏族社会的遗风延续，可歌可舞，想象丰富奇异，尚未受儒家实践理性的洗礼，不像“诗教”之类有那么多的道德规范和理智约束，是汉代赋体文学的祖宗。

汉文化就是楚文化，尽管在政治、经济、法律等制度方面，刘汉王朝基本上承袭了秦代体制，但在文学艺术领域汉却依然保持了南楚故地的乡土本色。

汉起于楚，刘邦、项羽的基本队伍和核心成员大都来自楚国地区，西汉宫廷中始终是楚声作主导，不同于先秦北国。

07年各地高考数学试卷一

07年各地高考数学试卷一

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，321i i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --1.C 【解析】(直接法)分母实数化,由322(1)112i i i i i -+==--． 2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．142.B 【解析】先画出约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥的可行域:如右图:得到当2,3x y ==时目标函数4z x y =+有最大值为,max 42311Z =⨯+=．3．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件3.A 【解析】当2π3θ=时有: 2tan tan3==πθ而且π22cos 2sin 2sin 233⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭ππθ,而πsin 1tan 2cos 2sin cos 2cos 2⎛⎫=+⇒=-⇒=-⎪⎝⎭θθθθθθ得23k πθ=π±,也就是说这样的θ有无数多个,故不具有必要性.4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 4.D 【解析】∵抛物线24y x =的准线为1x =-,故有21a c -=-,① 又∵双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，故有:c a =②,①⨯②得到a =进而求出23,6c b ==, ∴双曲线的方程为22136x y -=. 5．(2007年天津理)函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=->Ｂ．142(1)x x y x +=->1= 1=3=Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)x x y x +=->解析：(排除法)由2log 2)y =22242yyx x +=⇒=-∴反函数的解析式为: 242x x y +=-,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有: ∵0x >,24>,∴2log 2)2y =>,故反函数的定义域为2x >．6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥6.D 【解析】Ａ项中若a b ，与α所成的角相等，则a b ，可以平行、相交、异面故错；Ｂ项中若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ，可以平行、异面故错；Ｃ项中若a b ⊂⊂，，αβa b ∥则,αβ可以平行、相交；而D 项是对，因为此时a b ，所成的角与,αβ所成的角是相等或是互补的，则a b ⊥．7．(2007年天津理)在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ） Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数 7.B 【解析】（数形结合法）由()(2)f x f x =-得，函数()f x 是关于1x =对称的， 又∵函数()f x 是偶函数可得到函数的周期为２，（如右图所示）可以看到函数()f x 在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数．8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．88.B 【解析】由等差数列{}n a 且19a d =，得1(1)(8)k a a k d k d =+-=+21(21)(28)k a a k d k d =+-=+，又∵k a 是1a 与2k a 的等比中项，则有212k k a a a =即：2[(8)]9[(28)]k d d k d +=⨯+得2280k k --=，解之得124,2k k ==-（舍去）．9．(2007年天津理)设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）Ａ．a b c << Ｂ．c b a << Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<解析：（数形结合法），在同一直角坐标系下画出函数12xy =与21()2x y =与312log y x =及42log y x =的图象（如图所示）则a 表示的是函数12x y =与312log y x=交点的横坐标的值，同理有：b 表示的是函数21()2xy =与312log y x =交点的横坐标的值，c 表示的是函数21()2x y =与42log y x =交点的横坐标的值，则有：a b c <<．10．设两个向量22(2cos)λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]10.A 【解析】由2=a b 得:2222cos 2sin mm λ+=⎧⎨λ-α=+α⎩化简得: 22(22)cos 2sin m m --=α+α,即22494sin 2sin 1m m -+=-α+α+∵22sin 2sin 1(sin 1)2-α+α+=-α-+,又∵1sin 1-≤α≤,22xy故22(sin 1)22-≤α-+≤,即224942m m -≤-+≤,解之得:1112442m m≤≤⇒≤≤ 2621m ⇒-≤-≤,而2222m m m m -==-λ,故有61mλ-≤≤.2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 11.2【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中3x 的系数为：2612316611()()()r r r r r r r r T C x x C x a a ---+==，则有：1233r -=得3r =故有：33615()2C a =得320522a a =⇒=． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．12.14π【解析】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径， 设球的直径为D 则：222212314D =++=，由于球的表面积为:214S D =π=π.13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n n a n S →∞-= ．13.3【解析】22222211211[2(1)][2(1)]lim lim lim 3(1)(1)22n n n n n a n a n n a n n n n S n n a na →∞→∞→∞-------===-+-+⨯ 14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ．14.30x y +=【解析】2222(1)(3)202610x y x x y y -+-=⇒-+-=-----①2210x y +=----② 由①-②得到:26030x y x y +=+=即.15．如图，在ABC △中，12021B A C A B A C ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2D C B D =，则AD BC =· ．15.83-【解析】根据向量的加减法法则有:BC AC AB =- 112()333AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+,此时2212122()()33333AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=+- ··18183333=--=-. 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．16. 390【解析】分为两类:第一类是只用两种颜色则为:216230C C = 种,另一类是用三种颜色则为:3111163212360C C C C C =种,故共计为390种.三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．AB DC19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）ABCDPE在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由图象得函数()f x 在区3π14f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为x黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==，13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ123P15 715 310130ξ的数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥= ，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C = ，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A = ∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得PA a AD PD AE ====，，，．