安徽省淮南一中高二空中课堂132函数的极值和导数课件共32张

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《函数的极值和导数》课件

Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率

《3.3.2 函数的极值与导数》PPT课件(安徽省市级优课)

值点.
从而所求的解为a=4,b=-11.
小结
1.函数极值的定义. 2.求函数极值的一般步骤. 3.极值点的充要条件.
作业：P98习题3.3A组5
五、自主演练
<P96练习>求下列函数的极值： (1)f(x)=6x2-x-2; (2)f(x)=x3-27x; (3)f(x)=6+12x-x3; (4)f(x)=3x-x3.
练习:已知函数f (x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值.
解: f (x) =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:
解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧 f'(x)<0，那么f (x0)是函数的极大值; (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧 f'(x)>0, 那么f (x0)是函数的极小值.
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则 f (x)为常数.
2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域； ②求函数的导数f '(x) ；
③解不等式f '(x)>0得f(x)的单调递增区间；
解不等式f '(x)<0得f(x)的单调递减区间.
最关3注.大思用导，考数那本观质么及察函其下几数何图h意，(义t)解当在决t此问=t题0点时的距导水数面是的多高少度

安徽省安庆一中高二数学新课标人教A版必修1同步课件：1.3.2 函数的极值与导数

一般地, 求函数y = f x 的极值的方法是:
解方程f x = 0.当f x 0 = 0 时 : （1 ）如果在x 0附近的左侧f x > 0,右侧f x < 0, 那么f x 0 是极大值;
还记得高台跳水的例子吗？
h
最高点
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
o
a
t
2.跳水运动员在最高处附近的情况：在 t=a 附近， h(t) 先增后减， ′(t)先正后负，那么下面图象的最高点 h（h a）代表什么意义呢？ (1) 当 t=a 时运动员距水面高度最大， (2) 当 t<a 时 h(t) 的单调性是怎样的呢？导数的符号有什么变化规律？ (3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢？ h这就是本节课研究的重点 ′(t)连续变化，于是有 h ′(a)=0,f(a) 最大. ——函数的极值 h(t) 在此点的导数是多少呢？
y
y f x
y
y f x
a o b
x
c d
e
o
f
g
h
x
图3.3 -10
图3.3 - 11
以a,b两点为例,我们可以发现, 函数 y = f x 在点x = a的函数值f a 比它在点 x = a 附近其他点的函数值都小 , f a = 0;而且在点 x = a 附近的左侧f x < 0,右侧f x > 0.
2 当 f ' x < 0 ,即 - 2 < x < 2 时 .
当 x 变化时 ,f ' x ,f x 的变化情况如下表 :

《函数的极值与导数》课件

极大值和极小值是极值的两种分类，取决于导数的变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处的变化率，即函数曲线在该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函数的变化趋势和特征，以及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发生变号时，即可判断该点为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化趋势
导数的正负性可以描述函数的单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调性
函数在导数大于零的区间上单调递增，在导数小于零的区间上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我们开始吧！

《高二数学函数极值》PPT课件

f(x) 0 f(x) 0
x0,b
f(x)
极大值
f(x)
极小值
左正右负
左负右正
f(x) 1x34x4 3
（2） fx3xx3
（3）fxx2131
y
f(x)=
1 3
x3-4x+4
2
-2 O
x
h
9
归纳求函数的极值的步骤:
(1)求导数 f(x)； (2)求方程 f(x)=0的根； (3)检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如
❖探索: x =0是否为函数 fxx3的极值点?
y f(x)x3
Ox
f(x0) =0
x0 是函数f(x)的极值点
h
7
3.函数极值与导数的关系
y
几何说明：曲线在极值点
y 处的切线斜率为0，极大值
点左侧切线斜率为正，右侧为负；极小值点反之。
o a x0
b
x
oa
x0
bx
x a, x0 x 0
x0,b
x a, x0 x 0
的函数
x 0)为函
数的极大值。
（数2）y=极f(小x)值在：任在何包一含点x的0的函一数个值区都间不（小a于,b点）x内0 的，函函数值，称x 0 点为函数的极小值点，其函数值f(x 0)为函
数的极小值。
（3）极值：极大值与极小值统称为极值。
函数值
自变
量
（4）极值点：极大值点与极小值点统称为极值点。
h
5
2.定义再理解 y
识图说出极值点？
m
x2
x1
o
x3 x4 x5
n x
（1）极值是一个局部概念。（2）函数的极值不是唯一的。（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。

