平面谐波

2. 频率的单位是赫兹（Hz），圆频率的单位是弧度/ 秒（rad/s），周期的单位是秒（s）
3.周期、频率和圆频率三者的关系：T
1


2

由于每隔一个周期，振动状态就完全重复一次，所以
x A cost A cos t T
T 2 2 T
若取平衡位置为坐标原点，物体的运动轨道为x轴， 在小幅振动的情况下，按照胡克定律，物体所受的弹性力 f与弹簧的伸长成正比。
f k x
2
d x f kx a 2 dt m m k 2 m 2 d x 2 x 2 dt
x A cost A sin t 2
利用旋转矢量法还可以很容易确定简谐振动的初位相。
在简谐振动运动方程x=Acos(t+)中， (t+) 叫做振子在t时刻的相位。在旋转矢量中，它还有一 个直观的意义：在t时刻振幅矢量和x轴的夹角。
对一个确定的简谐振动来说，一定的相就对应于振动 质点一定时刻的运动状态，即一定时刻的位置和速度。
速度比位移超前π／2，加速度比速度超前π／2，加速度与位移 反相。
x ,v, a
2
A
a x
振动曲线
2
3 4
o
A

v



t
例.一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s， 当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时刻质 点向x轴正向运动。求（1）此简谐振动的表达式；（2） 从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。 解：取平衡位置为坐标原点， 设
3 简谐振动的表达式。
简谐振动运动学
一、描述简谐振动的物理量
简谐振动的运动方程： x 1.描述简谐振动的物理量 位移x — 振动物体离开平衡位置的位移。 弹簧振子： 振幅A — 物体离开平衡位置的最大距离。
在简谐振动的表达式中，余弦或正弦函数的绝 对值不大于1，所以物体振动范围只能处于+A与-A 之间。通常把简谐振动的物体离开平衡位置的最大 位移的绝对值A叫做振幅。
1 A1
x
的运动也是简谐振动，其频率与原来两个振动相同。 从图中三角形的边角关系，很容易得到：
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 同频率的不同谐振量在相同时刻的相位差。
x2 A cost 2 A cos 2
x A cost x
y x t y t x y x
由以上讨论可知同频率的两个不同谐振量在相同时刻的相 位差等于它们初相位之差，为一常量。
A1 cos1 A2 cos 2 A cos 令： A1 sin1 A2 sin2 Asin
合振幅
代入上式：
x ( A1 cos1 A2 cos2 ) cost ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t A cos cost A sin sin t A cos( t ) x A cos( t )
复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
简谐振动：物体运动时离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦 函数）的规律随时间变化的运动。
简谐振动的特征
质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧的自由端，这 样的弹簧和物体系统就是弹簧振子。
弹簧原长时，合力为零。 物体处于平衡位置O点。 拉开一段位移后，有指向 平衡位置的弹性回复力作 用于物体，迫使物体返回 平衡位置。 在弹性回复力的作用下， 物体就在平衡位置附近做 往复运动。
（2）质点在A点处的速率 v 0.05 2 cos(t 4 3 4 ) / 4 A点作为计时起点， （t=0） v 0.04(m / s)
例.一质点作简谐振动，周期为T。求：当它由平衡位 置向x轴正向运动时，从二分之一最大位移处到最大位 移处这段路程所需要的时间。 y 解：由旋转矢量图可知， x 当质点由平衡位置向x轴正向运动时， o 从二分之一最大位移处到最大位移处 3 A 时，转过的角度为： 0 ( )
y B cost y
例：比较简谐振动位移、速度、加速度三个物理量之间的 x A cost 相位关系。
dx v A sint A cos t dt 2 dv a A 2 cost A 2 cost dt
矢量 A以角速度 逆时针作匀 速圆周运动， 研究端点 M 在 x 轴上投影 点的运动， 1. M 点在 x 轴上投影点的运动
t=0,矢量与坐标轴的夹角等 于初相