在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AMPD PA AD =∴··，则3a PA ADAM PD===·． 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==所以二面角A PD C --的大小是． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得12PA a AD PD CF a FD =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，14aFD PA FM a PD ===··． 在CMF Rt △中，1tan 14aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， 又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．ABCDPEFMACDPEM（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：x1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞1a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， a()a +，∞()f x ' -0 +0 -()f x+极小值极大值所以()f x 在区间1a ⎛⎫--⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数． 函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：x()a -，∞a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1a-1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞ ()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+． 以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+- ， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n nn n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=--- ，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立． 22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c-，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =，将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F A OF F A=．由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =， 所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22a F A =，而22b F A a =，得22b aa =，即a =．（Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD QQ ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k +=-+，21222212m bx x k -=+． 由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k ---=++=+++··．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k--=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD QQ ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+． 记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ② 由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=， 于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=， 整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=，于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=． 所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}12S x x =∈+≥R ，{}21012T =--，，，，，则S T = （ ）A ．{}2B ．{}12，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，1.B 【解析】(直接法){}{}121S x x S x x =∈+≥⇒=∈≥R R ,{}21012T =--，，，，, 故S T = {}12，.(排除法)由{}{}121S x x S x x =∈+≥⇒=∈≥R R 可知S T 中的元素比0要大, 而C 、D 项中有元素0，故排除C 、D 项，且S T 中含有元素比1，故排除A 项.故答案为B.（2）设变量x y ，满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．10Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．142.C 【解析】先画出约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，的可行域:如右图:得到当35,22x y ==时目标函数24z x y =+有最大值为, max 35241322Z =⨯+⨯=．（3） “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.C 【解析】当2a =则直线220x y +=平行于直线1x y +=,则是充分条件; 直线20ax y +=平行于直线1x y +=时有: 2a =,则是必要条件,故是充分必要条件.（4）(2007年天津文)设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<解析：∵由指、对函数的性质可知：1122log 3log 10a =<=, 0.21013b ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭ ,1321c => ∴有a b c <<.（5）(2007年天津文)函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ）A ．24(2)xy x =+> B ．24(0)xy x =+> C ．24(2)x y x =->D ．24(0)xy x =->解析：由2log (4)y x =+得42yx +=,即24yx =-,故反函数是24xy =-,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有: ∵0x >,则44x +>,∴2log (4)2y x =+>,故反函数的定义域为2x >,则有24(2)xy x =->.（6）设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）x 4A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥6.D 【解析】Ａ项中若a b ，与α所成的角相等，则a b ，可以平行、相交、异面故错；Ｂ项中若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ，可以平行、异面故错；Ｃ项中若a b ⊂⊂，，αβa b ∥则,αβ可以平行、相交；而D 项是对，因为此时a b ，所成的角与,αβ所成的角是相等或是互补的，则a b ⊥．（7）设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 7.D 【解析】∵抛物线24y x =的准线为1x =-,故有21a c -=-------①又∵双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，故有:c a =-------②,①⨯②得到a =进而求出23,6c b ==, ∴双曲线的方程为22136x y -= （8）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．88.B 【解析】由等差数列{}n a 且19a d =，得1(1)(8)k a a k d k d =+-=+21(21)(28)k a a k d k d =+-=+，又∵k a 是1a 与2k a 的等比中项，则有212k k a a a = 即：2[(8)]9[(28)]k d d k d +=⨯+得2280k k --=，解之得124,2k k ==-（舍去）．（9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数9.A 【解析】由函数图象的变换可知:()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象是将()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象x 轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为π,则函数在区间32k x k πππ≤+≤π+即36k x k πππ-≤≤π+上为增函数,当1k =时有: 2736x ππ≤≤,故在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上()f x 是增函数. （10）(2007年天津文)设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)+B ．