高中数学第1章导数及其应用132函数的极值与导数课件新人教A版选修20

课堂互动探究
归纳透析触类旁通
题型一求函数的极值求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋3； (2)f(x)＝ln x－6x2＋4x. 【思路探索】利用求极值的解题步骤求解．
【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R，
又 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
3．(2019·平顶山期末调研)函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象如图所示，则 x21＋x22等于( )
2 A.3
B．43
8 C.3
16 D. 3
解析：由图象可得 f(x)＝0 的根为 0,1,2，故 d＝0，f(x)＝x(x2 ＋bx＋c)，则 1,2 为 x2＋bx＋c＝0 的根，由根与系数的关系得 b ＝－3，c＝2，故 f(x)＝x3－3x2＋2x，则 f′(x)＝3x2－6x＋2，由题图可得 x1，x2 为 3x2－6x＋2＝0 的根，则 x1＋x2＝2，x1x2＝23，故 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝83.故选 C.
x，f′(x)，f(x)取值情况如下表：
x 0，12
1 2
12，＋∞
f′(x) ＋
0
－
f(x)
极大值
∴f(x)极大值＝f12＝ln 12－6×122＋4×12＝12－ln 2.
[名师点拨] 求函数的极值，一定要注意函数的定义域，另外利用表格可使极值点两边的增减性一目了然，便于求极值.
休息时间到啦
3]ex，若 f(x)在 x＝2 处取得极小值，求实数 a 的取值范围．【思路探索】首先对 f(x)求导，再利用 f(x)在 x＝2 处取得
极值，讨论两根的大小，以及在 x＝2 两侧的符号，进一步确定 a 的取值范围．

高中数学《1-3-2函数的极值与导数》课件新人教A版选修PPT文档共31页

33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命就永远只能是死水一潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候，睁大眼睛，千万别眨眼!你会看到世界由清晰变模糊的全过程，心会在你泪水落下的那一刻变得清澈明晰。盐。注定要融化的，也许是用眼泪的方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了，也不要以为过去的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高中数学《1-3-2函数的极值与导数》课件新人教A版选
修
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不穿。(名言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者的牢骚，这是羊群中的瘟疫，我不能被它传染。我要尽量避免绝望，辛勤耕耘，忍受苦楚。我一试再试，争取每天的成功，避免以失败收常在别人停滞不前时，我继续拼搏。

高中数学 3.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修1-1

a
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基础预习点拨要点探究归纳知能达标演练课后巩固作业
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基础预习点拨要点探究归纳知能达标演练课后巩固作业

高中数学 132 函数的极值与导数课件新人教版选修22

第二十八页，共37页。
2．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值
点，则( )
A．a>－3
B．a<－3
C．a>－13
D．a<－13
第二十九页，共37页。
解析令y′＝aeax＋3＝0，则eax＝－3a. 设x＝x0为大于0的极值点，∴eax0＝－3a. ∴a<0，ax0<0，∴0<eax0<1. 即0<－3a<1，∴a<－3. 答案 B
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，若函数f(x)在x ＝0，x＝4处取得极值，且极小值为－1，求a，b的值．
第三十六页，共37页。
解 f′(x)＝－3x2＋2ax. 由f′(x)＝0，得x＝0，或x＝23a，依题意有 23a＝4，∴a＝6. 又当x<0时，f′(x)<0，当0<x<4时，f′(x)>0. 故当x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝b， ∴b＝－1，∴a＝6，b＝－1.
第十一页，共37页。
2. 求极值点的一般步骤 (1)求出导数f′(x)； (2)解方程f′(x)＝0；
第十二页，共37页。
(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值．
①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点．
第二十二页，共37页。
三极值的综合应用【例3】已知函数f(x)＝－x3＋3x＋a(a∈R)． (1)求函数f(x)的极值，并画出其草图； (2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个零点．【分析】 (1)解f′(x)＝0，讨论f(x)的单调性，确定极

高中数学 1.3.2《函数的极值与导数》课件新人教A版选修22

求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况
练习2
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x x 2; (2) f ( x) x 27 x; 3 3 (3) f ( x) 6 12 x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: 1 (1) f ( x) 12 x 1, 令 f ( x) 0, 解得 x . 列表: 12
x x3
x x5
定义
一般地, 设函数
y
f (a) 0 f (a x) 0
x 0
f (a x) 0 f (b x) 0
1 2
f (x) 在点x0附近有
定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有
f (b x) 0
3 4 5 6 7
-2
-1
我们就说 f (x0)是 f (x)
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x
(–∞, –2)
–2
(–2, 2)
–
2 0
( 2, +∞)
f ( x)
+
0
+
f (x) 单调递增
28 / 3 单调递减
4 / 3 单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .
例1：求参数的范围若函数f(x) ax - x x - 5在(-,+)上单调递增，