A
v
y
M
A
o
t
x P
x
x A cos(t ) 为简谐振动。 2. M 点的运动速度 v A 在x轴上投影速度 v A sin(t )
A cos(t )

k m
单摆：A
圆频率 —由系统本身的性质决定。 初位相 —t=0时物体的位相，

g l
初位相确定简谐振动初始时刻的运动状态。
相位(t)=t+
—物体在任一时刻的位相。
它确定简谐振动在该时刻的运动状态。
周期T —物体完成一次全振动所用的时间。
频率 — 单位时间内物体完成全振动的次数。 说明： 1. 一个系统自由振动的周期和频率完全由这个系统 本身的性质决定，该频率称为固有频率。
满足上面方程的T的最小值应为
ω表示在2π秒时间内所做是完全振动次数，称为振动的圆频 率。
利用周期和频率，简谐振动的表达式可以写成：
2 x A cos t T x A cos2 t
二、简谐振动的旋转矢量法
在平面上作一坐标轴OX，由原点O作一长度等于振幅的 矢量 A 。
（2）由旋转矢量法可知，质点第一次通过平衡位置 5 时，振幅矢量转过的角度为： 2 6
2 (rad / s), A 0.12(m) T 由旋转矢量法可得： 3 x 0.12 cos( t )( SI ) 3
t 0.83( s )
第5章 振动和波
5.1 简谐运动
振动是物体的一种运动形式。振动在力学、声学、 电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。
振动的一般概念
广义的说，任何一个物理量在一个定值附近随时 间反复变化的现象都可以叫做振动。 特点：有平衡点，且具有重复性。 在 t时间内运动状态能完全重复—周期性振动。 在 t时间内运动状态不能完全重复—非周期性振动。 电磁振荡—电磁场中的电场强度和磁场强度随时间作 周期性变化的现象。
两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是 一个简谐振动，且频率不变。 由

A1 cos1 A2 cos 2 A cos A1 sin1 A2 sin2 Asin
2 1 2 2
得：
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A1 sin 1 A2 sin 2 arctg A1 cos1 A2 cos 2
x A cos(t )

y
x
o
A


3

例.一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动 通过A点作为计时起点（t=0），经过2s后第一次经过B 点，再经过2s后第二次经过B点，若已知该质点在A、B 两点具有相同的速率，且AB=10cm。求（1）质点的振 动方程；(2)质点在A点处的速率。 t 4s 解： （1）由旋转矢量图和vA=vB可知， x T A o B 2 4 s, T 8( s), 2 T 4 t 0 x 0.05 A cos t 0 A t 2s t 2 x 0.05 A cos(2 ) A sin 由此两式解得：A 0.05 2 (m), tg 1 3 因为A点处质点速度大于零， 4 振动方程： x 0.05 2 cos( t 4 3 4 )( m)
dx v A s in t dt dv a 2 A cost dt 2 x 2 A cost
判断简谐运动的依据： 1 动力学特征：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位 移成正比，而方向相反。 2 运动学特征：加速度的大小总是与其位移的大小成正比，而方向 相反。
相位差：
y x y t y x t x
y B cos y t y B cos y
根据相位差的正负及某些特殊值，我们可以引入如下几个概念：
△Φ y和x y比x
=±2kπ 同相
=±（2k+1）π 反相
>0
<0
超前
利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果。
A
取质点振动的平衡位置O为坐 标原点，振动方向沿OX轴。 A 2 从O点作两个长度分别为A1、 2 A2的矢量 A1 , A2 ，它们在t=0时 与X轴的夹角分别为1、2。
A2
M o A 矢量A1 , A2 的合矢量 的端点在X 轴上的投影M
机械振动—物体在同一路径的一定位置附近作重复 往返运动称为机械振动。
机械振动分类 按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。
按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。 按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。 按振动位移分：角振动、线振动。 按系统参数特征分：线性、非线性振动。
振动有简单和复杂之别。其中最基本的振动是简 谐振动，它是等幅的周期性理想振动，是时间的余弦 （或正弦）函数，存在于许多物理现象中。复杂的振 动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
3 3 T T 所需的时间为： t 2 2 6 T