[)2+，∞C ．(]02，D ．1⎡⎤⎤-⎣⎦⎦10.A 【解析】（排除法）当t =则2x ⎤∈⎦得(2()f x f x ≥,即222(220x x x ≥⇒--≤在2x ⎤∈⎦时恒成立,而22x --最大值,是当2x =时出现,故22x --的最大值为0,则()2()f x t f x +≥恒成立,排除B,C 项,同理再验证1t =-时, ()2()f x t f x +≥不成立,故排除D 项.第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的 ％．11.70【解析】由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为:2012314---= 故约占苹果总数的00140.707020==. （12）921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．12.84【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：9293199r r r r r r T C x x C x ---+==,令930r -=得3r =,故有:3984C =（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13.14π【解析】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径， 设球的直径为D 则：222212314D =++=，由于球的表面积为:214S D =π=π.（14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ．14.30x y +=【解析】2222(1)(3)202610x y x x y y -+-=⇒-+-=--------①2210x y +=-------② 由①-②得到:26030x y x y +=+=即.（15）在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC =． 15.83-【解析】根据向量的加减法法则有:BC AC AB =-112()333AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+,此时 2212122()()33333AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=+- ··18183333=--=-.（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．16.630【解析】分为三类:第一类是只用两种颜色则为:226230C A = 种,第二类是用三种颜色则为:22116242240C A C C =种, 第三类是用四种颜色则为:4464360C A =种,故共计为630ABDC种.三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分） 在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．（18）（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；ACDPE（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（21）（本小题满分14分）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．（22）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． （11）70 （12）84 （13）14π（14）30x y +=（15）52（16）630三、解答题 （17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：在ABC △中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC ACA B=． 所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=． （Ⅱ）解：因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===217cos 22cos 12125B B =-=-=，2sin 22sin cos 25515B B B ==⨯⨯=． sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭17125252=+⨯=（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126P A B P A P B ==⨯= ．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且1123442279C C C 2()C C 21P C == ，1125242275C C C 10()C C 63P D == ． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=． （19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故P A A B ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A = ，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =∠．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45．（Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥． 由条件CD PC ⊥，PA AC A = ，CD ∴⊥面PAC ． 又AE ⊂面PAC ，AE CD ∴⊥．由PA AB BC = ，60ABC =∠，可得AC PA =．E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥，PC CD C ∴= ．综上得AE ⊥平面PCD ．（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM ．由（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角．由已知，可得30CAD =∠．设AC a =，可得PA a =，AD =，PD a =，AE =． 在Rt ADP △中，AM PD ⊥ ，AM PD PA AD ∴= ，则3PA AD AM PD == ． 在Rt AEM △中，sin 4AE AME AM == 所以二面角A PD C --的大小arcsin4． ABCDPEM（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． （Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．（Ⅰ）解：当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得 580x y +-=．（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3ax =或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：由3a >，得13a>，当[]10k ∈-，时， cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c-，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，222221a b y a b-+=， 解得2b y a =，从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即23c =， 将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△211BO F A OF F A=由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22a F A =，而22b F A a =，得22b aa =，即a =． （Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=． 当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x xy y -=代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=， 于是2012220042t x x x x y +=+，422122200222t b y x x x y -=+ 2201121201t x x t x x y y y y --=422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭ 422220022t b x x y -=+． 若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++． 所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为3t =．当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为3t =．另一方面，当t =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥．综上所述，(0)t b =∈，使得所述命题成立．2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（广东理科卷）编辑：广东省连南民族高级中学 绿梦飘渺一．选择题：各５分，共40分。