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解: y?? x2 ?34 ? ( x ? 2)( x ? 2).
y
令 y?? 0 ,解得x1=-2,x 2=2.
9
当x变化时, y?,y 的变化情况如下表 : 8
x (-∞,-2)
-2
y'
+
0
(-2,2)
27
(2,+∞)
6
-
05
+
y
↗
极大值28/3
4
↘
极小值-4/3
↗
3
2
因此,当x=-2 时有极大值 ,并且,y极大=281/3;
1.3.2 利用导数研究函数的极值
一、复习回顾:
1.定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间（ a，b）内有
导数,如果在这个区间内f ′ (x) >0,那么函数 y=f(x) 为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f ′ (x) <0,那么函
数y=f(x) 为这个区间内的减函数.
结合导数的几何意义思考
y
y
f?(x0)? 0
f?(x)? 0 f ?(x) ? 0
oa
X00 b
x
f?(x)? 0
f ?(x)? 0
f ?(x0) ? 0
o a X0
bx
从曲线的切线角度看,如果曲线在极值点处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点处切线的斜率左侧为正,右侧为负;曲线在极小值点处切线的斜率左侧为负,右侧为正.
y
f (x3 )
f (x4 )
f (x1 )
f(x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
4.极值的几点说明
y
f (x3)
f (x4 )
f (x1 )
f (x2)
思考：极值与最值的区别?
O a x1 x2
(1)极值是一个局部概念
x3 x4 b x
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值不是唯一的.
oa
X00 b
x
f?(x)? 0
f ?(x)? 0
f ?(x0) ? 0
o a X0
bx
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)>0
右侧f /(x)<0, 那么f(x0)是极大值（左正右负）
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)<0
右侧f /(x)>0, 那么f(x0)是极小值（左负右正）
点x0称为函数y=f(x) 的一个极大值点
(2)如果对x0附近的所有点x,都有f(x0) <f(x),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小=f(x0)
点x0称为函数y=f(x) 的一个极小值点
极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点.
3. 思考：
观察下述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
当x变化时, f ?(x),f(x) 的变化情况如下表 :
x
(-∞,-a)
-a
f'(x)
+
f(x)
↗
0
极大值-2a
(-a,0) (0,a)
a
-
-
0
↘
↘ 极小值2a
故当x=-a时,f(x) 有极大值 f(-a)=-2a; 当x=a时,f(x) 有极小值 f(a)=2a.
(a,+∞) + ↗
练习:求函数
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f ?(x) ? 0 ,则 f (x)为常数函数 .
2.求函数单调区间的一般步骤
①求函数的定义域;
②求函数的导数 f ′(x) ;
③解不等式 f ′(x) >0 得f(x) 的
单调递增区间 ;
解不等式 f ′(x) <0 得f(x) 的
单调递减区间 .
度3关.最思注大用考,导那：数么本函观质数察及下其h图几（，何t）意当在义t=此解t 0决点时问的距题导地数面是的多高
少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察：右下图为函数y=2x 3-6x2+7的
图象,从图象我们可以看出什么？
当x=2
时有极小值
,并且 ,y 极小=-
4/3.
-3 -2
-1
0
1 234
x
小结:用导数法求解函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域 (2)求导函数f `(x)； (3)求解方程f `(x)=0； (4)检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右的
符号，并根据符号确定极大值与极小值
.
练习: y ? x3 ? 27 x
x ? ?3, y极大 ? 54
x ? 3, y极小 ? ? 54
例2:求函数
f
( x)
?
x?
a2
解:函数的定义域为 (?? ,0) ? (0,?? ),
f ?( x) ?
1?
a2 x2
?
(x ?
a )( x ? x2
a).
令 f ?(x) ? 0 ,解得x1=-a,x 2=a(a>0).
y
?
6x
1? x2的极值.
解:
y??
6(1 ? x2 ) (1 ? x2 )2 .
令 y?=0,解得x1=-1,x 2=1.
当x变化时, y?,y 的变化情况如下表 :
x (-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
y'
-
0
+
0
y
↘
极小值-3
↗
极大值3
因此,当x=-1 时有极小值 ,并且y极小=-3; 当x=1 时有极大值 ,并且y极大=3.
探索思考:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
思考：y=x 3在x=0处的导数？可导函数的极值点一定是它导数为零的点, 反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.
结论：对于可导函数f (x),
x0是函数f (x)的极值点 ? f ?(x0 ) ? 0
三、例题精讲:
例1. 求y ? 1 x3 ? 4x ? 4的极值,并画出函数的大致图象
(4)函数的极大值与极小值之间无法确定大小 ;
(5)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
(6)当可导函数f(x)在某区间上有有限极值点时,函数f(x)在该
区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
5.函数的极值与导数的关系
y
y
f?(x0)? 0
f?(x)? 0 f ?(x) ? 0
函数在X=0的函数值比它附
近所有各点的函数值都大，我
y
们说f(0)是函数的一个极大值；
函数在X=2的函数值比它附近
所有各点的函数值都小，我们
说f(2)是函数的一个极小值。
2
x
0
2.函数极值的定义
已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点 (1)如果对x0附近的所有点x,都有f(x0) >f(x),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大=f(x0)