08.11.19高量

e
n in
in
n
e
n
in
0 ( n a ) H ( n a ) n

n
e
in
e
n
in
e
n
0 H n

可见不同k=θ/a的态能量本征值不同. 紧束缚近似:<0|H|0>=E0,
0 H 1 ,
Ek
0 H n ( n 1) 0
第4章 量子力学中的对称性
§ 4.1 对称性、守恒律和简并性 一、经典物理中的对称性 对拉格朗日函数： L T V L ({q } ,{q } ) 若 L 0 , 则 d ( L ) d p 0 ,即广义动量为运动常数.

q
dt q
dt

从[H,J±]=0和J±作用于|njm>也可知其有2j+1简并度

作为应用，考虑原子中电子的状态，其所受势
为
V ( r ) V ls ( r ) L S
。由于势V(r)在转动下不变，故原
子能级有2j+1重简并。若外加Z方向的电磁场，则电
子所受的势不再在转动下不变，简并被消除。
§4.2 分离对称性，宇称或空间反演

对|α>,用幺正算符π表示宇称算符，|α> π|α>。 x x 要求位置算符的期待值变号，即 则有 x x 或 x x 0 ， 即 与 x 反 对 易 位置本征态|x’>在宇称作用下变为本征值为-x’的态：


上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继 无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并 不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如 宇称，晶格平移和时间反演。 宇称或空间反演操作将r变为-r，右手坐标系变为左手 坐标系。量子力学中我们讨论的是作用于态矢而不是 坐标系的变换。
一、宇称算符的基本性质
0,除 非
， 即 奇 宇 称 的 x
§4.3 分立对称性：晶格平移



晶格平移这一分立对称性在固体物理中有重的应用。 对一维周期势，τ+(a)V(x)τ(a)=V(x+a)=V(x),a为晶格常 数。[H,τ(a)]=0, τ(a)和H可同时对角化. 在H和τ(a)的共同本征矢中，由于τ并非厄米，τ 的期 待值为复数且模为1。为求出τ(a)的本征态，先考虑无 限高势垒的情形。此时电子只能局域于某格点附近。 设相应能量本征态为|n>,H|n>=En|n>,n表示格点位置, 不同|n>简并。 虽然|n>是H的本征态,且H与τ(a)对易，|n>不是τ(a)的 本征态。将不同|n>线性叠加,可得到τ(a)的本征形态:
L p q 的正则方程


类似地，若用哈密顿函数 H H 来讨论：
q p 若 H q
, p
H q
.
0， 则 p 是 运 动 常 量
二、量子力学中的对称性

量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符 T相联系的，习惯上T常被称作对称算符。
m m x , lm R ( r ) l ( , ) R ( r )( )
( 2 l 1)( l m ) ! 4 (l m ) !
Pl (c o s ) e
m
im

, lm ( ) , lm
l
五、能量本征态与宇称



2 [D 如对转动， ( R ), H ] 0 , 则 [ J , H ] 0 , [ J , H ] 0 , 可构造
|n;j,m>态能量简并.由于 D ( R ) njm


m
nj m D m m ( R )
( j)
,
改变表征D(R)的连续参量,可得不同|njm>组合,故不同 m的|njm>是简并的。因m有2j+1个，简并度为2j+1。
设 x x (a ) e
ik x
x a
x e e
i
,
u k ( x ), x a
i k (x -a )
u k ( x a )

取θ=ka，则
u k ( x a ) u k ( x )
可见晶格平移的本征态|θ>之波函数可写成平面波与 ik x k ( x ) e u k ( x ) , 具有晶格周期性的函数之乘积： 且 u k ( x a ) u k ( x ) ，k
六、对称双势阱

H与π对易， H的最低两本征态为 对称的|S>和反对称的|A>, EA>ES,且EA-ES随势垒增高而减少。 取|R>~|S>+|A>，|L>~|S>-|A>,在π作用下|R>和|L>对 调. |R>和|L>不是π的本征态，也不是H的本征态，但 有相同能量期待值. |R>和|L>是非定态,若t0=0处于|R>， 则t时状态为
七、宇称选择定则

则 x
如

,
, , 1,
将相反宇称的态相联系。 该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇称，则其只 有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。偶宇称算 符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。 如果[H,π]=0,能量非简并态必无偶极矩：<n|x|n>=0 当然，对简并态，则<n|x|n>不一定为零。 宇称不守恒： 若H与π对易，则宇称守恒，否则宇称不守恒。如基 本粒子间的弱作用与宇称不对易，故过程宇称不守恒。 李杨最早发现弱相互作用宇称不守恒而获诺奖。


n

e
in
n ,

i
H


n
e
in
E0 n E0
(a )

n
e
in
n 1 e
, 是 H 和 ( a )的 共 同 本 征 态源自Bloch定理

有限高势垒时，|n>并不完全局域于格点n，而是主要 集中于格点n而随与n的距离而衰减。 以|n>为基构造|θ>，|θ>仍为本征值为e-iθ的本征态 由于

该态在|R>和|L>间震荡，震荡角频率为


该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典物理 禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无穷高，则 EA=ES，从而ω=0，不再震荡。 注：对无穷高势垒， |R>和|L>均是H的本征态，但 |R>和|L>均非π的本征态。即H所具有的宇称不一定 反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的一个简单 例子。这种现象在自然界相当普遍，如铁磁现象，糖 与氨基酸的手性等。


若[H,π]=0,而|n>是H的本征值为En的非简并本征态， 则|n>是宇称本征态。 证：Hπ|n>=Enπ|n>,由非简并性得π|n>=eiδ|n>. 作为应用，考虑简谐振子本征态。由于基态为高斯函 数，π|0>=|0>, 而π|1>=πa+|0>=-|1>。类似可推得 π|n>=(-)n|n> 注意:非简并性对得出|n>是π的本征态是非常重要的。 若有简并，如氢原子体系，Cp|2p>+Cs|2s>是H本征态， 但并非π的本征态。又如动量本征态也是H本征态， 但|p’>和|-p’>简并, |p’>并非π的本征态. 当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得到π的 本征态，如|α>=[|p’>±|-p’>]便是π和H的共同本征态
三、矢量和赝矢量




在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，或一 阶球张量，但x和p与π反对易，而J与对易。 与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对易的 矢量叫做轴矢量或赝矢量。 类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符 （与宇称算符反对易） 。 L•S、x•p是标量： π+ L•Sπ= L•S 赝标量的例子包括S•x、L•x等：
二、算符在宇称操作下的变换

由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：
) T ( d x ) , T (dx

有
(1
' ip d x
)

1
ip d x
,
p

p

或{p,π}=0. 该关系与p=dx/dt的预期相同。 对轨道角动量L=xxp，可预期[L,π]=0. 对一般角动量，考虑到R(宇称)=-I,宇称和转动操作对易， 故量子力学中的相应幺正算符也对易: πD(R)=D(R)π [π,J]=0.
若|α>为宇称本征态，π|α>=± |α>,则<x’|π|α>=± <x’| ( x ) ( x ) α>, 故有 “+”对应偶宇称，“-”对应奇宇称。当然，只有与π对 易的算符之本征态才可能有确定的宇称。如动量算符 不与π对易，其本征态即平面波并非π的本征态，而轨 道角动量的本征态则可为π的本征态：
, a a a

k空间范围称为Brillouin Zone
能量本征值
H

n
e
in
H n
in

e
in
n
n H n