2007年天津高考理科数学试卷含答案

2007年天津高考理科数学试卷含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分第I 卷(选择题)和第H 卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟•第I 卷1至2页，第n 卷3至10页•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1 •答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘 贴考试用条形码.2 •每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3•本卷共10小题，每小题5分，共50分.3. “ J - 3”是“ tan v - 2cos n J ” 的( )3辽丿A ・充分而不必要条件 必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2 2 _4・设双曲线 令-占=1(a 0, b 0)的离心率为 .3 ,且它的一条准线与抛物线 寸二4xa b参考公式：•如果事件A B 互斥，那么P(A B) =P(A) P(B)•如果事件A B 相互独立，那么P(A ・B) = P(A)・P(B)一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有 1. i 是虚数单位， 2i3“ 1 -i)A1+iB . -1+iC. 1X _ y > -12. 设变量x, y 满足约束条件*x + y > 1,3x - y c 3.A 4 B. 11 C. 12 球的表面积公式2S =4T R其中R 表示球的半径一项是符合题目要求的. -iD . -—i则目标函数z =4x • y 的最大值为( )• 14的准线重合，则此双曲线的方程为 )25.函数y =log 2( . x 4 2)( x - 0)的反函数是( )A. y =4x —2x “X 2)B. y =4x—2x "x1) C. y=4x —2x2(x2)D.y=4x —2x2(x1)6.设a, b 为两条直线，：为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( A. 若a, b 与j 所成的角相等，贝U a // b B. 若 a // :■, b // ：,：•// :，则 a // b c.若 a 一 .■■■', b !I ：;, a // b ，则:-/ :D. 若 a _ :■, b .丨，,：•_：,贝U a _ b7.在R 上定义的函数f (x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在区间［1,2］上是减函 数，贝U f(x)( )&设等差数列！a n 的公差d 不为0, a^i =9d .若a k 是印与a 2k 的等比中项，则k =( )门屮(1辛9.设 a, b, c 均为正数，且 2a = log 1 a ,log 1 b ,log 2 c .则()2'<2 / 三 l2 丿r2210.设两个向量a = ('2, 1 - cos 〉)和b =A. 2 2 ［丄12 一24B.2 2 x y_ 48 一96C.X 22y 23 一 3D.x 2A.在区间 ［-2,-1］上是增函数，在区间 ［3,4］上是增函数B.在区间 ［-2,1］上是增函数，在区间 ［3,4］上是减函数C.在区间 ［-2,-1］上是减函数，在区间 ［3,4］上是增函数D.在区间［-2,-1］上是减函数，在区间 ［3,4］上是减函数A. 2B. 4C. 6D. 8A. a :: b ::cb. c ■ b :: ac.c ：： a ：：： bd. b ■ a ■■■ cmm,— sin J ,其中■, m,〉为实数.若a = 2b ，则一的取值范围是（） mA.B. [4,8]C. D.2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第口卷 注意事项：1.答案前将密封线内的项目填写清楚. 2•用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3 .本卷共12小题，共100分.二、填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（1511. _______________________________________________________ 若x 2 — f 的二项展开式中 X 的系数为一，则a= ____________________________________ （用数字作答）.I ax 丿 2 12.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上， 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1 , 2, 3,则此球的表面积为 ___________ .「a n?的公差d 是2，前n 项的和为S n ，则limn -^C14. ________ 已知两圆 x 2 y 2 =10和(x-1)2 • (y -3)2 =20 相交于 A, 是 __________ .15. 如图，在 △ ABC 中，N BAC=120° AB =2, AC=1 ,D 是边 BC 上一点，DC =2BD ，则 AD^BC = ___________ .16. ________________________ 如图，用6种不同的颜色给图中的 4个格子涂色，每个格子涂 一种颜色，要求最多使用 3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则 不同的涂色方法共有 ____________________ 种（用数字作答）.三、解答题：本大题共 6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数 f (x) = 2cos x(sinx — cosx) 1, x R . （I ）求函数f （x ）的最小正周期;2 2 a n- n 13.设等差数列 S n(n)求函数f (x)在区间n,3n上的最小值和最大值.IL8 418.(本小题满分12分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球均为黑球的概率；(n)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(川)设•为取出的4个球中红球的个数，求'的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA_ 底面ABCD , AB _ AD, AC _ CD, ABC = 60°PA 二AB 二BC , E 是PC 的中点.(I)证明CD _ AE ；(n)证明PD _平面ABE ;(川)求二面角A - PD -C的大小.20.(本小题满分12分)2ax _a2十1已知函数f(x)二——厂—(x・R)，其中R .x +1(I)当a =1时，求曲线y = f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(n)当a=0时，求函数f(x)的单调区间与极值.21.(本小题满分14分)在数列：a n沛，6=2, a n匸V a n * ' n 1• (2 -’ )2n(n • N )，其中’0 .(I)求数列^n 1的通项公式；(n)求数列〈a n［的前n项和S n；（川）证明存在k. N ,使得竝＜ ^^1对任意n. N ”均成立.anak22. （本小题满分14分）2 2设椭圆笃•珞=1（a b ■ 0）的左、右焦点分别为％ F 2, A 是椭圆上的一点， a b1AF 2丄F 1F 2，原点0到直线AF i 的距离为一 OF i .3（1）证明 a = 2b ；（n ）设Q i, Q 2为椭圆上的两个动点， OQ i _0Q 2，过原点0作直线Q 1Q 2的垂线0D ,垂足为D ，求点D 的轨迹方程.2007年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答17•本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数y = Asin(「x ：；m )的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分(I)解：f (x) = 2cos x(sin x — cosx) 1 二 sin 2x —cos2x = \ 2 sin 12x因此，函数f(x)的最小正周期为 n故函数f (x)在区间n 3n上的最大值为「2，最小值为-1.IL 8 4解法二作函数心「歸2-n 在长度为一个周期的区间上的图象如下一、选择题： 本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5分，满分 1.C 2.B 3.A 4. D 5.C 6.D 7.B8.B9. A 10.A一、填空本题.考查基本知识和基本运每小题4分，满分 11. 2 12. 14 n13. 3 14. x 3y=015.—8316. 390三、解答题50分. 24分. 12分.(n)解法因为 f (x) =2 sin3n 3n上为减函数，又f n =0 , f I 3n?./2 ,18丿18丿* ~2sin 43 n n 小n2 cos — .244在区间由图象得函数f(x)在区间 n ,3n上的最大值为、2，最小值为f K - _1 . 〔8 4」 14丿18.本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础 知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力•满分 12分. (I)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件 A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B •由于事件 A B 相互独立，且P(A)二 C 3C ；1 2 ， P (B )C?1 2 故取出的4个球均为黑球的概率为 P(AB) = P(A)・P(B)：2 5 (n)解：设“从甲盒内取出的 2个球均为黑球；从乙盒内取出的 1个是黑球”为事件 C , “从甲盒内取出的 2个球中，1个是红球， 出的2个球均为黑球”为事件 D •由于事件C, D 互斥，152个球中， 1个是黑球; 1个是红球,从乙盒内取冃 “、C ；C ；C4 …、C 3C ：1 且 P(C)3r-^，P(D) 2—4 二— 2 215r 2 J-C 4 C6 5 4 1=—+-15 51(川)解：■可能的取值为01,2,3 .由(I) , (n )得P( =0), P( 5故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 p (C - D)二P(C) • P(D)157 =1)= 15C 113P( = 3)|2 •从而 P( =2)=1_P( =0)_P( =1)_P( =3) = C ： C ； 3010的分布列为的数学期望E =01 2 3 - 51510 30 619.本小题考查直线与直线垂直、 直线与平面垂直、二面角等基础知识， 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力•满分 12分.(I)证明：在四棱锥P - ABCD 中，因PA_底面ABCD , CD 平面ABCD ，故PA _ CD •v AC _ CD , PA AC = A , /• CD _ 平面 PAC • 而 AE 平面 PAC , ••• CD _ AE .(n)证明：由 PA = AB = BC ，/ABC = 60 ° 可得 AC = PA . v E 是PC 的中点，• AE _ PC .由(I)知，AE _ CD ，且 PC CD =C ，所以 AE _ 平面 PCD . 而 PD 平面 PCD , • AE _ PD .v PA —底面 ABCD, PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB — AD , • AB — PD . 又vAB AE = A ，综上得PD _平面ABE •(川)解法一：过点A 作AM _ PD ,垂足为M ,连结EM .则(n)知，AE _平面PCD ,AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM _ PD .因此.AME 是二面角A —PD -C 的平面角. 由已知，得 N CAD =30° .设AC =a ,所以二面角A-PD-C 的大小是arcsin — 4解法二：由题设 PA_底面ABCD , PA 平面PAD ，则平面PAD _平面ACD ，交线 为AD . 过点C 作CF _ AD ,垂足为F ，故CF _平面PAD .过点F 作FM _ PD ,垂足为M , 连结CM ，故CM _ PD .因此.CMP 是二面角A - PD -C 的平面角.由已知，可得 NCAD =30°设CF 在 Rt △ CMF 中，tan CMF 二FM所以二面角 A - PD -C 的大小是arctan 、、7 .20•本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，禾U 用导数研究函数的 单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法•满分12分.2x4 (I)解：当 a =1 时，f(x)二一,f(2)=—,x +15可得 PA =a , AD = ^a, PD 二迈 a, AE 3 3在 Rt △ ADP 中, ••• AM _ PD ，二 AM ・PD =PA ・AD 在 Rt △ AEM 中, 2、3a° a _ 3 .21 a 3sin AMEAE AM.14 4.、、14疋,PDa, PD _ 213.FM FDPAPD .a'a 6_ 7 21 - a 14AC = a ,1a 2a 14 D•••△ FMDPAD , •a 1 a, CF ■ a,2 可得PA",人卡曰FM 二丑A所以，曲线y 二f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 即 6x 2y _32 =0 .由于a = 0，以下分两种情况讨论.1( ( 1函数f (x)在Xr处取得极小值f，且fa 2,a I a 丿 I a 丿1函数f (x)在x 2处取得极大值f (a)，且f (a) = 1 .a1 (2)当a :: 0时，令f (x) = 0 ,得到捲=a, x2 ，当x 变化时，f (x), f (x)的变化a情况如下表：x(u , a ) a卜-a 」1 a1 -1, + s i I a ，丿f(x) + 0 —0 + f(x)Z极大值z极小值Z所以f(x)在区间(-s , a), -1, + s 内为增函数，在区间 a,-内为减函数.I a 丿I a 丿函数f (x)在人二a 处取得极大值f (a)，且f (a) =1 .又 f(x)/x 2 一2皿2曲2 2(x 1)25(n)解：f (x)=2 22a(x 1)-2x(2ax-a 1)-2(x- a)(ax 1)(x 21)2(x 21)2(1 )当a ■ 0时，令f (x) = 0,得到=a .当x 变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表:x(1)-s , 一 |Ia 丿 1 a，町a (a, + s)f (x) — 0 + 0 —f (x)+极小值z极大值z所以f(x)在区间i s,_1%X 2 a1,(a , s )内为减函数，在区间ia 内为增函数.函数f (x)在x 2 = -1处取得极小值f i -，且f i 1=_a 2 -aI a 丿 I a 丿21本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前 n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法， 考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力•满分 14分.(I)解法一：a ? =2 ■ ■ 2(2 _ ■ )2」222,2232 33a 3 仝;■2 T)■(2 - -)2^2 -23,3 34 344a 4 =，(2 ■2 ) ■ (2 - ■ )2 =3' 2 •由此可猜想出数列 订奁的通项公式为an =( n -1^ n 2n • 以下用数学归纳法证明.(1 )当n =1时，6=2，等式成立.(2)假设当n = k 时等式成立，即a k =(k-1)，k ，2k , 那么 a k 1=g ■ ■ k1 • (2 _ ■ )2k V (k _1) ■ k ■ ■ 2k ■ ■ k1 ■ 2k1 _ ■ 2k-[(k 1)-1] 'k 1■ 2k 1.这就是说，当n = k 1时等式也成立.根据(1 )和(2)可知，等式a n 二(n -1)，n - 2n 对 任何n • N ”都成立.解法二：由 a n ^ = ^a n + 切十+(2—九)2n (n ^ N *)，人 >0,的通项公式为a n =(n -1)・n • 2n .(n)解：设 T n 二■2 • 2 ■3 3 4 亠 亠(n -2) ■ n4 • (n -1)' n ,①T n =2 43，…(n _2)-n- (n -1)'n 1②当■ -1时，①式减去②式，■, 2- n 123...nn 1n '1得(1 - ' )T n(n~1)(n -1)，,1 -可得an 1a n所以an_n2 na2 1-2 为等差数列，其公差为1，首项为0，故旦1 - -UJJ打◎丿二n-1，所以数列〈务？2 n in in 亠2n i 2-■ (n _i)，(n _i)， _ n ，Tn22 ---------------(i _ ' ) i _ '(i _ ')「a 1 a(川)证明：通过分析，推测数列口 的第一项 a 最大，下面证明:I a n j a ianai由，・0知a n 0，要使③式成立，只要 2an.i ：：(2 • 4)an(n > 2),因为(，2 4)a^(-24)(n -i) 'n(' 2• i)2n4 ‘ ・(n — i) ' n4 2n=4(n —i)‘ n i2n 2> 2n 'n i2n 2=2a nn > 2 .所以③式成立.因此，存在k = 1，使得0^w= 01对任意n N 均成立.ana k ai22.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线方程、求曲线的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力•满分14分.AF 2 —时2及 F i (-c ，)，F 2(c ，)，不妨设点 A(c, y)，其中y •由于点A 在椭圆上, 2 2 c_. y_ 2, 2a b 2,2 2即宁計-b 2 解得丫亠，从而得到a b2〕c,一-a 丿直线AF i 的方程为y 二b 22 2(x + c)，整理得 b x - 2acy + b c = 0 .2ac由题设，原点 0到直线AF 1的距离为 1-OF i3将c 2二a 2 - b 2代入上式并化简得 a 2= 2b 2,这时数列:a n 的前n 项和S n 二n 2n i(n -ir - nn -i ------------------ 2 ------- 十 2 — 2 .当r 时，T t.这时数列F 的前n项和―罟才-2.(I)证法一：由题设证法二：同证法一，得到点A的坐标为过点O作OB _ AF1，垂足为B ,易知△F1BO s △F1F2A，故BO F2A OF1F1A由椭圆定义得AF i + AF2 =2a ,F2A F2AF iA| —2a - |F2A「解得F2A =a，而2 F2A电a(n)解法一：设点D的坐标为又BO得—二a(Xo,y o)-当y0 =0时，由OD _Q J Q2知，直线X oQ1Q2的斜率为-—，所以直线Q1Q2的方程为y oxy o(x - x o) y o，或y = kx m，其中k y o2 X o X o—,m 二y。

2007年高考真题试卷全国卷Ⅰ数学理科参考答案

2007年高考真题试卷全国卷Ⅰ数学理科参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO 1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． 22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β= 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 22212221221)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n=2，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤， 也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

2007年高考理科数学试题及参考答案(天津卷)

2007年高考理科数学试题及参考答案(天津卷)

2011年5月武汉理工大学优秀学子报告会策划书校团委宣传调研部2011年5月一、活动背景为了传授基本的应用数学知识；培养同学们的数学思维习惯、对实际问题的洞察能力、计算机使用能力，以及相互讨论、分工协作的习惯以及培养同学们撰写初级科技论文的能力；协助数学系选拔和组织代表队参加全国和国际数学建模竞赛。

理工青年此次特与理学院数模协会一起举办报告会，让同学们有机会更好的接触，了解到数学建模。

二、活动主旨提高学习能力，培养创新意识三、组织机构校团委宣传调研部武汉理工大学数学建模协会四、活动时间暂定于2011年05月20日（周五）五、活动地点待定六、前期准备1、事先与理学院数学建模协会取得联系，协调好报告会的时间;2、与理学院数学建模协会细谈报告会具体细节，协商好报告会流程，备份活动所需资料;3、确定主持人，要求具有良好的活跃现场气氛及随机应变能力;4、提前对主持人进行培训，并落实好主持人服装、报告会当天化妆等事宜。

同时主持人需提前与理学院数学建模协会进行沟通，准备好串词，并尽早熟悉报告会的流程;5、制作活动所需海报，宣传片，利用网站，校园广播等多方媒体对此次报告会进行宣传;6、收集报告会所需的PPT，视频等。

确定好报告会所需的背景音乐;7、提前借好教室;8、制作好嘉宾的邀请函以及台签，并向相关领导发送邀请函;9、提前做好当天座位的安排与接待工作，避免报告会出现混乱状况;10、各部门明确自己的职责，确定报告会当天现场的工作人员，做到责任落实到人，避免出现混乱、无组织的状况;11、各部门提前准备好报告会所需物品，如需购买，提前上报，而后统一采购，以确保报告会顺利有序的进行;12、各部门事先做好报告会当天的暖场工作的准备，如遇到冷场情况，能及时应对;13、报告会负责人事先做好应急预案的安排和部署工作。

避免一保证所有参会人员的安全。

七、报告会当天流程（一）会前准备：1、工作人员需在17:00之前到达会场，整理、打扫，并安排好座位，以避免同学到来之后出现混乱;2、检查电脑、灯光、投影仪、音响（需事先调试好）、话筒等设施，务必保证设备能正常运行;3、布置会场，包括在黑板上写好主题、摆放好台签、准备好现场饮水、横幅的悬挂等;4、安排好负责接待和指引的工作人员，及时对进入现场的领导和同学指引就坐，避免混乱。

2007年高考真题试卷(全国卷Ⅰ)数学(理科)参考答案

2007年高考真题试卷(全国卷Ⅰ)数学(理科)参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO 1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S = ， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥． （Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β= 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 21221)32k BD x x k +=-==+ ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤，也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题目（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（4分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3B．4C．5D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4B．C．D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．二、填空题目（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题目（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故选D．2．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1C．D．2【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b ﹣a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g （x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A （3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A二、填空题目（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x 轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e x+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007•全国卷Ⅰ）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即a n的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k+1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k+1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan （排名不分先后）菁优网2017年2月4日祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2007年全国高考数学（理科）试卷（全国卷Ⅰ）（解析版）

2007年全国高考数学（理科）试卷（全国卷Ⅰ）（解析版）

2007年全国高考数学（理科）试卷（全国卷Ⅰ）（解析版）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A． B． C． D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A． B．1 C． D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．5．（4分）设a，bR，集合1，ab，a={0，，b，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．（4分）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C． D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4 B． C． D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）2；（Ⅱ）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求an}的通项公式；（Ⅱ）若数列bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A． B． C． D．【分析】根据tanα=，sin2αcos2α=1，即可得答案．【解答】解：α是第四象限角，=，sin2αcos2α=1，sinα=﹣．2．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A． B．1 C． D．2【分析】复数分母实数化，化简为abi（a、bR）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：向量，，得，⊥，4．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a，bR，集合1，ab，a={0，，b，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得ab=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又a≠0，a+b=0，即a=﹣b，，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x ﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y1=0的距离都为，但，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=a，A1C1=a，A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C． D．4【分析】因为a1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．【解答】解．a＞1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，loga2a﹣logaa=，，a=4，故选D9．（4分）（2008?上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=f（x）g（x）=h（x），“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2x，g（x）=2﹣x，h（x）=x22是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=315，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4 B． C． D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AKl，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AKl，垂足为K（﹣1，2），AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A． B． C． D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，原函数此时是单调增，故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有C31?A42=34×3=36种．14．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（xR）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，f（x）=3x（xR）故答案为：3x（xR）15．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S13S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn﹣1，又4S2=S13S3，即4（a1a1q）=a13（a1a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007?全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosAsinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosAsinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由ABC为锐角三角形知，0A＜，0﹣A，＜A＜，，所以．由此有，所以，cosAsinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007?全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）P（ξ=3）=0.20.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．η的分布列为η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，说明SO 底面ABCD．利用三垂线定理，得SABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC，设ADBC，连接SE．说明ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SOBC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SABC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又ABC=45°，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由，，．又，作DEBC，垂足为E，则DE平面SBC，连接SE．ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又ABC=45°，AOB为等腰直角三角形，AOOB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SABC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）2；（Ⅱ）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用ab≥2当且仅当a=b时取等号．得到f''（x）2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f''（x）=exe﹣x．由于，故f''（x）2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g''（x）=f''（x）﹣a=exe﹣x ﹣a，（ⅰ）若a2，当x0时，g''（x）=exe﹣x﹣a2﹣a0，故g（x）在（0，）上为增函数，所以，x0时，g（x）g（0），即f（x）ax．（ⅱ）若a2，方程g''（x）=0的正根为，此时，若x（0，x1），则g''（x）0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x（0，x1）时，g（x）g（0）=0，即f（x）ax，与题设f （x）ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣，2．21．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x1），代入椭圆方程，并化简得（3k22）x26k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知BD|=再求出AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为y=k （x1），代入椭圆方程，并化简得（3k22）x26k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，AC|=．四边形ABCD的面积?BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007?全国卷Ⅰ）已知数列an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求an}的通项公式；（Ⅱ）若数列bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即an的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。

2007天津高考理数

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a bc ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；AB DC（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；ACDPE（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．。

天津2007高考数学真题

天津2007高考数学真题

天津2007高考数学真题2007年天津高考数学真题2007年的天津高考数学真题分为选择题和非选择题两部分，本文将为您详细解析这份考题。

第一部分：选择题1.设函数f(x)=x²-3x+2，则f(f(x))=（）A. x²-3x+2B. x²-3x+2C. x²-3xD. x²-3x+1解析：首先计算f(x)，得到f(x)=x²-3x+2。

然后将f(x)带入f(f(x))中，得到f(f(x))=(x²-3x+2)²-3(x²-3x+2)+2。

化简得f(f(x))=x⁴-6x³+11x²-10x+2。

所以答案为A.2.在直角坐标系中，点A(1,2)、B(-3,2)、C(-3,-2)、D(1, -2)依次连接，得一个四边形，如果四条边相等，那么四边形的形状是（）A. 长方形B. 正方形C. 菱形D. 正菱形解析：计算AB, BC, CD, DA的长度，发现它们都等于4。

而对角线AC的长度为4√2，对角线BD的长度为4√2，故四边形是正方形。

所以答案为B.3.若a+b+c=3，a²+b²+c²=7，a⁵+b⁵+c⁵=15，那么5(a+b+c)-7(a²+b²+c²)+15(a⁵+b⁵+c⁵)的值为（）A. -69B. 69C. 75D. -75解析：利用韦达定理，设t是a,b,c的一个常数，所以a+b+c=3，a²+b²+c²=7，a³+b³+c³-3abc=3t，a⁴+b⁴+c⁴-3(ab+bc+ac)=7t。

因为a⁵+b⁵+c⁵-5(a⁴+b⁴+c⁴)+5(a³+b³+c³)-15abc=15t，代入t=0得到a⁵+b⁵+c⁵=15。

所以代入式子得5(a+b+c)-7(a²+b²+c²)+15(a⁵+b⁵+c⁵)=15（5×3-7×7+15×15）=69。

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a bc ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =u u u r u u u r· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；AB DC（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；ABCDPE（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：x由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥=I ，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =I ，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =I ∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得32PA a AD PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则7a PA AD AM a PD===··． 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小是arcsin4． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得132PA a AD PD a CF a FD =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，3a aFD PA FM PD ===··． 在CMF Rt △中，1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， ABCDPEF MABCDPEM又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数． 函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化所以()f x 在区间()a -，∞，1a⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n nn T n n λλλλλ-=++++-+-L ， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-L ②当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n nn n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---L ，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立． 22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =， 所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =．（Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k +=-+，21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k ---=++=+++··．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦ 将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=， 整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=，于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=． 所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=．。

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